常微分方程模拟试题
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
专转本高数数学常微分方程模拟试题练习(含答案)
专转本数学常微分方程模拟试题练习一、 选择题1．微分方程0)()(2222=++-dy y x dx y x 是A ．可分离变量微分方程；B ．齐次方程；C ．一阶线性方程；D ．贝努利方程．2．一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy =+的积分因子为 A ．⎰=-dx x p e )(μ； B ．⎰=dx x p e )(μ； C ．⎰=-dx x q e )(μ； D ．⎰=dx x p q e )(μ．3．微分方程012=+'+''y y 的通解是A ．x e x c c y -+=)(21；B ．x x ec e c y -+=21； C ．x e c c y x 21221-+=-； D ．x x c x c y 21sin cos 21-+=． 4．微分方程2-=-''x e y y 的一个特解可设为A ．b ae x +；B ．bx axe x +；C ．bx ae x +；D ．b axe x +。
5．微分方程x x y y y cos 912=+'+''的一个特解可设为A ．x b x a x b x a sin )(cos )(2211+++；B ．x x a x x a sin cos 21+；C ．x x a cos 1；D ．x b ax cos )(+．6．设常数a 、b 同号，则微分方程0)(=-'-+''aby y a b y 的通解为A ．bx ax e c ec y -+=21； B ．bx ax e c e c y 21+=-； C ．bx ax e c e c y 21+=； D ．bx ax e c e c y --+=21．7．已知1=x 时，1=y ，且函数)(x f y =满足方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ，则当221+=x 时，有=y A ．1； B ．21； C ．22； D ．221+． 8．函数)(x y y =在任意点x 处当自变量有增量x ∆时，函数的增量为)(32x o x e x y y ∆∆∆+=，若3ln )1(-=y ，则)20(3y =A ．2ln ；B ．2ln -；C ．20ln ；D ．20ln -．9．微分方程x y y ='-''4的通解为A ．1682421x x e c c y x +-+=；B ．1682421x x e c c y x -++=； C ．168)(2421x x e x c c y x --+=； D ．1682421x x e c c y x --+=． 10．微分方程x xe y y y 32=-'+''有一特解为A ．x e x x y )32(2-=；B ．x e x x y )32(2+=；C ．x e x x y )2(2-=；D ．x e x y )312(-=． 二、填空题1．微分方程y y y y y -'+''''=''2)(是 阶微分方程．2．以x c x y )(+=为通解的微分方程为 ．3．由参数方程⎩⎨⎧=-=)()()2(t tf y t f t x 所确定的函数)(x y y =的导数为3212-+=t t dx dy ，则满足1)3ln (=-f 的函数为 ．4．微分方程0cos tan 2=+-'x y x y y 的通解为 ．5．微分方程xe x y y y 3)1(96-=+'-''的特解形式可设为 ．6．微分方程x y y 2sin 44-=+''的特解形式可设为 ．7．x y =1、x e x y +=2、x e x y ++=13为常系数线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解，则此方程的通解为 ．8．微分方程034=+'-''y y y 的通解为 ．9．微分方程x e y y y 522510-=+'+''的通解为 ．10．微分方程x y y cos 2=+''的通解为 ．三、解答题1．求)0()1(2+∞<<=-+'x e y x y x x满足0)(lim 0=+→x y x 的解． 2．求经过点)0,21(且满足方程11arcsin 2=-+'x y x y 的曲线方程．3．求微分方程y xx y '+=''3213满足10==x y 、4|0='=x y 的特解． 4．求微分方程x x y y cos +=+''的通解．5．在过原点和（2，3）点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴及曲线围成的面积是另一条平行线与y 轴及曲线所围成面积的两倍，求此曲线方程．6．求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线1=x 、2=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积最小．7．求曲线 使曲线的法线上自曲线的点至法线与y 轴的交点上一段距离为常数a ．8．求满足方程⎰-+=-xx x f dt t x f 01)()(2可导函数)(x f ．9．)(x ϕ在),(+∞-∞上有定义，对一切实数x 、y ，都有)()()(x e y e y x y x ϕϕϕ+=+，若)(x ϕ在0=x 点可导，且1)0(='ϕ，（1）证明)(x ϕ在任一点都可导；（2）求)(x ϕ．一、1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．B ； 8．B ； 9．D ； 10．A ． 二、1．四阶； 2．x y xy =-'1； 3．x e x f 28)(=； 4．x c x y cos )(1+=； 5．x e b ax x 32)(+； 6．)2sin 2cos (*x B x A x y +=； 7．x e c c y x ++=21；8．x x e c e c y 321+=； 9．x x e x e x c c y 52521)(--++= ；10．x x x c x c y sin sin cos 21++=。
常微分方程期末试题
常微分方程期末试题一、填空题（3618''⨯=）1．x x xe C e C y 21+=所满足的一阶微分方程是 ．2. 方程1,(0)0dy x y y dx=++=的皮卡序列 . 3 12(),()y x y x ϕϕ==是二阶齐次微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的两个线性无关的解，1()y x ϕ=，2()y x ϕ=的朗斯基行列式W(x)= ．4．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，则Ax e = ． 5．方程x dxdy 2-=的解为 ． 6．奇解和包络的关系 .二、求解下列一阶微分方程.（8324''⨯=）1..2x xe y dxdy -=+2．0)cos sin ()sin cos =++-dy x x x y dx x x x y （3．')1'(y e y y -=三、求解下列微分方程组 （810'18''+=） (1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x dtdy yx dt dx 432(2) 110,010104dy Ay A dx -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭, 满足初始条件3(0)9.1y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭四．求234sin 2y y x '''+=+的通解．(10)'五．设二阶常系数微分方程22,0,(),a b dx x p q p a d q ad bc c d dt ⎛⎫=+≠=-+=- ⎪⎝⎭证明（1）0,0p q >>零解渐近稳定．（2）0,0p q =>零解稳定(10)'六、讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=y x dtdy yx dt dx αα 的零解的稳定性。
