九年级数学下册 第二章二次函数复习教案 湘教版
1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质(3)-湘教版九年级数学下册教案
1.2 二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质（3）-湘教版九年级数学下册教案一、学习目标1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象及其性质。
2.理解二次函数y=a(x-h)^2的变化规律。
3.能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
二、教学重难点1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，并能够进行简单的变化规律推断。
2.理解如何将实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
3.理解二次函数图象的不同变化规律。
三、学习内容1. 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一个开口向上或向下的抛物线，其中(h, k)为抛物线的顶点。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，当a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。
2. 二次函数y=a(x-h)2的变化规律在二次函数y=a(x-h)2中，a表示抛物线的开口方向和抛物线的开口大小。
当a>0时，表示抛物线开口向上；当a<0时，表示抛物线开口向下。
同时，a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。
3. 二次函数应用题利用二次函数的形式解决一些实际问题是数学学科中的重要应用之一。
通过一些具体的例子，可以帮助学生更好地掌握二次函数的理论知识。
例如，一个投射物的高度与时间的关系可以表示为y=-0.5x^2+10x，其中，x表示时间，y表示高度。
四、学习方法在学习过程中，学生可以通过练习题来巩固所学的知识。
同时，老师可以引导学生多思考实际问题的转化过程，并帮助学生掌握二次函数图象的不同变化规律。
五、作业1.练习册P19~P20，1、2、3、4、6、8题。
2.根据实际问题，自己构造1个二次函数，并绘制其图象。
六、教学反思通过本节课的学习，学生可以更好地掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，更好地理解二次函数的变化规律，能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
2019-2020年九年级数学下册 第二章二次函数复习教案 湘教版
2019-2020年九年级数学下册第二章二次函数复习教案湘教版二、要点整合1、二次函数平移例1：已知二次函数 y=ax2-bx+c (-1 《 b<1》. 当 b 从一 1 逐渐变化到 1 的过程中 , 它所对应的抛物线位置也随之变动 , 下列关于抛物线的移动方向的移动方向的描述中 , 正确的是( )(A)先往左上方移动 , 再往左下方移动(B)先往左下方移动 , 再往左上方移动(C)先往右上方移动 , 再往右下方移动(D)先往右下方移动 , 再往右上方移动2. 二次函数的对称轴及顶点坐标的求法例2已知抛物线y=ax2 + bx+c经过 (-1,0),(0, - 3),(2, - 3) 三点 .(1) 求这条抛物线的解析式 ;(2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标3. 二次函数的图象及 a 、 c 、 b2-4ac 的符号(1) 二次函数的图象是一条抛物线 .(2) 二次函数 y= a x2+bx+c( a≠ O) 的性质例3.在同一直角坐标系中 , 一次函数 y= ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的图象可能为图中的（）(A) (B) (C) (D)4、综合应用阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．三、需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
四．自我测试1.抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为．2．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．3．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B 是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线上的是．4．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是．5．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为．6．已知二次函数的最小值为1，那么m 的值等于 ． 7．二次函数的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．8．抛物线的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．10、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？2019-2020年九年级数学下册 等价转化思想学案 人教新课标版班级 姓名 学号 学习目标：体会什么是等价转化思想，会利用等价转化的思想解决常见问题。
湘教版(2012)初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质—y=a(x-h)2教案
《二次函数的图像与性质——y=ɑ(x －h)2》教学设计一、教学目标通过抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)抛物线得到y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) ，由此探究出y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) 的性质，并利用性质解决相关问题。
让学生经历探索过程、体验数学的趣味，以此培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数据分析等数学核心素养。
二、教学重、难点（ 一 ）重点掌握y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) 的性质，并利用性质解决相关问题。
（ 二 ）难点根据抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)平移后的图像，探究得到它的解析式是：y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0)三、教具准备投影仪、红外线电子笔四、教学过程（一）温故1、请说出抛物线；23x y -=的开口方向、对称轴和顶点。
2、对于 y=2x 2 ：（1）当x=2时，y= ，经过点（ 2, ）；（2）当x=3时，y= ，经过点（ 3, ）；（3）当x=ɑ时，y= ；经过点（ ɑ, ）。
