第5章方差分析 分类变量对数值变量的影响 华南理工大学 工程硕士统计学教学课件
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第五章方差分析(上)PPT教学课件
2.来自不同总体的三个以上的独立被试组在相同条件 下接受同样的观测，得到三组以上的独立数据组；
3.因变量必须是连续测量的数据或近似于连续变化的 数据；
4.符合方差齐性的条件。
2020/12/10
11
二、多因素完全随机实验设计方差分析（GLM 方差分析）
当研究的自变量或准自变量不只一个，每个自变量的水平在两个 以上时，就会结合出四个以上的实验处理。将选取来的被试分成四个 独立组，每个组被试只接受一种条件下的实验观察，则构成多因素完 全随机实验设计。其数据分析则要使用SPSS程序中的“General Linear Model-Univariate”模块。
上述过程均可以通过SPSS程序来完成
ONEWAY ANOVA
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7
ONEWAY方差分析过程2
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8
ONEWAY方差分析过程3
2020/12/10
9
例4 研究者为考察反应时间的发展性变化趋势，分别从5岁、10岁、15 岁、20岁人群中随机抽取5名男性被试，在相同实验条件下完成一相同 的快速反应作业，记录反应时间，结果如下表所示。试问：被试是否存 在反应时间的显著性差异？
（3）S-N-K：使得每个比较，甚至极端组的比较，都被调整 在α水平。
（4）Scheffe：使用了非常严格的校正。
2020/12/10
6
如何选择事后多重比较的方法
（1）当研究者只关心成对比较时，Tukey检验和S-N-K检验 是较好的选择。但S-N-K检验更容易拒绝虚无假设。
（2）有人（Petrinovich & Hardyck, 1969）建议: 当进行成对 比较时， Tukey检验是较好的选择，它既有较好的检验力， 也能控制Ⅰ类错误；当进行任意多个比较的时候，Scheffe检 验是较合适的选择。
3.因变量必须是连续测量的数据或近似于连续变化的 数据；
4.符合方差齐性的条件。
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二、多因素完全随机实验设计方差分析（GLM 方差分析）
当研究的自变量或准自变量不只一个，每个自变量的水平在两个 以上时，就会结合出四个以上的实验处理。将选取来的被试分成四个 独立组，每个组被试只接受一种条件下的实验观察，则构成多因素完 全随机实验设计。其数据分析则要使用SPSS程序中的“General Linear Model-Univariate”模块。
上述过程均可以通过SPSS程序来完成
ONEWAY ANOVA
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ONEWAY方差分析过程2
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ONEWAY方差分析过程3
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例4 研究者为考察反应时间的发展性变化趋势，分别从5岁、10岁、15 岁、20岁人群中随机抽取5名男性被试，在相同实验条件下完成一相同 的快速反应作业，记录反应时间，结果如下表所示。试问：被试是否存 在反应时间的显著性差异？
（3）S-N-K：使得每个比较，甚至极端组的比较，都被调整 在α水平。
（4）Scheffe：使用了非常严格的校正。
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如何选择事后多重比较的方法
（1）当研究者只关心成对比较时，Tukey检验和S-N-K检验 是较好的选择。但S-N-K检验更容易拒绝虚无假设。
（2）有人（Petrinovich & Hardyck, 1969）建议: 当进行成对 比较时， Tukey检验是较好的选择，它既有较好的检验力， 也能控制Ⅰ类错误；当进行任意多个比较的时候，Scheffe检 验是较合适的选择。
第5章方差分析
第5章方差分析第5章方差分析方差分析是统计学的一个重要范畴，是对观察结果的数据作分析的一种常用的统计方法，目的是检验两个或多个样本均数间差异的显著性意义。
这种命名是因为在检验均数间差异是否具有统计学意义的过程中，我们实际上是通过比较方差而得到结果的。
方差分析主要用于均数差别的显著性检验、分离各有关因素并估计其对总变异的作用、分析因素间的交互作用和方差齐性检验。
方差分析具有广泛的用途，例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效可以用方差分析方法去解决。
方差分析的概念在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。
通常是比较不同实验条件下样本均值间差异。
方差分析是检验两个或多个样本均数间差异是否具有统计意义的一种方法。
1．方差分析原理方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：（l）随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组内差异。
用变量在各组的均值与该组内变量值之偏(离均)差平方和的总和表示。
记作SS组内。
(2)实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
用变量在各组的均值与总均值之偏(离均)差平方和的总和表示。
记作SS组间。
SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方值即组间均方和组内均方。
一种情况是处理没有作用，即各样本均来自同一总体。
MS组间/MS组内＝l。
考虑抽样误差的存在，则有MS组间/MS组内≈l。
另一种情况是处理因素确实有作用。
组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来自不同总体。
那么，组间均方会远远大于组内均方。
MS组间＞＞MS组内。
MS组间/MS组内比值构成F分布。
用F值与其临界值比较，推断各样本是否来自相同的总体。
2．方差分析的假设检验假设有m个样本，如果原假设H0：样本均数都相同μ1=μ2=μ3= =μm=μ，m个样本有22共同的方差σ。
