《工程数学—线性代数》复习参考资料
线性代数复习提要
(二) 伴随矩阵.
(1) AA∗ = A∗A = |A|E. 这个公式要牢记! 其重大意义是由此引入了逆矩阵的讨论. 注意这里
的 A 不一定是可逆的. (2) 若 A = 0, 则 A−1 = 1 A∗. 它在理论上给出了求逆矩阵的方法, 但是并不实用, 在第三章 |A|
将给出一个简单实用的方法(见教材 P.64 例 2).
∗Email: huangzh@
1
§0.2 要点 TOP 10
下面的要点列为 TOP 10 是因为其理论重要性、易错等原因. (I) |λA| = λn|A|. (A 为 n 阶方阵) (II) 矩阵乘法不满足交换律、消去律. (III) 矩阵秩的性质 5 ∼ 8. (IV) 特征值性质: λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann; λ1λ2 · · · λn = A . (V) 若 λ 是 A 的一个特征值, 则 ϕ(λ) 是矩阵多项式 ϕ(A) 的特征值. (VI) 齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系由 n − r 个线性无关的解构成. (VII) 线性方程组有解、无解的充要条件. (VIII) 矩阵对角化的充要条件. (IX) 伴随矩阵的定义, AA∗ = A∗A = |A|E. (X) 初等变换不改变矩阵的秩.
(三) 逆矩阵
(1) 矩阵定义中的条件 “AB = BA = E” 是可以弱化的: 设 A, B 为方阵, 若 AB = E, 则 A,
B 可逆, 且互为逆矩阵. 更一般地, 对方阵而言, 若 A1A2 · · · Ak = λE 且 λ = 0, 则矩阵 A1, A2, · · · , Ak 都是可逆的.
(ii) 若 P 右乘矩阵 A, 则 AP 的结果是: 把矩阵 A 进行初等列变换, 并且 P 是怎样由单位矩阵 E
工程数学知识点(简版)
工程数学知识点第一篇 线性代数第１章 行列式1． 二阶、三阶行列式的计算Ｐ22． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3． 行列式展开（代数余子式）Ｐ74． 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法） 5． 字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律） （n n kD k D =）8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 9． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 10． 逆矩阵的定义、运算性质 11． 伴随矩阵Ｐ3812． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 13． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章 线性方程组1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇 概率论第4章概率的基本概念及计算１、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例 ２、基本公式：概率的可加性（互不相容）()()121nn i i P A A A P A ==∑概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-击落飞机问题概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =逆事件的概率()()1P A P A =-事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。
工程数学线性代数期末核心知识及题型复习题教学内容
一、填空题1．己知方阵 21342221D -=- ,则 11213132A A A --=_____ 2.若4阶矩阵A 的伴随矩阵*A 的行列式*8A =，则___A =3.设123135121D =,ij A 为元素ij a 的代数余子式,111213212223313233A A A A A A A A A = . 4．设A 是3阶可逆矩阵，将A 的第1行与第2行对换得B 则1AB -=______。
5.设矩阵A 满足240A A I +-=，则1()A I --= 。
6．设11220432A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .7．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1A8设向量组123(2,1,3),(,3,2),(3,2,5)x ααα===线性相关，则t =9．设1234(,,,)A A A A A =其中列向量123,,A A A 线性无41232A A A A =-+，则齐次线性方程组0AX =的一个基础解系是_______________。
10.设A 为4阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，且0A =，而*0A ≠, 123,,ηηη3是线性方程组Ax b =的三个解向量，其中,12(1,0,0,9)T ηη+=，23(2,0,1,2)T ηη+=,则Ax b =的通解是＿_____________________11.设四阶矩阵()1234,,,A αααα=的秩为3，且4123αααα=+-，则齐次方程组0Ax = 的一个基础解系为 .12.设A 为n 维非零行向量，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有 个解向量. 13.设A ,B 为3阶矩阵，且A 与B 相似，A 的特征值为3,4,5，则1B I --= .14已知123(1,0,0),(1,1,0),(1,2,3)ααα===为3R 的一个基，则向量(2,5,6)α=在这个基下的坐标是 .15设矩阵21101000A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定阵，则k 的取值范围是 。
线性代数期末复习题 shawe 20131224