3、回答下列问题(其中x 为自变量，y 为因变量)：（1）抛物线y=-3x 2，经过点（ m , ）；（2）抛物线y= ，经过点（ n , 4n 2）；（3）点（t,-t 2）为抛物线上任意一点，则它的解析式为y= ；（二）探究问题1：221x y =的开口方向、对称轴和顶点分别是？（此处利用课件动画演示：y 轴也可以用直线x=1来表示） 问题2：将221x y =向右平移一个单位长度后，观察其开口方向、对称轴和顶点分别是？（PPT 上出示动态课件）探究一：将抛物线221x y =向右平移一个单位长度，对比平移前后两段抛物线的解析式、开口方向、对称轴和顶点填表平移前 平移后 解析式开口方向对称轴顶点若将二次函数221x y =向右平移1个单位长度，得到抛物线： ；（PPT 上出示动态课件，并带学生一起探究得出解析式）探究二：若将二次函数221x y =向右平移2个单位长度，平移后的图像的解析式是什么？（PPT 上出示动态课件，让学生自己探究得出解析式）填表：若将二次函数221x y =：（1）向右平移3个单位长度，得到抛物线：；（2）向右平移h个单位长度，得到抛物线：；探究三：猜想：（1）向左平移1个单位长度，得到抛物线：；（2）向左平移1个单位长度，得到抛物线：；（3）向左平移3个单位长度，得到抛物线：；（4）向左平移h个单位长度，得到抛物线：；验证：用几何画板来验证一下吧！归纳总结：我们可以得到（课本第11页）：二次函数y=ɑ(x－ɑ≠0) 的图像是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是（h,0）。
九年级数学下册 课题 22二次函数的图像教案(2) 湘教版 教案
课题：2.2二次函数的图像（2）教学目标：1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解2ax y =，2)(m x a y +=，k m x a y ++=2)(三类二次函数图像之间的关系。
3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。
教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。
教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。
教学设计： 一、知识回顾二次函数2ax y =的图像和特征：1、名称 ；2、顶点坐标 ；3、对称轴 ；4、当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 (除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外)。
二、合作学习在同一坐标系中画出函数图像221x y =，,)2(212+=x y 2)2(21-=x y 的图像。
（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？（2） 顶点和对称轴有什么关系？（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？三、探究二次函数2ax y =和2)(m x a y +=图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察,)2(212+=x y 与221x y =的图像位置关系，直观得出221x y =的图像−−−−−→−向左平移两个单位,)2(212+=x y 的图像。
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：（0，0）−−−−−→−向左平移两个单位（-2，0） （2，2）−−−−−→−向左平移两个单位（0，2）； （-2，2）−−−−−→−向左平移两个单位（-4，2） ②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。
2、 用同样的方法得出221x y =的图像−−−−−→−向右平移两个单位2)2(21-=x y 的图像。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了二次函数的定义、图像和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的性质，并为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的函数思维。
但二次函数相对于一次函数来说，概念较为抽象，图像和性质的理解也需要一定的空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解二次函数的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像特点；2.了解二次函数的性质，能够运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和图像特点；2.二次函数的性质及其运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究二次函数的性质；3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力；4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对二次函数图像和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次函数的图像和性质；2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和讨论；3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线射击、自行车刹车等问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的定义，通过课件展示二次函数的图像，让学生观察和理解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，尝试绘制一些简单的二次函数图像，加深对二次函数图像特点的理解。
4.巩固（10分钟）讲解二次函数的性质，引导学生通过思考、交流，总结二次函数的性质。
九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版)
九年级数学下册《二次函数的图像与性质（2）》教学教案（湘教版）一、教学目标1.理解和掌握二次函数关于x轴对称的性质。
2.掌握二次函数关于顶点对称的性质。
3.掌握二次函数的图像与系数之间的关系。
二、教学重点1.理解和掌握二次函数关于x轴对称和顶点对称的性质。
2.掌握二次函数图像与系数之间的关系。
三、教学难点1.掌握二次函数图像与系数之间的关系。
2.理解和运用二次函数关于x轴对称和顶点对称的性质。
四、教学过程1. 导入教师可通过讲解实际生活中的问题引入二次函数的图像与性质。
2. 概念讲解2.1 二次函数关于x轴对称的性质：通过讲解二次函数关于x轴对称的定义，引导学生理解二次函数图像关于x轴对称的性质。
2.2 二次函数关于顶点对称的性质：通过讲解二次函数关于顶点对称的定义，引导学生理解二次函数图像关于顶点对称的性质。
3. 探索练习3.1 给出一个二次函数的图像，让学生根据图像找出函数的关于x轴对称的性质和关于顶点对称的性质，并解释原因。
3.2 给出一个二次函数的图像，让学生通过改变系数的值，观察函数图像发生的变化，并总结二次函数图像与系数之间的关系。
4. 知识总结通过学生的探索和讨论，引导学生总结二次函数图像与系数之间的关系，并和学生一起归纳和概括相关结论。
5. 拓展应用5.1 给出一道综合应用题，让学生运用所学的二次函数图像性质解决问题。
5.2 让学生通过观察和研究二次函数的图像，找出一个具体的实际问题，并利用二次函数图像性质进行解决。
6. 小结与反思通过对本节课的学习内容进行小结，引导学生对所学知识进行反思，并解答学生的问题。
五、课堂作业1.完成课堂上的练习题。