则m个样本来自具有共同的方差σ和相同的均数μ的总体。
如果经过计算结果组间均方远远大于组内均方的F＞F0.05(f组间,f组内)，（括号中的两个f是自由度）则p＜0．05，推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异，有统计意义。
方差分析(ANOVA)PPT参考课件
三、多个样本均数的两两比较
34
2020/1/15
方差分析能说明什么问题？
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不
足 分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？哪两 两均数之间不等？
需要进一步作多重比较
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2020/1/15
能否用T检验呢 当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共 有c= ＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 27 7.19
2020/1/15
基本步骤
（1）建立假设，确定检验水准
2020/1/15
单因素方差分析 （1） 方差齐性检验
结果分析
2020/1/15
Test of Homogeneity of Variances
no
Levene Statistic 3.216
df1 2
df2 33
Sig. .053
Levene方法检验统计量为3.216，其P值为0.053，可 认为样本所来自的总体满足方差齐性的要求。
方差分析（ANOVA）
1
2020/1/15
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
2
2020/1/15
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
统计学第5章 方差分析
若是不完全相等，我们就会想知道究竟是哪 一个或哪几个均值与其他均值不等，但方差分析 却无法回答这个问题。
此时必须采用另外一种方法——多重比较法
二、多重比较法的概念
多重比较法——是指通过多个总体均值之间 的配对比较，来进一步检验到底哪些均值之间存 在差异。
多重比较法包含种类繁多，如最小显著差异 法、q检验法等。这里我们重点介绍由R.Fisher提 出的最小显著差异法。
2、构造检验统计量F
因为
水平间方差 F 水平内方差
所以，构造检验统计量F的过程，实际上就 是计算水平间方差和水平内方差的过程。
◆计算F统计量的具体步骤
1）计算各水平均值和总均值； 2）计算误差平方和。包括总误差平方和SST、误 差项平方和SSE和水平项误差平方和SSA； 3）确定SST、SSE和SSA的自由度； 4）计算两个方差——水平间方差MSA和水平内方 差MSE； 5）计算检验统计量F。
◆单因素方差分析——即只有一个因素的方 差分析。如玩具颜色对产品销售量的影响。
◆多因素方差分析——即有多个因素的方差 分析。如农作物品种、施肥方法、气候、土壤等 因素对农作物产量的影响。
多因素方差分析中又以双因素方差分析最为 常见。
5.2 方差分析的原理
一、差异的来源
从方差分析的目的来看，是要检验各个水平 的均值是否相等，而实现这个目的的手段是通过 方差的比较。
1）计算各水平均值和总均值 水平均值的计算公式
xi
x
i 1
ni
ij
ni
全部数据的总均值为
x
x
i 1 j 1kຫໍສະໝຸດ niijn
n x
i 1 i
k
i
n
第五讲 方差分析(共67张PPT)
生接受知识的能力是一个控制变量。因此，随机变 量和控制变量的划分并不是绝对的，根据分析 情况的不同而不同，应区别对待）。
5
可以对两个普通的班级分别使用两种不同的教 学方法，一段时间后进行测试，就可以得到不同教 学方法对教学效果的影响。同样，也可以使用不同 的教材，分析其对教学效果的影响。
6
方差分析就是实现上述功能的分析方法。方差
Brown-Forsythe 17.681 2 8.087 .001
a. Asymptotically F distributed.
32
5.2.5 结果报告
The assumption of homogeneity of variances has been violated(F(2,15)=3.86, p<0.05). Welch’s asymptotical F distribution(F(2,8.96)=46.06, p<0.001) reports that math learning effects are significantly different among the three groups.
33
5.3 多因素方差分析
5.3.1 统计学上的定义和计算公式
定义：多因素方差分析中的控制变量在两个或
两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量 的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机 变量是否对结果产生了显著影响。例如，在本章 开始讲述的例子，在获得教学效果的时候，不仅 单纯考虑教学方法，还要考虑不同风格教材的影 响，因此这是两个控制变量交互作用的效果检验。
Welch’s F
30
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
5
可以对两个普通的班级分别使用两种不同的教 学方法，一段时间后进行测试，就可以得到不同教 学方法对教学效果的影响。同样，也可以使用不同 的教材，分析其对教学效果的影响。
6
方差分析就是实现上述功能的分析方法。方差
Brown-Forsythe 17.681 2 8.087 .001
a. Asymptotically F distributed.
32
5.2.5 结果报告
The assumption of homogeneity of variances has been violated(F(2,15)=3.86, p<0.05). Welch’s asymptotical F distribution(F(2,8.96)=46.06, p<0.001) reports that math learning effects are significantly different among the three groups.