线性代数（工程数学）期末复习题——（shawe 20131224）复习题1、 设1111111111111111------=D ，abc d b a d c cda b d c b a M ------=，求2)(MD 2、 计算)1()1()1()1()1()1()1()1()1(111121211122221212211---------=---n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x D3、 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----113121122322213211111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,321 B x x x x x n ， 其中),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，求线性方程组B x A T=的解4、 设A 为)2(>n n 阶非零矩阵，其元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式A5、 设A ，B ，A+B 都是可逆矩阵，试求111)(---+B A6、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111A ，求2009642,,,A A A A7、 设A ，B ，C 为同阶方阵，下列命题哪些正确？哪些不正确？（1）若AC AB =，则当A 可逆时必有B=C ，当A 不可逆时不一定有B=C （2）若C B ≠，则当A 可逆时必有AC AB ≠ （3）若A ，B 皆可逆，则A+B 也可逆 （4）若A ，B 皆不可逆，则A+B 也不可逆 （5）若AB 可逆，则A ，B 都可逆 （6）若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆 （7）若A 可逆，则kA 可逆（k 为常数） 8、设n n ij a A ⨯=)(，试证明下列等式成立： （1）TTA A )()(**=；（2）若,0≠A 则*--*=)()(11A A ； （3）若,0≠A 则11])[(])[(-**-=T T A A ； （4）若,0≠A 则*-*=A k kA n 1)(，其中0≠k ； （5）若A 、B 是同阶可逆矩阵。
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(行列式)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第1章行列式1．利用对角线法则计算下列三阶行列式：2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3．写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4．计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5．求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6．证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一按第1列展开得。
2022年自考27391工程数学(线性代数-复变函数)复习资料
2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。
考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。
2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。
3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。
第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。
2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。
3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。
5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。
3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。
4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。
第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。
2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。
第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。
2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 行列式1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第1章 行列式1.1 复习笔记一、二阶与三阶行列式1二阶行列式定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和对换1全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．2对换（1）定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．三、n阶行列式1定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．四、行列式按行（列）展开1余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n －1阶行列式称为（i，j）元a ij的余子式，记作M ij，记A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式．2定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 3范德蒙德行列式4代数余子式的推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或5代数余子式的重要性质或．1.2 课后习题详解1利用对角线法则计算下列三阶行列式：2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n －1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一 按第1列展开得方法二 按最后一行展开得7设n阶行列式，把D上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得证明证：（1）通过对换行将D1变换成D，从而可找出D1与D的关系：D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换……直至最后一行是D 的第n－1行，再通过一次交换将它换到第n－1行，这样就把D1变换成D，共进行次交换，故．（2）计算D2：观察可知，D2的第1，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－1，…，1列，因此若把D2上下翻转得，则的第1，2，…，n行依次是D的第1，2，…，n列，即．于是由（1）有（3）计算D3：观察可知，若把D3逆时针旋转90°得，则的第1，2，…n列恰好是D的第n，n－1，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）、（2）有8计算下列各行列式（D k为k阶行列式）：，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；；；提示：利用范德蒙德行列式的结果．