抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
6 抽象函数奇偶性 高中数学 高考
六、奇偶性问题例1 . （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。
（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ） A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。
F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。
例2：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2）存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。
证明：设t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=-=-，所以f(x)为奇函数。
例3：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。
求实数a 的取值范围。
解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题
微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用． 考向1 抽象函数的单调性【例1】（2019秋•静宁县校级期末）已知偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则满足(21)()f x f x -的x 取值范围是( )A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]C ．(-∞，1][13，)+∞D ．1[3，1]解：根据题意，偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则()f x 在[0，)+∞上为增函数， 则22(21)()(|21|)(||)|21|||(21)f x f x f x f x x x x x -⇒-⇒-⇒-，解可得：113x ， 即x 取值范围是1[3，1]；故选：D ．【例2】（2019秋•武汉期末）若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小顺序为( ) A ．f （b ）f <（a ）f <（c ） B ．f （c ）f >（b ）f >（a ） C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）解：根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数， 则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）．故选：B ．【变式训练】（2020•南开区模拟）已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，若f （a ）(31)f a +，则实数a 的取值范围是()A ．13[,]24-B ．[2-，1]-C ．1(,]2-∞-D ．3(,)4+∞【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =+为偶函数，则函数()f x 的图象关于2x =对称，()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 在[2，)+∞上为减函数， 则f （a ）(31)|2||312|f a a a +⇔-+-，即|2||31|a a --，解可得：1324a-，即a 的取值范围为1[2-，3]4．故选：A ． 考向2 抽象函数的周期性【例3】（2020•汉中一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，33()()22f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2020)(f = )A ．4B ．2log 7C ．2D ．2-解：根据题意，()f x 满足33()()22f x f x +=-，即(3)()f x f x +=，函数()f x 是周期为3的周期函数，则(2020)(12019)f f f =+=（1），又由()f x 为奇函数，则f （1）2(1)log (31)2f =--=-+=-，故选：D ．【例4】（2020春•天心区校级月考）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)(f f += ) A ．34B ．2C ．52D ．4解：根据题意，(1)()(2)f x f x f x +=+，则有(2)(1)(3)f x f x f x +=++， 变形可得(2)()(2)(3)f x f x f x f x +=++，又由()0f x >，则有()(3)1f x f x +=，变形可得1(3)()f x f x +=， 则有1(6)()(3)f x f x f x +==+，即函数()f x 是周期为6的周期函数；()(6)f x f x =+，即函数()f x 的周期为6，则有(2019)(33366)f f f =+⨯=（3），(2020)(43366)f f f =+⨯=（4）， 则(2019)(2020)f f f +=（3）f +（4）， 对于1(3)()f x f x +=，令1x =可得f （4）11(1)4f ==； 对于(1)()(2)f x f x f x +=+和(2)()f x f x +=-，令0x =可得f （1）(0)f f =（2）4=且(0)f f =（2），()0f x >， 则有(0)f f =（2）2=，则f （3）11(0)2f ==；故f （3）f +（4）113424=+=故选：A ． 【变式训练】（2019秋•胶州市期末）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[0，1]上单调递增，若2(log 3)a f=，b f =，(2020)c f =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<解：因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 关于1x =对称， 又因为()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)(1)f x f x f x +=-=--，令1x x =-，则()(2)f x f x =--①令2x x =-，则(2)(4)f x f x -=--②，由①②得，()(4)f x f x =-，即函数()f x 的周期为4． 又因为()f x 在[0，1]上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象，而2log 3(1,2)∈(3,4)，所以0a >，0b <，(2020)(5054)(0)0f f f =⨯==，所以0c =， 因此b c a <<．故选：D ． 考向3 抽象函数的零点问题【例5】（2019秋•水富市校级期末）若偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-，且[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解：因为()(2)f x f x =-以及函数为偶函数，所以函数()f x 是周期为2的函数． 因为[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，所以作出它的图象，利用函数()f x 是周期为2的函数，如图，可作出()f x 在区间[5-，5]上的图象，再作出函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图象，可得函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为6个，故选：B ．【例6】（2019秋•珠海期末）若偶函数()f x 的图象关于32x =对称，当3[0,]2x ∈时，()f x x =，则函数20()()log ||g x f x x =-在[20-，20]上的零点个数是( )A ．18B ．26C ．28D ．30解：令20()log ||h x x =，则()h x 为偶函数且0x ≠，因为()f x 是偶函数，所以()g x 是偶函数且0x ≠， 由20()()log ||0g x f x x =-=得20()log ||f x x =，当0x >时有20()log f x x =， 因为偶函数()f x 的图象关于32x =对称，所以()()f x f x -=且()(3)f x f x =-， 则(3)[3(3)]()()f x f x f x f x +=-+=-=，即()f x 是3T =的周期函数，32kx =，k Z ∈为()f x 的对称轴， 又因为当3[0,]2x ∈时，()f x x =，所以(20)(211)(1)f f f f =-=-=（1）1(20)h ==当(0x ∈，20]，()f x ，()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(0，20]上有13个交点，即()g x 在(0，20]上有13个零点， 又因为()g x 是偶函数，所以()g x 在[20-，20]上共有26个零点．