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5.3 多因素方差分析
5.3.1 统计学上的定义和计算公式
定义：多因素方差分析中的控制变量在两个或
两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量 的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机 变量是否对结果产生了显著影响。例如，在本章 开始讲述的例子，在获得教学效果的时候，不仅 单纯考虑教学方法，还要考虑不同风格教材的影 响，因此这是两个控制变量交互作用的效果检验。
Welch’s F
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5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
第五章方差分析PPT学习教案
单因素方差分析
第8页/共39页
图5-1 选择菜单 图5-2 One-Way ANONA 对话框 图5-3 Options对话框
图5-4 One-Way ANONA: Post Hoc Multiple Compairisons对话框 图5-3 One-Way ANONA: Options对话框
第9页/共39页
12
53.674
Total
112898.000
18
Corrected Total
5250.000
17
a. R Squared = .877 (Adjusted R Sq uared = .826)
F 17.163 1774.340 30.700
6.542 5.588
组别和性别对数学成绩有显著影响
Sig . .000 .000 .000 .025 .019
Homogeneous Subsets
lun g
Subset for alpha = .05
group
N
1
2
3
Student-Newman-Keuls a,b 1
11
1.7909
2
9
2.3111
3
11
3.0818
Sig .
1.000
1.000
1.000
Means for groups in homogeneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 10.241.
问题关键点：众多影响因素中寻找主要因素，加以控制。 影响教学效果和学生掌握知识的效果的因素：
教学方法 教材使用 学生接受知识的能力 寻找主要因素，以提高教学水平： 可控变量：教学的方法、教材的使用。 随机变量：学生接受知识的能力。 措施： 分别使用不同的教学方法，一段时间后测试。
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图5-1 选择菜单 图5-2 One-Way ANONA 对话框 图5-3 Options对话框
图5-4 One-Way ANONA: Post Hoc Multiple Compairisons对话框 图5-3 One-Way ANONA: Options对话框
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53.674
Total
112898.000
18
Corrected Total
5250.000
17
a. R Squared = .877 (Adjusted R Sq uared = .826)
F 17.163 1774.340 30.700
6.542 5.588
组别和性别对数学成绩有显著影响
Sig . .000 .000 .000 .025 .019
Homogeneous Subsets
lun g
Subset for alpha = .05
group
N
1
2
3
Student-Newman-Keuls a,b 1
11
1.7909
2
9
2.3111
3
11
3.0818
Sig .
1.000
1.000
1.000
Means for groups in homogeneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 10.241.
问题关键点：众多影响因素中寻找主要因素，加以控制。 影响教学效果和学生掌握知识的效果的因素：
教学方法 教材使用 学生接受知识的能力 寻找主要因素，以提高教学水平： 可控变量：教学的方法、教材的使用。 随机变量：学生接受知识的能力。 措施： 分别使用不同的教学方法，一段时间后测试。
《应用统计学》(05)第5章 分类变量对数值变量的影响
因子均方 F ~ F (k 1, n k ) 残差均方
3. 计算P值，作出决策
*
单因素方差分析表
(基本结构)
平方和 自由度 均方 误差来源 (MS) (SS) (df) 组间 (因素影响) 组内 (误差) SSA k-1 MSA F值 MSA MSE F P值 临界值
SSE SST
n-k n-1
2. 用F分布作出决策，给定的显著性水平
若F>F(或P<) ，则拒绝原假设H0 ，表明均 值之间的差异显著，因素对观察值有显著影 响
*
误差分析
(F分布与拒绝域)
如果均值相等， F= MS因子/ MS残差1
拒绝H0
不拒)
*
5.1 方差分析解决什么问题？ 5.1.3 在什么条件下进行分析？
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服
从正态分布总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 2 2 对于分类变量的k个水平有： 12 2 k 这 一 假 设 也 被 称 为 方 差 齐 性 (homogeneity
比如，不同位置超市之间销售额的差异
可能是随机误差，也可能是超市位置本身所造成的系
统性系统误差
3. 总误差(total)
全部观测数据的误差大小
*
误差表示
(平方和—SS)
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示 2. 组内平方和(sum of squares for error) 也称误差平方和或残差平方和，记为SS残差 不同因子(不同位置超市)的组内误差平方和 3. 组间平方和(sum of squares for factor) 也称因子平方和，记为SS因子 不同因子(不同位置超市)的组间误差平方和 4. 总平方和(sum of squares for total) 反映全部数据误差大小的平方和，记为SST 5. 误差间的关系：SST=SS因子+SS残差
3. 计算P值，作出决策
*
单因素方差分析表
(基本结构)
平方和 自由度 均方 误差来源 (MS) (SS) (df) 组间 (因素影响) 组内 (误差) SSA k-1 MSA F值 MSA MSE F P值 临界值
SSE SST
n-k n-1
2. 用F分布作出决策，给定的显著性水平