，其中未写出的元素都是0；；，其中a ij＝|i－j|；，其中解：（1）方法一 化D n为上三角形行列式上式中最后那个行列式为上三角形行列式；方法二 把D n按第二行展开，由于D n的第二行除对角线元素外全为零，因此有，即于是有 （2）利用各列的元素之和相同，把从第二行起的各行全部加到第一行，再提取公因式．（3）把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，因此行列式经上下翻转再左右翻转，即相当于转180°，其值不变．于是按范德蒙德行列式的结果可得（4）可用递推法即有递推公式另外，归纳基础为，利用这些结果可递推得（5）把第一行除外的所有行都加到第一行，并提取第一行的公因子，得（6）（7）可将原行列式化为上三角形行列式，需从第2行起，各行均减去第1行，得行列式其中.于是9设，D的（i，j）元的代数余子式记作A ij，求.解：求，则等于用1，3，－2，2替换D的第3行对应元素所得行列式，即1.3 考研真题详解一、选择题行列式等于（ ）．[数一、数二、数三 2014研]A． B．C． D．【答案】B【解析】二、填空题1阶行列式 [数一 2015研]【答案】【解析】将阶行列式按第一行展开2设是三阶非零矩阵，为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式,若，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三 2013研]【答案】－1【解析】由可知，故3设A，B为3阶矩阵，且．[数二、数三2010研]【答案】3【解析】因为所以第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记一、线性方程组和矩阵1线性方程组（1）n元非齐次线性方程组设有n个未知数m个方程组的线性方程组当常数项不全为零时，该方程组称为n元非齐次线性方程组．（2）n元齐次线性方程组含有n个未知数m个方程组的线性方程组称为n元齐次线性方程组．2矩阵（1）定义由m×n个数a ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为（2）分类①实矩阵 矩阵元素都为实数的矩阵．②复矩阵 矩阵元素为复数的矩阵．③行矩阵/列矩阵 又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．④n阶方阵 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．⑤零矩阵 元素都是零的矩阵．⑥对角矩阵 对角线以外的元素都是0的方阵．⑦单位矩阵 对角线上元素都为1的对角矩阵．二、矩阵的运算1矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．3矩阵与矩阵相乘（1）定义设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中并把此乘积记为C＝AB．（2）运算规律①（AB）C＝A（BC）；②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；④EA＝AE＝A；⑤．（3）注意①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．三、矩阵的转置1定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．2转置运算（1）（A T）T＝A；（2）（A＋B）T＝A T＋B T；（3）（λA）T＝λA T；（4）（AB）T＝B T A T．3对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．四、方阵的行列式1定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A|．2由A确定|A|的运算规律假设A、B为n阶方阵，λ为数：（1）|A T|＝|A|；（2）|λA|＝λn|A|；（3）|AB|＝|A||B|．3伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A ij所构成的如下的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，五、逆矩阵1定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．3逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则A－1也可逆，且；（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A－1．六、克拉默法则含有n个未知数x1，x2，…，x n的n个线性方程的方程组 （2-1-1）它的解可以用n阶行列式表示，即有克拉默法则：如果线性方程组（2-1-1）的系数矩阵A的行列式不等于零，即则方程组（2-1-1）有唯一解其中A j（j＝1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即七、矩阵分块法1定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2矩阵分块法（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中A ij与B ij的行数相同、列数相同，则（2）设，λ为数，则．（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成其中A i1，A i2，…，A it的列数分别等于B1j，B2j，…，B tj的行数，则其中（4）设，则（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中A i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知，若，则，并有2.2 课后习题详解1计算下列乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2设，求3AB－2A及A T B．解：则有因A T＝A，即A为对称阵，所以3已知两个线性变换求从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换．解：依次将两个线性变换写成矩阵形式其中分别为对应的系数矩阵；在这些记号下，从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换的矩阵形式为，此处矩阵即有4假设，问：（1）AB＝BA吗?（2）（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2吗?（3）（A＋B）（A－B）＝A2－B2吗?5举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若A2＝A，则或A＝E；（3）若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y．6（1）设，求A2，A3，…，A k；（2）设，求A4．解：（1）根据矩阵乘法直接计算得一般可得 （2-2-1）则当k＝1时，式（2-2-1）成立．假设当k＝n时，式（2-2-1）成立，则当k＝n＋1时根据数学归纳法可知式（2-2-1）成立；7（1）设，求A50和A51；（2）设，A＝ab T，求A100．