2.思考并解答课上的拓展应用题。
六、板书设计（根据教学内容设计板书）七、教学反思本节课的教学目标主要是让学生理解和掌握二次函数关于x轴对称和顶点对称的性质，以及二次函数图像与系数之间的关系。
通过引入实际问题和让学生进行探索练习，可以提高学生的兴趣和主动参与性。
湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教案2
《二次函数的图象与性质》教案教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；2．通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：什么叫做二次函数？生：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.问题2：画函数图象的主要步骤是什么？生：(1)列表，(2)描点，(3)连线问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？生：一次函数y=kx+b(k，b都是常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k ＜0时，y随x的增大而减小.思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？二、探究交流，获取新知操作：请你画出二次函数y=x2的图象.(1)观察y=x²的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：((3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x²的图象.议一议：对于二次函数y=x2的图象.(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.生：抛物线(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？生：图象与x轴有交点.交点坐标是 (0，0).(3)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？生：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.因为抛物线上的最低点坐标是 ( 0，0 ) .(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.生：图象是轴对称图形. 它的对称轴是y轴.对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称……师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.做一做：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.(1)列表：(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y =-x ²的图象. 议一议：说说二次函数y =-x ²的图象有哪些性质，与同伴交流. (1)图象与x 轴交于原点(0，0). (2)y ≤0.(3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小. (4)当x =0时，y 最大值=0. (5)图象关于y 轴对称. 例1画二次函数212y x 的图象. 三、知识拓展1.画出二次函数y =2x 2的图象，根据图象回答下列问题： (1)抛物线y =2x 2的开口方向是怎样的？ (2)抛物线y =2x 2顶点坐标、对称轴各是多少？(3)当x 为何值时，y 随着x 的增大而增大；当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小. (4)函数y 有最大值还是最小值？为什么？2.给出下列四个函数：○1y =x ，○2y =-x ，○3y =x 2，○4y =1x，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小的函数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 四、自我小结，获取感悟1.二次函数y =±x 2的图象是什么形状？2.二次函数y =±x 2有哪些性质？ (1)位置与开口方向； (2)顶点坐标与对称轴； (3)增减性与最值.五、布置作业课本习题1.2的第1、2题.《二次函数的图象与性质》教案(2)教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；2．通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.教学过程一、知识回顾，导入新课1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：2.画一画在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，二、探究交流，获取新知思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=2x2的图象.探索交流：二次函数y=x²的图象与y=2x²、y=12x²的图象有什么相同和不同？相同点：做一做：在下列平面直角坐标系中，作出y=-x2和y=-2x2的图象.生：动手操作画图，思考：它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x2和y=-2x2的图象开口向下.探究：函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.师生共同总结：y=ax2 (a≠0)的图象与性质特征，探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.生：学生动手操作，老师巡视，结论：1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位；2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.共同交流：二次函数y=-3x2+12，y=-3x2-12的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？生：让学生总结出它们之间的关系.思考：二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象与y=ax2+c (a≠0) 的图象有什么异同？老师点拨：y=ax2及y=ax2+c(a≠0)的图象和性质：y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的，当c＞0 时，向上平移c个单位；当c＜0 时，向下平移︱c︱个单位.1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ).A. y=-(x+2)2B.y=-x2+2C.y=-x2+2D. y=-(x-2)22.在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-1 与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03.坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图象，其顶点坐标为( ) A . (0，-2) B . (1，-24) C .(0，-48) D .(2，48) 4．将抛物线y =x 2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________． 