若F>F(或P<) ，则拒绝原假设H0 ，表明均 值之间的差异显著，因素对观察值有显著影 响
*
误差分析
(F分布与拒绝域)
如果均值相等， F= MS因子/ MS残差1
拒绝H0
不拒)
*
5.1 方差分析解决什么问题？ 5.1.3 在什么条件下进行分析？
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服
从正态分布总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 2 2 对于分类变量的k个水平有： 12 2 k 这 一 假 设 也 被 称 为 方 差 齐 性 (homogeneity
比如，不同位置超市之间销售额的差异
可能是随机误差，也可能是超市位置本身所造成的系
统性系统误差
3. 总误差(total)
全部观测数据的误差大小
*
误差表示
(平方和—SS)
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示 2. 组内平方和(sum of squares for error) 也称误差平方和或残差平方和，记为SS残差 不同因子(不同位置超市)的组内误差平方和 3. 组间平方和(sum of squares for factor) 也称因子平方和，记为SS因子 不同因子(不同位置超市)的组间误差平方和 4. 总平方和(sum of squares for total) 反映全部数据误差大小的平方和，记为SST 5. 误差间的关系：SST=SS因子+SS残差
第5章方差分析 分类变量对数值变量的影响 华南理工大学 工程硕士统计学教学课件
5.2单因素方差分析
1.做出原假设和备择假设
H0 : 1 2 k H1 : 1 2 k
2.计算每一种因素水平下的样本均值
xj
j
x
i 1
r
ij
r
3.计算总均值
x x kr
ij
x k
5.2单因素方差分析
在单因素方差分析中，有三个平方和（SS）：总离差 平方和 SST 、因素水平间离差平方和 SSR 、因素水平内 离差平方和SSE。这三个平方和之间存在以下关系式。
第 5章 分类变量对数值变量的影响 （方差分析）
方差分析
方差分析的思想 单因素方差分析 双因素分析
方差分析
问题的提出： 1.了解不同专业毕业的学生在第一年工作中所获得的平均收入是否 有显著差别？影响平均收入的因素是？专业、性别、能力、职业 2.不同地区人口的期望寿命是否有显著差别？ 影响期望寿命的因素有：收入水平、医疗水平、气候、生活水平 3.不同地区在第一季度的平均温度是否有显著差别？ 影响温度的因素有：地理位置、季节因素 方差分析就是针对一定因素（Factor）分析各总体的各个因素水平 （ Factor level ） 是 否 有 差 异 。 方 差 分 析 的 对 象 称 为 因 素 （Factor），因素的内容称为因素水平（Factor level）。 单因素方差分析（One-Way analysis of variance）:针对一个因 素进行分析 双因素方差分析（Two-Way analysis of variance）：针对两个因 素进行分析
有交互作用的双因素方差分析531无交互作用的双因素方差分析?两个因子对现象的影响是相互独立的?两个因素各自对现象有影响?两个因素搭配在一起对现象没有影响532有交互作用的双因素方差分析?两个因素各自对现象有影响?两个因素的搭配对现象也有影响?两个因素的不同搭配水平对现象有不同的影响?利用excel的方差分析功能进行计算和分析本章小结?方差分析是基本的统计分析方法之一?在各总体方差相等的前提下检验总体的均值是否有差异?单因素方差分析
第五章 方差分析 《统计学》PPT课件
MST SST , MSA SSA , MSE SSE
nr 1
r 1
nr r
上式中分母的数值为对应平方和的自由度 。
为了检验 H0 ，定义F统计量
F MSA SSA/(r 1) ~ F(r 1, nr r) MSE SSE/(nr r)
对给定置信水平 ， F 统计量的数值大于
F (r 1, nr r)，则拒绝零假设 H0 ，即认为因素
。
i 1
j 1
利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.8） 中参数的估计如下：
ˆ y, ˆi yi y, ˆj y j y
其中
y
1 nrs
r i 1
sn
yijk ,
j1 k 1
1 r n
y j nr i1
yijk
k 1
yi
1 ns
s j 1
n
yijk ,
k 1
2.方差分解
１、模型结构
当考虑有交互效应时，双因素方差分析模型 表述为：
yijk i j ij ijk （5.14）
i 1, , r, j 1, , s, k 1, , n, 上式中参数 ij
表示交互效应，它满足约束条件
r
s
ij ij 0 ，
i 1
j 1
其他参数的假设与模型（5.8）相同。利用 最小二乘估计理论，可以得到模型（5.14）中 参数的估计如下：
体存在显著差异。
2、多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均值相等的证据不足 ————>分析终止。
拒绝H0，接受H1, 表示总体均值不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ ————>需要进一步作多重比较。
一种使用比较多的是所有成对假设，形成 如下的假设问题：
第5章 方差分析-正式课件
这样，处理效应不固定，是随机的，这种模型称为随机模型。
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取 部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况， 这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体， 如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章 方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节 方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国 统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作 为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源 的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的 估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相 等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取 部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况， 