解：（1），则可得（2）由于b T a＝－8，所以根据上式可知8（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵；（2）设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB＝BA．证：（1）由矩阵乘积的转置规则有所以由定义知B T AB为对称阵；（2）因为A T＝A，B T＝B，所以9求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）根据二阶方阵的求逆公式可得（2）（3）因为，所以A可逆，并且于是（4）因为a1a2…a n≠0，所以a i≠0，i＝1，2，…，n．则矩阵是有意义的，并且因为所以A可逆，而且.10已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换．解：记则线性变换的矩阵形式为x＝Ay，其中A是它的系数矩阵．因为所以A是可逆矩阵，则从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换的矩阵形式可写成又由于 于是即11设J是元素全为1的n（≥2）阶方阵．证明E－J是可逆矩阵，且这里E是与J同阶的单位矩阵．证：因为于是所以，是可逆矩阵，并且12设（k为正整数），证明可逆，并且其逆矩阵证：因为所以可逆，并且其逆矩阵．13设方阵A满足A2－A－2E＝O （2-2-2）证明A及A＋2E都可逆，并求解：（1）可先证A可逆．由式（2-2-2）得即 所以A是可逆的，且；（2）再证A＋2E可逆．由，即同理，可知可逆，且.14解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）AXB＝C，其中.解：（1）因为矩阵的行列式等于1，不为零，所以它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边，得（2）记矩阵方程为，因所以A可逆，用右乘方程的两边可得又由于所以（3）记，则矩阵方程可写为因为，所以A，B均可逆．依次用和左乘和右乘方程两边得（4）因为，所以A，B均是可逆矩阵，且分别用和左乘和右乘方程两边得15分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解：（1）①可用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法：因为｜A｜≠0，所以A可逆，于是则有（2）①用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法因为｜A｜＝2≠0，所以A可逆，于是，易求得代入可得16设A为三阶矩阵，，求．解：因为，所以A可逆．于是由及，得对公式两端取行列式得17设，AB＝A＋2B，求B．解：由因，它的行列式det（A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用左乘上式两边得18设．且AB＋E＝A2＋B，求B．解：由方程，合并含有未知矩阵B的项，得又因为，其行列式，所以A－E可逆，用左乘上式两边，即可得到解：由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A*，可用公式求解：用A左乘所给方程两边，得又由于，所以A是可逆矩阵，用右乘上式两边，可以得到观察可得是可逆矩阵，并且于是 20已知A的伴随阵A*＝diag（1，1，1，8），且，求B．解：（1）先化简所给矩阵方程假设能求得A并且为可逆矩阵，则可解得 （2-2-3）（2）再计算A根据题意可知A是可逆矩阵，由，两边取行列式得即，所以，于是因为，所以是可逆矩阵，并且将上述结果代入式（2-2-3）可得21设，其中，求A11．解：由于，则．所以22设AP＝PΛ，其中求φ（A）＝A8（5E－6A＋A2）．解：由于，所以P是可逆矩阵．根据AP＝PΛ可得，并且记多项式，则有由于是三阶对角阵，所以于是 23设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且．证：因为，根据定理2的推论可以知A*可逆，且另因．用A左乘此式两边得通过比较上面两式可知结论成立．24设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；（2）．证：（1）因为 （2-2-4）当时，上式成为可用反证法求证。
同济版 工程数学-线性代数(第五版)期末复习知识要点(成都大学田晓滨老师作品)
a1 n a2 n K a n1
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√ 逆矩阵的求法:
ο
an1
ο
成都大学田晓滨老师作品
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同济版 工程数学- 线性代数(第五版)期末复习知识要点
① A −1 =
A∗ A
初等行变换 ② ( AM E ) ⎯⎯⎯⎯ ( E M A− 1 ) → −1
⎡a b ⎤ 1 ③⎢ ⎥ = ad − bc ⎣c d ⎦ ⎡ a1 ⎢ ④⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A1 ⎢ ⑤⎢ ⎢ ⎢ ⎣
① 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）,则
A ∗ A ο A ο = = =A B ο B ∗ B ο B
∗ A = ( −1)mn A B B ο
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ∗ ③关于副对角线：
a1 n a2 n −1
N =
ο a2 n −1
N
a1 n
= ( −1)
n (n −1) 2
T
,
则：ri = Aβi , i = 1, 2,L , s ,即 A(β1 , β2 ,⋅⋅⋅ , β s ) = ( Aβ1 , Aβ2 ,L , Aβ s )
√ 用对角矩阵 Λ 左乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 Λ 右乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
13
记作： {α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n } = { β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn } %
记作： A = B %
矩阵 A 与 B 等价 ⇔ r ( A ) = r (B ) ≠> A , B 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 A 与 B 作为向量组等价 ⇔ r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅,α n ) = r (β1 , β 2 , ⋅⋅⋅, β n ) = r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅α n , β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵 A 与 B 等价.