故选：B ．【变式训练】（2019秋•益阳期末）已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)9B ．11(,)95C ．(1,5)D ．(5,9)解：()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称，()(2)f x f x =--，可得(4)()f x f x +=，函数的周期为4，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数的图象如图：当1a >时，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，就是方程()log a f x x =的解个数为3，可得()y f x =与log a y x =由3个交点，两个函数的图象夹在蓝色与红色，之间满足条件，所以log 51a <，并且log 91a >，解得(5,9)a ∈．故选：D ．课后训练1．（2020•模拟）函数()f x 满足3()()()()(f x f y f x y f x y x =++-，)y R ∈，且f （1）13=，则(2020)(f =) A ．23B ．23-C ．13-D ．13【解答】解：取1x =，0y =，得3(0)f f （1）f =（1）f +（1）23=，2(0)3f ∴=， 取x n =，1y =，有3()f n f （1）(1)(1)f n f n =++-，即()(1)(1)f n f n f n =++-， 同理：(1)(2)()f n f n f n +=++，(2)(1)f n f n ∴+=--，()(3)(6)f n f n f n ∴=--=- 所以函数是周期函数，周期6T =，故(2020)(33364)f f f =⨯+=（4）． 3()()()()f x f y f x y f x y =++-令1x y ==，得23f （1）f =（2）(0)f +，可得f （2）13=-，令2x =，1y =，得3f （2）f （1）f =（3）f +（1），解得f （3）23=-，令3x =，1y =，得3f （3）f （1）f =（4）f +（2），解得f （4）13=-．1(2020)3f ∴=-；选：C ．2．（2019秋•北碚区校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足2(1)(1)f x f x +=--，f （1）2<且f （1）0≠，则(2019)f 的取值范围为( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞解：由题意，令1t x =-，则12x t +=+，故2(2)()f t f t +=-． 22(4)()2(2)()f t f t f t f t +=-=-=+-．∴函数()f x 是以4为最小正周期的周期函数．201945043÷=⋯，(2019)f f ∴=（3）22(21)(21)(1)f f f =+=-=--． f （1）2<且f （1）0≠，∴10(1)f <，或11(1)2f >，则20(1)f ->，或21(1)f -<-． (2019)f ∴的取值范围为(-∞，1)(0-⋃，)+∞．故选：D ．3．（2020•许昌一模）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，1(2)()f x f x +=，当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，则(923)(f = )A ．16B ．923C ．4D ．1解：因为定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数， 又因为1(2)()f x f x +=，所以11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+，所以函数()f x 的周期是4， 所以(923)(42303)f f f =⨯+=（3）(1)f f =-=（1），因为当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，所以(923)f f =（1）22log 44==，故选：C ．4．（2019秋•大理市校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则(2017)(2019)(f f += )A ．1B ．2C ．1-D ．2-解：根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，(2017)(16723)f f f =+⨯=（1），(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则f （1）(1)1f =--=；故(2017)(2019)(0)f f f f +=+（1）1=；故选：A ．5．（2020•宝鸡二模）已知函数1()3()3x x f x =+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．1(3-，1)D ．1(,)(1,)3-∞-+∞解：根据题意，函数1()3()3x x f x =+，有1()3()3x x f x -=+，则函数()f x 为偶函数，其导数()3333(33)30x x x x f x ln ln ln --'=-=-，即函数()f x 在[0，)+∞上为增函数， 若(2)(1)f x f x >+，则有(|2|)(|1|)f x f x >+，即|2||1|x x >+，解可得：13x <-或1x >，即不等式的解集为(-∞，1)(13-⋃，)+∞；故选：D ．6．若函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f （a ）f （b ）0>，不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=B ．若f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=C ．若f （a ）f （b ）0<，存在且只存在一个实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=D ．若f （a ）f （b ）0<，有可能不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0= 解：首先，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如下图：上图满足f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，故A 错误，B 正确； 其次，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如图： 上图满足f （a ）f （b ）0<，但C 都错误，D 、根据零点存在定理，一定存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，所以D 错误，故选：B ．7设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[1x ∈-，0]时，2()f x x =，若()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3，5] B ．.[2，4]C ．.(3,5)D ．.(2,4)解：())()0f x f x --=，()()f x f x ∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，又log (||1)a y x =+也是偶函数且都过(0,0)()y f x ∴=和log (||1)a y x =+在(0,)+∞上只有2个交点，∴(11)1(31)11a a log log a +'<⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得24a <<．故选：D ．8．（2019秋•上饶期末）若函数2()1af x lg x =+在(0,)+∞内存在两个互异的x ，使得(1)()f x f x f +=+（1）成立，则a 的取值范围是( ) A．(3-+B．(3C．(1,3 D．(2,3+解：根据条件可得f （1）2alg=，0a >， 且在(0,)+∞上，存在两个不同的x 使得22(1)112a a alglg lgx x =++++成立， 即存在两个互异的(0,)x ∈+∞，使得2222(2)2(22)0a a x a x a a -++-=成立， ①若220a a -=，即2a =时，方程可化为840x +=，解得12x =-，不满足条件，②若220a a -≠时，2()20i a a ->，即2a >时，要想满足条件，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩， 此时因为20a >，220a a ->，故22202a a a-<-矛盾；2()20ii a a -<，即02a <<时，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩，此时(1,3a ∈-，故选：B ． 9．