常微分方程模拟试题

常微分方程模拟试题
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．
2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．
3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
5．方程
21d d y x
y
-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程y x x
y
+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程
1d d +=y x
y （ ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程
)(d d y f x
y
=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间
10．方程32
3d d y x
y
=过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：
11.
y y x y
ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x
y
+=
14．0)d (d 22
2=-+y y x x xy
15．3
)(2y y x y '+'=
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程2
55x y y -='-''的通解．
17．求下列方程组的通解．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=x t
y t y t x d d sin 1d d
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞
→x f x ，求证：方程
)(d d x f y x
y
=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞
→x y x ．
19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3．x
x
x e ,e 4．开 5．1±=y
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： 1y =为常数解 （1分）
当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y
y y
+=⎰⎰
d ln d （3分） 通积分为
x C y e ln = （6分）
注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。

14．解： 因为x
x y ∂==∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰
20
d d 2 （4分）
计算得
C y y x =-
3
23
1 （6分）
15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为
3
2C Cx y += （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应齐次方程的特征方程为
052=-λλ， （1分）
特征根为
01=λ，52=λ， （2分）
齐次方程的通解为
x C C y 521e += （4分）
因为0=α是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为
)()(2
1C Bx Ax x x y ++= （6分） 代入原方程，比较系数确定出 31=A ，5
1=B ，252=C （9分）
原方程的通解为
x x x C C y x
25
25131e
23521++++= （10分） 17．解： 齐次方程的特征方程为
21101λλλ
-=+=-- （1分）
特征根为
i λ=± （2分）
求得特征向量为
1i ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3分） 因此齐次方程的通解为 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t C t t C y x cos sin sin -cos 21 （4分） 令非齐次方程特解为
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t C t t t C y x cos sin )(sin -cos )(~~21 （5分） )(),(21t C t C '
'满足
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-0sin 1)()(cos sin sin cos 21t t C t C t t t t （6分） 解得
1)(,sin cos )(21='
='t C t
t t C （8分）
积分，得
t t C sin ln )(1=，t t C =)(2 （9分）
通解为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t t t t t t t C t t C y x cos sin ln sin -sin sin ln cos cos sin sin -cos 21 （10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明： 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为
00
e
d e )(e
)()(0x x x x x s x x s s f y x y ---⎰
+
= （4分）
取极限
00
e d e )(lim
e lim
)(lim )(0x x x
x x s x x x x x s s f y x y --+∞
→-+∞
→+∞
→⎰
+=
=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞==∞
<+⎰⎰∞---+∞→∞
-000000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()
()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若 （10分） 19．证明： 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式
⎰=-
x
0d )(0e
)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）
)(e
)()(x
0d )(0x p x W x W x s
s p ⎰='-
由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W
故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分）。