2019年工程数学线性代数复习资料5份.doc
2019年工程数学线性代数复习资料5份篇一：工程数学线性代数复习资料5份工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。
二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。
三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。
四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题一、单项选择题1．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|=（D）A．-4B．-1C．1D．42．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（B）A．A＋ATB．A－ATC．AATD．ATA3．矩阵??33???10??的逆矩阵是（C）???0?1A．??0?1??0?3????1??1??33???B．??1?13???C．??D．???3??1???130???4．设行列式a1b1c1a1b1?c1aa=（D2b=1，a12a2c=2，则22b）2?c2A．-3B．-1C．1D．35．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（B）A．ATBTCTB．CTBTATC．CTATBTD．ATCTBT6．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（D）A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（C）1A．A的列向量组线性无关B．A的列向量组线性相关C．A的行向量组线性无关D．A的行向量组线性相关??1400?8．设A??0200????0030?，则A的特征值是（C）??0053???A．1,1,2,2B．1,1,2,3C．1,2,3,3D．1,2,2,3a11a12a13a115a11?2a12a139．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为（C）a31a32a33a315a31?2a32a33A．-15B．-6C．6D．1510．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）?111??111??111??A．??000??B．??011??C．??222??D．?111???222???000????000????000????333??11．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（D）A．α1，α2，…，αs均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示12．设A，B为可逆矩阵，则分块矩阵??A0??0B?的逆矩阵为（A）．?A．??A?10?0?A?1?A?1??C??00?B?1??0B?1?B?1??B?1?0?B．??0?D．??A?10??13．设A，B均为方阵且可逆，满足AXB?C则下列命题中正确是（C）A．X?A?1B?1CB．X?CA?1B?1C．X?A?1CB?1D．X?B?1CA?114．设A，B均为n阶方阵且可逆，A为A的行列式，则下列命题中不正确是（B）A．AT?AB．?A??AC．AB?ABD．A?1?1A15．设A、B、C均为n阶方阵，则下列命题中不正确是（C）A．?A?B??C?A??B?C?B．?AB?C?A?BC?C．AB?BAD．A(B?C)?AB ?AC16．设A、B为n阶方阵，满足AB?0，则必有（B）A．A?0或B?0B．A?0或B?0C．BA?0D．A?B?020?1011?1中元素a21的代数余了式A21=（B）017.3阶行列式aij=1?1A．-2B．-1C．1D．218．设A为m?n矩阵，且非奇次线性方程组Ax?b有唯一解，则必有（C）A．m?nB．秩?A??mC．秩?A??nD．秩?A??n19．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（A）A．A-1C-1B．C-1A-1C．ACD．CA20．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（C）A．1B．2C．3D．421．设向量组?1,?2,?3,?4，下列命题中正确是（C）A．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关B．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关C．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关D．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关?56?3???,的特征值是（A）22．矩阵??101??121???A．?1??2??3?2B．?1??2??3?1C．?1?1,?2??3?2D．?1??2??3?323．排列?2,4,6,???,2n,2n?1,???,3,2,1?的逆序数为（C）A．n?n?1?B．n?n?1?C．nD．n224．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（A）A．偶排列B．奇排列C．非奇非偶D．以上都不对25．齐次线性方程组AX?0有零解的充要条件是（A）A．A?0B．A?0C．A?1D．A?1二、填空题a1b11．若aibi?0,i?1,2,3,则行列式a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=（0）a3b33?12?T2．设矩阵A=??34??，则行列式|AA|=（4）???a11x1?a12x2?a13x3?0?3．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为（0）?ax?ax?ax?0322333?311?101???4．设矩阵A=?020?，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=（2）?001???5．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=（4）3?1??1?2???12?，若方程组6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：A??02?00a(a?1)a?1???无解，则a的取值为（0）1?2???21???21a?使R?A??3，则a（a?1,a?2）7．设A??1?11?2a2????3???33 ??T201??042?57?8．设矩阵A=???11?3?，B=?357?，则AB=?3 ??????9?11?19?????1??0?????10??x1?x2?0???9．方程组?的基础解系为（?1??2?）.????x?x?001?34????0???1?10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为（4）11．设A可逆，?A可逆，则?A(?A)?1?（1?A?1）.?3?12??11?T???AP?12.设矩阵A=?，P=，则??34??01??????72??.4?01/4??020??0????00?13.设矩阵A=?003?，则A-1=?1/2?01/30??400?????a1014.a200c10c2b10b200d1?（?5??a1b2?a2b1??c1d2?c2d1?）0d215.使排列1274j56k9为偶排列，则j?（8）k?（3）. 4。