（10'）七．判定二阶系统⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y x dt dy yx dt dx 53的奇点类型并作出其相图．（10'）。
常微分方程阶段复习题2
《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。
（式中C C 12,为任意常数）（ ）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ） （A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（ ）（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。
常微分方程与特解求解
常微分方程与特解求解当然可以！这里是根据标题“常微分方程与特解求解”出的2 0道试题，包括选择题和填空题：1. 选择题：1.1. 常微分方程 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)的通解是什么？A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = 2x \)1.2. 特解是指常微分方程的解中满足什么条件的解？A. 只有一个解B. 满足特定的初值条件C. 是通解的特例D. 只在特定区间内成立2. 填空题：2.1. 对于 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \)，其通解是 \( y = \underline{\hspace{2cm}} + C \)。
2.2. 求解 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的通解： \( y =\underline{\hspace{2cm}}} \)。
3. 选择题：3.1. 对于 \( \frac{dy}{dx} = e^x \)，其特解满足 \(y(0) = 1 \)，特解是 \( \underline{\hspace{2cm}} \)。
A. \( y = e^x \)B. \( y = e^x + 1 \)C. \( y = e^x - 1 \)D. \( y = e^x + 2 \)4. 填空题：4.1. 求解 \( y' + 2y = 0 \) 的通解： \( y =\underline{\hspace{2cm}}} \)。
4.2. 对于 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)，其特解满足 \( y(0) = 3 \)，特解是 \( \underline{\hspace{2cm}} \)。
5. 选择题：5.1. 下列常微分方程中，其特解必须满足初值条件的是：A. \( y' = x \)B. \( y'' + 2y' + y = 0 \)C. \( y' = \sin(x) \)D. \( y'' - y = e^x \)6. 填空题：6.1. 求解 \( y' = \cos(x) \) 的特解： \( y =\underline{\hspace{2cm}}} \)。
常微分方程试题
常微分方程试题试题：考虑一个简单的一阶常微分方程：dy/dx + 2xy = x(a) 求解该微分方程。
(b) 给定初始条件 y(0) = 1，求在x=1处的解。
解答：(a) 首先，我们观察到该微分方程可以写成标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 2x，Q(x) = x。
这是一个一阶线性常微分方程。
要解这个方程，我们可以使用积分因子法。
首先确定积分因子μ(x)，它满足μ(x) = exp(∫P(x)dx)。
在本例中，P(x) = 2x，所以积分因子为μ(x) = exp(∫2xdx) = exp(x^2)。
将积分因子乘以原方程的两边，得到exp(x^2)dy/dx + 2xexp(x^2)y = xexp(x^2)。
左边等于 d/dx(exp(x^2)y)，所以方程可以简化为 d/dx(exp(x^2)y) = xexp(x^2)。
对上述方程两边同时积分，我们得到exp(x^2)y = ∫xexp(x^2)dx。
对右边进行积分，我们得到∫xexp(x^2)dx = 1/2 exp(x^2) + C，其中C是一个常数。
因此，最终的解为 exp(x^2)y = 1/2 exp(x^2) + C，或者写成 y = 1/2 + Ce^(-x^2)，其中C是一个常数。
(b) 根据给定的初始条件 y(0) = 1，我们可以将x=0和y=1代入解中，得到 1 = 1/2 + Ce^(0)。
解这个方程可得 C = 1/2。
因此，在x=1处的解为 y = 1/2 + (1/2)e^(-1) = 1/2 + 1/2e^(-1)。
以上就是该常微分方程试题的解答。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
常微分试题及答案
常微分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列关于微分方程的描述，错误的是（）。
A. 微分方程是含有未知函数及其导数的方程B. 微分方程的解是未知函数C. 微分方程的通解是包含任意常数的解D. 微分方程的特解是满足初始条件的解答案：B2. 一阶线性微分方程的一般形式是（）。
A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \)C. \( y'' + p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y' = q(x) \)答案：A3. 微分方程 \( y'' - y' - 2y = 0 \) 的特征方程是（）。
A. \( r^2 - r - 2 = 0 \)B. \( r^2 - r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + r - 2 = 0 \)D. \( r^2 + r + 2 = 0 \)答案：A4. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是（）。
A. \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)B. \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \)C. \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \)D. \( y = C_1 \cosh(4x) + C_2 \sinh(4x) \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1 \)________ + \( C_2 \) ________。
