2016年高考全国1卷理数试题(解析版)

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高考总复习理数(人教版)第02章函数的概念与基本初等函数第7节函数的图象

高考总复习理数(人教版)第02章函数的概念与基本初等函数第7节函数的图象

第七节 函数的图象考点高考试题考查内容核心素养函数的图象2016·全国卷Ⅰ·T7·5分 已知函数解析式判断函数的图象 数学运算 逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T12·5分 利用函数的图象和性质求值数学运算 逻辑推理 2015·全国卷Ⅱ·T10·5分 判断函数图象 数学运算 数学建模 2014·全国卷Ⅰ·T6·5分判断函数图象数学运算 数学建模命题 分析本节内容在高考中的考查形式有两种:一种是给出函数解析式判断函数图象;一种是函数图象的应用.1.利用描点法作函数的图象 方法步骤:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等); (4)描点连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换:(2)伸缩变换:(3)对称变换:y =f (x )――→关于x 轴对称y =-f (x );y =f (x )――→关于y 轴对称y =f (-x ); y =f (x )――→关于原点对称y =-f (-x ). (4)翻折变换:y =f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图,保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y =f (|x |); y =f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去 y =|f (x )|. 提醒:(1)辨明三个易误点①图象左右平移仅仅是相对x 而言的,即发生变化的只是x 本身,利用“左加右减”进行操作.如果x 的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.②图象上下平移仅仅是相对y 而言的,即发生变化的只是y 本身,利用“上加下减”进行操作.但平时我们是对y =f (x )中的f (x )进行操作,满足“上加下减”.③要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别. (2)会用两种数学思想 ①数形结合思想借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图象,还可以判断方程f (x )=g (x )的解的个数、求不等式的解集等.②分类讨论思想画函数图象时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图象.1.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y =f (1-x )的图象,可由y =f (-x )的图象向左平移1个单位得到.( ) (2)函数y =f (x )的图象关于y 轴对称即函数y =f (x )与y =f (-x )的图象关于y 轴对称.( )(3)当x ∈(0,+∞)时,函数y =f (|x |)的图象与y =|f (x )|的图象相同.( )(4)若函数y =f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),则函数f (x )的图象关于直线x =1对称.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材习题改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )解析:选C 距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故第一段是直线段,途中停留时距离不变,最后一段加速,最后的直线段比第一段下降得快,故应选C.3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+ln x ,x ≥1,x 3,x <1,则f (x )的图象为( )解析:选A 由题意知函数f (x )在R 上是增函数,当x =1时,f (x )=1,当x =0时,f (x )=0,故选A.4.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a =________. 解析:因为 f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),所以4=a ×(-1)3-2×(-1),解得a =-2.答案:-25.(2018·大同检测)若关于x 的方程|x |=a -x 只有一个解,则实数a 的取值范围是________.解析:在同一个坐标系中画出函数y =|x |与y =a -x 的图象,如图所示.由图象知当a >0时,方程|x |=a -x 只有一个解.答案:(0,+∞)作函数的图象 [明技法]画函数图象的2种常用方法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.[提能力]【典例】 分别作出下列函数的图象. (1)y =2x +2;(2)y =x +2x -1.解:(1)将y =2x 的图象向左平移2个单位.图象如图①所示.(2)因为y =1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y =x +2x -1的图象,如图②.① ②[母题变式] 将本例(2)的函数变为“y =x +2x +3”,函数的图象如何?解: y =x +2x +3=1-1x +3,该函数图象可由函数y =-1x 向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如图所示.[刷好题](金榜原创)分别画出下列函数的图象: (1)y =|lg x |;(2)y =sin|x |.解:(1)∵y =|lg x |=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x ≥1,-lg x ,0<x <1.∴函数y =|lg x |的图象,如图①.(2)当x ≥0时,y =sin|x |与y =sin x 的图象完全相同,又y =sin|x |为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图②.函数图象的识别与辨析[明技法]识辨函数图象的入手点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数y=sin 2x1-cos x的部分图象大致为()(2)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P 所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()解析:(1)选C 令f (x )=sin 2x1-cos x ,∵f (1)=sin 21-cos 1>0,f (π)=sin 2π1-cos π=0,∴排除选项A ,D.由1-cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z ), 故函数f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (-x )=sin (-2x )1-cos (-x )=-sin 2x1-cos x=-f (x ),∴f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项B.故选C.(2)选D 方法一 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD 的周长为8,AB =x ,则AD =8-2x2=4-x ,所以y =x (4-x )-π4=-(x -2)2+4-π4(1≤x ≤3),显然该函数的图象是二次函数图象的一部分, 且当x =2时,y =4-π4∈(3,4),故选D.方法二 在判断出点P 的轨迹后,发现当x =1时,y =3-π4∈(2,3),故选D.[刷好题]1.下列四个函数中,图象如图所示的只能是( )A .y =x +lg xB .y =x -lg xC .y =-x +lg xD .y =-x -lg x解析:选B 特殊值法:当x =1时,由图象知y >0,而C ,D 中y <0,故排除C ,D ;又当x =110时,由图象知y >0,而A 中y =110+lg 110=-910<0,排除A.故选B.2.函数y =sin x 2的图象是( )解析:选D 排除法:由y =sin x 2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A ,C ;当x =π2时,y =sin ⎝⎛⎭⎫π22=sin π24≠1,排除B.故选D. 3.如图,矩形ABCD 的周长为4,设AB =x ,AC =y ,则y =f (x )的大致图象为( )解析:选C 方法一 由题意得y =x 2+(2-x )2=2x 2-4x +4,x ∈(0,2)不是一次函数,排除A 、B.当x →0时,y →2,故选C.方法二 由法一知y =2(x -1)2+2在(0,1]上是减函数,在[1,2)上是增函数,且非一次函数,故选C.函数图象的应用 [析考情]函数图象的应用是每年高考的必考内容,多以选择题、填空题的形式出现,考查两图象的交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等,难度中档或偏上.[提能力]命题点1:利用图象研究函数的性质【典例1】 (2018·长春质检)已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B .f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1) C .f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1) D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)解析:选C 将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察图象可知,函数f (x )的图象关于原点对称,故函数f (x )为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.命题点2:方程的根或函数图象的零点【典例2】 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,x >0,2|x |,x ≤0,则方程2f 2(x )-3f (x )+1=0的解的个数为________.解析:方程2f 2(x )-3f (x )+1=0的解为f (x )=12或f (x )=1.作出y =f (x )的图象,由图象知直线y =12与函数y =f (x )的图象有2个公共点;直线y =1与函数y =f (x )的图象有3个公共点.故方程2f 2(x )-3f (x )+1=0有5个解.答案:5命题点3:利用图象求不等式的解集【典例3】 设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数且f (1)=0,则不等式f (x )-f (-x )x <0的解集为( )A .(-1,0)∪(1,+∞)B .(-∞,-1)∪(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-1,0)∪(0,1)解析:选D f (x )为奇函数,所以不等式f (x )-f (-x )x <0化为f (x )x <0,即xf (x )<0,f (x )的大致图象如图所示.所以xf (x )<0的解集为(-1,0)∪(0,1).命题点4:利用函数图象的对称性解题【典例4】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =x +1x 与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1m(x i +y i )=( )A .0B .mC .2mD .4m解析:选B 由f (-x )=2-f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称,又易知y =x +1x =1+1x 的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x 1+x m =x 2+x m -1=…=0,y 1+y m =y 2+y m -1=…=2,∴∑i =1m(x i +y i )=0×m 2+2×m2=m .故选B.命题点5:利用函数图象求参数的取值范围【典例5】 函数f (x )的定义域为R ,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x -1,x ≤0,f (x -1),x >0,若方程f (x )=x +a 有两个不同实根,则a 的取值范围是________.解析:当x ≤0时,f (x )=2-x -1,当0<x ≤1时,-1<x -1≤0,f (x )=f (x -1)=2-(x -1)-1.当1<x ≤2时,-1<x -2≤0,f (x )=f (x -1)=f (x -2)=2-(x -2)-1.故x >0时,f (x )是周期函数,如图,欲使方程f (x )=x +a 有两解,即函数f (x )的图象与直线y =x +a 有两个不同交点,故a <1,则a 的取值范围是(-∞,1).答案:(-∞,1) [悟技法]函数图象应用中的几个问题(1)利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应定义域;上下范围对应值域;上升、下降趋势对应单调性;对称性对应奇偶性.(2)有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解.(3)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值.[刷好题]1.(2018·潍坊检测)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则函数y =f (x )-log 3|x |的零点个数是( )A .多于4个B .4个C .3个D .2个解析:选B 因为偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,故当x ∈[-1,0]时,f (x )=-x .函数y =f (x )-log 3|x |的零点的个数等于函数y =f (x )的图象与函数y =log 3|x |的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数y =f (x )的图象与函数y =log 3|x |的图象,如图所示,函数y =f (x )的图象与函数y =log 3|x |的图象有4个交点,故选B.2.(2018·滁州质检)设函数f (x )=|x +a |,g (x )=x -1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:如图,要使f (x )≥g (x )恒成立,则-a ≤1,∴a ≥-1.答案:[-1,+∞)3.设函数y =2x -1x -2,关于该函数图象的命题如下:①一定存在两点,这两点的连线平行于x 轴; ②任意两点的连线都不平行于y 轴; ③关于直线y =x 对称;④关于原点中心对称.其中正确的是________.解析:y =2x -1x -2=2(x -2)+3x -2=2+3x -2,图象如图所示.可知②③正确.答案:②③。