同济大学《工程数学—线性代数》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵的初等变换与线性方程组)
第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记一、矩阵的初等变换1．初等变换（1）定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；②以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．（2）矩阵等价①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（3）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（4）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．2．初等变换的性质（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；②的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…P l，使A＝P1P2…P l．③方阵A可逆的充分必要条件是.二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A 中当所有r ＋1阶子式全等于0时，所有高于r ＋1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R （A ）就是A 的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A ～B ，则()()R A R B =.②若可逆矩阵P ，Q 使PAQ ＝B ，则R （A ）＝R （B ）． 2．秩的性质（1）0R ≤(){}min ,;m n A m n ⨯≤ （2）()()T R A R A =；（3）若A ～B,则()()R A R B =；（4）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =；（5）()(){}()()()max ,,,R A R B R A B R A R B ≤≤+特别地，当B ＝b 为非零列向量时，有()()(),1R A R A b R A ≤≤+；（6）()()()R A B R A R B +≤+； （7）()()(){}min ,R AB R A R B ≤； （8）若m n n l A B ⨯⨯＝0，则()()R A R B n +≤. 3．满秩矩阵矩阵A 的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A 为n 阶矩阵，则()()R A E R A E n ++-≥. （2）若,m n n l A B C ⨯⨯=且()R A n =,则()()R B R C =. （3）设AB ＝0，若A 为列满秩矩阵，则B ＝0．三、线性方程组的解 1．解的定义设有n 个未知数m 个方程的线性方程组（3-1-1）该式可以写成以向量x 为未知元的向量方程：Ax ＝b ，其中，A 为系数矩阵，B ＝（A ，b ）称为增广矩阵，线性方程组（3-1-1）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容．2．解的判断（1）n 元线性方程组Ax ＝b①无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； ②有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； ③有无限多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.（2）n 元齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是()R A n <. （3）线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是()(),R A R A b =.（4）矩阵方程Ax ＝B 有解的充分必要条件是()(),R A R A B =. （5）设AB ＝C,则()()(){}min ,R C R A R B ≤．3.2 课后习题详解1．用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：解：（1）（2）（3）。
高等教育出版社工程数学系列之《线性代数》
特征值2所对应的特征向量为 T k2 2 k2 1,1,1 , ( k2 0)
三、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 0 对应λ的特征向量，则
推论２ 则 1 为 A1的特征值， 0 对应λ-1的特征向量
1 1 1 0 1 1 B 0 0 2 解：(1) I A
1
0
1
1 1 1 2 0
2
1
0 0 2 0 1 0 1,2 1(二重根 ) 3 2 1， 1代入 E A x 0 , 求 0 0 1 x 0 将 2 0 0 1 T 的非零解，即为 i 对应的特征向量. 1 1,0,0 特征值1所对应的特征向量为 k11 , ( k1 0)
若数λi为可逆阵的Ａ的特征值，0 , 1均为对应λ的特征向量 则任意非零组合 k0 0 k11 均为对应于λi的特征向量. 推广： 的m个特征向量的非零组合也是其特征向量
定理：设 1 , 2 ,L , m 是矩阵A的不同特征值所对应的 特征向量，则 1 , 2 ,L , m 线性无关 提示：利用数学归纳法。
证明① 当 1 , 2 , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A 1 2 n
Hale Waihona Puke 1 2 n
n
n 1
1 12 n
a11 a22 ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中 含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中．
工程数学—线性代数复习参考资料
《工程数学—线性代数》复习参考资料——《线性代数》的复习尤其要求详细阅读人手一册的《综合练习题》．．．．授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数（理解）1、把 n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列。