答案：\( e^{2x} \) \( e^{-2x} \)2. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1 \) ________ + \( C_2 \) ________。
试题集：常微分方程
1.常微分方程y′+2y=4e x的通解形式为？o A. y=2e x+Ce−2xo B. y=2e x+Ce2xo C. y=2e−x+Ce2xo D. y=2e−x+Ce−2x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性常微分方程，通过积分因子法求解，积分因子为e2x，从而得到通解形式。
2.方程y″−4y′+4y=0的特征方程为？o A. r2−4r+4=0o B. r2+4r+4=0o C. r2−4r−4=0o D. r2+4r−4=0参考答案: A解析: 特征方程由方程的系数确定，对于y″−4y′+4y=0，特征方程为r2−4r+4=0。
3.方程y″+9y=0的解中包含的函数类型是？o A. 指数函数o B. 三角函数o C. 对数函数o D. 幂函数参考答案: B解析: 该方程的特征方程为r2+9=0，解得r=±3i，因此解中包含三角函数。
4.方程y′=2y+3的平衡点是？o A. y=−32o B. y=32o C. y=−3o D. y=3参考答案: A解析: 平衡点满足y′=0，解方程0=2y+3得y=−3。
25.方程y″+4y′+4y=e2x的特解形式为？o A. y=Ax2e2xo B. y=Axe2xo C. y=A2xe2xo D. y=Ae2x参考答案: B解析: 由于e2x的形式，特解形式应为Axe2x。
6.方程y′=y2−4的奇点是？o A. y=2o B. y=−2o C. y=0o D. y=2,y=−2参考答案: D解析: 奇点满足y′=0，解方程0=y2−4得y=2,y=−2。
7.方程y″−5y′+6y=0的特征根是？o A. r=2,r=3o B. r=−2,r=−3o C. r=2,r=−3o D. r=−2,r=3参考答案: A解析: 特征方程为r2−5r+6=0，解得r=2,r=3。
8.方程y′=3y+e x的通解中包含的函数是？o A. e3xo B. e−3xo C. e xo D. e−x参考答案: A解析: 该方程为一阶线性方程，通解中包含e3x。
江苏省专转本高数数学常微分方程模拟试题练习(含答案)
专转本数学常微分方程模拟试题练习一、 选择题1．微分方程0)()(2222=++-dy y x dx y x 是A ．可分离变量微分方程；B ．齐次方程；C ．一阶线性方程；D ．贝努利方程．2．一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy =+的积分因子为 A ．⎰=-dx x p e )(μ； B ．⎰=dx x p e )(μ； C ．⎰=-dx x q e )(μ； D ．⎰=dx x p q e )(μ．3．微分方程012=+'+''y y 的通解是A ．x e x c c y -+=)(21；B ．x x ec e c y -+=21； C ．x e c c y x 21221-+=-； D ．x x c x c y 21sin cos 21-+=． 4．微分方程2-=-''x e y y 的一个特解可设为A ．b ae x +；B ．bx axe x +；C ．bx ae x +；D ．b axe x +。
5．微分方程x x y y y cos 912=+'+''的一个特解可设为A ．x b x a x b x a sin )(cos )(2211+++；B ．x x a x x a sin cos 21+；C ．x x a cos 1；D ．x b ax cos )(+．6．设常数a 、b 同号，则微分方程0)(=-'-+''aby y a b y 的通解为A ．bx ax e c ec y -+=21； B ．bx ax e c e c y 21+=-； C ．bx ax e c e c y 21+=； D ．bx ax e c e c y --+=21．7．已知1=x 时，1=y ，且函数)(x f y =满足方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ，则当221+=x 时，有=y A ．1； B ．21； C ．22； D ．221+． 8．函数)(x y y =在任意点x 处当自变量有增量x ∆时，函数的增量为)(32x o x e x y y ∆∆∆+=，若3ln )1(-=y ，则)20(3y =A ．2ln ；B ．2ln -；C ．20ln ；D ．20ln -．9．微分方程x y y ='-''4的通解为A ．1682421x x e c c y x +-+=；B ．1682421x x e c c y x -++=； C ．168)(2421x x e x c c y x --+=； D ．1682421x x e c c y x --+=． 10．微分方程x xe y y y 32=-'+''有一特解为A ．x e x x y )32(2-=；B ．x e x x y )32(2+=；C ．x e x x y )2(2-=；D ．x e x y )312(-=． 二、填空题1．微分方程y y y y y -'+''''=''2)(是 阶微分方程．2．以x c x y )(+=为通解的微分方程为 ．3．由参数方程⎩⎨⎧=-=)()()2(t tf y t f t x 所确定的函数)(x y y =的导数为3212-+=t t dx dy ，则满足1)3ln (=-f 的函数为 ．4．微分方程0cos tan 2=+-'x y x y y 的通解为 ．5．微分方程xe x y y y 3)1(96-=+'-''的特解形式可设为 ．6．微分方程x y y 2sin 44-=+''的特解形式可设为 ．7．x y =1、x e x y +=2、x e x y ++=13为常系数线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的解，则此方程的通解为 ．8．微分方程034=+'-''y y y 的通解为 ．9．微分方程x e y y y 522510-=+'+''的通解为 ．10．微分方程x y y cos 2=+''的通解为 ．三、解答题1．求)0()1(2+∞<<=-+'x e y x y x x满足0)(lim 0=+→x y x 的解． 2．求经过点)0,21(且满足方程11arcsin 2=-+'x y x y 的曲线方程．3．求微分方程y xx y '+=''3213满足10==x y 、4|0='=x y 的特解． 4．求微分方程x x y y cos +=+''的通解．5．在过原点和（2，3）点的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴及曲线围成的面积是另一条平行线与y 轴及曲线所围成面积的两倍，求此曲线方程．6．求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线1=x 、2=x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而得的旋转体的体积最小．