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析:写出,然后可得结果详解:由题可得,令,则,所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________.【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项,再根据项的次数为零解得r,代入即得结果.详解:二项式的展开式的通项公式为,令得,故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中,的系数为____________. 【答案】决问题的关键.4.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为,所有项的系数的绝对值之和为,则的最小值为()A. 2B.C.D.【答案】B5.【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________.【答案】-132【解析】分析:由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式,然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解:的展开式为:,当,时,,当,时,,据此可得:展开式中项的系数为.6.【2017课标1,理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=,621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=,故2x 前系数为151530+=,选C.情况,尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3,理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A .80-B .40-C .40D .80【答案】C 【解析】8.【2017浙江,13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++,则4a =________,5a =________.【答案计数.9.【2017山东,理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54,则n = . 【答案】4【解析】试题分析:由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅,令2r =得:22C 354n ⋅=,解得4n =.【考点】二项式定理10.【2015高考陕西,理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .4B .5C .6D .7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =,令2r =得2x 的系数是2C n ,因为2x 的系数为15,所以2C 15n =,即2300n n --=,解得:6n =或5n =-,因为n +∈N ,所以6n =,故选C . 【考点定位】二项式定理.【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理,即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =. 11.【2015高考新课标1,理10】25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为( )(A )10 (B )20 (C )30 (D )60 【答案】C12.【2015高考湖北,理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.122 B .112 C .102D .92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以73nn C C =,解得10=n ,所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆,理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==,令71582k-=,解得2k =,因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东,理9】在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为 . 【答案】6.【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-,令412r-=解得2r =,所以展开式中x 的系数为()22416C -=,故应填入6.【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津,理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中,2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由622r -=得2r =,所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2,理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =__________. 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++,故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ,34ax ,x ,36x ,5x ,其系数之和为441+6+1=32a a ++,解得3a =.【考点定位】二项式定理.17.【2015高考湖南,理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30,则a =( )B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海,理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为(结果用数值表示). 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2x 项只能在10(1)x +展开式中,即为8210C x ,系数为81045.C =19.(2016年北京高考)在6(12)x -的展开式中,2x 的系数为__________________.(用数字作答)【答案】60.20.(2016年山东高考)若(a x 25的展开式中x 5的系数是—80,则实数a =_______. 【答案】-221.(2016年上海高考)在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________ 【答案】11222.(2016年四川高考)设i 为虚数单位,则6(i)x +的展开式中含x 4的项为(A )-15x 4 (B )15x 4 (C )-20i x 4 (D )20i x 4 【答案】A23.(2016年天津高考)281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.(2016年全国I 高考)5(2x +的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10。

2016高考全国1数学试卷及解析

2016高考全国1数学试卷及解析

2016高考全国1数学试卷及解析2016年高考全国1卷数学试卷及解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1. 题干解析:答案和解析2. 题干解析:答案和解析3. 题干解析:答案和解析4. 题干解析:答案和解析5. 题干解析:答案和解析6. 题干解析:答案和解析7. 题干解析:答案和解析解析:答案和解析9. 题干解析:答案和解析10. 题干解析:答案和解析11. 题干解析:答案和解析12. 题干解析:答案和解析二、非选择题(共8小题,每小题10分,共80分)13. 题干解析:答案和解析14. 题干解析:答案和解析15. 题干解析:答案和解析解析:答案和解析17. 题干解析:答案和解析18. 题干解析:答案和解析19. 题干解析:答案和解析20. 题干解析:答案和解析综合题(共4小题,每小题15分,共60分)21. 题干解析:答案和解析22. 题干解析:答案和解析23. 题干解析:答案和解析解析:答案和解析本文为2016年高考全国1卷数学试卷及解析,主要回顾了该试卷的选择题和非选择题部分,同时提供了答案和解析。

本文按照试卷的结构分为三个部分:选择题、非选择题和综合题。

在选择题部分,共有12道题目,每题5分,总分60分;非选择题部分共有8道题目,每题10分,总分80分;综合题部分共有4道题目,每题15分,总分60分。

在解析部分,对每一道题目都提供了详细的解答过程和答案,以帮助考生更好地理解和掌握相应的解题方法。

整篇文章以简洁美观的排版和流畅的语句呈现,以保证读者的阅读体验。

总的来说,本文通过对2016年高考全国1卷数学试卷的回顾和解析,旨在帮助考生更好地了解考试内容和解题思路,为备战高考提供实际的帮助和指导。

希望本文能为广大考生带来实际的帮助,并祝愿大家在高考中取得好成绩!。

解析几何专题含答案

解析几何专题含答案

椭圆专题练习1.【2017浙江,2】椭圆22194x y +=的离心率是A .13B .5 C .23D .592.【2017课标3,理10】已知椭圆C :22221x y a b+=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为 A .63B .33C .23D .133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则()A .m >n 且e 1e 2>1B .m >n 且e 1e 2<1C .m <n 且e 1e 2>1D .m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,,A B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为() (A )13(B )12(C )23(D )345.【2015高考新课标1,理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.,6.【2016高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点,直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是.7.【2017课标1,理20】已知椭圆C :2222=1x y a b+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.8.【2017课标II ,理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2212x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =。

导数与函数的极值、最值问题(解析版)

导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景:一般函数类型解题模板:第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ;第二步求方程'()0f x =的根;第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=,求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1,无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令'()0f x =,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性,进而求出函数()f x 的极大值和极小值. 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则(2)f 等于() A .11或18B .11C .18D .17或18 【答案】C 【解析】试题分析:b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33b a .?当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值.?当⎩⎨⎧-==114b a 时,)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ,0)(),1,311(<'-∈∴x f x ;0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意.所以⎩⎨⎧-==114b a .181622168)2(=+-+=∴f .故选C .考点:函数的单调性与极值.【变式演练2】设函数()21ln 2f x x ax bx =--,若1x =是()f x 的极大值点,则a 的取值范围为()A .()1,0-B .()1,-+∞C .()0,+∞D .()(),10,-∞-+∞【答案】B 【解析】考点:函数的极值. 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值,则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析:因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=, 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+,由()'0f x =得2x =或1x m =-,又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值,而()20,4∈,所以只有12m -=,3m =时,()f x 在R 上单调,才合题意,故答案为3.考点:1、利用导数研究函数的极值;2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+,则32()21f x x kx x =--+的极大值为() A .2B .52C .3D .72【答案】B 【解析】考点:1、等比数列的性质;2、利用导数研究函数的单调性及极值.【变式演练5】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ,2x ,且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立,则实数a 的取值范围是.【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析:因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+>,故()12122133x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤,因此,当1a ≤-或122a ≤≤时,不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦.考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内,则实数a 的取值范围是.2a << 【解析】考点:导数与极值.类型二求函数在闭区间上的最值使用情景:一般函数类型解题模板:第一步求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点;第二步计算函数()f x 在极值点和端点的函数值;第三步比较其大小关系,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.例2若函数()2x f x e x mx =+-,在点()()1,1f 处的斜率为1e +. (1)求实数m 的值;(2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值. 【答案】(1)1m =;(2)()max f x e =. 【解析】试题分析:(1)由(1)1f e '=-解之即可;(2)()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=,所以函数在区间0[1,]x -上单调递减,在区间0[,1]x 上单调递增,所以()()(){}max max 1,1f x f f =-,求之即可.试题解析:(1)()2x f x e x m '=+-,∴()12f e m '=+-,即21e m e +-=+,解得1m =; 实数m 的值为1;(2)()21x f x e x '=+-为递增函数,∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,存在[]01,1x ∈-,使得()00f x '=,所以()()(){}max max 1,1f x f f =-,()()112,1f e f e --=+=,∴()()max 1f x f e ==考点:1.导数的几何意义;2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题,属中档题;导数的几何意义是拇年高考的必考内容,考查题型有选择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题,常有以下几个命题角度:已知切点求切线方程、已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练7】已知xe x xf 1)(+=. (1)求函数)(x f y =最值;(2)若))(()(2121x x x f x f ≠=,求证:021>+x x .【答案】(1))(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ,无最小值;(2)详见解析. 【解析】试题解析:(1)对)(x f 求导可得x x x x e xe e x e xf -=+-='2)1()(, 令0)(=-='x exx f 得x=0. 当)0,(-∞∈x 时,0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增; 当),0(+∞∈x 时,0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减, 当x=0时,)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ,无最小值. (2)不妨设21x x <,由(1)得当)0,(-∞∈x 时,0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增;当),0(+∞∈x 时,0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减, 若)()(21x f x f =,则210x x <<,考点:1.导数与函数的最值;2.导数与不等式的证明. 【变式演练7】已知函数()ln f x x x =,2()2g x x ax =-+-. (Ⅰ)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值;(Ⅱ)若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1212,()x x x x <且21ln 2x x ->,求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩,;(Ⅱ)2ln 2ln 2ln()133a >--. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由'()ln 10f x x =+=,得极值点为1x e =,分情况讨论10t e <<及1t e≥时,函数)(x f 的最小值;(Ⅱ)当函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点,即'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1212,()x x x x <,问题等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点,由)(x G 单调性结合函数图象可知当min 1()()ln 22a G x G >==时,12,x x 存在,且21x x -的值随着a 的增大而增大,而当21ln 2x x -=时,由题意1122ln 210ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩,214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==,此时实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--.试题解析:(Ⅰ)由'()ln 10f x x =+=,可得1x e=,∴①10t e <<时,函数()f x 在1(,)t e 上单调递减,在1(,2)t e+上单调递增,∴函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值为11()f e e=-,②当1t e≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ∴==,min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩,; 两式相减可得1122ln2()2ln 2x x x x =-=- 214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==,此时2ln 2ln 2ln()133a =--,所以,实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--;考点:导数的应用.【变式演练8】设函数()ln 1f x x =+. (1)已知函数()()2131424F x f x x x =+-+,求()F x 的极值; (2)已知函数()()()()2210G x f x ax a x a a =+-++>,若存在实数()2,3m ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,求实数a 的取值范围.【答案】(1)极大值为0,极小值为3ln 24-;(2)()1ln 2,-+∞.【解析】()(),'F x F x 随x 的变化如下表:当1x =时,函数()F x 取得极大值()10F =;当2x =时,函数()F x 取得极小值()32ln 24F =-.③当112a <,即12a <时,函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增,在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,要存在实数()2,3x ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,则()122G G a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,代入化简得()()1ln 2ln 2104a a ++->*.令()()11ln 2ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭,因()11'104g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立,故恒有()111ln 20,222g a g a ⎛⎫>=->∴> ⎪⎝⎭时,()*式恒成立;综上,实数a 的取值范围是()1ln 2,-+∞.考点:函数导数与不等式. 【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;(Ⅰ)'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+. (i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点.(ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点.(iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-.若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞.(Ⅱ)不妨设12x x <,由(Ⅰ)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<.由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--. 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<. 考点:导数及其应用2.【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. (I )讨论()f x 的单调性;(II )当1a =时,证明()3()'2f x f x +>对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析 【解析】试题分析:(Ⅰ)求()f x 的导函数,对a 进行分类讨论,求()f x 的单调性;(Ⅱ)要证()3()'2f x f x +>对于任意的[]1,2x ∈成立,即证23)()(/>-x f x f ,根据单调性求解.(1)20<<a ,12>a, 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时,0)(/>x f ,)(x f 单调递增; 当x ∈)2,1(a时,0)(/<x f ,)(x f 单调递减; (2)2=a 时,12=a,在x ∈),0(+∞内,0)(/≥x f ,)(x f 单调递增; (3)2>a 时,120<<a, 当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时,0)(/>x f ,)(x f 单调递增;当x ∈)1,2(a时,0)(/<x f ,)(x f 单调递减. 综上所述,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1=a 时,23312ln 1x x x x x=-++--,]2,1[∈x , 令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ,]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-, 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ,当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=, 设623)(2+--=x x x ϕ,则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减,因为10)2(,1)1(-==ϕϕ,考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==. (1)求方程()2f x =的根;(2)若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值;(3)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值。