这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体， 如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章 方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节 方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国 统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作 为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源 的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的 估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相 等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
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第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
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第5章方差分析PPT学习教案
2_new1 2_new2 2_new3 2_new4 2_new5 2_new6 2_new7 2_new8 2_new9
三组不同性别学生的数学成绩
数学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 0 56.00 56.00
以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计 算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率 值。 如果F控制变量的相伴概率小于或等于显著性 水平，则控制变量的不同水平对观察变量产 生显著的影响；如果F协变量的相伴概率小于 或等于显著性水平，则协变量的不同水平对 观察变量产生显著的影响。
第57页/共65页
研究问题
第20页/共65页
图5-4 “One-Way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框
第21页/共65页
图5-5 “One-Way ANOVA：Contrasts”对话框
第22页/共65页
（1）首先是单因素方差分析的前提检验 结果，也就是Homogeneity of variance test
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（2）输出的结果文件中第2个表格如下所示 。
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（3）输出的结果文件中第3个表格如下所示 。
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（4）输出的结果文件中第4个表格如下所示 。
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（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
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小结
单因素方差分析所解决的是一个因素下 的多个不同水平之间的相关问题；多因素方 差分析的控制变量在两个或两个以上，其主 要用于分析多个控制变量的作用、多个控制 变量的交互作用以及其他随机变量是否对结 果产生了显著影响；协方差分析将那些很难 控制的因素作为协变量，在排除协变量影响 的条件下，分析控制变量对观察变量的影响 ，从而更准确地对控制因素进行评价。
三组不同性别学生的数学成绩
数学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 0 56.00 56.00
以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计 算F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率 值。 如果F控制变量的相伴概率小于或等于显著性 水平，则控制变量的不同水平对观察变量产 生显著的影响；如果F协变量的相伴概率小于 或等于显著性水平，则协变量的不同水平对 观察变量产生显著的影响。
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研究问题
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图5-4 “One-Way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框
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图5-5 “One-Way ANOVA：Contrasts”对话框
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（1）首先是单因素方差分析的前提检验 结果，也就是Homogeneity of variance test
第23页/共65页
（2）输出的结果文件中第2个表格如下所示 。
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（3）输出的结果文件中第3个表格如下所示 。
第25页/共65页
（4）输出的结果文件中第4个表格如下所示 。
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（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
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小结
单因素方差分析所解决的是一个因素下 的多个不同水平之间的相关问题；多因素方 差分析的控制变量在两个或两个以上，其主 要用于分析多个控制变量的作用、多个控制 变量的交互作用以及其他随机变量是否对结 果产生了显著影响；协方差分析将那些很难 控制的因素作为协变量，在排除协变量影响 的条件下，分析控制变量对观察变量的影响 ，从而更准确地对控制因素进行评价。
第五章方差分析
某种特定状态或数量等级称为因素水平，简 称水平。光照：光照的三个不同时间长短 温度：三个大小不同 的温度