7．求曲线 使曲线的法线上自曲线的点至法线与y 轴的交点上一段距离为常数a ．8．求满足方程⎰-+=-xx x f dt t x f 01)()(2可导函数)(x f ．9．)(x ϕ在),(+∞-∞上有定义，对一切实数x 、y ，都有)()()(x e y e y x y x ϕϕϕ+=+，若)(x ϕ在0=x 点可导，且1)0(='ϕ，（1）证明)(x ϕ在任一点都可导；（2）求)(x ϕ．一、1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．B ； 8．B ； 9．D ； 10．A ． 二、1．四阶； 2．x y xy =-'1； 3．x e x f 28)(=； 4．x c x y cos )(1+=； 5．x e b ax x 32)(+； 6．)2sin 2cos (*x B x A x y +=； 7．x e c c y x ++=21；8．x x e c e c y 321+=； 9．x x e x e x c c y 52521)(--++= ；10．x x x c x c y sin sin cos 21++=。
常微分方程试题库试卷库2
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。
２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。
３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。
5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。
6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。
二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、 形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。
2、 形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。
常微分方程习题集
常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程,称为变量分离方程,这里.分别为的连续函数;2、形如-的方程,称为伯努利方程,这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件;4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里5、设的某一解,则它的任一解-;二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解;3、求方程的隐式解;4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵;2.设为方程x=AxA为n n常数矩阵的标准基解矩阵即0=E,证明:t =t- t其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题2一、填空题：30%1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们有或无共同零点．7、设是方程的通解,则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根,则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：40%1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.10分四、求解微分方程组满足初始条件的解.10%五、证明题：10%设,是方程的解,且满足==0,,这里在上连续,．试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题41．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或常微分方程测试题5一、填空题30%1．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个,其中,．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是． 6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题30%1．试证明：对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续,且,求证：方程的任意解均有．3．设方程中,在上连续可微,且,．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．常微分方程测试题6一、填空题20%1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题25%1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是个．A B-1C+1D+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．A充分B必要 C充分必要D必要非充分3.方程过点共有个解．A一B无数C两D三4．方程奇解．A有一个B有两个C无D有无数个5．方程的奇解是．A B C D三、计算题25%=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分30%1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程80%1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x+}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知fx=1,x0,试求函数fx的一般表达式;8．一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比比例系数为的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比比例系数为;试求此质点的速度与时间的关系;二．证明题20%1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解;2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题.求下列方程的通解或通积分70%1.2.3.4.5．6．7．证明题 30%8.在方程中,已知,在上连续,且．求证：对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且,是定义在区间I上的两个解．