5．小汽车刹车距离s (m )与速度v (km /h )之间的函数关系式为21100S v =，一辆小汽车速度为100km /h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车__________有危险(填“会”或“不会”).例2、画二次函数214y x =-的图象.五、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？ 2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？ 3.对老师说，你还有哪些困惑？ 六、布置作业 习题1.2.《二次函数的图象与性质》教案(3)教学目标知识与技能1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.过程与方法1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.情感、态度与价值观1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.教学重点与难点重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.教学准备多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：根据你所学知识回答下列各问题，1.函数y=12x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_____值是________.2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？二、探究交流，获取新知请你在同一坐标系中画出下列函数的图象：(1)y=2x2 (2)y=2(x-1)2完成下表：系？生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，议一议：(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=22的图象有什么关系？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.(2)二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)(3)二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？生：当x＜1时，y的值随x值的增大而增大；当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.(4)你能发现二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.结论：二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.想一想：由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2-12，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-12的图象吗？生：由二次函数y=2x2的图象向下平移12个单位长度可得二次函数y=2x2-12的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移12个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2-12的图象.归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.H＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移.k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移.一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：1.回答下列问题：(1)二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(2)对于二次函数y=-3(x+2)2当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( )A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为___________.4.将抛物线y=-12x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．5.若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E(x，2x+1)记，…，则E(x，x2-2x+1)可以由E(x，x2)怎样平移得到( )A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位例3、画函数y=(x-2)2的图象.六、自我小结，获取感悟1.y=a(x-h)2+k的图象特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.七、布置作业习题1.2.《二次函数的图象与性质》教案(4)教学目标知识与技能1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.过程与方法1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；2．通过学生的合作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.情感、态度与价值观1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点与难点重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：二次函数y=-2(x-3)2+5的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是____.当x=_________时，y有最_______值，是__________；当x___________时，y随x的增大而增大；当x___________时，y随x的增大而减小. 它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度，再向_____平移____个单位长度得到的.问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k(1)当a＞0时，它的开口______，对称轴是___________，顶点坐标是_______________ ___.当x=_________时，y有最_____值是_______；当x_____时，y随x的增大而增大；当x___ __时，y随x的增大而减小.(2)当a＜0时，它的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是_________________.当x =_________时，y 有最_______值是______；当 x _______时，y 随x 的增大而增大；当x _______时，y 随x 的增大而减小.问题3：我们已经认识了形如y =a (x -h )2+k 的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y =2x 2-4x +5的图象和性质吗？二、探究交流，获取新知请你利用已学过的知识将二次函数y =2x 2-4x +5化成y =a (x -h )2+k 的形式.