2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)

2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区:山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分. 考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3. 考试结束,监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2430={|}A x x x -+<,3{}0|2x B x ->=,则A B =( ) A .3(3,)2--B .3(3,)2-C .3(1,)2D .3(,3)22.设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则|i |x y +=( )A .1 BCD .23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =( )A .100B .99C .98D .974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .13 B .12 C .23D .345.已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A .(1,3)-B.(1-C .(0,3)D.6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 ( )A .17πB .18πC .20πD .28π7.函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为( )ABC D 8. 若0a b >>,01c <<,则( )A .cca b <B .ccab ba > C .alog log b a c b c <D .log log a b c c<9.执行右面的程序框图,如果输入的0x =,1y =,1n =,则输出x ,y 的值满足( )A .2y x =B .3y x =C .4y x =D .5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点,已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .811.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,//α平面11CB D ,α平面=ABCD m ,α平面11=ABB A n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A B CD .1312.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5(,)1836ππ单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a (,1)m =,b (1,2)=,且|a +b ||2=a ||2+b 2|,则m = . 14.5(2x 的展开式中,3x 的系数是 (用数字填写答案).15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则12n a a a …的最大值为 . 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. (Ⅰ)求C ;(Ⅱ)若c =ABC △,求ABC △的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60. (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率,记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数,n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19与n =20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ,直线l 过点(10)B ,且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ)证明||||EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)设1x ,2x 是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲如图,OAB △是等腰三角形,120AOB ∠=.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与⊙O 相切;(Ⅱ)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB CD ∥.23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. (Ⅰ)说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .24.(本小题满分10分),选修45-:不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. (Ⅰ)在图中画出()y f x =的图象; (Ⅱ)求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<,{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭,故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+,x xi 1yi ∴+=+,即x 1x y =⎧⎨=,解得x 1y 1=⎧⎨=,即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列,又10a 8=,【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双,方【解析】f (x)y =时,y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4.【提示】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【考点】圆与圆锥曲线的综合,抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图,α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA,11CB D △60,则m 32.【提示】画出图形,判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=,即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数,f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调,πππ361812-=时,11π4-+π2ϕ≤,9π4-+ϕ,π2ϕ≤,ω【答案】2-222a b a b +=+,可得a b 0=,向量a (m,1)=,b (1,2)=,n123n (q++++-…6264==.【提示】设A ,B 两种产品分别是标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可.【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】(Ⅰ)在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2,(a ∴的周长为5+(Ⅰ)A BEF 为正方形,AFD 90∠=,A F DF ∴⊥,DF EF F =,AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF (Ⅱ)由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠.A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ,EB (0,2a,0)∴=,a BC ,⎛= ,AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=,则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩,则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩,则,取n (0,3,4)=的大小为θ,m n |m ||n |31316==++【提示】(Ⅰ)证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ;(Ⅱ)证明四边形EFDC 为等腰梯形,4040=1EX EX <解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时,S 取得最小值12,又10>,可得3S 24833<=【提示】(Ⅰ)求得圆A EB ED =,再由圆的定义和椭圆的定义,b ,c ,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l :x my =+0)1x ,2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时,e 1,OA OB =120,OK ∴30,1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切;D 四点所在圆的圆心,设四点所在圆的圆心,OA OB =的中垂线,∴AB 中点,连结30,1OK OAsin30OA 2=曲线如图:(Ⅱ)由f (x)1>,可得,当3当x ≥时,4x 1->,解得x 5>或x 3<,即有x 3≤<或x 5>.(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f (x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所。

