大一线性代数试题
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。
则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。
7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。
8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。
9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。
10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。
12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。
13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。
答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。
答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。
答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
大一线性代数练习题
线性代数（一）一.填空题（4x6=24分）1.计算3阶行列式21141183--=- - 4 。
2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。
3.用行列式的性质计算：xy x y y x yx x yxy+++= -X^2-Y^2-XY 。
4.设A 为3阶方阵，而且2A =-,则=A A T 4=*A A1*4A A --=（注：*A 为A 的伴随矩阵.）5.设1114001205A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 则=AB ；T B A = ；=2A ；n A = 。
6. 设矩阵A 满足24A A E O +-=，则()1A E --= 。
二.选择题（4x9=36分） 1.12021k k -≠-的充分必要条件是（c ）。
A 、1k ≠- B 、3k ≠ C 、31k k ≠≠-且 D 、31k k ≠≠-或 2、如果1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=--，那么1D =（）。
A 、8 B 、-12 C 、24 D 、-243.如果304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则（）A 、01k k ==或B 、01k k ==-或C 、11k k ==-或D 、31k k =-=-或 4.设,(2)A B n n ≥为阶方阵，则必有（ ）.A 、AB A B +=+ B 、AB BA =;C 、 A B B A =;D 、 BA AB =.5.设cdb aa cb d ad b cd c b aD =4，则=+++44342414A A A A ( )。
A 、0; B 、1； C 、2)(d c b a +++; D 、22222)(d c b a +++. 6.设11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，14131211242322213433323144434241a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1001010000101000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，21000001001000001P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中A 可逆，则1B -等于（ ）。
大一线代试题及答案
大一线代试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性代数中，向量空间的维数是指：A. 向量空间中的向量个数B. 向量空间中的基的个数C. 向量空间中任意向量的分量数D. 向量空间中最大的线性无关向量组的向量个数答案：D2. 对于任意的矩阵A，行列式|A|等于：A. 矩阵A的迹B. 矩阵A的秩C. 矩阵A的逆的负数D. 矩阵A的主对角元素的乘积答案：A3. 如果一个矩阵A可逆，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的秩小于A的阶数C. A的行列式不为零D. A的转置矩阵不可逆答案：C4. 对于n维向量空间中的任意两个向量，它们：A. 一定线性相关B. 一定线性无关C. 可以线性相关也可以线性无关D. 以上都不对答案：C5. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的迹C. 满足方程Ax = λx的非零向量x对应的λD. 矩阵的行列式的值答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 向量组α1, α2, ..., αk的秩为r，那么这组向量的极大无关组中包含的向量个数为________。
答案：r个7. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I（单位矩阵），则称矩阵B为矩阵A的________。
答案：左逆矩阵8. 若向量β1, β2, ..., βs能由向量组α1, α2, ..., αt线性表示，且向量组α1, α2, ..., αt也能由向量组β1, β2, ...,βs线性表示，则称向量组α1, α2,..., αt和向量组β1,β2, ..., βs________。
答案：等价9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2 - aλ + b，那么矩阵A的迹为________。
答案：a10. 对于任意的n阶方阵A，|A^T| = |A|________。