解： y =2x 2-4x +5=2(x 2-2x )+5=2(x 2-2x +1-1)+5=2(x -1)2-2+5=2(x -1)2+3 三、例题讲解例1：求二次函数y =2x 2-8x +7图象的对称轴和顶点坐标.解析：要求二次函数y =2x 2-8x +7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y =a (x -h )2+k 的形式.解：y =2x 2-8x +7 =2(x 2-4x )+7=2(x 2-4x +4)-8+7=2(x -2)2-1因此，二次函数y =2x 2-8x +7图象的对称轴是直线x =2，顶点坐标为(2，-1). 做一做：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：(1)y =3x 2-6x +7 (2)y =2x 2-12x +8生：学生解答，教师巡视，发现问题即时解答.例2:求二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴和顶点坐标. 生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨.解：把二次函数y =ax 2+bx +c 的右边配方，得：y =ax 2+bx +c=a (x 2+b a x )+c =a [x 2+2·b a x +(2b a )2-(2b a )2]+c =a (x +2b a)2+244ac b a因此，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线 x =-2b a ，顶点坐标为(-2b a ，244ac b a -). 点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式四、随堂练习1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y =9400x 2+910x +10表示，而左、右两条抛物线关于y 轴对称. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标(1)y =2x 2-12x +3； (2)y =-5x 2+80x -319；(3)y =2(x -12)(x -2)； (4)y =3(2x +1)(2-x ). 合作交流：二次函数图象与系数a 、b 、c 之间有何关系？a 决定抛物线的形状、开口方向当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下，a 越大抛物线的开口越小. b 影响对称轴的位置当ab ＞0时，抛物线的对称轴在y 轴的左侧；当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴，当ab ＜0时，抛物线的对称轴在y 轴的右侧.c 确定抛物线与y 轴的交点位置当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，当c =0时，抛物线经过坐标原点，当c ＜0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上例4、画二次函数21(1)32y x =+-的图象. 例5、已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y 轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.例6、求二次函数21212y x x =-+-的最大值. 五、挑战自我：1.对于二次函数y =2(x +1)(x -3)，下列说法正确的是( )A .图象的开口向下B .当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C .当x ＞1时，y 随x 的增大而减小D .图象的对称轴是直线x =-1 2.(2014•遵义)已知抛物线y =ax 2+bx 和直线y =ax +b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( )A .B .C .D . 3.若一次函数y =x 2-2x +c 的图象与y 轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( ) A .最小值-2 B .最小值-3 C .最小值-4 D .最大值-44.二次函数y =x 2-2x -3的图象与x 轴交于点A (-1，0)，B ，顶点为P ，求△P AB 的面积.六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？七、布置作业习题1.2。
2019-2020年九年级数学下册 2.2二次函数的图象与性质教案 湘教版
2019-2020年九年级数学下册 2.2二次函数的图象与性质教案 湘教版教学目标设计 知识目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
情感目标：进一步培养数形结合方法研究函数的性质 教学方法设计让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.交流中发现新知识.教学过程一、温故知新，导入新课 温故知新1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)。
2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)提出问题，引入新课4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?（因为y ＝－12x 2＋x －52＝－12(x －1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－2)。
5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、自主学习,合作探究解决问题4：不画出图象，如何求出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？（板演配方过程）我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版)
九年级数学下册《二次函数的图像与性质（2）》教学教案（湘教版）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级数学下册第2章二次函数阶段专题复习课件湘教版
【思路点拨】根据抛物线的开口方向,对称轴位置及与y轴交点 位置判断a,b,c的符号从而判断①,根据对称轴判定②,根据抛物 线的对称性判断③,根据x=-1时的函数值判断④⑤.
【自主解答】选B.∵开口向上,∴a>0,
∵与y轴交于负半轴,∴c<0, ∵对称轴x= b>0,∴b<0,
2a
∴abc>0,故①正确;
∵对称轴x= b=1,
2a
∴b+2a=0,故②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),故③正确; ∵当x=-1时,y=a-b+c<0, ∴a+c<b,故④错误; ∵a-b+c<0,b+2a=0, ∴3a+c<0,故⑤正确.故选B.
【解析】(1)∵y=0.5x+2交x轴于点A, ∴0=0.5x+2,∴x=-4,与y轴交于点B, ∵x=0,∴y=2,∴A(-4,0),B(0,2). ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且 OC=2, ∴可设二次函数y=a(x-2)2, 把B(0,2)代入,得a=0.5, ∴二次函数的解析式为y=0.5x2-2x+2.