（也称排列）2、对于 n 个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
例题求排列 32514 的逆序数解3 的逆序数为 0；2 的逆序数为 1；5 的逆序数为 0；1 的逆序数为 3；4 的逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为t010315二、 n 阶行列式的定义（理解）定义设有 n2个数，排成n行n列的数表，a a⋯a11121na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯a nn作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t，得到形如(1)t a a2p anp（）1 p211n的项，其中 p1 p2p n为自然数1,2,, n 的一个排列，t为这个排列的逆序数。
由于这样的排列共有n！个，因而形如（ 1）式的项共有 n！项，所有这 n！项的代数和( 1)t a a2 p2a1p1np n 称为 n 阶行列式，记作a11a12a1nD a21a22a2n，an1an2ann简记为 det(a ij ) ，数 a ij称为行列式 det(a ij) 的元素。
元素 a ij的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第 i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第 j 列，三、行列式的性质（掌握）记a11a12a1na11a21an1a 21a22a2 nD Ta12a22an 2D，an1an 2anna1na2 nann行列式 D T称为行列式 D 的转置行列式。
同济工程数学线性代数重点复习讲义全
第四讲 线性方程组
一 线性方程组的解的判定
1.对于齐次方程组 Amn X n1 0 ，有 当 R( Amn） n 时，方程组仅有零解。 当 R( Amn） n 时，方程组有非零解。
2.对于非齐次方程组 Amn X n1 b ，有 当 R(A） R(Ab) 时，方程组有解。 当 R(A） R(Ab) 时，方程组无解。
单位矩阵，对称矩阵 AT A ，反对称阵 AT A，正 交矩阵 AT A E ，伴随矩阵，分块矩阵等特殊矩阵的概
念。
6
二 矩阵的运算
加法，减法，数乘，乘法，转置
三 运算律：重点记忆以下算律
1. AB BA
A2 B2 ( A B)( A B）
（AB）n AnBn
A 的属于i的线性无关特征向量，而它们的线性组合
即为 A 的属于i的全部特征向量。
3.结论：设 A (aij )nn ，1, 2,, n为其特征根，则
1 2 n 11 22 nn tr( A)
12 n | A |
15
二 相似矩阵
1.定义 2.性质
11
三 向量组的极大无关组和秩
1.极大无关组和秩的概念 2.求极大无关组和秩的方法：
（1）（1,2,,s）行（1, 2,, s）最简梯矩阵 （2）1, 2 ,, s 的极大无关组所对应的1,2 ,,s 的部分组即为 1,2 ,, s 的极大无关组。 （3）极大无关组所包含的向量个数即为向量组 的秩。
| kA| k n | A | | A || A |n1
| AB|| A | | B |
4
六 行列式的计算
计算依据： 1.行列式性质
2.展开定理
注意事项： 要在审题方面多花工夫，根据行列式元素
工程数学线性代数复习资料
工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。
二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。
三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。
四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。
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《工程数学—线性代数》复习参考资料——《线性代数》的复习尤其要求．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数（理解）1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。
（也称排列）2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
例题求排列32514的逆序数解3的逆序数为0；2的逆序数为1；5的逆序数为0；1的逆序数为3；4的逆序数为1；于是这个排列的逆序数为51310=++++=t二、n阶行列式的定义（理解）定义设有2n个数，排成n行n列的数表，a11a12 (1)a21a22 (2)………………a n1a n2…a nn作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1(-，得到形如n np p p t a a a ⋅⋅⋅-2121)1( （1）的项，其中n p p p ⋅⋅⋅21为自然数n ,,2,1⋅⋅⋅的一个排列，t 为这个排列的逆序数。
由于这样的排列共有n ！个，因而形如（1）式的项共有n ！项，所有这n ！项的代数和n np p p t a a a ⋅⋅⋅-∑2121)1(称为n 阶行列式，记作nnn n n n a a a a a a a a a D ⋅⋅⋅=212222111211 ，简记为)det(ij a ，数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。
元素ij a 的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列，三、行列式的性质（掌握） 记nnn n n n a a a a a a a a a D ⋅⋅⋅=212222111211 ，nnnnn n T a a a a a a a a a D ⋅⋅⋅=212221212111行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。
第i 行（或列）乘以k ，记作k r i ⨯（或k c i ⨯）推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第i行（或列）提出公因子k ，记作k r i÷（或k c i ÷）。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如nnnini n n n ii n i i a a a a a a a a a a a a a a a D/212/2222211/111211+++=，则D 等于下列两个行列式之和：nn ni n n n i ni a a a a a a a a a a a a D21222221111211=nnni n n n i nia a a a a a a a a a a a/212/222211/11211+性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +；以数k 乘第j行加到第i行上，记作j ikr r +；计算行列式常用的一种方法就是利用运算j i kr r +把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。