试验处理（treatment）: 事先设计好的实施
在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如 进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上 的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。 二因素实验，3x3个水平组合，即3x3个处理
st2 =
SSt dft
se2 =
SSe dfe
第五章方差分析
平方和
自由度 方差
处理间 SSt 1n Ti2 C dft k1
处理内 SSeSSTSSt defk(n1)
总变异 SST x2C dTf nk1
st 2
SS t df t
se2
SS e df e
C T2 nk
第五章方差分析
某猪场对4个不同品种幼猪进行4个月增重量的测 定，每个品种选择体重接近的幼猪4头，测定结果列于 下表，试进行方差分析。
第五章方差分析
F检验
F
st2 se2
在进行不同处理差异显著性的F 检验时，一般是把处理
间方差作为分子，称为大方差，误差方差作为分母，称为 小方差。
无效假设是把各个处理的变量假设来自同一总体，即处 理间方差不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理间
的样本方差σt2 与误差的样本方差σe2 相等：
Ho ：σt2 ＝ σe2
重 复 大白
品 沈白
种 沈黑
沈花
1 31.9 24.8 22.2 27.0
2 24.0
25.7 23.0 30.8
3 31.8
26.8 26.7 29.0
4 35.9
25.9 24.3 24.6
Ti 123.6 103.2 96.2
试验处理（treatment）: 事先设计好的实施
在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如 进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上 的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。 二因素实验，3x3个水平组合，即3x3个处理
st2 =
SSt dft
se2 =
SSe dfe
第五章方差分析
平方和
自由度 方差
处理间 SSt 1n Ti2 C dft k1
处理内 SSeSSTSSt defk(n1)
总变异 SST x2C dTf nk1
st 2
SS t df t
se2
SS e df e
C T2 nk
第五章方差分析
某猪场对4个不同品种幼猪进行4个月增重量的测 定，每个品种选择体重接近的幼猪4头，测定结果列于 下表，试进行方差分析。
第五章方差分析
F检验
F
st2 se2
在进行不同处理差异显著性的F 检验时，一般是把处理
间方差作为分子，称为大方差，误差方差作为分母，称为 小方差。
无效假设是把各个处理的变量假设来自同一总体，即处 理间方差不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理间
的样本方差σt2 与误差的样本方差σe2 相等：
Ho ：σt2 ＝ σe2
重 复 大白
品 沈白
种 沈黑
沈花
1 31.9 24.8 22.2 27.0
2 24.0
25.7 23.0 30.8
3 31.8
26.8 26.7 29.0
4 35.9
25.9 24.3 24.6
Ti 123.6 103.2 96.2
统计学课件之方差分析
2.9850 2.9320
-1.8100 -1.8960
平均
2.0320 3.8850 2.9585 -1.8530
a1-a2
0.0960 0.0100 0.0530
单独效应 其他因素固定时，同一因素不同水平的差异 主效应 某一因素各水平的平均差别 交互效应 某因素的各单独效应随另一因素改变而变化
完全随机设计方案与随机区组设计方案的比较
方差齐性检验（Bartlett法，求一个卡方值）
方差不齐的处理——非参数检验
在设计阶段未预先考虑或预料到，经假设检验得 出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的多 个均数的两两事后比较，多用于探索性研究 方法有：SNK-q test、Bonfferoni-t test等
xi
0.5542 0.4167 0.3438 0.1646 0.3698 （ x ）
xi2 3.9350 2.3925 1.7006 0.5906 8.6187 （ x2 ）
随机区组设计
方案 配伍组设计，为配对设计的扩展（1：m） 首先将受试对象按可能影响试验结果的属性
相同或相近分组（非随机），如按性别、体重、 年龄、职业、病情等。共形成b个区组，再分别将 各区组内的试验单位随机分配到各处理组。
试问：三组ATP总体均数是否存在差别？ 若三组间存在差别，则推论B组和C组的处理对ATP
的影响。
表1 大鼠烫伤后ATP的测量结果（mg）
A组
B组
C组
xij
7.76
11.14
10.85
7.71
11.60
8.58
8.43
11.42
7.19
8.47
13.85
9.36
10.30
(05)第5章 分类变量对数值变量的影响
MS因子=SS因子÷自由度(因子个数-1) 自由度(因子个数-
3. 组 内 均 方 也 称 组 内 方 差 (within-groups (withinvariance) ，反映随机误差的大小
MS残差=SS残差÷自由度(数据个数-因子个数) 自由度(数据个数-因子个数)
2008年 2008年5月 5 - 12
(单因素方差分析) 单因素方差分析)
第 1 步 ： 选 择 【Analyze】 Analyze】 【Compare Means】 Means】 One-Way-ANOVA】 【One-Way-ANOVA】进入主对话框 第2步：在主对话框中将因变量(投诉次数)选入 【Dependent List】，将自变量(行业)选入【Factor)】 List】 将自变量(行业)选入【Factor)】 需要多重比较时)点击【Post-Hoc】 第3步 (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】从中选择一 种方法， LSD； 需要均值图时) 种方法，如LSD； (需要均值图时)在【Options】下 Options】 选 中 【Means plot】 ， ( 需 要 相 关 统 计 量 时 ) 选 择 plot】 【Descriptive】，点击【Continue】回到主对话框。 Descriptive】 点击【Continue】回到主对话框。 点击【OK】 点击【OK】
3. 总误差(total) 总误差(total)
全部观测数据的误差大小
2008年 2008年5月 5 - 10
应用统计学
Applied Statistics
误差表示
(平方和—SS) 平方和—
