02--无限期模型与世代交叠模型2017
中级宏观经济学(第5章)-戴蒙德模型
上式中C1t与C2t+1的一阶条件是：
C t
( )
( )
C t rt
把式（5-32）代入式（5-33）得：
C C t t rt ( )
将式(5-34)整理后也就可以得到式(5-30)相同结果。
b
kt
第四节 戴蒙德模型的动态分析
kt 1
图5-4c表明如果k的初始值是
充分低的，k收敛于零，但如果k 的初姑值充分高，k收敛于一个严
格为正的水平。如果k0< k1*，那
么k趋于零，如果k0> k1*，则k收 敛于k2* 。
k1
c
k2
kt
第四节 戴蒙德模型的动态分析
' f ( k ) k f ( kt ) 1 ' t t k t 1 s( f (kt 1 )) f ( kt ) (1 n)(1 g ) f ( kt )
这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再
假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意
义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费
时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1 ，以确保第二
消费时期的权数为正。
第三节 代际交叠中的两期寿命
弹性意味着偏好于跨期替代】在两个时期进行消费替代以利用报酬率（上升）
的激励(即θ低)，替代效应相对占优。当个人对两个时期内的相似消 费水平有强有力的偏好时(即θ高) ，收人效应相对占优。θ＝1是对 数效用的特殊情况【即边际效用递减速率与θ无关 】，储蓄率是常数，仅取决于 贴现率或权重。
北大经济学博士生用书
4.2 波动理论 4.3 基本的真实经济周期模型 4.4 家庭行为 4.5 模型的特殊情形 4.6 一般情形的模型求解 4.7 含义 4.8 经验性应用：产出波动的持久性 4.9 经验性应用：校准真实经济周期模型 …… 5 传统凯恩斯主义波动理论 6 不完全名义调整的微观经济基础 7 消费 8 投资 9 失业 10 通货膨胀与货币政策 11 预算赤字与财政政策 参考文献 1.《人名对照表》 2.《术语对照表》 3.《众汇赢 P2P 学术报》
3/8
阐述了静态博弈与动态博弈的各种解概念与分析方法，分析了行为相 互影响下的个人决策。第三部分是市场均衡和市场失灵，详细介绍了 外部性与公共物品、市场垄断、逆向选择以及委托代理等信息经济学 的基本模型。第四部分关于一般均衡理论，介绍与一般均衡相关的各 种概念，包括均衡的存在性和稳定性及福利特征等。第五部分涉及福 利经济学与激励问题，分析在个人效用可比和不可比情况下，由个人 偏好加总为社会偏好的可能性，以及在关于个人偏好的信息不完全时 的社会选择和经济机制设计等规范分析问题。本书的数学附录为读者 提供了所需的基本数学知识。书中每一章都提供必要的详细参考文献， 方便学生进一步学习及寻找研究课题；同时，各章配备的层次不同的 练习题，非常有利于学生测试自己对各章内容的掌握程度。
现在就介绍下北大的高级微观经济学和高级宏观经济学教材。 1、微观经济学：高级教程（第三版——国外经济学教材库 作者是美国的瓦里安，财洪等译，经济科学出版社 2002 年出版 ， 593 页，490000 字。哈尔·瓦里安是世界上著名的微观经济学，在麻 省理工学院、伯克利、斯坦福、牛津等多所大学任教。《微观经济学》 （高级教程）第一版出版于 1977 年。在第三版中，结构上的改变包 括在“组合单元式”的章节中对资料的重大调整。这些章节绝大部分
第2章、无限时期与世代交替模型
第2章、无限时期与世代交替模型Infinite Horizon and Overlapping-Generations ModelsA 部分: Ramsey-Cass-Koopmans 模型 2.1 假设 1) 厂商✧ 生产函数: Y(t)=F(K(t), A(t)L(t)). 关于F 的假设与第一章相同。
✧ 要素市场和产出市场都是竞争性的。
✧ 厂商利润最大化。
家庭拥有厂商（企业）。
2) 家庭家庭效用最大化0()max (())tt L t eu C t dt Hρ∞-=⎰ 此处，C(t): 家庭中每个成员的消费, u(.): 瞬时效用函数,L(t): 经济的总人口, dL(t)/dt = nL(t) H: 家庭的数量,u(C(t))L(t)/H: 家庭的总瞬时效用, ρ: 贴现率 K(0): 初始资本 瞬时效用函数为：● 常数相对风险厌恶效用函数（Constant-relative-risk-aversion (CRRA) utility function ）：相对风险厌恶系数为-Cu ’’(C)/u ’(C)= θ ● RRA 系数: θ● 跨期替代弹性（Elasticity of substitution ）: 1/ θ———————————— 补充材料： 严格定义：● Constantinides （1990）和Weil （1989）按照投资者的值函数来定义投资者的RRA 系数，RRA WWWWJ J ≡-，将RRA 系数进一步表示为投资者的值函数关于财富的弹性，得到：RRA //W WdJ J dW W=-。
因此，投资者的RRA系数的含义是投资者的财富变动1个百分点，投资者的边际效用变动多少个百分点。
RRA 系数刻画了投资者关于风险的态度。
● 投资者的IES 系数则定义为当股票的溢价r μ-保持不变时，经济中利率水平增加1个单位，投资者的最优消费增长率增加的幅度，即如下偏微分：IES [(/)/]|r E dC C dt rμ-∂≡∂● 当投资者的效用函数为CRRA 时，投资者的RRA 系数和IES 系数互为倒数：RRA ⨯IES ＝1。
无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
推导二
进一步推导出资本积累的动态过程，以及资本 的边际生产率如何随时间变化。
推导三
分析不同生产率个体之间的财富积累和转移机制。
模型验证
验证一
将模型预测结果与实际数据对比，检验模型的适用性 和准确性。
验证二
通过模拟不同政策条件下的经济运行，评估模型的预 测能力和政策效应。
验证三
与其他经济模型进行比较，分析模型的优缺点和适用 范围。
在无限期界内，经济系统的状态变量和参数可以随时间变化，但这种变化 不会导致经济系统的终结。
无限期界模型通常用于研究长期经济增长和发展问题，以及与时间变化相 关的经济现象。
世代交叠定义
世代交叠是指不同年龄段的人群在时间 上重叠，即不同世代的人同时存在于经 济系统中。
在世代交叠模型中，不同世代的人具有不同 的偏好、生产能力和消费习惯，这些差异会 影响经济系统的运行和动态变化。
无限期界与世代交叠模型（Romer版本）是经济 增长理论中的重要模型之一，它揭示了技术进步 和创新对经济增长的长期影响。
该模型还指出，技术进步和创新具有外部性，即 一个企业的技术进步和创新不仅会提高自身的生 产效率，还会对其他企业产生正的外部性，从而 促进整个经济的增长。
该模型强调了技术进步和创新在经济增长中的核 心作用，认为技术进步和创新是推动经济增长的 持续动力，而这种动力来自于知识的积累和溢出 效应。
未来研究方向
拓展模型应用范围
进一步探索该模型在不同领域的应用， 如环境经济学、发展经济学等。
放松假设条件
结合其他理论
尝试放宽模型假设，使其更接近现实 世界的复杂性，提高模型的解释力和
预测能力。
将该模型与其他经济学理论相结合， 如信息经济学、行为经济学等，以提
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，()Y F K AL=，，或者采用紧凑形式.假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。
(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题.证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值.（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题.构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b）因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择.因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2。
2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性.设想某个人只活两期,其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格,W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？(b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明,若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为.答：(a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2) 求解约束条件：(3)将方程(3）代入（1)中,可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4）两边对求一阶条件可得:解得：（5）将方程（5)代入（3），则有：解得：（6) 将方程(6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5)可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8) 对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
世代交叠模型的主要结论和优缺点
世代交叠模型的主要结论和优缺点引言世代交迭模型是国内外学者在研究社会不同世代之间关系时提出的一种分析框架。
这一模型试图通过对不同世代之间的交互、互动关系进行整体的认识和理解。
在接下来的文章中，我将深入探讨世代交迭模型的主要结论和优缺点，以便能更深入地理解这一理论框架。
一、世代交迭模型的主要结论在对世代交迭模型进行全面评估后，我们可以得出以下主要结论：1. 交互影响：世代之间不是孤立存在的，而是相互交织、相互影响的。
老一代对年轻一代的行为、态度有直接影响，年轻一代则影响着老一代的生活方式、消费观念等。
2. 传统传承：世代交迭模型也强调了传统文化、价值观在不同世代之间的传承。
老一代的传统观念和理念会影响年轻一代的认知和行为，而年轻一代也在向老一代传递新的观念和理念。
3. 社会变迁：通过世代交迭模型，我们能够更清晰地观察和理解社会的变迁。
不同世代在不同的社会背景下成长，他们的生活方式、工作方式等也会受到相应的影响，世代之间的差异和变迁也呈现出来。
二、世代交迭模型的优缺点在深入探讨世代交迭模型的优缺点后，我们可以得出以下结论：优点：1. 全面性：世代交迭模型能够全面而深入地观察不同世代之间的关系，包括传承、交互等方面。
这有助于我们更好地理解社会变迁的规律。
2. 跨学科性：世代交迭模型涉及到社会学、心理学、人类学等多个学科领域，能够提供一个多维度、多角度的分析框架。
3. 实践意义：世代交迭模型不仅停留在理论层面，更有着强烈的实践意义。
它可以指导我们更好地处理社会中不同世代之间的关系，有助于社会和谐和稳定的发展。
缺点：1. 历史局限：世代交迭模型在某种程度上受到特定历史条件的限制，无法对每个社会、每个群体都适用。
在实际运用中需要结合实际情况进行灵活处理。
2. 个体差异：世代交迭模型存在着忽略个体差异的缺点。
它更多地强调了整体性和整体变迁，而对于不同个体之间的差异性没有给予足够的关注。
3. 研究方法：世代交迭模型目前的研究方法相对较为单一，更多地是从定性研究的角度出发，定量研究的方法还需要进一步完善和拓展。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
无限期界与世代交叠模型
该模型强调不同世代人群在经济活动 中的相互影响，以及人口老龄化对经 济的影响。
世代交叠模型的应用领域
人口老龄化研究
世代交叠模型可用于研究人口老龄化对经济增长、劳 动力市场、社会保障等方面的影响。
政策模拟与预测
通过世代交叠模型，可以模拟不同政策方案下的人口 动态变化和经济表现，为政策制定提供依据。
计算机模拟实验
通过计算机模拟实验，对无限期界与世代交叠模型 进行模拟和验证，以检验模型的可靠性和有效性。
多模型比较与验证
通过与其他经济模型的比较和验证，进一步 评估无限期界与世代交叠模型的优劣和适用 范围。
05
结论与展望
研究结论
无限期界与世代交叠模型在经济学中具有重要应用， 能够帮助我们更好地理解经济系统的动态行为和长期
关注全球化和技术进步等外部因素对 模型的影响，探索如何将外部因素纳 入模型中，以更好地模拟和预测经济 系统的长期趋势和变化。
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理论基础比较
无限期界模型
该模型假设经济体是无限期存在的， 每个时期的经济行为都是独立的，不 考虑经济体的未来发展。
世代交叠模型
该模型假设经济体由不同世代的人群 组成，不同世代的人群在经济行为上 存在差异，考虑经济体的未来发展。
应用范围比较
无限期界模型
适用于短期经济分析，如失业、通货膨胀等短期经济现象。
04
无限期框架完善
随着研究的深入，无限期界与世代交叠模型的理 论框架不断完善，为进一步的理论研究提供基础。
参数设定与校准
针对模型中的参数设定和校准，研究者们不断探 索更精确的方法，以提高模型的预测精度。
3
跨学科融合
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
世代交叠模型
彼得·戴蒙德(Peter Diamond，1940-):世代交叠模型的提出者，美国经济学家彼得·戴蒙德彼得•戴蒙德生于1940年，1960年毕业于耶鲁大学，获数学学士学位；1963年，年仅23岁就获得了麻省理工学院经济学博士学位，之后在加州大学伯克利分校开始教学生涯。
自1966年起至今，戴蒙德一直在麻省理工学院任教。
2002至2003年，戴蒙德被推选为美国经济协会主席。
彼得·戴蒙德(Peter A .Diamond)是一位相当活跃、举足轻重的潜在诺贝尔奖得主。
他在四十多年的学术生涯中，引领了宏观经济学研究潮流，不断开辟新的研究领域，为其他经济学家建立了研究标准和方向。
编辑本段学术研究与贡献世代交叠模型以世代交叠模型奠定学界标杆地位1965年，年仅25岁的戴蒙德就在《美国经济评论》上发表了他的第一篇经典论文“新古典增长模型中的国家债务”。
文中，他在拉姆齐研究的基础上，建立了著名的世代交叠模型(Overlapping-generations model，OLG)。
正是这个模型所采用的世代交叠研究方法，一举奠定了他在宏观经济学、公共财政问题研究中的标杆地位。
彼得·戴蒙德依据拉姆齐模型，经济中的个体都是彼此毫无差别的标准个体，他们具有无限的寿命，拥有完全相同的理性行为，在永恒的无限生命期界中，依照相同的经济决策方式追求跨期效用最大化，不考虑年龄对人们经济行为的影响，即所有人的经济决策都被视为无差别。
作为对照，在世代交叠模型中，每个社会成员都仅具有有限的生命，随着年老一代的逝去，新的人口在不断进入经济生活，在相同的时点上，不同代际的人共同生活，不仅同一代人存在经济联系，而且不同代际的人之间还存在着广泛的经济交往。
他们的消费、储蓄、投资等所有经济选择，由于身处不同代际(即处于不同的年龄段)，必然表现出不同的行为方式，即不同代际的人之间的交往规律不尽相同，因此，整个经济就构成了一个复杂的有机体。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
i 1
i 1
i 1
其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
第4章 世代交叠模型 (1)
C1t = ⎡⎣1− s (rt +1 )⎤⎦ wt 经济在时间 (t + 1) 的总资本等于在时间 t 时年轻一代的总储蓄①，即 ˆ )−k ˆ f ′( k ˆ )⎤ L K t +1 = s (rt +1 ) wt Lt = s (rt +1 ) At ⎡⎢ f (k t t t ⎥ t ⎣ ⎦
= wt
(4.7)
其中，上式左边为终生消费的贴现值，右边为劳动收入（劳动力供给为 1）。写下 t 世代 人最大化问题的拉格朗日函数，
1−θ 1−θ ⎡ C2, t +1 ⎤ C1 1 C2, t +1 t ⎥ max L = + + λ ⎢ wt − C1t − ⎢ ⎥ {C1t , C2, t+1} + 1− θ 1 + ρ 1− θ 1 r t +1 ⎦ ⎣
1 ˆ )−δ s f ′(k t +1 (1 + n)(1 + g ) ˆ 的非线性差分方程。由于 k ˆ 方程(4.16)是一个关于 k ˆ = k t +1
(
) ⎡⎣⎢ f (kˆ ) − kˆ f ′(kˆ )⎤⎦⎥
t t t
(4.16)
t +1 同时出现在方程(4.16)的两边，这更
增加了求解的难度。为了得到一个较好的解，我们考虑对数效用函数（ ln C ）与 Cobb-
*
(4.22)
ˆ=k ˆ 时，有效人均资本 c ˆ 的表达式(4.20)可得， ˆ 达到最大化。另一方面，代入 k 当k gold ˆ* ) = α k ˆ*α−1 = α (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) f ′( k 1− α * * ˆ ) < f ′( k ˆ ) ，则 k ˆ >k ˆ 。而 f ′(k ˆ* ) < f ′ ( k ˆ ) 意味着， 如果 f ′( k gold gold gold
无限期模型与世代交叠模型
福利与平衡增长路径
30
1、福利
一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是否代表一个可 期望的值。 微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市场是竞争的完 全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡时帕累托的 。由于福利定理在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有 效的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着分散化均衡 在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效 用。
2.4
贴现率下降的影响和政府购买的影响
34
1、贴现率下降的影响
35
2、调整速率与鞍点路径的斜率
c c [ k k ] [c c ] c k c k k [ k k ] [c c ] k k c ~ k ~ k ~ k k c k c
该模型与索洛模型类似，也假定家庭持有资本并向社会提供劳动， 而后进行消费和储蓄。 与索洛模型不同的是，家庭了储蓄与消费决策由具有无限生命期 的家庭决定。
大量相同的竞争性厂商租用资本雇佣劳动以生产并销售产 品，大量相同的长生不老家庭供给劳动、持有资本、消费 并储蓄。 不考虑市场的不完美性以及由异质家庭和代际关系造成的 所有问题。
H
(2.10)
e
H
t 0 e
L(t ) [W (t ) C(t )] dt H
s
lim e
R( s )
K ( s) 0 H
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持有资产的现值不 能是负的。这就是著名的非蓬齐对策条件。
14
专栏：非蓬齐对策
15
家庭最优化决策
第二章-无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
• L(t)为经济中的总人口
• L(t)/H为每个家庭的成员数
• u(C(t))L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用
• ρ为贴现率， ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未 来消费估值越低。
• 瞬时效用函数u(C(t))为凹函数，即 • u'[C(t)]>0，u''[C(t)]<0 • 常用的瞬时效用函数为：
t0
e
R
(t
)
[W
(t
)
C
(t
)
]
L(t H
)d
t
0
(2.7)
K (0)
lim [ s H
s t 0
e
R
(t
)
[W
(t
)
C
(t
)
]
L(t H
)d
t
]
0
(2.8)
• s时刻，家庭拥有的资本存量为：
K (s) eR(s) H
K(0) H
s t 0
e
R
(s
• 从跨期消费权衡视角来考虑： • 消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必
然要求两者变动导致的终身总效用不变。
• 假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损
失为： Betc(t) dc(t)
• 在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这 部分收入带来的效用增加量为：
1
]dt
B
et
t 0
c(t )1
1
]dt
(2.12)
B A(0)1 L(0) , n (1 )g
宏观经济学第三讲 无限期界与世代交叠模型
收敛 速度
差分方程 的求解：
k的动态 方程为：
达到均 衡时： 在平衡 路径附 近线性 化：
1 C C C2 t 1 (1 r t 1) C 1
最优的个人 消费变化：
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
21
个人效用最大化：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。
1 1 C1 C 1 1 t 2t 1 L [ At wt (C1t C2t 1 )] 1 1 1 1 rt 1
5
瞬时效用函数采取如下形式：
C (t ) u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期 替代弹性效用函数。 边际效用弹性：消费 每增加1％，边际效用 下降的百分比。
1
du(c) c cu(c) dc u(c) u(c)
• 每个人在年轻的时候供给1单位的劳动，并且将劳 动收入在第一期的消费和储蓄之间进行分配；在第 二时期，个人只是消费其储蓄和利息。
18
在t时期出生的一个人的效用取决于两时期的消费。效用函 数为不变相对风险厌恶效用函数：
1 1 C1 C 1 2 t 1 Ut t 1 1 1 0, 1 该假设确保第二个时期的消费权数为正。
在t时期，由老年人拥有的资本与由年轻人供给的 劳动结合起来进行生产。老年人消费其资本收入与现 存财富。年轻人将劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把储蓄带入下一个时期，因此在t+1时期内的资 本存量Kt+1等于t时期的年轻人的数量Lt乘以他们的储 蓄wtAt-C1t。该资本量与下一代年轻人的劳动供给相结 合，生产持续进行。
罗默高级宏观经济学答案
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*以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??＜0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商??因此选择相同的k值。
（b）证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?wal，同时厂商受到生产函数y?alf?k?的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min??wal?rks.t.?? y?alf?k?本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。
因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?alf?k?的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
（2.43）设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?p2c2?w。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
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增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
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（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？