第四章__环境规划与管理的数学基础

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决策变量为x1和x2，分别是农作物a和b的种植面 积(hm2)，年收益Z(元/hm2)为:
Z=(300-160)x1+(150-50)x2=140x1+100x2 最优化模型为： maxZ=140x1+100x2 s.t. 0.9x1+0.5x2≤632.5 x1+x2≤1000 x1，x2≥0
2
n
n


2
样本标准差
1 s i xk x n 1 k


2
(3)变异系数
s C x
上述参数中，方差、标准差及变异系数都是以均值 x 为中心 的离散特征参数，尤其以方差的计算与应用最为普遍。
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3.分布形态特征数
(1)偏态系数：描述数据频率分布对称特征，反映数据 是对称分布或偏向某方向。

划法最优化。
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和经典数学中的极值问题不同，因为环境规划问题 来源于实际，一般变量很多，目标函数十分复杂。 目前，用于环境规划中的数学规划决策分析方法主 要有：
线性规划 非线性规划 动态规划

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一、线性规划

求代表决策问题的线性函数在线性不等式或等式 约束下达到最小(或最大)值的问题。是最基本也 是最重要的最优化技术。

（4—16）
该模型使优化决策分析过程转化为在约束条件下使目标函数Z取最大 值或最小值，即求极值的线性规划过程。 式(4-16)右端的b1，b2，…，bm是优化决策分析的约束条件，一般 是常数，满足约束条件的 x1，x2，…，xn 的任何组合，都是数学模 型的可行解，使目标函数Z最大或最小的可行解是模型的最优解。 22
第四章 环境规划与管理的
数学基础
1
主要内容
第一节 环境数据处理方法 第二节 最优化分析方法
第三节 常用决策分析方法
第四节 环境数学模型
2
第一节 环境数据处理方法
一、数据的表示方法和数据特征 （一）数据的表示方法
列表法
项目
SO2 Nox TSP
表1 某城市环境空气质量年平均值
1991
0.083 0.059 0.564
常用来解决两类优化问题：


一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高， 二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污 染物。

线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。
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(1) 线性规划的描述

用一组未知量(决策变量)表示规划的待定方案——每组未知 量的确定值代表了一个具体方案

对于规划的对象，存在若干限制条件——以未知量的线性等 式和不等式表示；


2
2
式中：s——样本标准差
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二、异常数据的剔除 三、数据的误差分析
四、数据的标准化处理

环境规划与管理中，常采用下面的公式进行标准化处理：
uij

xij x i si
xij 式中：uij—— xij 标准化后对应的数据，（i=1，2，3，…，
m；j=1，2，3，…，n）为一批数据中第i个因子的第j个
（4—15）
a11 x1 a12 x2 c1n xn 或 b1 a12 x1 a22 x2 c2 n xn 或 b2 a x a x c x 或 b m mn n m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
由结果可知，采用重力沉降室和喷雾洗涤器去除工厂1释放的
TSP，采用喷雾洗涤器去除工厂2释放的TSP，采用惯性除尘
器去除工厂3释放的TSP，此时用于污染控制的总费用最低： Z=1517207元/a。
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• 例：围绕某湖泊有1000hm2农田，适宜种植两种农作物。
种植农作物a每公顷有0.9kg农药流失到湖中，种植农作物
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[例4-2]假设一个地区的TSP来源于当地的三个工厂。若工厂 1和工厂2燃煤的TSP排放因子为95kg/t(煤)，工厂3的TSP排 放因子为85 kg/t(产品)。工厂3产量为250 000t(产品)/a，工厂 1和工厂2的燃煤量分别为400000t/a和300000t/a，为满足环境 质量要求，TSP最大允许排放量为17600000 t/a，试以最小的 治理费用达到环境目标。

总TSP排放量可根据其排放因子和除尘设备净化效率计算， 从污染源1的年排放TSP量为：
95x10 +39x11 +5.7x14 +2.9x15

总TSP排放量约束为：
85x30 +34.9x31 +22.1x32 +13.6x33 5.1x34 17600000(式中xij 0)
95x10 +39x11 +5.7x14 +2.9x15 95x20 +39x21 +5.7x24 +2.9x25

各种除尘设备去除TSP的效率、可行的除尘方法的相应费用 见表4-2、表4-3，表中的费用折合成了单位产品所需金额(元 /t)。
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该规划问题的优化模型可写成：
minZ 1.0 x11 2.0 x14 2.8x15 1.4 x21 2.2 x24 3.0 x25 1.1x31 1.2 x32 1.5x33 3.0 x34

从物料平衡可分别列出三个厂的生产力约束为：
x10 +x11 +x14 +x15 400000 x20 +x21 +x24 +x25 300000 x30 +x31 +x32 +x33 x34 2500000

这是一个单目标优化问题，采用单纯形法求解可得最优解:


X=(x11，x14，x24，x32)T=(242793，157207，300000，250000)T
6.6
8.6
6.9
3.2
6.3
16.9
5.6
28.8
3
各流域特征属性表
流域名称 流域面积 （平方公里） 人口 （亿） GDP （亿元） 水资源量 （亿吨） 废水量 （亿吨） COD排放量 （万吨） 氨氮排放量 （万吨）
海河 淮河
32.0 33.0
1.22 1.65
9674 7031
370 916
56.9 41.2
w1 x1 w2 x2 wn xn xw w1 w2 wn

w x
i 1 n
i i
w
i 1
i
式中：wi——个体数据出现频数，或是因该个体对样 本贡献不同而取的不同的数值。
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(3)几何平均数
xG
x1 x2 xn x1x2 xn
b，每公顷农药流失量为0.5kg。每年流入湖泊的总农药量 不允许超过632.5kg。农作物a的收入为300元/hm2 ，农作
物b为150元/hm2 。若不考虑种植费用的规模经济性，只
取平均费用，据估计，种植农作物a的平均费用为160元 /hm2, 农作物b为50元/hm2 。试确定既能满足流入湖泊农 药总量的约束条件，又能使农场主获得最大收益的最佳 种植组合。
支流水质。
6
7
1996—2003年我国耕地变化情况
亿亩 20.0 19.0 18.0 17.0 16.0 15.0
19.51 19.49 19.45
19.38
19.24 19.14
18.89 18.51
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
年
（二）数据特征

数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基
数据， i、x 分别为第i个因子标准差和平均值。 s
i
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第二节 最优化分析方法

在环境规划与管理中，常常需要采用最优化分析方法。

根据环境规划对象的具体特征和规划目标要求将决策问题 用一个目标函数和若干个约束条件来表示，求该函数的极 值。
在一些给定条件（约束条件）下，求所考察函数（目标函 数）在某种意义下的极值（极小或极大）问题——数学规
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2.离散特征数
(1)级差(全距)
R max xk min xk
ik n ik n
(2)差方和、样本方差和样本标准差
差方和
s xk x
2 k i
n


2
xk n k i 2 xk n k i
n
2
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样本方差
1 s i xk x n 1 k
50
4.36 154.9
373.6
8.01
57158
13207.4
335.3
全国比例
39%
63%
66%
48%
76%
68%
84%
图示法
城市二氧化硫年均值变化图
0.12 0.1
毫克/立方米
0.08 0.06 0.04 0.02 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
1992
0.063 0.055 0.519
1993
0.060 0.058 0.372
1994
0.047 0.040 0.368
1995
0.060 0.056 0.418
1996
0.066 0.053 0.316
1997
0.09 0.054 0.384
降水pH值