考点 1 待定系数法求二次函数解析式 【知识点睛】 1.二次函数解析式常用的三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(其中x1,x2为抛物线与x轴 交点的横坐标)
2.选择不同表达形式求二次函数关系式的技巧: (1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx +c(a≠0)的形式,然后组成三元一次方程组来求解. (2)当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时,通常设为顶 点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式. (3)当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与 x轴一个交点和对称轴时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)的形式.
湘教版九年级数学下册二次函数教学案
湘教版九年级数学下册二次函数教学案总13课时编写人阳卫民第二章、二次函数总序第9个教案课题建立二次函数模型第1课时编写时间2022年11月日执教时间2022年11月日执教班级教学目标：知识与技能：1．探索并归纳二次函数的概念，熟练掌握二次函数的一般形式及自变量的取值范围。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
过程与方法：通过用二次函数表示变量之间关系的体验过程，增强对函数的感性认识，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观：通过学生之间的交流合作的过程，培养学生的合作意识，体验与他人交流合作的重要性。
教学重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念。
教学难点：建立二次函数数学模型。
教具：电脑、课件教学方法：分析法、讨论法、讲授法、练习法学具：教学过程及教学内容设计：一、创设情境，导入新课1．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球2．观察：篮球投篮时，掷铅球时在空中运行的路线是一条什么样的路线？3．导入课题二、合作交流，解读探究（课件演示）1．通过实际问题建立二次函数模型问题一：植物园的面积（教科书“动脑筋”问题1）------植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？问题二：电脑的价格（教科书“动脑筋”问题2）2．二次函数的概念和一般形式A.交流讨论：观察上面得出的两个函数关系式有什么共同点？B.归纳及注意：二次函数的自变量取值范围是所有实数。
C.二次函数的特殊形式。
三、应用迁移，巩固提高（课件演示例题）1．类型之一----二次函数的概念2．类型之二----建立二次函数模型四、总结反思，拓展升华五、当堂检测反馈作业：后记：总序第10个教案第二章、二次函数课题二次函数的图象与性质第1课时编写时间2022年11月日执教时间2022年11月日执教班级教学目标：知识与技能：1．能够运用描点法作出函数y=a某2(a＞0)的图象。
2．能根据图象认识和理解二次函数y=a某2(a＞0)的性质。
九年级数学下册课题2.1二次函数教案湘教版【教案】
课题： 2.1 二次函数授课目的：1、从本质情况中让学生经历研究剖析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验怎样用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的看法，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能依照实诘责题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的剖析式。
授课重点：二次函数的看法和剖析式授课难点：本节“合作学习”涉及的实诘责题有的较为复杂，要修业生有较强的概括能力。
授课方案：一、创立情境，导入新课问题 1、现有一根 12m长的绳子，用它围成一个矩形，怎样围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以经过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” （板书课题）二、合作学习，研究新知请用合适的函数剖析式表示以下问题中情况中的两个变量y 与 x 之间的关系：（1）面积 y (cm 2) 与圆的半径x ( Cm )(2)王先生计人银行 2 万元 , 先存一个一年如期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期, 设一年如期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y 元 ;(3) 拟建中的一个温室的平面图如图, 若是温室外面是一个矩形，周长为12Om,室内通道的尺寸如图 , 设一条边长为x (cm),种植面积为y (m2)111x 3（一）教师组织合作学习活动：1、先个体研究，试一试写出y 与 x 之间的函数剖析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体研究的基础上，小组进行合作交流，共同商议。
（1） y = πx2 （ 2）y = 2000(1+x) 2 = 20000x 2+40000x+20000(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112（二）上述三个函数剖析式拥有哪些共同特色？让学生充分宣告建议，提出各自看法。
湘教初中数学九下《1.1 二次函数》word教案 (2)
湘教版九年级数学下册第二章二次函数教案（共15课时）课题第２章二次函数2.1 建立二次函数模型共_1_课时第_1_课时课型新授教学目标1. 通过对实际问题情境分析，建立二次函数的模型.2. 初步理解二次函数的概念，并能确定自变量的取值范围．3. 进一步体验建立数学模型的思想方法．重点难点重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念．难点：建立二次函数数学模型．教学策略探究、讲解、练习教学活动课前、课中反思（一）创设情境１．欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……２．观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？（二）复习引入我们已知道，可以建立数学模型一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）来刻画直线，反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ≠０）来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数．（点出课题）（三）探求新知１.出示投影１，教科书Ｐ.２１“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化（１）学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｘｍ，则与围墙相对的一面墙的长为（１００－２ｘ）ｍ，于是矩形植物园的面积Ｓ＝ｘ(１００－２ｘ），即Ｓ＝－２ｘ２＋１００ｘ．（２）学生合作讨论ｘ的取值范围．由ｘ＞０，１００－２ｘ＞０，得０＜ｘ＜５０．（３）概括．由上述（1）、（2）可得关系式Ｓ=-２ｘ２+100ｘ，０＜ｘ＜５０，有了这个关系式，我们对植物园的面积Ｓ随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．