求证：若<,,则在区间I上必有<成立常微分方程测试题9一、填空题30%1、方程有只含的积分因子的充要条件是;有只含的积分因子的充要条件是______________;２、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________;３、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________;４、若为阶齐线性方程的个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________;５、形如___________________的方程称为欧拉方程;６、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_____________________________;７、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题６０％1、２、３、若试求方程组的解并求expAt ４、５、求方程经过0,0的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题１０％１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解;常微分方程测试题10一、选择题30%1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中_______________________ .5对于任意的,为某一矩形区域,若存在常数使______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9若为毕卡逼近序列的极限,则有__________________ 10_________________________________________称为黎卡提方程,若它有一个特解,则经过变换___________________,可化为伯努利方程．二求下列方程的解 35%１２求方程经过的第三次近似解３讨论方程,的解的存在区间4求方程的奇解567三证明题 35%1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一<%建设目标%>常微分方程测试题 11一．填空题30%;1、当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;2、________________称为齐次方程;3、求=fx,y满足的解等价于求积分方程____________________的连续解;4、若函数fx,y在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________;5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________;6、方程组的_________________称之为的一个基本解组;7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________8、满足___________________的点,称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题60%1、求解方程：=2、解方程：2x+2y-1dx+x+y-2dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算6、试讨论方程组1的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0;三、证明题10%;试证：如果满足初始条件的解,那么常微分方程测试题13一、判断题10%1．方程是恰当方程;2．是三阶微分方程;3．是方程的通解;4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零;5．方程是二阶线性方程;二、选择题101．方程定义在矩形域上,则经过点的解的存在区间是;A．B．C．D．2．与初值问题等价的一阶方程组是________. A．B．C．D．3．方程是一个函数矩阵的解空间构成________维线性空间.A．n-1 B．n C．n+1 D．4．微分方程的一个解是A．B．C．D．5．方程有积分因子A．B．C．D．三、填空题20%1．方程通过点的第二次近似解是________________;2．当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;3．如果在且,则方程存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中,;4．若1,2,……,是齐线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程5．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________;6．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;7.若都是=AtX的基解矩阵,则具有关系：;8．方程的一个特解是________________________9．形如的方程称为欧拉方程;10．若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________;四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求解下列初值问题：;8分常微分方程测试题14一、判断题10%1．方程是二阶非线性方程;2．方程的通解是;3．利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件; 4．向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价; 5．若是阶齐次线性方程的个解,其伏朗斯基行列式,则在I上线性相关;二、选择题10%1．曲线满足方程A． B． C． D．2．积分方程的一个解是A． B． C． D．3．若微分方程有积分因子,则满足A． B．C． D．4．微分方程可化为A．B．C．D．5．设有微分方程,则有123A．方程1是线性方程式 B．方程2是线性方程C．方程3是线性方程 D．它们都不是线性方程三、填空题20%1.含有自变量、未知函数及它的导数或微分的方程,称为________________方程2．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;3．方程的一个特解是________________________;4．方程是自变量的对应的特征方程是_________________________; 5．一曲线,其上每点处的切线斜率为该点横坐标的二倍,且通过点,则该曲线方程是________________;6．微分方程初值问题与积分方程_________________________等价; 7．如果在矩形域R上满足：①_______________,②____________________,则方程存在惟一解;8．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________; 9．方程的常数解是____________________;10．微分方程是自变量的通解是_______________________;方程通过点的第二次近似解是________________四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求方程8分3．求方程9分4．求方程的通解;8分5．求方程的通解;9分6．求非齐次方程的通解;7．已知微分方程组的基解矩阵是, 求微分方程组的通解;9分。