2016年高考理科数学全国1卷,附答案

2016年高考理科数学全国1卷,附答案

2016 年高考数学全国 1 卷(理科)一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,每小题只有一项是符合题目要求的.9.执行如图的程序框图,如果输入的x=0, y=1,n=1,则输出x ,y 的值满足()2﹣4x+3<0} ,B={x|2x ﹣3>0} ,则 A ∩B=()1.设集合 A={x| x A .(﹣3,﹣)B .(﹣3, ) C.(1, )D .( ,3)2.设( 1+i )x=1+yi ,其中 x ,y 是实数,则 |x+yi|= ( ) A .1B.C.D. 23.已知等差数列 {a n } 前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a100=( )A .100B.99C.98D. 97 4.某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A .y=2xB .y=3xC . y=4xD.y=5x A .B.C .D .10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点,交 C 的准线于 D 、 E 两点.已知 |AB|=4,|DE|=2 ,则 C 的焦 点到准线的距离为( ) 5.已知方程﹣=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( )A .2B.4C.6D.8A .(﹣1, 3) B .(﹣1, )C .( 0,3)D.( 0,)11.平面 α过正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ,α ∥平面 CB 1D 1,α ∩平面 ABCD=,m α ∩平面 ABB 1A 1=n ,则 m 、n所成角的 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,正弦值为( ) 则它的表面积是()A .B.C.D .12.已知函数 f (x )=sin ( ωx+φ)(ω>0,| φ| ≤ ), x=﹣为 f ( x )的零点, x= 为 y=f (x )图象的对称轴, 且 f ( x )在(, )上单调,则 ω 的最大值为() A .17πB . 18πC .20πD .28πA .11B.9C.7D. 57.函数y=2x2﹣e |x|在[﹣2,2] 的图象大致为()二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分 .13.设向量=(m , 1), =(1,2),且 |+ | 2=| | 2+| | 2,则m= .14.(2x+)5 的展开式中, x 3 的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列 {a n } 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2⋯ a n 的最大值为.A .B .C .D .16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg ,乙材料 1kg ,用 5 8.若 a >b >1,0<c <1,则()个工时;生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg ,乙材料 0.3kg ,用 3 个工时,生产一件产品A 的利润为 2100 元,生产一件 A .ac <b c B .ab c <ba c C .alogc <b c B .ab c <ba c C .alogb c <blog a c D .log a c <log b c产品B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg ,乙材料 90kg ,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.第 1页共 9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理三、解答题:本大题共 5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或步骤.19.(12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器演算外时,可以额17.(12 分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,整理集并(Ⅰ)求C;应同时购买几个易损零件,为此搜状图:得如图柱以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示 2 台机器三年内共需更为,求△ABC的周长.(Ⅱ)若c= ,△ABC的面积换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5 ,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19 与n=20 之中选其一,应选用哪个?18.(12 分)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DE与二面角C﹣B E﹣F都是60°.A F﹣﹣(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;A的余弦值.B C﹣(Ⅱ)求二面角E﹣第2页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师20.(12 分)设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆 A 于C,D两点,过 B 作2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D两点,过 B 作21.(12 分)已知函数 f (x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)x+a(x﹣1)2 有两个零点.AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)求 a 的取值范围;(Ⅰ)证明|EA|+|EB| 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(Ⅱ)设x1,x2 是f (x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l 交C1 于M,N两点,过 B 且与l 垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.第 3 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. [ 选修4-5 :不等式选讲]24.已知函数 f (x)=|x+1| ﹣|2x ﹣3| .[ 选修4-1 :几何证明选讲] (Ⅰ)在图中画出y=f (x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x)| >1 的解集.22.(10 分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.[ 选修4-4 :坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1 的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1 是哪种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足tan α0=2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,求a.第 4 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理2016 年高考数学全国 1 卷(理科)参考答案与试题解析7.【解答】 解:∵ f (x )=y=2x 2﹣e |x| ,∴ f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |x| ,∴ f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |﹣x | =2x 2﹣e |x| ,故函数为偶函数, 一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2 2 x当 x=±2 时, y=8﹣e ∈( 0,1),故排除 A ,B ; 当 x ∈[0 , 2] 时, f (x ) =y=2x ﹣e ,1.【解答】 解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}= (1,3),B={x|2x ﹣3>0}= ( ,+∞),∴ f ′( x )=4x ﹣e x =0 有解,故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ,2] 不是单调的,故排除 C ,x =0 有解,故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ,2] 不是单调的,故排除 C ,故选: D∴A ∩B=( ,3),故选: D8.【解答】 解:∵ a >b >1,0< c <1,2.【解答】 解:∵( 1+i ) x=1+yi ,∴ x+xi=1+yi ,即,解得,即 |x+yi|=|1+i|=,∴函数 f (x) =x c 在( 0,+∞)上为增函数,故 a c >b c ,故 A 错误;c 在( 0,+∞)上为增函数,故 a c >b c ,故 A 错误; 故选: B .函数 f (x )=x c ﹣1 在( 0,+∞)上为减函数,故 a c ﹣1<b c ﹣1,故 ba c <ab c,即 ab c >ba c ;故 B 错误; c ﹣1 在( 0,+∞)上为减函数,故 a c ﹣1<b c ﹣1,故 ba c <ab c ,即 ab c >ba c ;故 B 错误;log a c <0,且 log b c <0,log a b < 1,即= <1,即 log a c >log b c .故 D 错误;3.【解答】 解:∵等差数列 {a n }前 9 项的和为 27,S 9===9a 5 .0<﹣l og a c <﹣l og b c ,故﹣b log a c <﹣a log b c ,即 blog a c >alog b c ,即 alog b c <blog a c ,故 C 正确;∴9a 5=27,a 5 =3,又∵ a 10=8,∴ d=1,∴ a 100=a 5+95d=98,故选: C故选: C4. 【解答】 解:设小明到达时间为y ,当 y 在 7: 50 至 8:00,或 8:20 至 8:30 时,9.【解答】 解:输入x =0,y=1,n=1,则x =0,y=1,不满足x2+y 2≥ 36,故 n=2,2+y 2≥ 36,故 n=2,小明等车时间不超过10 分钟,故 P= = ,故选: B则x= ,y=2,不满足x 2+y 2≥ 36,故 n=3,则x = ,y=6,满足x 2+y 2≥ 36,故 y=4x ,2+y 2≥ 36,故 n=3,则x = ,y=6,满足x 2+y 2≥ 36,故 y=4x , 故选: C5.【解答】 解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴ c=2,当焦点在 x 轴上时,可得: 4=(m2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m2=1, 22∵方程﹣=1 表示双曲线,∴( m +n )(3m ﹣n )> 0,可得:(n+1)(3﹣n )> 0,210.【解答】 解:设抛物线为 y =2px ,如图: |AB|=4,|AM|=2 ,|DE|=2 ,|DN|= ,|ON|= ,解得:﹣1<n <3,即 n 的取值范围是: (﹣1,3).当焦点在 y 轴上时,可得:﹣4=(m 2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m 2=﹣1, 2+n )+(3m 2﹣n ),解得: m 2=﹣1, x A = = , |OD|=|OA| ,=+5,解得: p=4.C 的焦点到准线的距离为:4.无解.故选: A .故选: B .6.【解答】 解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图: 可得:=,R=2.它的表面积是:×4π?2 2+=17π.故选:A.共9 页第5页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师11.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=,mα∩平面ABA1B1=n,15.【解答】解:等比数列{a n} 满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q= .a1+q1=10,解得a1=8.2a2a可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1 是正三角形.m、n 所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n 所成角的正弦值为:.故选:A.则a1a2⋯a n=a1n?q1+2+3+⋯+(n﹣1)=8n? = = ,当n=3 或4时,表达式取得最大值:=26=64.n?q1+2+3+⋯+(n﹣1)=8n? = = ,当n=3 或4 时,表达式取得最大值:=26=64.故答案为:64.16.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x 件和y 件,获利为z 元.由题意,得,z=2100x+900y .不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y .经过 A 时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.12.【解答】解:∵x=﹣为f (x)的零点,x= 为y=f (x)图象的对称轴,故答案为:216000.∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f (x)在(,)上单调,则﹣= ≤,即T= ≥,解得:ω≤12,当ω=11 时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵| φ| ≤,∴φ=﹣,此时 f (x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9 时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵| φ| ≤,∴φ= ,此时 f (x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选: B二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共25 分.13.【解答】解:| + | 2=||2+||2,可得? =0.向量=(m,1),=(1,2),三、解答题:本大题共 5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.可得m+2=0,解得m=﹣2.故答案为:﹣2.17.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC ≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA )=sinC ,整理得:2cosCsin (A+B)=sinC ,14.【解答】解:(2x+ )r+1= =25 的展开式中,通项公式为:T5﹣r ,5 的展开式中,通项公式为:T5﹣r ,即2cosCsin (π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC ∴cosC= ,∴C= ;令5﹣=3,解得r=4 ∴x 3 的系数 2 =10.故答案为:10.3 的系数 2 =10.故答案为:10.(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab? ,∴(a+b)2+b2﹣2ab? ,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S= absinC= ab= ,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+ .第6页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理18.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,19.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF? 平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;P(X=16)=()2= ,(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为二面角D﹣A F﹣E的平面角;由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,P(X=17)= ,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF为二面角C﹣B E﹣F的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB?平面EFDC,EF? 平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=C,D AB? 平面ABCD,P(X=18)=()2+2()2= ,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,P(X=19)= = ,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),P(X=20)= = = ,∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)P(X=21)= = ,P(X=22)= ,设平面BEC的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).∴X的分布列为:X 16 17 18 19 20 21 22设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).P(Ⅱ)由(Ⅰ)知:设二面角E﹣B C﹣A的大小为θ,则cosθ= = =﹣,P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)= = .则二面角E﹣B C﹣A的余弦值为﹣.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)= + = .∴P(X≤n)≥0.5 中,n 的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)= + = .买19 个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20 个所需费用期望:EX2= +(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19 个更合适.第7页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,21.【解答】解:(Ⅰ)∵函数 f (x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,∴f ′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),x+a(x﹣1)2,∴f ′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),另一部分为备件不足时额外购买的费用,x①若a=0,那么 f (x)=0? (x﹣2)e =0? x=2,函数 f (x)只有唯一的零点2,不合题意;当n=19 时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000 ×0.08+1500 ×0.04=4040 ,②若a>0,那么e x+2a>0 恒成立,当x<1 时,f ′(x)<0,此时函数为减函数;x+2a>0 恒成立,当x<1 时,f ′(x)<0,此时函数为减函数;当n=20 时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000 ×0.4=4080 ,∴买19 个更合适.当x>1 时,f ′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1 时,函数 f (x)取极小值﹣e,x由f (2)=a>0,可得:函数 f (x)在x>1 存在一个零点;当x<1 时,e <e,x﹣2<﹣1<0,20.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0 即为(x+1)2+y2+2x﹣15=0 即为(x+1)2+y2 =16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,∴f (x)=(x﹣2)e >(x﹣2)e+a(x﹣1)x+a(x﹣1) 2x+a(x﹣1) 22=a(x﹣1)2 +e(x﹣1)﹣e,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0 的两根为t2+e(x﹣1)﹣e=0 的两根为t 1,t 2,且t 1 <t 2,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4 ,故 E 的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,则当x<t 1,或x>t 2 时,f (x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数 f (x)在x<1 存在一个零点;即函数 f (x)在R是存在两个零点,满足题意;且有2a=4,即a=2,c=1,b= = ,则点 E 的轨迹方程为+ =1(y≠0);③若﹣<a<0,则ln (﹣2a)<lne=1 ,当x<ln (﹣2a)时,x﹣1<ln (﹣2a)﹣1<lne ﹣1=0,(Ⅱ)椭圆C1:+ =1,设直线l :x=my+1,由PQ⊥l ,设PQ:y=﹣m(x﹣1),e x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即 f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即 f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,当ln (﹣2a)<x<1 时,x﹣1<0,ex +2a>e ln (﹣2a)+2a=0,由可得(3m 1,y1),N(x2,y2 ),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x 即f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故当x=ln (﹣2a)时,函数取极大值,则|MN|= ?|y 1﹣y2|= ? = ? =12? ,由f (ln (﹣2a))=[ln (﹣2a)﹣2] (﹣2a)+a[ln (﹣2a)﹣1] 2=a{[ln (﹣2a)﹣2] 2+1} <0 得:函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;A到PQ的距离为d= = ,|PQ|=2 =2 = ,④若a=﹣,则ln (﹣2a)=1,当x<1=ln (﹣2a)时,x﹣1<0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,则四边形MPNQ面积为S= |PQ| ?|MN|= ? ?12 ?即f ′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故函数 f (x)在R上单调递增,x+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故函数 f (x)在R上单调递增,函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;=24? =24 ,当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24? =8 ,⑤若a<﹣,则ln (﹣2a)>lne=1 ,当x<1 时,x﹣1<0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12 ,8 ).当1<x<ln (﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,x+2a<e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)<0 恒成立,故 f (x)单调递减,当x>ln (﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a>e ln (﹣2a)+2a=0,即f ′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0 恒成立,故 f (x)单调递增,故当x=1 时,函数取极大值,由f (1)=﹣e<0 得:函数 f (x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述, a 的取值范围为(0,+∞)第8 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理证明:(Ⅱ)∵x1,x2 是f (x)的两个零点,∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a3 ,2=0,即为 C2=0,即为 C∴f (x1)=f (x2)=0,且x1≠1,且x2≠1, 2∴1﹣a =0,∴a=1(a>0).∴﹣a= = ,令g(x)= ,则g(x1)=g(x2)=﹣a,[ 选修4-5 :不等式选讲]24.∵g′(x)= ,∴当x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减;【解答】解:(Ⅰ)f (x)= ,当x>1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)= ﹣= ,由分段函数的图象画法,可得 f (x)的图象,如右:设h(m)= ,m>0,(Ⅱ)由|f (x)| >1,可得当x≤﹣1 时,|x ﹣4| >1,解得x>5 或x<3,即有x≤﹣1;则h′(m)= >0 恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,当﹣1<x<时,|3x ﹣2| >1,解得x>1 或x<,即有﹣1<x<或1<x<;h(m)>h(0)=0 恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,当x≥时,|4 ﹣x| >1,解得x>5 或x<3,即有x>5 或≤x<3.令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)? g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)? 2﹣x1>x2,综上可得,x<或1<x<3 或x>5.则|f (x)| >1 的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).即x1+x2<2.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[ 选修4-1 :几何证明选讲]【解答】证明:(Ⅰ)设K为AB中点,连结OK,∵OA=O,B∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°= OA,∴直线AB与⊙O相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设T是A,B,C,D四点所在圆的圆心.∵OA=O,B TA=TB,∴OT为AB的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT为CD的中垂线,∴AB∥CD.[ 选修4-4 :坐标系与参数方程]【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2+(y﹣1)2=a2.∴C1 为以(0,1)为圆心,以 a 为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2+y2=ρ2,y=ρsin θ,得ρ2﹣2ρsin θ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cos θ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0 满足t an α0=2,得y=2x,∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,第9页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理。