（2019秋•安徽期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且当[0x ∈，2]时，()f x x =，则(2019)f 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2解：根据题意，()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，又由(4)()f x f x -=，则有(4)()f x f x -=-，变形可得(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，又由[0x ∈，2]时，()f x x =，则()f x 的图象如图所示， 则(2019)(20194505)(1)f f f f =-⨯=-=（1）1=，故选：C ．10．（2019秋•运城期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-，且()f x 在[1，)+∞上单调递增，则( )A ．0.3 1.13(0.2)(log 0.5)(4)f f f <<B ．0.3 1.13(0.2)(4)(log 0.5)f f f <<C ． 1.10.33(4)(0.2)(log 0.5)f f f <<D ．0.3 1.13(log 0.5)(0.2)(4)f f f <<解：因为由(32)(21)f x f x -=-，所以函数()f x 关于1x =对称， 又因为()f x 在[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，0.3 1.131log 0.500.2144-<<<<<<，所以0.3 1.13(02)(0.5)(4)f f log f <<，故选：A ．11．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x ，y 满足：()()()f x y f x f y +=，若(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立，则满足不等式2(4)1f x -<的实数x 的取值范围是 ．解：特值法，不妨设()(01)x f x a a =<<，满足()()()f x y f x f y +=，且(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立， 则不等式2(4)1f x -<等价于2(4)(0)f x f -<，由函数()f x 为R 上的减函数，故240x ->，解得2x <-或2x >； 故答案为：(-∞，2)(2-⋃，)+∞．12．（2019秋•沙坪坝区校级期末）定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)2020f x f x -+-=，又(2)2019f -=，则(2020)f = ．解：定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，(2)(2)f x f x ∴--=-， x R ∀∈，有(3)(1)2020f x f x -+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+--=，即(4)(2)2020f x f x ++-=，从而有(6)()2020f x f x ++=，(12)(6)2020f x f x +++=，(12)()f x f x ∴+=，即函数()f x 的最小正周期为12，(2020)(121684)f f f ∴=⨯+=（4）2020(2)1f =--=，故答案为：1． 13．（2019秋•天河区校级期末）已知定义在R 上的函数()F x 满足()()()F x y F x F y +=+，且当0x >时，()0F x <，若对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 解：设12x x <，则210x x ->，则21()0F x x -<；则22111()()()()F x F x x F x F x =-+<，则函数()F x 在R 上为减函数； 则对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立可化为 22243kx x k x kx k ⎧->-⎨->-⎩对[0x ∈，1]成立，依题22()240()30f x x kx k g x x kx k ⎧=-+-<⎨=--+>⎩对[0x ∈，1]成立，由于()0f x <对[0x ∈，1]成立，则(0)40(1)30f k f k =-<⎧⎨=--<⎩，解得，34k -<<；由于()0g x >对[0x ∈，1]成立，234(1)211x k x x x +∴<=++-++恒成立；2k ∴<；综上所述，32k -<<．故答案为：(3,2)-．14．（2020•攀枝花一模）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)f f += ． 解：(1)()(2)f x f x f x +=+，(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=++，(2)()(2)(3)f x f x f x f x ∴+=++，且()0f x >， ()(3)1f x f x ∴+=，即1()(3)f x f x =+，则1(3)(6)f x f x +=+，()(6)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为6，(2019)(2020)f f f ∴+=（3）f +（4）， 令0x =，则f （1）(0)f f =（2）4=，且(0)f f =（2），()0f x >，(0)f f ∴=（2）2=， 令1x =，则f （2）f =（1）f （3），即24f =（3），∴1(3)2f =， 令2x =，则f （3）f =（2）f （4），即12(4)2f =，∴1(4)4f =， ∴113(2019)(2020)(3)(4)244f f f f +=+=+=．故答案为：34．。
函数奇偶性和单调性(包含详细答案)
函数的奇偶性和单调性1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3 B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cos x答案 C2．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，均有()A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0答案 D解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是() A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．4．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．2 B．1C．0 D．－2答案 D解析由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.5．函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是()A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案 B解析依题意，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.6．(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝()A．e x－e－x B.12(ex＋e－x)C.12(e－x－e x) D.12(ex－e－x)答案 D解析由f(x)＋g(x)＝e x，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝e x－e－x2，选D.7．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案 D解析由已知，得f(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg2，lg 12互为相反数，所以f(lg2)＋f(lg12)＝2.8．f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(log126)的值等于()A．－43B．－72C.12D．－12答案 C解析f(log126)＝－f(－log126)＝－f(log26)9．(2014·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 013)＋f(－2 014)的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案 C解析依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.10．下列判断中正确的是________．①f(x)＝(x)2是偶函数；②f(x)＝x3是奇函数；③y＝x0及y＝(x－1)0都是偶函数；④f(x)＝ln(1－x2－x)是非奇非偶函数；⑤f(x)＝3－x2＋91－|x|是偶函数．答案⑤11．函数f(x)＝x3＋sin x＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sin x的图像向上平移一个单位得到的．12．(2014·金华十校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 015)的值为________．