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常微分方程模拟试题
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．
2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．
3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
5．方程
21d d y x
y
-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程y x x
y
+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程
1d d +=y x
y （ ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程
)(d d y f x
y
=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间
10．方程32
3d d y x
y
=过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：
11.
y y x y
ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x
y
+=
14．0)d (d 22
2=-+y y x x xy
15．3
)(2y y x y '+'=
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程2
55x y y -='-''的通解．
17．求下列方程组的通解．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=x t
y t y t x d d sin 1d d
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞
→x f x ，求证：方程
)(d d x f y x
y
=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞
→x y x ．
19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3．x
x
x e ,e 4．开 5．1±=y
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： 1y =为常数解 （1分）
当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y
y y
+=⎰⎰
d ln d （3分） 通积分为
x C y e ln = （6分）
注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
14．解： 因为x
x y ∂==∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰
20
d d 2 （4分）
计算得
C y y x =-
3
23
1 （6分）
15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为
3
2C Cx y += （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应齐次方程的特征方程为
052=-λλ， （1分）
特征根为
01=λ，52=λ， （2分）
齐次方程的通解为
x C C y 521e += （4分）
因为0=α是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
)()(2
1C Bx Ax x x y ++= （6分） 代入原方程，比较系数确定出 31=A ，5
1=B ，252=C （9分）
原方程的通解为
x x x C C y x
25
25131e
23521++++= （10分） 17．解： 齐次方程的特征方程为
21101λλλ
-=+=-- （1分）
特征根为
i λ=± （2分）
求得特征向量为
1i ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3分） 因此齐次方程的通解为 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t C t t C y x cos sin sin -cos 21 （4分） 令非齐次方程特解为
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t C t t t C y x cos sin )(sin -cos )(~~21 （5分） )(),(21t C t C '
'满足
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-0sin 1)()(cos sin sin cos 21t t C t C t t t t （6分） 解得
1)(,sin cos )(21='
='t C t
t t C （8分）
积分，得
t t C sin ln )(1=，t t C =)(2 （9分）
通解为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t t t t t t t C t t C y x cos sin ln sin -sin sin ln cos cos sin sin -cos 21 （10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明： 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为
00
e
d e )(e
)()(0x x x x x s x x s s f y x y ---⎰
+
= （4分）
取极限
00
e d e )(lim
e lim
)(lim )(0x x x
x x s x x x x x s s f y x y --+∞
→-+∞
→+∞
→⎰
+=
=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞==∞
<+⎰⎰∞---+∞→∞
-000000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()
()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若 （10分） 19．证明： 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式
⎰=-
x
0d )(0e
)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）
)(e
)()(x
0d )(0x p x W x W x s
s p ⎰='-
由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W
故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分）。