2018数学高考(文)二轮复习检测：题型练8大题专项 函数与导数综合问题 Word版含

题型练8大题专项(六)

函数与导数综合问题

1.(2017全国Ⅰ,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

2.设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.

(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,求c的值.

4.已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.

(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

5.已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=lnx,h(x)=f(x)+g(x)(a∈R).

(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

(2)若函数h(x)有两个极值点x

1,x

2.

①求实数a的取值范围;

②当x

1∈时,求证:h(x

1)-h(x

2)>-ln 2.

6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ae(x-1).

(1)求b的值;

(2)若对任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.

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题型练8大题专项(六)

函数与导数综合问题

1.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).

①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)单调递增.

②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.

当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,lna)单调递减,在区间(lna,+∞)单调递增.

③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln.

当x∈时,f'(x)<0;

当x∈时,f'(x)>0.

故f(x)在区间单调递减,在区间单调递增.

(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.

②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.

从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.

③若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.

从而当且仅当a2≥0,

即a≥-2时f(x)≥0.

综上,a的取值范围是[-2,1].

2.解(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,

可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).

则g'(x)=-2a=,

当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

当a>0时,x∈时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,函数g(x)单调递减.

所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);

当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为.

(2)由(1)知,f'(1)=0.

①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.

②当01,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,

可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈时,f'(x)>0.

所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.

③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,

所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.

④当a>时,0<<1,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,

所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.

综上可知,实数a的取值范围为a>.

3.解(1)f'(x)=3x2+2ax,

令f'(x)=0,解得x

1=0,x

2=-.

当a=0时,因为f'(x)=3x2>0(x≠0),

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;

当a>0时,x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在区间,(0,+∞)内单调递增,在区间上单调递减;

当a<0时,x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在区间(-∞,0),内单调递增,在区间内单调递减.

(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,fa3+b,

则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而

又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.

设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,