P16例7、8。
（可以证明，对于上三角行列式D 有：nn nnnna a a a a a a a a D 221122211211==当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。
）四、行列式按行（列）展开（掌握） 设nnn n inij i i n n a a a a a a a a a a a a a D ⋅⋅⋅=21212222111211在n 阶行列式中，把ij a 所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ；记ij j i ij M A +-=)1(，ij A 叫做元素ij a 的代数余子式。
引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行的元素除ij a 外都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ijij nn n n ij n n A a a a a a a a a a a a D =⋅⋅⋅=212222*********定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即j i A a A a A a D jn in j i j i ≠=+++=,02211 ，或 j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠=+++=,02211 。
五、四阶行列式的计算（重点掌握） 例1 计算行列式1123211232114321解：2)1214(7432)1(7443230011184653111)1(1184653111)1(118436532111100011123211232114321113114321312141312-=--=--=-=-=----------=---------=+--+---c c c c c c c c c c例2 计算行列式3214214314324321 解：160)116144(36444)1(364044721131071082721)1(131071082721)1(1310741082372120001321421431432432111723114321312141312=---=-----=----=-=----------=---------=+--+---r r r r c c c c c c五、克拉默法则（注意，计算量比较大）设有n 个未知数1x 、2x 、…、n x 的n 个线性方程的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即1111≠=nnn na a a a D那么，方程组（1）有唯一解D D x 11=，DD x 22=，…，D D x nn=。
其中),,2,1(n j D j =是把第数行列式中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nnj n n j n n nj i j j a a b a a a a b a a D1,1,111,11,111+-+-=第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念（理解） 1、由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211也常记作n m A ⨯。
这n m ⨯个数称为矩阵A 的元素，简称元，数ij a 称为),(j i 元。
以数ij a 为),(j i 元的矩阵可简记作（ij a ）或n m ij a ⨯)(。
2、行数和列数都等于n 的矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵，n 阶方阵A 也记作n A 。
3、只有一行的矩阵()n a a a A 21=称为行矩阵，又称行向量。
为避免元素间的混淆，行矩阵也记作),,,(21n a a a A =只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21 称为列矩阵，又称列向量。
4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果()ij a A =与()ij b B =是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===那么就称矩阵A 与矩阵B 相等，记作B A =5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
注意不同型的零矩阵是不同的。
6、单位矩阵 简记作E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 n E7、对角矩阵 简记作),,,(211n diag A λλλ = 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A λλλ 00000021二、矩阵的运算与性质（掌握） 1、矩阵的加法 设有两个矩阵nm ⨯()ij a A =、()ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作A+B ，规定为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+mn mn m m m m n n nn n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111 注意： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律： 设A 、B 、C 都是m ×n 矩阵，则 （1）A B B A +=+；（2）)()(C B A C B A ++=++（3）)(B A B A -+=-设设矩阵()ij a A =，记()ij a A -=-—A 称为矩阵A 的负矩阵。
2、数与矩阵相乘数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ，规定为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==mn m m n n a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλ212222111211数乘矩阵满足下列运算规律：设A 、B 、为m ×n 矩阵，λ、μ为数，则 （1）)()(A A μλλμ=；（2）A A A μλμλ+=+)(；（3）B A B A λλλ+=+)(。
3、矩阵与矩阵相乘 设()ij a A =是一个s m ⨯矩阵，()ijb B =是一个n s ⨯矩阵，那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵()ij c C =,其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211并把此乘积记作C = AB必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。