第三章运输问题

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cmLiu@shufe
Operations Research
3.2.1.1 最小元素法
基本思想： 就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销 关系，然后次小，一直到给出初始调运方案，即给出初始 基本可行解为止。
具体步骤： 从单位运价表中找出单位运价最小的元素，在产销平衡 表的相应位置上填上一个尽可能大的数，则产地的产量或 销地的销量至少有一个被满足。若某一个产地的产量被满 足，则在单位运价表中把相应的行划去；若某一个销地的 销量被满足，则在单位运价表中把相应的列划去，重复上 述过程，直到单位运价表中所有的元素均被划去，这时在 产销平衡表中得到的方案就是初始调运方案。
例3.1 某工厂下设三个分厂 ，假设这三个分厂生产的产品 是同质的，现在需要把三个分厂生产的产品运送到四个销售 部 ，每个分厂生产的产品数量（单位为件）、每个销售 部需要的产品数量（单位为件）以及每个产地到每个销售部的单位运 价（单位为元/件）如下表。问如何进行调运能够使总运费最省？
销地 产地 8 13 5 销量 5 6 10 4 3 7 5 8 4 11 9 12 5 产量 4 7 6 17
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的数学模型： 设 xij 表示第i个产地 Ai 到第j个销地 B j 的运量，z为总运输费 用，则产销平衡问题为
min z cij xij
i 1 j 1 m n
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n (i 1, 2,..., m) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2,..., n) i 1 xi j 0 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
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3.2 运输问题的求解—表上作业法
依据表上作业法的求解步骤，运输问题的求 解需要解决以下三个问题： （1）初始调运方案的确定； （2）最优方案的判别； （3）方案的调整。
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3.2.1 初始调运方案的确定
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第三章 运输问题
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第三章 运输问题
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 运输问题及其数学模型 运输问题的求解—表上作业法 运输问题的进一步讨论 应用举例 电子表格的建模和求解 案例分析 分销系统结构
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3.2.1.1 最小元素法
用最小元素法确定例3.1的初始调运方案 ：
产销平衡表表
销地 产地
单位运价表
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题具有如下两个特点： （1）变量 xij 的系数列向量只有两个分量为1 （第i行和第m+j行），其余的分量都为零； （2）相互独立的约束方程的个数为m+n-1个。
表上作业法
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对于产销平衡的运输问题，初始调运方案总是存在的，并 且存在有限最优调运方案。 初始调运方案的三种确定方法： （1）最小元素法； （2）西北角法（又称左上角法，或阶梯法）； （3）伏格尔法（又称最大差额法）。
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3.2.1 初始调运方案的确定
3.2 运输问题的求解—表上作业法
表上作业法求解运输问题的具体步骤： （1）写出运输问题的表格模型，即产销平衡表和单位运价 表，转（2）； （2）确定初始调运方案（相当于确定初始基本可行解）， 转（3）； （3）检验方案是否最优（相当于最优性的判别），若是最 优方案，则停止计算；否则转（4）； （4）调整调运方案，得新的方案（相当于从一个基本可行 解过渡到另外一个基本可行解），转(5)； （5）重复（3），（4），直到求出最优调运方案。
产销平衡表
销地 产地
单位运价表
产量 a1 a2 … am
销地 产地
B1
B2 … Bn
B1
B2
… Bn
A1 A2 … AM 销量
b1 b2 … bn
A1 A2 … AM
c11 c12 …. c1n c21 c22 …. c2n …. …. …. …. cm1 cm2 …. cmn
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3.1 运输问题及其数学模型
从运输问题的数学模型可以看出：运输问题是有mn个变量，m+n个 约束方程的线性规划问题，其系数矩阵如下
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n 0 1 0 0 0 1 xm1 xm 2 xmn 0 a1 a 0 2 1 am 0 b1 0 b2 1 bn 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的提出： 设有m个产地，n个销地，第i个产地Ai的产量为ai（i=1,2…m），第j 个销地Bj的销量为bj（j=1,2,…n），第i个产地Ai到第j个销地Bj的单位运 价为cij，有关数据见产销平衡表和单位运价表，总产量等于总销量，问 如何调运，使总的运费最省？