中考数学相似三角形(题目)

相似三角形

◆课前热身

1．如图，已知AB CD EF

∥∥，那么下列结论正确的是（）

A ．AD BC

DF CE

=B

．

BC DF

CE AD

=C．

CD BC

EF BE

=D．

CD AD

EF AF

=

2.如图所示，给出下列条件：

①B ACD

∠=∠；②ADC ACB

∠=∠；

③

AC AB

CD BC

=；④2

AC AD AB

=．

其中单独能够判定ABC ACD

△∽△的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1

4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.

其中正确的有：（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【参考答案】

1. A

2. C

3. B

4. D

A B

D

C

E F

1题 A

C

D

B

（第2题图）

◆考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．

4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．

◆备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．

2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．

3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．

◆考点链接

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

二、相似三角形的判定方法

1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．

3. 两个角对应相等的两个三角形__________．

4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

5. 三边对应成比例的两个三角形___________．

三、相似三角形的性质

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．

2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．

3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． ◆典例精析

例1（2009山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路

灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为

米．

【答案】9.

【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x 米，由相似得

1.55

30

x =

，解得9x =，所以路灯甲的高为9米，故填9. 例2（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似（全等除外），则格点P 的坐标是_______．

【答案】 P 1（1，4），P 2（3，4）．

点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性． 拓展变式 在Rt △ABC 中，斜边AC 上有一动点D （不与点A ，C 重合），过D 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有______条． 【答案】 3

例3 如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形ABCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；

甲 小华乙

②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）

A．①③ B．③ C．① D．①②

【答案】 B

【解析】∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA （全等是相似的特例）．

∴①是错的．

∵

1

2

AE EF

CD DF

==，∴②EF：ED=1：2是错的．

∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2．

∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．

点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）

②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．

拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE

与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

【答案】 C

◆迎考精练

一、选择题

1.（2009年江苏省）如图，在55

⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②

中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格

B．先向下平移2格，再向右平移1格

C．先向下平移2格，再向右平移2格