答案 3解析∵f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8.∴f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝f(1)＝3.13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(1)＝3，则f(2 014)＝________.答案 3解析∵f(x)＝－f(x＋3 2)，∴f(x＋3)＝f[(x＋32)＋32]＝－f(x＋32)＝f(x)．∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝3.14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．答案－415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(512)的大小关系是__________．答案f(512)<f(－1)<f(4)解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f(512)＜f(－1)＜f(4)．16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f (x )关于直线x ＝1对称，②正确．f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (－∞，1)解析 f (x )＝x 3是R 上的奇函数与增函数，因此，由f (m cos θ)＋f (1－m )>0，得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈[0，π2]恒成立．而当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立，当θ∈(0，π2]时，cos θ∈[0,1)，1－cos θ∈(0,1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．18．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．答案 －4解析 由题意知，当x >0时，F (x )≤8.∵f (x )，g (x )都是奇函数，且当x <0时，－x >0.∴F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )＋2]＋4≤8.∴af (x )＋bg (x )＋2≥－4.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.。
归类题库——高一函数——抽象函数单调性奇偶性及解不等式题型解答题
抽象函数单调性奇偶性解不等式题型例1．函数y=f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且x ＞0时，f （x ）＜0恒成立．（1）证明函数y=f （x ）是R 上的单调性；（2）讨论函数y=f （x ）的奇偶性；（3）若f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，求x 的取值范围．解析：（1）证明：设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，而f （a +b ）=f （a ）+f （b ）∴f （x 1）﹣f （x 2）=f （（x 1﹣x 2）+x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2），又当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，∴f （x 1）＜f （x 2），∴函数y=f （x ）是R 上的减函数；（2）由f （a +b ）=f （a ）+f （b ），得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （x ）+f （﹣x ）=f （0），而f （0）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数y=f （x ）是奇函数．（3）（方法一）由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，得f （x 2﹣2）＜﹣f （x ），又y=f （x ）是奇函数，即f （x 2﹣2）＜f （﹣x ），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2＞﹣x 解得x ＞1或x ＜﹣2．（方法二））由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0且f （0）=0，得f （x 2﹣2+x ）＜f （0），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2+x ＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2．变式：1．已知函数y=f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）对任何实数x ，y 都成立．（1）求证：f （2x ）=2f （x ）；（2）求f （0）的值；（3）求证f （x ）为奇函数．证明：（1）∵（x +y ）=f （x ）+f （y ），令y=x ，得f （x +x ）=f （x ）+f （x ），即f （2x ）=2f （x ）；（2）令y=x=0，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0+0）=f （0）+f （0），即f （0）=2f （0），∴f （0）=0．（3）证明：由已知得定义域为R ．满足若x ∈R ，则﹣x ∈R ．令y=﹣x ，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0）=f （x ）+f （﹣x ）．∵f （0）=0，∴f （x ）+f （﹣x ）=0，即f （﹣x ）=﹣f （x ）．∴f （x ）为奇函数．2．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值； （2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围． 【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=;(2)()()()f x y f x f y -=- (0)(0)()f x f f x ∴-=-，由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=-- (0)0f =，∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-当0x >时，()0f x >，12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->，12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=- ，()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++< ，()(2)(4)f x f x f ∴++<，(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-函数()f x 是定义在R 上的增函数，24x x ∴+<-，1x ∴<,∴不等式()(2)2f x f x ++< 的解集为{|1}x x <3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=3时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．单调+奇偶性+带常数的不等式例2．已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=﹣3；（1）求f（0）与f（3）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9．【解答】解：（1）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，当x=y=1时，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（﹣3）=﹣6，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣3﹣6=﹣9；（2）∵f（0）=0，∴令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，则设x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＜0，即f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）的单调递减；（4）不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9等价为f（x2+1）+f（x）≤f（3），即f（x2+1+x）≤f（3），∵f（x）的单调递减，∴x2+1+x≥3，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，即不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣2}．