对策试题电子教案

对策论
一 选择题
1 关于矩阵对策，下列说法错误的是（D ） A ．矩阵对策的解可以不是唯一的
B ．对任一矩阵对策{}12G=S ,S ;A ，一定存在混合策略意义下的解
C ．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都意味着自己更少的赢得和更大的损失
D ．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人Ⅰ的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值
2 若某一矩阵对策之对策矩阵-61-8324A=9-1-10-306⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则对策值为（A ） A.2 B.-8 C.-3 D.1 3.关于矩阵对策，下列说法不正确的是 （A ）
A.矩阵对策中，如果最优解要求一个局中人采取纯策略，则另一局中人也必须采取纯策略
B.在二人有限零和对策的认一局势中，两个局中人的得失之和为零
C.矩阵对策的对策值是唯一的
D.如果矩阵对策存在最优纯策略意义下的解，则决策问题中必存在一个鞍点 4．下列选项中不是对策行为的基本要素的是（C ） A.策略集 B.赢得函数 C.鞍点 D.局中人
5．矩阵对策11122122a
a A=a a ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦的鞍点不存在条是有一条对角线的每一个元素均大于另一条对角线上的每一个元素的（D ）
A.非充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.充要条件 计算题
1.甲、乙两个儿童玩游戏，双方可分别出拳头（代表石头）、手掌（代表布）、两个手指（代表剪刀），规则是石头赢剪刀，布赢石头，剪刀赢布，赢者得一分。

若双方所出的相同算和局 均不得分。

试列出儿童甲的赢得矩阵。

解：儿童甲的赢得矩阵为
0-11A=10-1-110⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
2甲、乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的手指叫出来。

如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和，否则重新开始，写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法比其他出法更为有利。

解答：甲乙二人的 策略集合均为{出1猜1，出1猜2，出2猜1，出2猜2}。

根据题意，甲的赢得矩阵为
02-30-2003A=300-40-340⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为max min ij j
i
a =-2 ，min max ij j
i
a =2 ，max min ij j
i
a ≠min max ij j
i
a ，所以局中人不存
在某种出法比其他出法更为有利。

3 证明：
（1）若11i j (,)αβ和22i j (,)αβ是对策G 的两个解，则11i j α=22i j α；
（2）若11i j (,)αβ和22i j (,)αβ是对策G 的两个解，则12i j (,)αβ和21i j (,)αβ也是对策G 的两个解。

证明：（1）（用反证法）。

不妨令1122i i j j αα> ，则Ⅰ会选择1i α而不会选2i α ，相应地Ⅱ会选择1j β而不选
2
j β，从而2
2
i j (,)αβ不是G 的解，同理，若11
22
i i j j αα<，则11
i j (,)αβ不是G 的解。

这与已知条件矛盾，故必有11i j α=22i j α。

证毕。

（2）由于11i j (,)αβ和22i j (,)αβ是对策G 的两个解，所以11i j α=22i j α且
11
12
22
22
2111i i i i
i i ,j j j j j j αααααα≤≤≤≤，从而12221121i i i i j j j j αααα=== 。

再由11i j (,)αβ和22i j (,)αβ是对策G 的两个解可知，11112222i i i i i i ,j j j j j j αααααα≤≤≤≤从而1212121i i i i i i ,j j j j j j αααααα≤≤≤≤ ，故12i j (,)αβ和21i j (,)αβ也是对策G 的两个解。

证毕。

4.求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵A 分别为
（1）2124148523--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2）221344216⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）2721223435442316⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4）9318065467243385622132354⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因为max min j
i
ij a =min max ij j
i
a =1 ，所以G 的解为（2a ，1β），1G V =。

（2）根据赢得矩阵，有
max min j
i
ij a =min max ij j
i
a =3，所以G 的解为（2a ，1β），G V =3
（3）根据赢得矩阵，有
max min j
i
ij a =min max ij j
i
a =3，所以G 的解为（3a ，1β），G V =3
（4）根据赢得矩阵，有
max min j
i
ij a =min max ij j
i
a =4，所以G 的解为（2a ，3β），G V =4
5.利用优超原则求解下列矩阵对策
（1）1
034-1
401A=22230
411⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）3
40305
0259A=7
39594687660883⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：（1）原矩阵对策的解为（3a ，1β），G V =2。

（2）由于第3行优超于第2行，第4行优超于第1行，故可划去第1、2行，得
到新的赢得矩阵
173959A 4687860883⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
对于1A ，第2列优超于第3、4、5列，故可去掉第3、4、5列，得到
273A 4660⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
； 对于2A ，第1行优超于第3行，故可划去第3行，得到 373A 46⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
易知3A 没有鞍点，故求解 343434
74361x x v x x v x x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 121212
73461y y v y y v y y +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
得*313x =，*423x =，*112y =，*21
2
y = , v =5
所以原矩阵对策的一个解为**12110,0,,,0,,,0,0,03322T T
x y ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，G V =5
6．设G 为22⨯对策，且不存在鞍点，证明若***1
2(,)x x x =和***
12(,)y y y =是G 的解，则
*0i x > i=1,2
*0j y > j=1,2
证明：用反证法。

不妨令*1x =0，则*2x =1。

此时，若2122a a ≥，则*1y =0，*
2y =1，即G 存在鞍点，最优纯策略为22(,)αβ；若2122a a <，则*1y =1，*2y =0，即G 存在
鞍点，最优纯策略为21(,)αβ。

这与G 不存在鞍点相矛盾，从而必有*0i x > i=1,2；
*0j y > j=1,2。

证毕。

7．在两人零和对策G 中，局中人Ⅰ和Ⅱ分别有四种和两种策略可供选择。

局中
故所求的解为：Ⅰ分别以0，13，0，23的概率使用策略1，2，3，4，Ⅱ分别以2
3
，
13的概率使用策略1，2；此时Ⅰ的期望赢得为13。

8.甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额。

甲企业的策略措施有（1）降低产品价格；（2）提高产品质量，延长保修年限；（3）推出新产品。

乙企业考虑的策略措施有：（1）增加广告费用；（2）增设维修网点，扩大维修服
务；（3）改进产品性能。

假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两家企业的市场份额变动情况如下表所示（正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额）。

试通过对策分析，确定两个企业最优的策略。

解：根据赢得矩阵，有
因为max min
j
i
ij
a=min max
ij
j i
a=5，所以G的角为（3,3），
G
V 5，即甲企业的最优
策略是“推出新产品”；乙企业的最优策略是“改进产品性能”。