２.出示投影２，教科书Ｐ.２１”动脑筋”中问题———电脑的价格．师生共同分析交流，得出：平均降价率ｘ与售价ｙ之间的关系：ｙ＝6000（１－ｘ）２，０＜ｘ＜１．即ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000，０＜ｘ＜１．引导学生观察上述两个函数解析式，并说出函数关系式Ｓ＝-2ｘ２＋100ｘ（０＜ｘ＜５０）和ｙ＝6000ｘ２－12000ｘ＋6000（０＜ｘ＜１）有什么共同特点？通过上述分析抽象出：函数解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）．二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制．二次函数有下列特殊形式：ｙ＝ａｘ２（ａ≠０，ｂ＝０，ｃ＝０）；ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ≠０，ｂ≠０，ｃ＝０）；ｙ＝ａｘ２＋ｃ（ａ≠０，ｂ＝０，ｃ≠０）．（四）讲解例题例１．下列函数中，哪些是二次函数？（１）ｙ＝３ｘ－１；（２）ｙ＝３ｘ２＋１；（３）ｙ＝３ｘ３＋２ｘ２；（４）ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１；（５）ｙ＝ｘ２；（６）ｙ＝ｋｘ２－２．例２.已知y＝(ｍ２－２ｍ）ｘ２ｍ２－３ｍ是二次函数，求ｍ的值．（五）应用新知教科书Ｐ.２２练习题．选取部分学生的解题过程在投影上显示，师生共同评价订正．（六）课堂小结１.判断一个函数是否是二次函数，关键看什么？自变量最高次数是２，二次项系数ａ≠０．２.二次函数中，自变量取值有什么限制？从两方面考虑：一是自变量取值要使函数解析式有意义；二是自变量取值要使实际问题有意义．（七）布置作业教科书Ｐ.２３习题Ａ组第１，２题，选做Ｂ组．课后反思编写时间20 年 月 日 执行时间20 年 月 日。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教案2
《二次函数》教案教学目标1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.3.体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识.教学重难点重点：二次函数的概念.难点：在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程教学过程一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2)与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x，(0<x<50)；电脑价格y(元)与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000，(0<x<1).它们有什么共同点？一般形式是y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数？二次函数.2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢？有.二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义:一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例题：如课本的图片，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上个截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积s(cm2)与x之间的函数表达式.练习：写出下列函数表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.(1)正方形的面积S关于它的边长x的函数；(2)圆的周长C关于它的半径r的函数关系；(3)圆的面积S关于它的半径r的函数关系；(4)当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长度y关于另一条对角线的长度x的函数.课后总结通过学习指导二次函数的定义以及它的注意事项. 课后作业习题1.1。
湘教版(2012)初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质 教案
1.2.1 二次函数的图像与性质一．学习目标：1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象，理解抛物线的有关概念。
2、经历、探索二次函数y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。
二．学习重、难点：1. 重点：画形如y=ax 2 与 y=ax 2+k 的二次函数的图象。
2. 难点：用描点法画出二次函数y=ax 2与y=ax 2+k 的图象以及探索二次函数性质三．教学过程：（一）创设情境、导入新课：复习提问：一次函数的图象是 ，反比例函数的图象是 。
我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。
（二）自主探究、合作交流：做一做：1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x 2、y ＝12x 2 的图 象。
讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论）x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x 2 … …y ＝12x 2……结论：。
想一想：函数y=－x2、y=－2x2 y＝－12x2的图象有什么共同点？又有什么区别?（结论：。
结合上述二次函数的性质总结函数y=ax2的图象的性质：1．函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
2．当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a<O时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最高的点。
3．｜a｜越大，开口越。
练一练：分别写出函数y＝13x2与y＝－13x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数总复习(公开课)九年级下册《湘教版》
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-–) 2
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
例2： 已知二次函数
1 解:（1）∵a= —>0 2
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
∴抛物线的开口向上 1 1 ∵y= — (x2+2x+1)-2= —(x+1)2-2 2 2 ∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例2： 已知二次函数 解:
直线x=h
直线 b x= 2 a
b 4ac b 2 ( 2a , ) 4a
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (x2,0),通常设解析式为_____________(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.