变式：1．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f （1）=﹣2，试判断f（x）在[﹣3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，若没有，说明理由．解：令a=b=0知f（0）=0，令a=x，b=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣3，3）上有最大值f（﹣3），由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=﹣6，故最大值为f（﹣3）=﹣f（3）=6．2．设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=﹣1．试问函数f（x）在区间[﹣6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．解：令x=y=0知f（0）=0，令x+y=0知f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣6，6]上有最大值和最小值最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=﹣3；最大值为f（﹣6）=﹣f（6）=3．3．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．解：（1）证明：∵f （x ）的定义域为R ，令x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0．∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．（2）证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）．又∵x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 1）＞f （x 2）．故f （x ）是R 上的减函数．（3）∵f （﹣1）=2，∴f （﹣2）=f （﹣1）+f （﹣1）=4．又f （x ）为奇函数，∴f （2）=﹣f （﹣2）=﹣4，∴f （4）=f （2）+f （2）=﹣8．由（2）知f （x ）是R 上的减函数，所以当x=﹣2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （﹣2）=4；当x=4时，f （x ）取得最小值，最小值为f （4）=﹣8．所以函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．4．设函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时f （x ）＜0且f （3）=﹣4．（1）证明：函数f （x ）为奇函数；（2）证明：函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f （x ）在区间[﹣9，9]上的最大值与最小值．【解答】（1）证明：令x=y=0知f （0）=0，令x +y=0知f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （x ）为奇函数．（2）证明：任取两个自变量x 1，x 2且﹣∞＜x 1＜x 2＜+∞，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1），∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0知f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，故f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数．（3）解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴f （x ）在[﹣9，9]上有最大值和最小值最小值为f （9）=f （6）+f （3）=f （3）+f （3）+f （3）=3f （3）=﹣12；最大值为f （﹣9）=﹣f （9）=12．5．已知函数f （x ）对一切实数x ，y ∈R 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，又f （3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R 上的单调性；（3）求f （x ）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．解 （1）令x=y=0，得f （0+0）=f （0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．（2）任取x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）为R 上的减函数，（3）∵f （x ）在[﹣12，12]上为减函数，∴f （12）最小，f （﹣12）最大，又f （12）=f （6）+f （6）=2f （6）=2[f （3）+f （3）]=4f （3）=﹣8，∴f （﹣12）=﹣f （12）=8，∴f （x ）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣86．已知函数f （x ）对任意x ，y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f （x +y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求证：f （x ）在R 上是减函数．（2）求函数在[﹣3，3]上的最大值和最小值．解：（1）证明：令x=y=0，则f （0）=0，令y=﹣x 则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0，又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，有定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．（2）∵f （x ）在R 上是减函数，∴f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f （1）=f （1）+f （1）+f （1）=3×（﹣）=﹣2， 由f （﹣x ）=﹣f （x ）可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．7． 是定义在R 上的函数，对都有，且当时，。
【8A版】抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R ，且对任意实数G ，y 满足，求证：是偶函数。
2、已知f(G)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意G,y,f(G)都满足f(Gy)=yf(G)+Gf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(G)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(G)对任意G ､y ∈R,总有f(G)+f(y)=f(G+y),且当G>0时,<0,f(3)=-2.(1)判断并证明f(G)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(G)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (G )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<G <1时f (G )<0,且对任意G 、y ∈(－1,1)都有f (G )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明 (1)f (G )为奇函数；(2)f (G )在(－1，1)上单调递减5、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a ∙=+. (1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R 上的函数y=f(G)，f(0)≠0，当G>0时，f(G)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的G ∈R ，恒有f(G)>0； （3）证明：f(G)是R 上的增函数；（4）若f(G)·f(2G-G 2)>1，求G 的取值范围。
7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时,()f x >0.(1)求(1)f ;(2)判断函数()f x 的单调性,并证明.8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证:()f x 在R 上是单调减函数;9、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明:()f x 在R 上单调递减;10、 函数()f x 对于G>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
函数的奇偶性和单调性综合训练及答案
