大一线性代数试题

一、选择题(1553=⨯分)

1．若A 为三阶正定矩阵，321,,ααα为三维非零列向量且0

=j T i A αα（3,2,1,,=≠j i j i ），则 。

（A ）321,,ααα线性相关；

（B ）321,,ααα线性无关；

（C ）321,,ααα可能线性相关，也可能线性无关；

（D ）只有当321,,ααα均为单位向量时，321,,ααα才线性无关．

2．若A 经过初等行变换为B ，则 。

（A ）A 的行向量组与B 的行向量组等价；

（B ）A 的列向量组与B 的列向量组等价；

（C ）A 的行向量组与B 的列向量组等价；

（D ）A 的列向量组与B 的行向量组等价．

3．设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3232γγαA ，

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知18=A ，2=B ，则=-B A 。

（A ）1 ； (B) 2 (C) 3； (D) 4．

4.向量组s ααα,,,21Λ线性无关的充分条件是 （A ） s ααα,,,21Λ均不是零向量

（B ） s ααα,,,21Λ中有部分向量线性无关

（C ） s ααα,,,21Λ中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示

（D ） 有一组数021====s k k k Λ，使得s s k k k ααα+++Λ2211=0

5.设V 是n 元齐线性方程组0=AX 的解空间，且r A rank =)(，则解空间V 的维数为

（A ）r V =dim ； （B ）r V >dim ； （C ）r n V ->dim ； （D ）r n V -=dim

二、填空题(1553=⨯分)

6．已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，且4321ααααβ+++=。则方程组β=Ax 的一个解向量为 ．

7. 向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5202α，

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7423α的一个最大线性无关组是 .

8. 当k = 时，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3012与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 121的内积为2.

9.设齐次线性方程组为021=+++n x x x Λ，则它的基础解系中所含向量的个数为 .

10.当k = 时，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3012与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 121是正交向量组.

三、计算题(60610=⨯分)

1．设

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 求数b a ,及A 的全体特征值与特征向量.

2.求向量组 )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=T a 的秩,并求一个

最大无关组。

3．设

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .

4．设向量空间3V 的基为 T 1)1,1,1,1(=α, T 2)1,1,1,1(-=α, T 3)1,1,1,1(--=α

求T )1,1,2,1(=α在该基下的坐标.

5．求由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间.

6．3R 中的两个基为),1,2,5(),4,1,3(),1,7,3(),3,3,2(),1,2,1(21321====ββααα＝ )6,1,1(3-=β.求从321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P .

四、证明题(1052=⨯)

1．设*ξ是方程组b AX =的一个解向量，r n b -≠ξξξΛ,,,021是其对应的齐次方程

组0=AX 的基础解系。证明：

(1)*21,,,ξξξξr n -Λ线性无关；

(2) ***2*1,,,ξξξξξξξ+++-r n Λ线性无关.

2.设有两个线性无关的向量组A :r ααα,,,21Λ；B :r βββ,,,21Λ 且A 可由B 线性表示，求证A 与B 等价.