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)2.(5 分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y 是实数,则|x+yi|=()A.1 B.C.D.23.(5 分)已知等差数列{a n}前9 项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.974.(5 分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30 发车,小明在7:50 至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是()A.B.C.D.5.(5 分)已知方程﹣=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)6.(5 分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π7.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.8.(5 分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x10.(5 分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点,交C 的准线于D、E 两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.811.(5 分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n 所成角的正弦值为()A.B.C.D.12.(5 分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω 的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.13.(5 分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=.14.(5 分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.(5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n 的最大值为.16.(5 分)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5 个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3 个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900 元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600 个工时的条件下,生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元.三、解答题:本大题共5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC 的面积为,求△ABC 的周长.18.(12 分)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°.(I)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(II)求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值.19.(12 分)某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X 的分布列;(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n 的最小值;(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19 与n=20 之中选其一,应选用哪个?20.(12 分)设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II)设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1 于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.(12 分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(I)求a 的取值范围;(II)设x1,x2 是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10 分)如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,OA 为半径作圆.(I)证明:直线AB 与⊙O 相切;(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy 中,曲线C1 的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(I)说明C1 是哪种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程;(II)直线C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足tanα0=2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,求a.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(I)在图中画出y=f(x)的图象;(II)求不等式|f(x)|>1 的解集.2016 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=()A.(﹣3,﹣)B.(﹣3,)C.(1,)D.(,3)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;4O:定义法;5J:集合.【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),B={x|2x﹣3>0}=(,+∞),∴A∩B=(,3),故选:D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.2.(5 分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y 是实数,则|x+yi|=()A.1 B.C.D.2【考点】A8:复数的模.【专题】34:方程思想;4O:定义法;5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数相等求出x,y 的值,结合复数的模长公式进行计算即可.【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,即,解得,即|x+yi|=|1+i|= ,故选:B.【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x,y 的值是解决本题的关键.3.(5 分)已知等差数列{a n}前9 项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.97【考点】83:等差数列的性质.【专题】11:计算题;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.【解答】解:∵等差数列{a n}前9 项的和为27,S9===9a5.∴9a5=27,a5=3,又∵a10=8,∴d=1,∴a100=a5+95d=98,故选:C.【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.4.(5 分)某公司的班车在7:00,8:00,8:30 发车,小明在7:50 至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是()A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【专题】5I:概率与统计.【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.【解答】解:设小明到达时间为y,当y 在7:50 至8:00,或8:20 至8:30 时,小明等车时间不超过10 分钟,故P==,故选:B.【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题.5.(5 分)已知方程﹣=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)【考点】KB:双曲线的标准方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n 的取值范围.【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,当焦点在x 轴上时,可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,∵方程﹣=1 表示双曲线,∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,解得:﹣1<n<3,即n 的取值范围是:(﹣1,3).当焦点在y 轴上时,可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,无解.故选:A.【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.6.(5 分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离.【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积.【解答】解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图:可得:=,R=2.它的表面积是:×4π•22+=17π.故选:A.【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力.7.(5 分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】27:图表型;48:分析法;51:函数的性质及应用.【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可得答案.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函数为偶函数,当x=±2 时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣e x,∴f′(x)=4x﹣e x=0 有解,故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选:D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,对于超越函数的图象,一般采用排除法解答.8.(5 分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba cC.alog b c<blog a c D.log a c<log b c【考点】R3:不等式的基本性质.【专题】33:函数思想;35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.【分析】根据已知中a>b>1,0<c<1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案.【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函数f(x)=x c在(0,+∞)上为增函数,故a c>b c,故A 错误;函数f(x)=x c﹣1 在(0,+∞)上为减函数,故a c﹣1<b c﹣1,故ba c<ab c,即ab c >ba c;故B 错误;log a c<0,且log b c<0,log a b<1,即=<1,即log a c>log b c.故D错误;0<﹣log a c<﹣log b c,故﹣blog a c<﹣alog b c,即blog a c>alog b c,即alog b c<blog a c,故C 正确;故选:C.【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性,是解答的关键.9.(5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;28:操作型;5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,y 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:输入x=0,y=1,n=1,则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2,则x=,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3,则x=,y=6,满足x2+y2≥36,故y=4x,故选:C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10.(5 分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点,交C 的准线于D、E 两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8【考点】K8:抛物线的性质;KJ:圆与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,|DE|=2,|DN|=,|ON|=,x A==,|OD|=|OA|,=+5,解得:p=4.C 的焦点到准线的距离为:4.故选:B.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力.转化思想的应用.11.(5 分)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n 所成角的正弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;35:转化思想;5G:空间角.【分析】画出图形,判断出m、n 所成角,求解即可.【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1 是正三角形.m、n 所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n 所成角的正弦值为:.故选:A.【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.(5 分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω 的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【考点】H6:正弦函数的奇偶性和对称性.【专题】35:转化思想;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质.【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12,结合x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合f(x)在(,)上单调,可得ω 的最大值.【解答】解:∵x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则﹣=≤,即T=≥,解得:ω≤12,当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9 时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω 的最大值为9,故选:B.【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,本题转化困难,难度较大.二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分.13.(5 分)设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m=﹣2 .r +1【考点】9O :平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;5A :平面向量及应用. 【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.【解答】解:|+|2=||2+||2,可得•=0.向量=(m ,1),=(1,2),可得 m +2=0,解得 m=﹣2. 故答案为:﹣2.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14.(5 分)(2x +)5 的展开式中,x 3 的系数是 10 .(用数字填写答案)【考点】DA :二项式定理.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5P :二项式定理. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项,令 x 的指数为 3,求出 r ,即可求出展开式中 x 3 的系数. 【解答】解:(2x +)5 的展开式中,通项公式为:T = =25﹣r,令 5﹣=3,解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10.故答案为:10.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.(5 分)设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 .1 2 n 1 【考点】87:等比数列的性质;8I :数列与函数的综合.【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;54:等差数列与等比数列. 【分析】求出数列的等比与首项,化简 a 1a 2…a n ,然后求解最值. 【解答】解:等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,可得 q (a 1+a 3)=5,解得 q=. a 1+q 2a 1=10,解得 a 1=8.则 a a …a =a n •q1+2+3+…+(n ﹣1)=8n • = = ,当 n=3 或 4 时,表达式取得最大值: =26=64.故答案为:64.【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用,转化思想的应用,考查计算能力.16.(5 分)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ,乙材料 1kg ,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ,乙材料 0.3kg ,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg ,乙材料 90kg ,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元.【考点】7C :简单线性规划.【专题】11:计算题;29:规律型;31:数形结合;33:函数思想;35:转化思想.【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件,根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可;【解答】解:(1)设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件,获利为 z 元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A 时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000 元.故答案为:216000.【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,不等式组解实际问题的运用,不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键.三、解答题:本大题共5 小题,满分60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC 的面积为,求△ABC 的周长.【考点】HU:解三角形.【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC 不为0 求出cosC 的值,即可确定出出C 的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b 的值,即可求△ABC 的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC 中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=ab=,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC 的周长为5+.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12 分)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°.(I)证明平面ABEF⊥平面EFDC;(II)求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5H:空间向量及应用;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)证明四边形EFDC 为等腰梯形,以E 为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC 的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:∵ABEF 为正方形,∴AF⊥EF.∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,∵DF∩EF=F,∴AF⊥平面EFDC,∵AF⊂平面ABEF,∴平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)解:由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角;由ABEF 为正方形,AF⊥平面EFDC,∵BE⊥EF,∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE,可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角.可得∠DFE=∠CEF=60°.∵AB∥EF,AB✪平面EFDC,EF⊂平面EFDC,∴AB∥平面EFDC,∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB⊂平面ABCD,∴AB∥CD,∴CD∥EF,∴四边形EFDC 为等腰梯形.以E 为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(,0,a),A(2a,2a,0),∴=(0,2a,0),=(,﹣2a,a),=(﹣2a,0,0)设平面BEC 的法向量为=(x1,y1,z1),则,则,取=(,0,﹣1).设平面ABC 的法向量为=(x2,y2,z2),则,则,取=(0,,4).设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ,则cosθ===﹣,则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.19.(12 分)某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X 的分布列;(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n 的最小值;(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19 与n=20 之中选其一,应选用哪个?【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列.(II)由X 的分布列求出P(X≤18)=,P(X≤19)=.由此能确定满足P (X≤n)≥0.5 中n 的最小值.(III)法一:由X 的分布列得P(X≤19)=.求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2,由此能求出买19 个更合适.法二:解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n=19 时,费用的期望和当n=20时,费用的期望,从而得到买19 个更合适.【解答】解:(Ⅰ)由已知得X 的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,P (X=16)=()2=,P(X=17)=,P(X=18)=()2+2()2=,P(X=19)= =,P(X=20)= ==,P(X=21)= =,P(X=22)= ,∴X 的分布列为:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)==.P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.∴P(X≤n)≥0.5 中,n 的最小值为19.(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=+=.买19 个所需费用期望:EX1=200×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040,买20 个所需费用期望:EX2= +(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080,∵EX1<EX2,∴买19 个更合适.解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n=19 时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,当n=20 时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.04=4080,∴买19 个更合适.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.20.(12 分)设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II)设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1 于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【考点】J2:圆的一般方程;KL:直线与椭圆的综合.【专题】34:方程思想;48:分析法;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)求得圆A 的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB=ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l:x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得|MN|,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),求得A 到PQ 的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0 即为(x+1)2+y2=16,可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,由AC=AD,可得∠D=∠C,即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,故E 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆,且有2a=4,即a=2,c=1,b==,则点E 的轨迹方程为+=1(y≠0);(Ⅱ)椭圆C1:+=1,设直线l:x=my+1,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•,A 到PQ 的距离为d==,|PQ|=2 =2=,则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24,当m=0 时,S 取得最小值12,又>0,可得S<24•=8 ,即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,8).【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用椭圆和圆的定义,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题.21.(12 分)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(I)求a 的取值范围;(II)设x1,x2 是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【考点】51:函数的零点;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ)由函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2可得:f′(x)=(x﹣1)e x+2a (x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),对a 进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案.(Ⅱ)设x1,x2 是f(x)的两个零点,则﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,分析g(x)的单调性,令m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=,设h(m)=,m>0,利用导数法可得h(m)>h(0)=0 恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,可得结论.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)e x=0⇔x=2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a>0,那么e x+2a>0 恒成立,当x<1 时,f′(x)<0,此时函数为减函数;当x>1 时,f′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1 时,函数f(x)取极小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函数f(x)在x>1 存在一个零点;当x<1 时,e x<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0 的两根为t1,t2,且t1<t2,则当x<t1,或x>t2 时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数f(x)在x<1 存在一个零点;即函数f(x)在R 是存在两个零点,满足题意;③若﹣<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,当ln(﹣2a)<x<1 时,x﹣1<0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0 恒成立,故f(x)单调递减,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0 得:函数f(x)在R 上至多存在一个零点,不合题意;④若a=﹣,则ln(﹣2a)=1,当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,当x>1 时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R 上单调递增,函数f(x)在R 上至多存在一个零点,不合题意;⑤若a<﹣,则ln(﹣2a)>lne=1,当x<1 时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0 恒成立,故f(x)单调递减,当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0 恒成立,故f(x)单调递增,故当x=1 时,函数取极大值,由f(1)=﹣e<0 得:函数f(x)在R 上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a 的取值范围为(0,+∞)证明:(Ⅱ)∵x1,x2 是f(x)的两个零点,∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴当x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,设h(m)= ,m>0,则h′(m)= >0 恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,h(m)>h(0)=0 恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,即x1+x2<2.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,函数的零点,分类讨论思想,难度较大.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10 分)如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,OA 为半径作圆.(I)证明:直线AB 与⊙O 相切;(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明.【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)设K 为AB 中点,连结OK.根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,则AB 是圆O 的切线.(Ⅱ)设圆心为T,证明OT 为AB 的中垂线,OT 为CD 的中垂线,即可证明结论.【解答】证明:(Ⅰ)设K 为AB 中点,连结OK,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴OK⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin30°=OA,∴直线AB 与⊙O 相切;(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设T 是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.∵OA=OB,TA=TB,∴OT 为AB 的中垂线,同理,OC=OD,TC=TD,∴OT 为CD 的中垂线,∴AB∥CD.【点评】本题考查了切线的判定,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力.解答此题时,充分利用了等腰三角形“三合一”的性质.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy 中,曲线C1 的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(I)说明C1 是哪种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程;(II)直线C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足tanα0=2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,求a.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QE:参数方程的概念.【专题】11:计算题;35:转化思想;4A:数学模型法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)把曲线C1 的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1 是圆,化为一般式,结合x2+y2=ρ2,y=ρsinθ 化为极坐标方程;(Ⅱ)化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程,把C1 与C2 的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0,则a 值可求.【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2.∴C1 为以(0,1)为圆心,以a 为半径的圆.化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.①由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0;(Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,②即(x﹣2)2+y2=4.由C3:θ=α0,其中α0 满足tanα0=2,得y=2x,∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程,①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 ,∴1﹣a2=0,∴a=1(a>0).【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.(I)在图中画出y=f(x)的图象;(II)求不等式|f(x)|>1 的解集.【考点】&2:带绝对值的函数;3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35:转化思想;48:分析法;59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f(x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所求图象;(Ⅱ)分别讨论当x≤﹣1 时,当﹣1<x<时,当x≥时,解绝对值不等式,取交集,最后求并集即可得到所求解集.【解答】解:(Ⅰ)f(x)= ,由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得当x≤﹣1 时,|x﹣4|>1,解得x>5 或x<3,即有x≤﹣1;当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1 或x<,即有﹣1<x<或1<x<;当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5 或x<3,即有x>5 或≤x<3.综上可得,x<或1<x<3 或x>5.则|f(x)|>1 的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法,注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题.。