一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =-C．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞3．函数y =）A ．(]2,∞- B ．(]2,0C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题1．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。
2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = .3．若函数2()1x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
抽象函数函数之单调性及奇偶性部分
函数之单调性及奇偶性部分单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）例1设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1<x 2, 则f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). （∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0）所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习1：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。
（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习2：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.练习3、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+⋃---∞+⋃-⋃-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A Cx f x f x f奇偶性问题例2. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
抽象函数的单调性、奇偶性问题
抽象函数的单调性、奇偶性问题1.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-， 并且当0x >时，()1f x >.（摘自《学案与测评（文）》第13页） （1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()45f =，解关于m 的不等式()2323f m m --<.解答：（1）提示：增减项()2211x x x x =-+；（2）41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2.设()f x 是定义域()0,+∞为上的函数，同时满足条件：①()()()f xy f x f y =+；②()21f =；③若1x >，则()0f x >. 如果()()32f x f x +-≤，求x 取值范围.（摘自教案maths-1函数的单调性） 解答：(]3,4.3.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意,m n R ∈都有()()()12f m n f m f n +=++， 且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，又当12x >时，()0f x >.（摘自《世纪金榜》第21页——新题快递） （1）求()1f ； （2）求和：()()()()1232009f f f f ++++ ； （3）判断函数()f x 的单调性并加以证明. 解答：（1）12；（2）等差数列首项为12，公差为1；（3）证明：设12x x <， 则()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()121112f x f x x f x ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦()2112f x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()211122f x x f ⎡⎤⎛⎫=--++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2112f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭0<，即()()12f x f x <.所以函数()f x 为增函数.4. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足：（东北育才高中部2010期中文科）①对任意的()1,1,-∈y x ，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； ②当0<x 时，0)(>x f . 问题：（1）求证f (x )为奇函数；（2）试解不等式)21()1()(f x f x f >-+. 解析：（1）解：令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++ ∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1) ∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x xx --) = f (0) = 0∴ f (－x ) =－f (x ) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数（2）解：令－1< x 1 < x 2 < 1，则f (x 1) －f (x 2) = f (x 1) + f (－x 2) = )1(2121x x x x f --∵x 1－x 2 < 0，1－x 1x 2 > 0 ∴012121<--x x x x ∴ )1(2121x x x x f --> 0∴ f (x 1) > f (x 2) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为减函数又f (x ) + f (x －1) >)21(f >-+-⇒)112(2xx x f )21(f∴ 不等式化为21111121112x x x x x -<<⎧⎪-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪<⎪+-⎩⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<⇒035102x x x⎪⎩⎪⎨⎧-<<<⇒213510x x 或2135+>x 21350-<<⇒x∴ 不等式的解集为}21350|{-<<x x . 变式:定义在区间()1,1- 上的函数()f x 满足：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭.若()1,0x ∈- 时()0f x > ，若1157P f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,12Q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()0R f = , 则P 、Q 、R 的大小关系为（源自2015届高三上期末育才等五校联考文科T11）A.R>Q>PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R答案：B.提示：关注目标需要判定函数的单调性 进一步需要对P 进行合一变形进一步需要函数的奇偶性判定.①赋值法：在已知等式中令0x =得()()f y f y -=-，∴函数为奇函数； ②已知可变形为()()1x y f x f y f xy ⎛⎫-+-=⎪-⎝⎭，∴111115711573157P f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⋅⎝⎭；【至此可以排除AC 】 ③定义判断单调性：设1211x x -<<< ，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--=⎪-⎝⎭∵120x x -<，1210x x -⋅>，∴121201x x x x -<-⋅故由已知得121201x x f x x ⎛⎫->⎪-⎝⎭，即()()120f x f x ->.所以函数为单调减函数； 所以答案为B.2015/1/25 wht 解析5.已知函数()(),0y f x x R x =∈≠，对任意非零函数1x 、2x ，恒有()()()1212f x x f x f x ⋅=+.（源自《世纪金榜》教师版第50页）（1）试判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，且()164f =，解不等式23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭. 解析：（1）令1x =1，2x =1得()()()1111f f f ⋅=+，所以()10f =， 令1x =-1，2x =-1得()()()()()1111ff f -⋅-=-+-，()()121f f =-，所以()10f -=. 令1x x =，2x =-1，则()()()()11f x f x f ⋅-=+-，即()()f x f x -=， 所以()f x 是偶函数.（2）()164f =⇒()()()44444f f f ⋅=+=，∴()42f =，同理()21f =.()223121022x x x -+=-+>，又因为()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，所以 23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭⇔23222x x -+>解得22x >或22x <. 6.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<. （1）判断()f x 的单调性；（2）设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()({},1,B x y f ax y a R =-+=∈，若A B =∅ ，试确定a 的取值范围.（源自2010东北育才高二文科月考19题） 解：（1）在中，令，得，因为，所以。