当b 4ac 0时, 方程ax bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
湘教版数学九下二次函数的图象与性质2
九年级数学下册二次函数的图象与性质教案二湘教版教学目标：1．能依如实际问题列出函数关系式、2．使学生能依照问题的实际情形，确信函数自变量x的取值范围。
3．通过成立二次函数的数学模型解决实际问题，培育学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点难点：依如实际问题成立二次函数的数学模型，并确信二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。
教学进程：一、温习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和极点坐标。
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－102. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值别离是多少?二、范例有了前面所学的知识，此刻咱们就能够够应用二次函数的知识去解决两个实际问题；例一、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花园，如何围法才能使围成的花园的面积最大?例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的方法来提高利润，通过市场调查，发觉这种商品单价每降低元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?例3。
用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。
应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?小结：让学生回忆解题进程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)查验x 的取值是不是在自变量的取值范围内，并求相关的值：(5)解决提出的实际问题。
三、课堂练习1：求下列函数的最大值或最小值。
(1)y ＝－x 2－4x ＋2 (2)y ＝x 2－5x ＋14(3)y ＝5x 2＋10 (4)y ＝－2x 2＋8x2。
已知一个矩形的周长是24cm 。
(1)写出矩形面积S 与一边长a 的函数关系式。
(2)当a 长多少时，S 最大?3．填空：(1)二次函数y ＝x 2＋2x －5取最小值时，自变量x 的值是______；(2)已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值为1，那么m 的值是______。
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第二章二次函数
二、要点整合
1、二次函数平移
例1：已知二次函数 y=ax2-bx+c (-1 《 b<1》. 当 b 从一 1 逐渐变化到 1 的过程中 , 它所对应的抛物线位置也随之变动 , 下列关于抛物线的移动方向的移动方向的描述中 , 正确的是( )
(A)先往左上方移动 , 再往左下方移动
(B)先往左下方移动 , 再往左上方移动
(C)先往右上方移动 , 再往右下方移动
(D)先往右下方移动 , 再往右上方移动
2. 二次函数的对称轴及顶点坐标的求法
例2已知抛物线y=ax2 + bx+c经过 (-1,0),(0, - 3),(2, - 3) 三点 .
(1) 求这条抛物线的解析式 ;
(2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
3. 二次函数的图象及 a 、 c 、 b 2
-4ac 的符号 (1) 二次函数的图象是一条抛物线 .
(2) 二次函数 y= a x 2
+b x+c( a ≠ O) 的性质
例3.在同一直角坐标系中 , 一次函数 y= ax+b 和二次函数 y=ax 2
+bx 的图象可能为图中的（ ）
(A) (B) (C) (D)
4、综合应用
阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)
，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
三、需要注意的问题
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
四．自我测试
1.抛物线2
ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ． 2．抛物线9)1(2
2
-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ． 3．点A （-2，a ）是抛物线2
x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2
x y =上的是 ．
4．若抛物线c x x y +-=42
的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．
5．把函数2
6
1x y -
=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．
6．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于 ． 7．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．
8．抛物线122--=x x y 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．
10、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．
（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？。