答案：相等三、解答题（共75分）11. （15分）已知矩阵A和B满足AB=BA，证明(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案### 线性代数大学试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是3阶方阵，且|A| = 5，下列哪个矩阵是A的伴随矩阵？A. [1, 2, 3][4, 5, 6][7, 8, 9]B. [1, 4, 7][2, 5, 8][3, 6, 9]C. [1, 2, 3][2, 5, 8][3, 6, 5]D. [1, 2, 3][4, 5, 7][5, 6, 8]2. 向量组的线性相关性是指：A. 向量组中至少有一个向量是0向量B. 向量组中存在不全为0的向量，使得它们线性组合为0向量C. 向量组中任意向量都是其他向量的线性组合D. 向量组中任意向量都不是其他向量的线性组合3. 矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线上的元素B. 方阵A的非零解x满足Ax = λx的λC. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹...（此处省略其他选择题）#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是线性空间，并给出一个不是线性空间的例子。
2. 说明什么是矩阵的秩，并解释如何计算一个矩阵的秩。
#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A：```[2, 1, 1][1, 3, 1][1, 1, 2]```计算矩阵A的行列式，并判断矩阵A是否可逆。
2. 已知向量v1 = (1, 2, 3)^T和v2 = (4, 5, 6)^T，求这两个向量的点积。
#### 四、证明题（每题15分，共20分）1. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，即AB = BA，则矩阵A和B的特征值可以同时对角化。
2. 证明线性变换的核与像的维数之和等于定义域的维数。
#### 五、应用题（每题15分，共10分）1. 某公司有三种产品，其成本和售价如下表所示：| 产品 | 成本 | 售价 |||||| A | 10 | 15 || B | 20 | 30 || C | 5 | 10 |公司希望最大化利润，且每种产品的销售量不超过其成本的两倍。
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一、选择题(1553=⨯分)
1．若A 为三阶正定矩阵，321,,ααα为三维非零列向量且0
=j T i A αα（3,2,1,,=≠j i j i ），则 。
（A ）321,,ααα线性相关；
（B ）321,,ααα线性无关；
（C ）321,,ααα可能线性相关，也可能线性无关；
（D ）只有当321,,ααα均为单位向量时，321,,ααα才线性无关．
2．若A 经过初等行变换为B ，则 。
（A ）A 的行向量组与B 的行向量组等价；
（B ）A 的列向量组与B 的列向量组等价；
（C ）A 的行向量组与B 的列向量组等价；
（D ）A 的列向量组与B 的行向量组等价．
3．设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3232γγαA ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知18=A ，2=B ，则=-B A 。
（A ）1 ； (B) 2 (C) 3； (D) 4．
4.向量组s ααα,,,21Λ线性无关的充分条件是 （A ） s ααα,,,21Λ均不是零向量
（B ） s ααα,,,21Λ中有部分向量线性无关
（C ） s ααα,,,21Λ中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示
（D ） 有一组数021====s k k k Λ，使得s s k k k ααα+++Λ2211=0
5.设V 是n 元齐线性方程组0=AX 的解空间，且r A rank =)(，则解空间V 的维数为
（A ）r V =dim ； （B ）r V >dim ； （C ）r n V ->dim ； （D ）r n V -=dim
二、填空题(1553=⨯分)
6．已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，且4321ααααβ+++=。
则方程组β=Ax 的一个解向量为 ．
7. 向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5202α，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7423α的一个最大线性无关组是 .
8. 当k = 时，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3012与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 121的内积为2.
9.设齐次线性方程组为021=+++n x x x Λ，则它的基础解系中所含向量的个数为 .
10.当k = 时，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3012与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 121是正交向量组.
三、计算题(60610=⨯分)
1．设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 求数b a ,及A 的全体特征值与特征向量.
2.求向量组 )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=T a 的秩,并求一个
最大无关组。
3．设
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .
4．设向量空间3V 的基为 T 1)1,1,1,1(=α, T 2)1,1,1,1(-=α, T 3)1,1,1,1(--=α
求T )1,1,2,1(=α在该基下的坐标.
5．求由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间.
6．3R 中的两个基为),1,2,5(),4,1,3(),1,7,3(),3,3,2(),1,2,1(21321====ββααα＝ )6,1,1(3-=β.求从321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P .
四、证明题(1052=⨯)
1．设*ξ是方程组b AX =的一个解向量，r n b -≠ξξξΛ,,,021是其对应的齐次方程
组0=AX 的基础解系。
证明：
(1)*21,,,ξξξξr n -Λ线性无关；
(2) ***2*1,,,ξξξξξξξ+++-r n Λ线性无关.
2.设有两个线性无关的向量组A :r ααα,,,21Λ；B :r βββ,,,21Λ 且A 可由B 线性表示，求证A 与B 等价.。