函数单调性及奇偶性练习(含答案)(精品文档)_共4页
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝031=a 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数是（ ）1111)(22+++-++=x x x x x f A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数4、若，g （x ）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，)(x ϕ2)()(++=x bg a x f ϕ则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且()f x x R ∈0x >()f x 120,0x x <>，12||||x x <则 （ ）. .A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<- . . C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ ） Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ ）Ａ． Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（）1[1,2-11,2-8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数 ；②f(x)为偶函数 ；③f(x)＋1为奇函数 ；④f(x)＋1为偶函数12、若是奇函数，则___(1)()()x x a f x x++=a =13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x R 且x 0},又f(x)在（0，+）上是增函数，且∈≠∞f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是.________14、已知是偶函数,当时,;若当时,)(x f y =0>x 2)1()(-=x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 恒成立,则的最小值为m x f n ≤≤)(n m -15、 设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足∈f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=是定义在（－1，1）上的奇函数，且f()=，（1）确定函数f(x)21x b ax ++2152的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。
函数单调性奇偶性-带有答案
函数单调性奇偶性-带有答案1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 （ ）A.))(,(a f a --B. ))(,(a f a -C. ))(,(a f a -D. ))(,(a f a ---2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ） A. x y = B. x y -=3 C. xy 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 （ ）A ．2)()(x x f =是偶函数 B. 2)()(x x f =是奇函数C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D.23)(x x f -=是偶函数4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ）A ．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集 （ ）A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的解析式为 （ ）A. 32)(2-+-=x x x fB. 32)(2---=x x x fC. 32)(2+-=x x x fD. 32)(2+--=x x x f7．定义在R 上的偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递增，若21x x >，021>+x x ，则 （ ）（A ）)()(21x f x f >（B ）)()(21x f x f >- （C ）)()(21x f x f -<（D ）)(1x f ，)(2x f 的大小与1x ，2x 的取值有关8.下列判断正确的是 （ ）A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数， 则f(x)在R 上是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个9、奇函数()f x 在区间[,]a b 上是减函数且有最小值m ，那么()f x 在[,]b a --上是（ ）A 、减函数且有最大值m -B 、减函数且有最小值m -C 、增函数且有最大值m -D 、增函数且有最小值m -10．设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中正确的命题是 （ ）A ．① ③B 。
抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：证明单调性和奇偶性1.证明单调性例．已知函数f(x)= 1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)求证： f(x)是R 上的增函数例．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
2.证明奇偶性例．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f x y f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
例．已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
抽象函数精选例题
1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。
抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求证：是偶函数。
2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ､y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0,f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减5、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a ∙=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0.(1)求(1)f ;(2) 判断函数()f x 的单调性,并证明.8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;9、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减; 10、函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
《抽象函数单调性和奇偶性》答案
f (x) 2 ， f (3) 5，求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集。
解：设 x1、x2 R 且 x1 x2 ， 则 x2 x1 0 ， f (x2 x1 ) 2 ，则 f (x2 x1 ) 2 0 ， f (x2 ) f [(x2 x1) x1] f (x2 x1) f (x1) 2 f (x1)
f
(a) f (b) ab
0.（1）判断函数
f
(x)
在 [1,1]
上是增函数，还是减函数，并证明你的
结论；（2）解不等式：f(x+ 1 )＜f( 1 ).
2
x 1
解：（1）设任意 x1,x2∈［－1,1］,且 x1<x2.