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题25 立体几何中综合问题(含解析)

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题25 立体几何中综合问题(含解析)

专题25 立体几何中综合问题考纲解读明方向分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为12分,属中档题.2018年高考全景展示1.【2018年理数天津卷】如图,且AD =2BC ,,且EG =AD ,且CD =2FG ,,DA =DC =DG =2(I )若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证:;(II )求二面角的正弦值;(III )若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°,求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).详解:依题意,可以建立以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).(Ⅰ)依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又=(1,,1),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE.(Ⅱ)依题意,可得=(–1,0,0),,=(0,–1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则即不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos<m,n>=,于是sin<m,n>=.所以,二面角E–BC–F的正弦值为.(Ⅲ)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得.易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故,由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].所以线段的长为.点睛:本题主要考查空间向量的应用,线面平行的证明,二面角问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.【2018年理北京卷】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】分析:(1)由等腰三角形性质得,由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得,因此,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系E-ABF,设立各点坐标,利用方程组解得平面BCD一个法向量,根据向量数量积求得两法向量夹角,再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果,(3)根据平面BCD一个法向量与直线F G方向向量数量积不为零,可得结论. 详解:解:(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF.∵AB=BC.∴AC⊥BE,∴AC⊥平面BEF.(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.如图建立空间直角坐称系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D (1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).∴,设平面BCD的法向量为,∴,∴,令a=2,则b=-1,c=-4,∴平面BCD的法向量,又∵平面CDC1的法向量为,∴.由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为.(Ⅲ)平面BCD的法向量为,∵G(0,2,1),F(0,0,2),∴,∴,∴与不垂直,∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.3.【2018年江苏卷】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】分析:(1)先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据向量数量积求得向量的夹角,再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果;(2)利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量,再根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解:如图,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以为基底,建立空间直角坐标系O−xyz.因为AB=AA1=2,所以.(1)因为P为A1B1的中点,所以,从而,故.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.点睛:本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. 4.【2018年江苏卷】在平行六面体中,.求证:(1);(2).【答案】答案见解析【解析】分析:(1)先根据平行六面体得线线平行,再根据线面平行判定定理得结论;(2)先根据条件得菱形ABB1A1,再根据菱形对角线相互垂直,以及已知垂直条件,利用线面垂直判定定理得线面垂直,最后根据面面垂直判定定理得结论.详解:证明:(1)在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.点睛:本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误,如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形”,再如菱形对角线互相垂直的条件,这些条件在解题中都是已知条件,缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 5.【2018年理新课标I卷】如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析:(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系,即BF⊥PF,BF⊥EF,又因为,利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF,又平面ABFD,利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.(2)结合题意,建立相应的空间直角坐标系,正确写出相应的点的坐标,求得平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为,利用线面角的定义,可以求得,得到结果.详解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又,所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解,属于常规题目,在解题的过程中,需要明确面面垂直的判定定理的条件,这里需要先证明线面垂直,所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,从而证得结果;对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成,注意相对应的等量关系即可.6.【2018年全国卷Ⅲ理】如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.(1)证明:平面平面;(2)当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析:(1)先证平面CMD,得,再证,进而完成证明。

(完整版)历年高考抛物线真题详解理科

(完整版)历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科1.【2017 课标 1,理 10】已知 F 为抛物线21C : y =4x 的焦点,过 F 作两条相互垂直的直线l ,l ,直线 l与 C 交于 A 、 B 两点,直线l与 C 交于 D 、 E 两点,则 | AB|+| DE| 的最小值为212A . 16B . 14C .12D . 102.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线上随意一点, M 是线段 PF 上的点,且=2,则直线 OM 的斜率的最大值为 ( )( A ) (B ) (C ) ( D )13.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线y 2 2px(p 0)上随意一点, M 是线段 PF 上的点,且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为 ()3 ( A )3(B ) 2(C )2 (D )1324【. 2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的极点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点 ,交 C 的准线于 D 、 E 两点 .已知 | AB|= 4 2 ,| DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)85.【 2015高考四川,理10 】设直线l 与抛物线 y 24x 订交于 A , B 两点,与圆x 2y 2 r 2r 0 相切于点 M ,且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l 恰有 4 条,5则 r 的取值范围是()(A ) 1,3 ( B ) 1,4 ( C ) 2,3 ( D ) 2,46. 【 2015 高考浙江,理 5】如图,设抛物线 y 24 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不一样的点C,此中点 A ,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACFA ,B ,的面积之比是()BF 12 1 BF 1 BF 2 B.BF1A.12C.AFD.AF2AFAF 111【 2017 课标 II ,理 16】已知 F 是抛物线 C: y 28 x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的7.延伸线交 y 轴于点 N 。

2016年高考全国1卷理数真题以及详细解答

2016年高考全国1卷理数真题以及详细解答

2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1》理科数学第I 卷5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目【答案】D【解析】试题分析;因为M = X -4x + 3 <<x<3}^={x|x> |}:3f^iV考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题•解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算 ,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算• (2)设(1 i)x1 yi,其中x ,y 实数,则|x yi =(A )1(B) 2(C ) 3( D )2【答案】 B【解析】试题分析 :因为 x(1 i)=1 + yi ,所以 x xi=1+yi ,x=1,y x 1,|x yi | =|1 + i |2,故选 B考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题•高考中复数考查 频率较高的内容有:复数相等 ,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问2题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性(1)设集合x x 2 4x 3 0,x 2x 3 0(A ) 3,(B)3,32(C ) 1,32 (D )3,3 2.选择题:本大题共 12小题,每小题 要求的•(3)已知等差数列a n前9项的和为27, a io 8,则a ioo(A) 100 ( B) 99 ( C) 98 ( D) 97【答案】C【解析】9耳36d 27试题分析:由已知,,所以a11,d 1月00 a1 99d 1 99 98,故选a1 9d 8C.考点:等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组) ,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是/A、1 1 2 3(A) 3 (B) 2 ( C)3 ( D)4【答案】B【解祈】试题分析:如图所示「画岀P寸间袖:7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30' ' A C ' D B小明到这的时间会随机的苇立至叱嫩肋中:而当他的到辻时间落在线段M我础吋:才能保证I■也等车的时间不超过1。

专题10:异面直线问题高考真题(解析版)

专题10:异面直线问题高考真题(解析版)

专题10:异面直线问题高考真题(解析版)一、单选题1.2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II )在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A .15BCD.2【答案】C 【解析】分析:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积求向量夹角,再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解:以D 为坐标原点,DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为1111111cos ,2ADDB AD DB AD DB ⋅-===⨯,所以异面直线1AD 与1DB 所成角,选C. 点睛:利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. 2.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB=,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为() A .B C D 【答案】C 【解析】如图所示,补成直四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===,易得22211C D BD BC =+,因此111210cos 55BC BC D C D ∠===,故选C .平移法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; ②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; ③计算:求该角的值,常利用解三角形;④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.3.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷) 平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,,,,则m ,n 所成角的正弦值为A .B .C .D .【答案】A 【解析】试题分析:如图,设平面平面=,平面 平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A.【考点】平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.4.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A .110B .25C 30D .22【答案】C 【解析】以C 为原点,直线CA 为x 轴,直线CB 为y 轴,直线1CC 为z 轴,则设CA=CB=1,则(0,1,0)B ,11(,,1)22M ,A (1,0,0),1(,0,1)2N ,故11(,,1)22BM =-,1(,0,1)2AN =-,所以cos ,BM AN BM AN BM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅30C. 考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力.5.2018年全国普通高等学校招生统一考试文数(全国卷II )在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A .22B .32C .52D .72【答案】C 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值,在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠,设正方体边长为2a ,则由E 为棱1CC 的中点,可得CE a =,所以5BE a =,则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:①平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角; (2)向量法:①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.二、解答题6.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC .(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG⊥AC,通过计算可证EG⊥FG,根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC,由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC;(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以的方向为轴,y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC可知,AE=EC,又∵AE⊥EC,∴EG=,EG⊥AC,在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=可得EF=,∴,∴EG⊥FG,∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,∵EG面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC.(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以的方向为轴,y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,-,0),E(1,0,),F(-1,0,),C(0,,0),∴=(1,,),=(-1,-,).…10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力。

2016年全国高考数学(理科)试题与答案_全国1卷(解析版)

2016年全国高考数学(理科)试题与答案_全国1卷(解析版)

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B =I (A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(D )3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 实数,则i =x y + (A )1 (B 2 (C 3 (D )2 【答案】B 【解析】试题分析:因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有:复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C 【解析】试题分析:由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点:等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )13 (B )12 (C )23 (D )34【答案】B考点:几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由:长度、面积、体积等.(5)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )()1,3- (B )()1,3- (C )()0,3 (D )()0,3 【答案】A考点:双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π【答案】A 【解析】试题分析: 该几何体直观图如图所示:是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A . 考点:三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.(7)函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为(A )(B )(C ) (D )【答案】D考点:函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. (8)若101a b c >><<,,则(A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c < 【答案】C 【解析】试题分析:用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C . 考点:指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.(9)执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足 (A )2y x = (B )3y x = (C )4y x = (D )5y x =结束【答案】C考点:程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点:抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.(11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,αI平面ABCD=m,αI平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13【答案】A【解析】试题分析:如图,设平面11CB D I 平面ABCD ='m ,平面11CB D I 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//DE B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11BF 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60︒,故,m n 所成角的正弦值为32,选A. 考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.(12).已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-, 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为(A )11 (B )9 (C )7 (D )5 【答案】B考点:三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线x x =对称,则()0f x A= 或()0f x A=-.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析:由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点:向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是:若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .(14)5(2)x x +的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案)【答案】10考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.(15)设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 . 【答案】64 【解析】试题分析:设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=L L ,于是当3n =或4时,12n a a a L 取得最大值6264=.考点:等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.考点:线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分为12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若7,c ABC =∆的面积为33,求ABC V 的周长. 【答案】(I )C 3π=(II )57+【解析】 试题分析:(I )先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cosC 2=,故C 3π=;(II )根据133sin C 22ab =.及C 3π=得6ab =.再利用余弦定理得 ()225a b +=.再根据7c =可得C ∆AB 的周长为57+.考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”(18)(本小题满分为12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o .(I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ;(II )求二面角E -BC -A 的余弦值.【答案】(I )见解析(II )219- 试题解析:(I )由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E .又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E .(II )过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(I )知DG ⊥平面F ABE .以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.由(I )知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D 3.由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . CA BD EF又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E .由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE-的平面角,C F 60∠E =o.从而可得(C -.所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r . 设(),,n x y z =r是平面C B E 的法向量,则 C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以可取(3,0,n =r . 设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,同理可取()4m =r.则cos ,n m n m n m ⋅==r r r r r r 故二面角C E-B -A的余弦值为. 考点:垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (I )求X 的分布列;(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个?【答案】(I )见解析(II )19(III )19n =【解析】试题分析:(I )先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列;(II )通过频率大小进行比较;(III )分别求出n =9,n =20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n .所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0(Ⅱ)由(Ⅰ)知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19.(Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n . 考点:概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.(20). (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)13422=+y x (0≠y )(II ))38,12[试题解析:(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠,所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为: 13422=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.考点:圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.【答案】(0,)+∞试题解析;(Ⅰ)'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+.(i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点.(ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln 2a b <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点.(iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-. 若2e a ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点. 若2e a <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞.考点:导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明:直线AB与e O相切;(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析试题解析:(Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒.在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切. E O'DC OBA(Ⅱ)因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO .由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥. 同理可证,'OO CD ⊥.所以//AB CD .考点:四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;四点共圆;圆内接四边形的性质与判定;切割线定理.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,a >0). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .【答案】(I )圆,222sin 10a ρρθ-+-=(II )1⑵ 24cos C ρθ=:,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ,224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =,由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得:24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.(I )在答题卡第(24)题图中画出()y f x =的图像;(II )求不等式()1f x >的解集.【答案】(I )见解析(II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ,,,试题解析:⑴如图所示:考点:分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。

11专题38-空间中直线、平面垂直位置关系证明方法(解析版)

11专题38-空间中直线、平面垂直位置关系证明方法(解析版)

专题十一:空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一,每年高考大题必有立体几何题,尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行,面面垂直等问题,解决这类问题的方法主要有:几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】 方法一 几何法使用情景:转化的直线或平面比较容易找到解题模板:第一步 按照线线垂直得到线面垂直,进而得出面面垂直的思路分析解答;第二步 找到关键的直线或平面; 第三步 得出结论.例1、如图,在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠= ,点,E F 分别是边CD ,CB 的中点,AC EF O = ,沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆,连接,,PA PB PD ,得到如图的五棱锥P ABFED -,且10PB =.求证:BD ⊥平面POA ;试题解析:(1) 点,E F 分别是边,CD CB 的中点,BD EF ∴ ,菱形ABCD 的对角线互相垂直,,,,.BD AC EF AC EF AO EF PO AO ∴⊥∴⊥∴⊥⊥⊂ 平面,POA PO ⊂平面,,POA AO PO O EF =∴⊥ 平面,POA BD ∴⊥平面POA .考点:线面垂直判定定理,利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.例2、如图所示,在四棱锥P ABCD -中,底面四边形ABCD 为等腰梯形,E 为PD 中点,PA ⊥平面ABCD ,//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==.证明:平面EBD⊥平面PAC;考点:面面垂直判定定理【变式演练1】如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB=,且2,1,AB BP AD AE AE AB====⊥,且AE BP.设点M为棱PD中点,在面ABCD内是否存在点N,使得MN⊥平面ABCD若存在,请证明, 若不存在,说明理由。

2016四川省高考数学试题及答案(理数)

2016四川省高考数学试题及答案(理数)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)参考公式:如果事件互斥,那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24S Rp=如果事件相互独立,那么其中R表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分(选择题共60分)注意事项:1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。

一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x+的展开式中2x的系数是()A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii-=()A、1B、1-C、iD、i-3、函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是()A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1AE=,连接EC、ED则sin CED∠=()A、10B、10C、10D5、函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是()6、下列命题正确的是( )A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a b a b =成立的充分条件是( ) A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。

(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

范围是
(A) 1,3 (B) 1, 3 (C) 0,3 (D) 0, 3
【答案】A
考点:双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
(1)设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
(A)
3,
3 2
【答案】D
(B)
3,
3 2
(C)
1,
3 2
(D)
3 2
,
3
考点:集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
(8)若 a b 1,0 c 1,则 (A) ac bc (B) abc bac (C) a logb c b loga c (D) loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析:用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学(理科)试卷(全国 1 卷)
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 1 卷)
数学(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题06三角函数及解三角形试题及答案

2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题06三角函数及解三角形试题及答案

专题06 三角函数及解三角形【2020年】1.(2020·新课标Ⅰ)设函数()cosπ()6f x xω=+在[π,π]-的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【解析】由图可得:函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭,将它代入函数()f x可得:4cos096ππω⎛⎫-⋅+=⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x图象与x轴负半轴的第一个交点,所以4962πππω-⋅+=-,解得:32ω=所以函数()f x的最小正周期为224332Tπππω===2.(2020·新课标Ⅰ)已知π()0,α∈,且3cos28cos5αα-=,则sinα=()A.53 B. 23C. 13 D. 59【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=,得26cos 8cos 80αα--=, 即23cos 4cos 40αα--=,解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去),又(0,),sin απα∈∴==3.(2020·新课标Ⅱ)若α为第四象限角,则( ) A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D.sin2α<0 【答案】D 【解析】当6πα=-时,cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,选项B 错误;当3πα=-时,2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,选项A 错误; 由α在第四象限可得:sin 0,cos 0αα<>,则sin 22sin cos 0ααα=<,选项C 错误,选项D 正确;4.(2020·新课标Ⅱ)已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( )B.32C. 1 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ,则2416R ππ=,解得:2R =. 设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC212a ∴=,解得:3a =,2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.5.(2020·新课标Ⅲ)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( )A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】在ABC 中,2cos 3C =,4AC =,3BC = 根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ,即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 6.(2020·新课标Ⅲ)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7,则tan θ=( ) A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan ,1t t θ=≠,则1271tt t+-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=. 7.(2020·山东卷)下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)= ( )A. πsin(3x +)B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +)D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知:22362Tπππ=-=,则222Tππωπ===,所以不选A,当2536212xπππ+==时,1y=-∴()5322122k k Zππϕπ⨯+=+∈,解得:()223k kϕππ=+∈Z,即函数的解析式为:2sin22sin2cos2sin236263y x k x x xππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos2cos(2)66x xππ⎛⎫+=--⎪⎝⎭8.(2020·北京卷)若函数()sin()cosf x x xϕ=++的最大值为2,则常数ϕ的一个取值为________.【答案】2π(2,2k k Zππ+∈均可)【解析】因为()()()()22cos sin sin1cos cos sin1sinf x x x xϕϕϕϕθ=++=+++,所以()22cos sin12ϕϕ++=,解得sin1ϕ=,故可取2ϕπ=.9.(2020·山东卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC 的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH DG∥,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.【答案】542π+【解析】设==OB OA r,由题意7AM AN==,12EF=,所以5NF=,因为5AP =,所以45AGP ︒∠=, 因//BH DG ,所以45AHO ︒∠=,因为AG 与圆弧AB 相切于A 点,所以OA AG ⊥, 即OAH △为等腰直角三角形; 在直角OQD △中,252OQ r =-,272DQ r =-, 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==,所以32522125r r -=-, 解得22r =; 等腰直角OAH△的面积为11222242S =⨯⨯=; 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=, 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.10.(2020·浙江卷)已知tan 2θ=,则cos2θ=________;πtan()4θ-=______. 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++, tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++,11.(2020·江苏卷)已知2sin ()4πα+ =23,则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 12.(2020·江苏卷)将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为:524x π=-13.(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知0)P ,A ,B 是圆C :221()362x y +-=上的两个动点,满足PA PB =,则△PAB 面积的最大值是__________.【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ,则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=(负值舍去) 当04d ≤<时,0y '>;当46d ≤<时,0y '≤,因此当4d =时,y 取最大值,即PABS取最大值为14.(2020·新课标Ⅰ)如图,在三棱锥P –ABC 的平面展开图中,AC =1,AB AD ==AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE =30°,则cos∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥,3AB =,1AC =,由勾股定理得222BC AB AC =+=,同理得6BD =,6BF BD ∴==,在ACE △中,1AC =,3AE AD ==,30CAE ∠=,由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=, 1CF CE ∴==,在BCF 中,2BC =,6BF =,1CF =,由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.【2019年】1.【2019·全国Ⅰ卷】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A .B .C .D .【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称,排除A .又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+,排除B ,C ,故选D .2.【2019·全国Ⅰ卷】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④ C .①④D .①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故①正确. 当ππ2x <<时,()2sin f x x =,它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减,故②错误. 当0πx ≤≤时,()2sin f x x =,它有两个零点:0,π;当π0x -≤<时,()()sin sin f x x x =--2sin x =-,它有一个零点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π,故③错误. 当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时,()2sin f x x =;当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时,()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数,()f x ∴的最大值为2,故④正确. 综上所述,①④正确,故选C . 3.【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中,以2π为周期且在区间(4π,2π)单调递增的是A .f (x )=|cos2x |B .f (x )=|sin2x |C .f (x )=cos|x |D .f (x )=sin|x |【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D ; 因为cos cos y x x ==,周期为2π,排除C ;作出cos2y x =图象如图2,由图象知,其周期为π2,在区间(4π,2π)单调递增,A 正确; 作出sin 2y x =的图象如图3,由图象知,其周期为π2,在区间(4π,2π)单调递减,排除B , 故选A .图1图2图34.【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0,2π),2sin2α=cos2α+1,则sin α=A .15B 55C 33D 255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+,24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭,sin 0,α>2sin cos αα∴=,又22sin cos 1αα+=,2215sin 1,sin 5αα∴==,又sin 0α>,5sin α∴=,故选B . 5.【2019·全国Ⅲ卷】设函数()f x =sin (5x ωπ+)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510,)其中所有正确结论的编号是 A .①④ B .②③ C .①②③ D .①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图象, 由图1可知,()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确;②由图1、2可知,()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;④当()f x =sin (5x ωπ+)=0时,5x ωπ+=k π(k ∈Z ),所以ππ5k x ω-=,因为()f x 在[0,2π]上有5个零点,所以当k =5时,π5π52πx ω-=≤,当k =6时,π6π52πx ω-=>,解得1229510ω≤<, 故④正确.③函数()f x =sin (5x ωπ+)的增区间为:πππ2π2π252k x k ω-+<+<+,732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0,当125ω=时,单调递增区间为71ππ248x -<<, 当2910ω=时,单调递增区间为73ππ2929x -<<,综上可得,()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.6.【2019·天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A .2- B. CD .2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数,∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=;又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=,又π()4g =2A =,∴()2sin 2f x x =,3π()8f =故选C. 7.【2019·北京卷】函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________. 【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -,周期为π2. 8.【2019·全国Ⅱ卷】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为_________.【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=,即212c =,解得c c ==-,所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 9.【2019·江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,得23tan 5tan 20αα--=,解得tan 2α=,或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭, 当tan 2α=时,上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭; 当1tan 3α=-时,上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上,π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 10.【2019·浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =___________,cos ABD ∠=___________. 【答案】1225,7210【解析】如图,在ABD △中,由正弦定理有:sin sin AB BDADB BAC=∠∠,而3π4,4AB ADB =∠=, 225AC =AB +BC =,34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==,所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【2018年】1.【2018·全国Ⅲ卷】若1sin 3α=,则cos2α=A .89B .79 C .79-D .89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 2.【2018·全国卷II 】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是 A .π4 B .π2C .3π4D .π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z , 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦,从而a 的最大值为π4,故选A.3.【2018·天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间35[,]44ππ上单调递增 B .在区间3[,]4ππ上单调递减 C .在区间53[,]42ππ上单调递增 D .在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知:将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ,即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z , 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足:()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ,即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z , 令1k =可得一个单调递减区间为:5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.4.【2018·浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A .B .C .D .【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =,因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ,所以()2sin2xf x x =为奇函数,排除选项A ,B ;因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x <,所以排除选项C ,故选D. 5.【2018·全国Ⅱ】在ABC △中,5cos2C =1BC =,5AC =,则AB = A .42B 30CD .【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭,则,故选A.6.【2018·全国Ⅲ】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3 C .π4D .π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△,所以2222sinC a b c ab +-=, 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=,得sin cos C C =,因为()0,πC ∈,所以π4C =,故选C.7.【2018·浙江卷】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =b =2,A =60°,则sinB =___________,c =___________.【答案】7,3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =,所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=(负值舍去).8.【2018·全国Ⅰ】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_____________.【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭, 所以当1cos 2x <时函数单调递减,当1cos 2x >时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ,函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,所以当π2π,3x k k =-∈Z 时,函数()f x 取得最小值,此时sin 22x x =-=-,所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-. 9.【2018·北京卷】设函数f (x )=πcos()(0)6x ωω->,若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为__________. 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立,所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值, 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ,ωω, 因为0>ω,所以当0k =时,ω取最小值为23.10.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π,的零点个数为________.【答案】3【解析】0πx ≤≤,ππ19π3666x ∴≤+≤,由题可知πππ3π336262x x +=+=,,或π5π362x +=,解得π4π,99x =,或7π9,故有3个零点. 11.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是________. 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ,所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ,ϕϕ,因为ππ22-<<ϕ,所以π0,.6k ==-ϕ 【2017年】1.【2017·全国Ⅰ】已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ,故选D.2.【2017·全国Ⅲ】设函数()π(3cos )f x x =+,则下列结论错误的是A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C .(π)f x +的一个零点为π6x =D .()f x 在(π2,π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==,则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ,取1k =-,可得函数()f x 的一个周期为2π-,选项A 正确; 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ,即()ππ3x k k =-∈Z ,取3k =,可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称,选项B 正确; ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ,即()ππ6x k k =+∈Z ,取0k =,可得(π)f x +的一个零点为π6x =,选项C 正确; 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,函数()f x 在该区间内不单调,选项D 错误.故选D.3.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5()28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则 A .23ω=,12ϕπ= B .23ω=,12ϕ11π=- C .13ω=,24ϕ11π=-D .13ω=,24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩,其中12,k k ∈Z ,所以2142(2)33k k ω=--,又22T ωπ=>π,所以01ω<<,所以23ω=,11212k ϕ=π+π, 由ϕ<π得12ϕπ=,故选A . 4.【2017·山东卷】在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是 A .2a b = B .2b a = C .2A B = D .2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+, 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=, 故选A.5.【2017·浙江卷】已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连结CD ,则△BDC 的面积是______,cos ∠BDC =_______.【答案】24【解析】取BC 中点E ,由题意:AE BC ⊥,△ABE 中,1cos 4BE ABC AB ∠==,∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==,∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△. ∵2ABC BDC ∠=∠,∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=,解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=(舍去).综上可得,△BCD ,cos BDC ∠=.6.【2017·全国Ⅱ】函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式:()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=-+ ⎝⎭, 由自变量的范围:π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得:[]cos 0,1x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1. 7.【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称,所以π2π,k k αβ+=+∈Z ,那么1sin sin 3βα==,cos cos αβ=-=cos cos βα=-=), 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 8.【2018·全国Ⅱ】已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________. 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ, 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα9.【2017·江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---.故答案为75. 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为( )(A )11 (B )9 (C )7 (D )5 【答案】B【解析】 因为π4x =-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,所以ππ()444T kT --=+,即π41412π244k k T ω++==⋅,所以*41()k k ω=+∈N ,又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5πππ2π36181222T ω-=≤=,即12ω≤,则ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )(A )向左平行移动π3个单位长度 (B )向右平行移动π3个单位长度 (C )向左平行移动π6个单位长度 (D )向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意,为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-,只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位,故选D. 3.【2016高考新课标3理数】在ABC △中,π4B ,BC 边上的高等于13BC ,则cos A ( )(A )31010 (B )1010 (C )1010 (D )31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ,则3BC AD =,所以225AC AD DC AD =+=,2AB AD =.由余弦定理,知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD +-+-===-⋅⨯⨯,故选C . 4.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=,则sin 2α=( ) (A )725 (B )15 (C )15- (D )725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,故选D.5.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) (A )()26k x k Z ππ=-∈ (B )()26k x k Z ππ=+∈(C )()212k x k Z ππ=-∈ (D )()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意,将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+,则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈,即,62k x k Z ππ=+∈,故选B. 6.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=,得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-,所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A .7.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++,则()f x 的最小正周期( ) A .与b 有关,且与c 有关 B .与b 有关,但与c 无关 C .与b 无关,且与c 无关 D .与b 无关,但与c 有关 【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ,其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π;当0≠b 时,周期为2π,而c 不影响周期.故选B .8.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点'P ,若'P 位于函数sin 2y x =的图象上,则( )A.12t =,s 的最小值为6πB.2t = ,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3πD.2t =,s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得,ππ1sin(2)432t =⨯-=,当s 最小时,'P 所对应的点为π1(,)122,此时min πππ4126s ==-,故选A. 9.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= . 【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=2cos.42=π10.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = . 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==,且,A C 为三角形的内角,所以312sin ,sin 513A C ==,63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=,又因为sin sin a b A B =,所以sin 21sin 13a B b A ==.11.【2016高考浙江理数】已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0),则A =______,b =________.2 1【解析】22cos sin 22)14x x x π+++,所以2, 1.A b ==12.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+,sin 32sin()3y x x x π==-=2sin[()]33x π2π+-,所以函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到.13.【2016高考山东理数】函数f (x )=x +cos x )cos x –sin x )的最小正周期是( ) (A )2π(B )π (C )23π(D )2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.14.【2016高考天津理数】在△ABC 中,若AB ,BC=3,120C ∠= ,则AC = ( ) (A )1(B )2(C )3(D )4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或,因为[0,3]x π∈,所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=,又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -,因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.。

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绝密★启封并使用完毕前试题类型:A注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B =(A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 实数,则i =x y + (A )1 (B 2 (C 3 (D )2 【答案】B 【解析】试题分析:因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有:复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【答案】C 【解析】试题分析:由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点:等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )13 (B )12 (C )23 (D )34 【答案】B考点:几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由:长度、面积、体积等.(5)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )()1,3- (B )()1,3- (C )()0,3 (D )()0,3 【答案】A考点:双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π【答案】A 【解析】试题分析: 该几何体直观图如图所示:是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A . 考点:三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. (7)函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为(A )(B )(C )(D )【答案】D考点:函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. (8)若101a b c >><<,,则(A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c < 【答案】C 【解析】试题分析:用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C . 考点:指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.(9)执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足 (A )2y x = (B )3y x = (C )4y x = (D )5y x =结束【答案】C考点:程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点:抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.(11)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面ABB 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32 (B )22 (C)33 (D)13【答案】A 【解析】试题分析:如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60︒,故,m n 所成角的正弦值为32,选A. 考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.(12).已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-, 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为(A )11 (B )9 (C )7 (D )5 【答案】B考点:三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A= 或()0f x A=-.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析:由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点:向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是:若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .(14)5(2x x +的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案)【答案】10考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.(15)设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 . 【答案】64 【解析】试题分析:设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12n a a a 取得最大值6264=.考点:等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域. 考点:线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分为12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若7,c ABC =∆的面积为332,求ABC 的周长. 【答案】(I )C 3π=(II )57+【解析】 试题分析:(I )先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=;(II )根据133sin C 22ab =.及C 3π=得6ab =.再利用余弦定理得 ()225a b +=.再根据7c =可得C ∆AB 的周长为57+.考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”(18)(本小题满分为12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60.(I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ;(II )求二面角E -BC -A 的余弦值.【答案】(I )见解析(II )21919- 试题解析:(I )由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E .又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E .(II )过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(I )知DG ⊥平面F ABE . 以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.由(I )知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D 3.由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . CA BD EF又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E .由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =.从而可得()C 2,0,3-. 所以()C 1,0,3E =,()0,4,0EB =,()C 3,4,3A =--,()4,0,0AB =-.设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则 C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()3,0,3n =-. 设m 是平面CD AB 的法向量,则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩, 同理可取()0,3,4m =.则219cos ,19n m n m n m ⋅==-. 故二面角C E -B -A 的余弦值为21919-.考点:垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (I )求X 的分布列;(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个?【答案】(I )见解析(II )19(III )19n =【解析】试题分析:(I )先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列;(II )通过频率大小进行比较;(III )分别求出n =9,n =20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n .所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0(Ⅱ)由(Ⅰ)知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19.(Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .考点:概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.(20). (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)13422=+y x (0≠y )(II ))38,12[ 试题解析:(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠,所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为: 13422=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.考点:圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.【答案】(0,)+∞试题解析;(Ⅰ)'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+.(i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点. (ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln 2a b <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点.(iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-. 若2e a ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点. 若2e a <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞.考点:导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明:直线AB与O相切;(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析试题解析:(Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒.在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切. E O'DC OBA(Ⅱ)因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO .由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥. 同理可证,'OO CD ⊥.所以//AB CD .考点:四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;四点共圆;圆内接四边形的性质与判定;切割线定理.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,a >0). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .【答案】(I )圆,222sin 10a ρρθ-+-=(II )1⑵ 24cos C ρθ=:,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=,224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =,由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得:24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.(I )在答题卡第(24)题图中画出()y f x =的图像;(II )求不等式()1f x >的解集.【答案】(I )见解析(II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,,,试题解析:⑴如图所示:考点:分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。

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