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示 数据的误差用平方和( squares) 2. 组内平方和(sum of squares for error) 组内平方和( error)
3. 组 内 均 方 也 称 组 内 方 差 (within-groups (withinvariance) ，反映随机误差的大小
MS残差=SS残差÷自由度(数据个数-因子个数) 自由度(数据个数-因子个数)
2008年 2008年5月 5 - 12
(单因素方差分析) 单因素方差分析)
第 1 步 ： 选 择 【Analyze】 Analyze】 【Compare Means】 Means】 One-Way-ANOVA】 【One-Way-ANOVA】进入主对话框 第2步：在主对话框中将因变量(投诉次数)选入 【Dependent List】，将自变量(行业)选入【Factor)】 List】 将自变量(行业)选入【Factor)】 需要多重比较时)点击【Post-Hoc】 第3步 (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】从中选择一 种方法， LSD； 需要均值图时) 种方法，如LSD； (需要均值图时)在【Options】下 Options】 选 中 【Means plot】 ， ( 需 要 相 关 统 计 量 时 ) 选 择 plot】 【Descriptive】，点击【Continue】回到主对话框。 Descriptive】 点击【Continue】回到主对话框。 点击【OK】 点击【OK】
3. 总误差(total) 总误差(total)
全部观测数据的误差大小
2008年 2008年5月 5 - 10
应用统计学
Applied Statistics
误差表示
(平方和—SS) 平方和—
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示 数据的误差用平方和( squares) 2. 组内平方和(sum of squares for error) 组内平方和( error)
分类变量对数值变量的影响 PPT课件
因子均方 F ~ F (k 1, n k ) 残差均方
3. 计算P值，作出决策
*
单因素方差分析表
(基本结构)
平方和 自由度 均方 误差来源 (MS) (SS) (df) 组间 (因素影响) SSA k-1 MSA F P值 临界值
F值
MSA MSE
组内 (误差)
总和
SSE SST
n-k n-1
MSE
*
用Excel进行方差分析
(Excel分析步骤)
第1步：选择“工具 ”下拉菜单 第2步：选择【数据分析】选项 第3步：在分析工具中选择【单因素方差分析】 ， 然后选择【确定】 第4步：当对话框出现时
在【输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输出选项 】中选择输出区域
2
*
第 5 章 分类变量对数值变量的影响
5.3 考虑两个分类自变量的影响
5.3.1 不考虑交互作用 5.3.2 考虑交互作用
(two-way analysis of variance)
考虑两个分类变量的影响 (two-way analysis of variance)
1. 2. 分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验 结果的影响 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分 别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的 双因素方差分析称为 无交互作用的双因素方差分析 或 无 重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor without replication) 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外， 两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这 时的双因素方差分析称为 有交互作用的双因素方差 分 析 或 可 重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with replication)
3. 计算P值，作出决策
*
单因素方差分析表
(基本结构)
平方和 自由度 均方 误差来源 (MS) (SS) (df) 组间 (因素影响) SSA k-1 MSA F P值 临界值
F值
MSA MSE
组内 (误差)
总和
SSE SST
n-k n-1
MSE
*
用Excel进行方差分析
(Excel分析步骤)
第1步：选择“工具 ”下拉菜单 第2步：选择【数据分析】选项 第3步：在分析工具中选择【单因素方差分析】 ， 然后选择【确定】 第4步：当对话框出现时
在【输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输出选项 】中选择输出区域
2
*
第 5 章 分类变量对数值变量的影响
5.3 考虑两个分类自变量的影响
5.3.1 不考虑交互作用 5.3.2 考虑交互作用
(two-way analysis of variance)
考虑两个分类变量的影响 (two-way analysis of variance)
1. 2. 分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验 结果的影响 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分 别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的 双因素方差分析称为 无交互作用的双因素方差分析 或 无 重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor without replication) 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外， 两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这 时的双因素方差分析称为 有交互作用的双因素方差 分 析 或 可 重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with replication)
第5章方差分析
第5章 方差分析5.1 方差分析的意义方差分析是数理统计的基本方法之一，是工农业生产和科学研究中分析数据的一种工具。
方差分析的目的是确定观测对象的影响因子。
如在化工生产或实验中，原料的组成、反应温度、压力、反应时间、反应器类型、催化剂配方等都可能影响产品的收率和质量。
在这些因素中，有的影响大一些，有的影响小一些。
为了使生产过程得以稳定，保证优质高产，确定最佳操作条件，就有必要找出对产品收率或质量有显著影响的那些因素，然后加以控制。
方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效方法。
5.2 单因素试验的方差分析及其Excel 程序 5.2.1 问题的提出例5-1 考察温度对某一化工产品收率的影响，选了5种不同的温度，同一温度下做了3次试验，测得结果如表5-l 。
试问温度的变化是否显著影响产品的收率？ 这个实验的目的是确定各温度水平间产品的收率有无显著差异。
从表5-1的数据中可以看出，不同温度下的收率是不同的，即使在同一温度下，收率也不一样。
产生这些差异的原因是由于偶然因素的干扰及测量误差所造成的？还是由于实验条件的变化而影响的呢？换句话说，这些差异是试验误差(随机误差)还是条件误差(系统误差)呢？这个问题可以通过方差分析的方法得出结论。
表5-1 例5-1的实验数据表温度(℃)60 65 70 7580收率(％)90 97 96 848492 93 96 838688 92 93 8882平均收率90 94 95 85845.2.2 单因素试验的方差分析方法如果在一项实验中，只有一个因素在改变，而其他因素保持不变的话，我们称之为单因素试验。
因素所处的状态称为水平。
在例5-1中，考察的因素是温度，有5个温度等级，即5个水平。
为不失一般性，设因素A 有J 个水平A 1， A 2，…A j ，…，A J ，在每个水平下都做了I 次测试，水平A j 下第i 次试验数据用表示。
单因素多水平试验安排表j i x ,如表5-2所示。
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同时考虑两个因素对多个总体均值的影响 如同时考虑专业和性别对工资收入的影响； 同时考虑温度和施肥量对粮食产量的影响 分为： 1.无交互作用的双因素方差分析 2.有交互作用的双因素方差分析
5.3.1无交互作用的双因素方差分析
两个因子对现象的影响是相互独立的 两个因素各自对现象有影响 两个因素搭配在一起对现象没有影响
5.3.2有交互作用的双因素方差分析
两个因素各自对现象有影响 两个因素的搭配对现象也有影响 两个因素的不同搭配水平对现象有不同的影响 利用EXCEL的方差分析功能进行计算和分析
本章小结
方差分析是基本的统计分析方法之一 在各总体方差相等的前提下,检验总体的均值是 否有差异 单因素方差分析：只考虑一个影响因素对各总 体均值水平的影响 双因素方差分析：同时考虑两个因素水平对各 总体均值水平的影响 1.无交互作用 2.有交互作用
5.1方差分析的原理
假设各总体的均值相等，没有显著差异。
H0 : 1 2 k H1 : 1 2 k
在原假设成立的条件下，抽样，利用样本的信息检验原 假设 如果检验结果，接受原假设，认为因素水平对总体均值 没有显著影响。 如果检验结果，拒绝原假设，认为因素水平对总体均值 有显著影响
5.1方差分析的原理
通过比较样本方差，进行方差分解，来检验原假设
在方差分析中通常用两个方差来衡量：一个是基于样本 均值之间差异的因素水平间方差，组间方差。另一个 是基于样本内部差异的因素水平内方差，组内方差。
如果这两个方差的比值近似为1，方差分析的结果可以得 到总体均值相同，无差异。如果这两个方差的比值偏 离1，方差分析的结果可以得到总体均值不相同，有差 异。
第 5章 分类变量对数值变量的影响 （方差分析）
方差分析
方差分析的思想 单因素方差分析 双因素分析
方差分析
问题的提出： 1.了解不同专业毕业的学生在第一年工作中所获得的平均收入是否 有显著差别？影响平均收入的因素是？专业、性别、能力、职业 2.不同地区人口的期望寿命是否有显著差别？ 影响期望寿命的因素有：收入水平、医疗水平、气候、生活水平 3.不同地区在第一季度的平均温度是否有显著差别？ 影响温度的因素有：地理位置、季节因素 方差分析就是针对一定因素（Factor）分析各总体的各个因素水平 （ Factor level ） 是 否 有 差 异 。 方 差 分 析 的 对 象 称 为 因 素 （Factor），因素的内容称为因素水平（Factor level）。 单因素方差分析（One-Way analysis of variance）:针对一个因 素进行分析 双因素方差分析（Two-Way analysis of variance）：针对两个因 素进行分析
方差分析中所用到的概率分布是 F 分布， 该分布是为纪念著名统计学家R.A.Fisher （ 1890 － 1962 ）而得名。因素水平间方 差和因素水平内方差之比也服从 F 分布。
因素水平间方差 F 因素水平内方差
5.2单因素方差分析
水 平 A1 X11 x12 x13 A2 X21 x22 x23 A3 X31 x32 x33 抽样结果 x1r x2r x3r 平均
5.2单因素方差分析
1.做出原假设和备择假设
H0 : 1 2 k H1 : 1 2 k
2.计算每一种因素水平下的样本均值
xj
j
x
i 1
r
ij
r
3.计算总均值
x x kr
ij
x k
5.2单因素方差分析
在单因素方差分析中，有三个平方和（SS）：总离差 平方和 SST 、因素水平间离差平方和 SSR 、因素水平内 离差平方和SSE。这三个平方和之间存在以下关系式。
x （ 1 ）SST x x x n （2）SSE [ x x ]
2 2 ij 2 ij j
SST SSR SSE
2
(3)SSR x j x (4)SSR SST SSE
j
2
5.2单因素方差分析
方差类型 因素水平间方差 因素水平内方差 总方差 离差平方和SS SSR SSE SST 自由度df k-1 n-k n-1 均方误差MS SSR/(k-1)=MSR SSE/(n-k)=MSE F值 MSR/MSE
SSR /(k 1) F(k 1, k (r 1)) SSE /(n k ) F (k 1, (n k ))
将F统计值与临界值比较
F F (k 1, (n k )),拒绝原假设 F F (k 1, (n k )),不能原假设
5.3双因素方差分析
方差分析：分析某个（两个）因素对多个总体的 均值是否有显著影响？ 方差分析的前提条件：被检验的样本为服从正态 分布总体中的随机样本，各个总体的标准差相 等，并且样本的选择是独立的 在各总体方差相等的前提下，分析某个因素对多 个因素水平均值的影响是否显著？ 在各总体方差相等的前提下，检验多个总体的均 值是否相等？
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x3
xr
Ak Xk1 xk2 xk3
xkr
H0 : 1 2 3 k
单因素方差分析是只针对一个因素进行分析，旨在分析 该因素对样本的观察值是否产生影响，各因素水平的样 本容量大小可以一致，也可以不一致。单因素方差分析 一般分为： （1）建立原假设和备择假设； （2）确定显著性水平； （3）建立检验统计量；F （4）确定临界值； （5）计算F统计量值，并于临界值比较。 （6）做出决策。