由于 f(x)是定义在[1,1] 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(－x1)≠0,
f (x1)
1 0， f (x1)
f (x2 )
f (x2 x1) f (x1)
f (x1) f (x)在R上为增函数。
（3）由 f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) 得 x 2 y 2 1 (1)
f (ax by c) 1 得 ax by c 0 （2）
（2）证明： f (x) 在 R 上是增函数；（3）设 A (x，y)| f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) ，
B {(x，y)| f (ax by c) 1，a，b，c R，a 0} ，若 A B ，求 a，b，c 满 足的条件。 解：（1）令 m n 0 得 f (0) f (0) f (0) ， f (0) 0 或 f (0) 1。
（2） f (x ) 在 (0, ) 上是增函数。
抽象函数奇偶性的判定
专题一抽象函数奇偶性得判定及应用探究一:抽象函数得单调性与奇偶性问题抽象函数得具体模型类型一:抽象函数证明函数得奇偶性问题①,满足,如何证明为奇函数？②,满足,如何证明为偶函数？类型二:抽象函数证明函数得单调性问题①若且、证明其单调性②若、证明其单调性探究二:函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题一、判断单调性与奇偶性1。
判断单调性根据函数得奇偶性、单调性等有关性质,画出函数得示意图,以形助数,问题迅速获解。
例１、如果奇函数在区间上就是增函数且有最小值为５,那么在区间上就是A. 增函数且最小值为ﻩＢ。
增函数且最大值为C. 减函数且最小值为ﻩﻩD。
减函数且最大值为分析:画出满足题意得示意图,易知选Ｂ、例2.偶函数在上就是减函数,问在上就是增函数还就是减函数,并证明您得结论、分析:如图所示,易知在上就是增函数,证明如下:任取因为在上就是减函数,所以。
又就是偶函数,所以,从而,故在上就是增函数。
２、判断奇偶性根据已知条件,通过恰当得赋值代换,寻求与得关系。
例3.若函数与得图象关于原点对称,判断:函数就是什么函数。
解:设图象上任意一点为Ｐ()与得图象关于原点对称, 关于原点得对称点在得图象上,又即对于函数定义域上得任意x都有,所以就是偶函数。
二、证明单调性与奇偶性1、证明单调性例４.已知对一切,满足,且当时,,求证:(1)时,(２)在R上为减函数、证明:对一切有。
且,令,得,现设,则,, 而,设且, 则, 即为减函数。
2.证明奇偶性例5.已知得定义域为R,且对任意实数x,y满足,求证:就是偶函数。
分析:在中,令,得令,得于就是故就是偶函数、三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出得运算式中,关键就是利用函数得奇偶性与它在定义域内得增减性,去掉“"符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域得作用。
例6、已知就是定义在()上得偶函数,且在(０,1)上为增函数,满足,试确定得取值范围。
解:就是偶函数,且在(0,１)上就是增函数, 在上就是减函数,由得、(1)当时, ,不等式不成立。
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1、已知的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求证：是偶函数。
2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ､y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0,f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减5、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a •=+.(1)求(0),(1)f f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0.(1)求(1)f ;(2) 判断函数()f x 的单调性,并证明.8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值;(2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;9、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减; 10、函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。
11、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
12、已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值13、已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f14、定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）成立，且f ()00≠。
（1）求f （0）的值； （2）试判断f （x ）的奇偶性；15、已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+试回答下列问题： （Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；16、定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；)0a ,n (),a (f )x a (f n 1)x (f )ax (f n 1x )3(22<->-是一个给定的自然数的不等式解关于参考答案1、分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数2、解析:(1)∵f(x)对任意x,y 都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令x=y=-1,有f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y 都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),设x1､x2∈(-∞,+∞)且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0时,f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(x2)<0.由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数.(2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2.4、思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1)可令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xxx --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x xx --)<0，即 f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数5、（1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=（2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)0f -= 令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。
6、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<37、（1）解：令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒= （2）任取1212,,x x R x x ∈<且,则21211121112111()()[()]()()()()()22f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-++-=-+=211()02f x x -+>∴12()()f x f x <∴函数()f x 是R 上的单调增函数.8、(1)解: ∵对任意x R ∈,有()f x >0, ∴令0,2x y ==得,2(0)[(0)](0)1f f f =⇒= (2)任取任取1212,,x x R x x ∈<且,则令112211,33x p x p ==,故12p p < ∵函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >∴1212121111()()()()[()][()]3333p p f x f x f p f p f f -=-=-0>∴12()()f x f x >∴函数()f x 是R 上的单调减函数.9、解： (1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=•∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =, ∵当0x > 时,0()1f x <<∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-•⇒==>-- (2)证明: 任取1212,,x x R x x ∈<且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-•-211[()1]()f x x f x =--∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x > ∴函数()f x 是R 上的单调减函数.10、(1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f ⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤。