线性二次型最优控制器的设计
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制器设计
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
1 要寻求控制向量 (t ) 使得二次型目标函数 J u
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
2 0
( x Qx u Ru )dt
T T
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u
R
1
B Px Kx
T
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 T 1 P PB BP Q 0 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA
A
R
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),(k 0,1, , N 1)
要寻求控制向量u (k )使得二次型目标函数
1 T T J [ x (k )Qx(k ) u (k ) Ru (k )] 2 k 0
E[ (t ) (t )] 0 E[ (t ) (t )] 0
T
式中，E〔x〕为向量x的均值。E〔xxT〕为零均值的Gauss信号x的协方差。 进一步假设ω (t)和ν (t)为相互独立的随机变量，使得E〔 ω (t)ν T(t) 〕=0。定义最 优控制的目标函数为： T T
x(k 1) 2 x(k ) u (k ) y (k ) x(k )
试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。
线性二次型最优控制
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
LQR 系统最优控制器设计的MATLAB 实现及应用
LQR 系统最优控制器设计的MATLAB 实现及应用LQR( linear quadratic regulator) 即线性二次型调节器, 其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统, 而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。
LQR 最优设计指设计是出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J 取最小值, 而K由权矩阵Q 与R 唯一决定, 故此Q、R 的选择尤为重要。
LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。
特别可贵的是, LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律, 易于构成闭环最优控制。
而且Matlab 的应用为LQR 理论仿真提供了条件, 更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。
一、LQR 最优控制器系统设计的Matlab 实现1.1 LQR 最优控制器的系统设计假设线性系统状态空间描述为:x = Ax+ Bu,v= Cx 。
其中x 为n*1状态向量, u为m*1输入向量。
不失一般性考虑一个二次型目标函数:(1)式( 1) 中, Q 、R 称为加权矩阵, 且Q 为n*n 维正半定阵, R 为m*m 维正定阵。
最优控制即寻求控制作用u(图1)使目标函数J 最小。
应用极小值原理, 可以得出最优控制作用:1T x u kx R B P -=-=-, 其中,P 为代数Riccati 方程1():0T T ARE A P PA PBR B P Q -+-+=的正半定解。
Matlab 中的lqr( )函数不仅可以求解ARE 的解P, 还可以同时求出K 。
1.2 Q ,R 的选择原则由原理知, 要求出最优控制作用u, 除求解ARE 方程外, 加权矩阵的选择也是至关重要的。
而Q 、R 选择无一般规律可循, 一般取决于设计者的经验, 常用的所谓试行错误法,即选择不同的Q 、R 代入计算比较结果而确定。
这里仅提供几个选择的一般原则:1) Q 、R 都应是对称矩阵, Q 为正半定矩阵, R 为正定矩阵。
线性二次型的最优控制
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
利用MATLAB设计线性二次型最优控制器
实验6 利用MATLAB 设计线性二次型最优控制器6.1 实验设备 同实验1。
6.2 实验目的1、学习线性二次型最优控制理论；2、通过编程、上机调试，掌握线性二次型最优控制器设计方法。
6.3 实验原理说明考虑控制系统的状态空间模型（6.1）⎩⎨⎧=+=Cx y Bu Ax x &其中：x 是维状态向量，u 是维控制向量，y 是r n m 维的输出向量，A 、B 和分别是、和C n n ×维的已知常数矩阵，系统的初始状态是。
0)0(x x =m n ×n r ×系统的性能指标是∫∞+=0T T d ][t J Ru u Qx x （6.2）其中：为对称正定（或半正定）矩阵，Q R 为对称正定矩阵。
性能指标右边的第一项表示对状态的要求，这一项越小，则状态衰减到零的速度越快，振荡越小，因此控制性能就越好。
第二项是对控制能量的限制。
x x 若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使得性能指标（6.2）最小化的最优控制器具有以下的线性状态反馈形式Kx u −= (6.3)P B R K T1−=是维状态反馈增益矩阵，P 是以下黎卡提矩阵方程n m ×式中的0T 1T =+−+−Q P B PBR P A PA (6.4)的对称正定解矩阵。
此时，性能指标的最小值是，最优闭环系统0T 0x P x =J x BK A x)(−=& (6.4) BK A −的所有特征值均具有负实部。
是渐近稳定的，即矩阵MATLAB 中的函数[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)给出了相应线性二次型最优控制问题的解。
函数输出变量中的K 是最优反馈增益矩阵，P 是黎卡提矩阵方程（6.4）的对称正定解矩阵，E 是最优闭环系统的极点。
6.4 实验步骤1、线性二次型最优控制器设计，采用MATLAB 的m-文件编程；2、在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
lqr控制器设计方法
lqr控制器设计方法
LQR（线性二次型调节器）控制器是一种线性系统最优控制器，其设计方法基于最优控制理论和线性系统理论。
以下是LQR控制器设计的一般步骤：
1. 确定系统模型：首先需要确定被控系统的状态方程和输出方程，通常可以使用系统的物理模型或者通过系统辨识得到。
2. 定义性能指标：选择一个合适的性能指标，通常采用二次型性能指标，如系统状态向量的二次范数或某个输出变量的二次范数。
3. 求解最优控制问题：使用线性二次型调节器方法，将最优控制问题转化为求解一个黎卡提（Riccati）矩阵方程的问题。
这个矩阵方程描述了最优控制策略和控制性能之间的关系。
4. 设计状态反馈控制器：通过求解得到的黎卡提矩阵，可以设计出状态反馈控制器。
状态反馈控制器是一种线性状态反馈控制策略，它将系统状态和最优控制策略结合，实现最优控制效果。
5. 实现控制器：将设计好的状态反馈控制器在实际系统中实现，并进行实验验证。
如果实验结果不满足要求，需要回到步骤1重新进行控制器设计。
需要注意的是，LQR控制器设计方法是一种理论上的最优控制策略，但在实际应用中，由于系统模型的近似、噪声干扰和测量误差等因素的影响，可
能会导致控制效果不理想。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况对控制器进行适当调整和优化。
毕业论文-线性二次型最优控制器的MATLAB实现
湖北文理学院物理与电子工程学院2014届本科毕业论文论文题目线性二次型最优控制器的matlab实现班级姓名学号指导教师（职称）线性二次型最优控制器的MATLAB实现摘要：本文从线性二次型最优控制器原理出发，对象是现代控制理论中用状态空间形式给出的线性系统，目标函数为状态和控制输入的二次型函数。
通过加权矩阵Q 和R的一些选择规则，利用MATLAB仿真分析参数Q和R的变化对最优控制系统的影响，然后对其最优控制矩阵进行求解。
分别介绍了连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现和最优观测器的MATLAB实现这三种研究方案，以不同的程序实现其功能。
关键词:MATLAB；线性二次型；最优控制；矩阵Applying MATLAB to the Design of the Linear QuadraticOptimal ControllerAbstract：In this paper, starting from the principle of the linear quadratic optimal controller, the object is given the linear system using the forms of state space in modern control theory , the objective function is the two type of function of state and control input. Through some selection rules of the weighting matrices Q and R, analysis of the changes of parameters Q and R influence on the optimal control system by using MATLAB simulation, and then to solve the optimal control matrix. Respectively introduces the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB these three research programs. Realize its function in a different program.Key words:MATLAB; Linear quadratic; The optimal control;Matrix目录1引言 (1)1.1概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (3)2最优控制的基本概念 (4)2.1最优控制基本思想 (4)2.2最优控制问题的求解方法 (5)2.3 Q、R的选择原则 (6)2.4加权矩阵的调整 (6)2.4.1廉价控制 (6)2.4.2昂贵控制 (7)2.5问题的阐述 (8)2.6问题的求解 (9)2.7利用仿真给定的控制系统 (9)3最连续系统最优控制的MATLAB实现 (12)3.1连续系统线性二次型最优控制 (12)3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (13)4离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (14)4.1 离散系统稳态线性二次型最优控制 (14)4.2 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (15)5最优观测器的MATLAB实现 (16)5.1 连续时不变系统的Kalman滤波 (16)5.2 Kalman滤波的MATLAB实现 (17)4结论 (19)[参考文献] (20)致谢 (21)1引言1.1概述近年来，仿真技术得到广泛的应用与发展，在系统设计、目标与环境模拟、人员培训等方面取得了丰硕成果，随着计算机技术的快速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛应用，目前已经达到了相当高的水平。
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
二次型性能指标的线性系统最优控制
1 T e (t )Q (t )e(t ) 代表整个过程中误差 e(t ) 的 2
矩阵 F Q(t ) R(t ) 则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要 程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时间函数，以表示在不同时刻 的不以加权。
因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控 制能量来获得较小误差的最优控制。
(10-26)
Q, R 为常值矩阵，并满足 Q 为正半定的，R 为正定的。求最优 点控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
这里讨论的问题与第二节相比，有以下几点不同：
1.系统是时不变的，性能指标的权矩阵为常值矩阵。 2.端时刻 t f 。在前节讨论已知，即使线性系统是时不变的， 求得的反馈增益矩阵是时变的，这使系统的结构大为复杂。终端时 刻 t f 取作无穷大，目的是期望能得到一个常值反馈增益矩阵。 3. 终值权矩阵 F 0 ，即没有终端性能指标。这是因为人们总在 关注系统在有限时间内的响应，当 t f 时，这时的终值性能指标 就没有多大实际意义了，并且终端状态容许出现任何非零值时，由 于积分限为[t0 , ] ，都会引起必须指标趋于无穷。
因此二次型性能指标的线形系统最优控制问题被广泛应用到 各种工程实际中，例如：导弹的角度控制、电冰箱的温度控制等。
导弹角度控制
电冰箱温度控制
二次型性能指标线性系统最优控制问题可以描述如下：
设线性系统状态方程及输出方程为：
(t ) A(t ) x (t ) B(t )u(t ) x y (t ) G (t ) x (t )
(10-6)
终端时刻 t f 固定。要求寻找最优控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
这个问题的求解可以用极小值原理或动态规划法，这里，我们应 用极小值原理来求解。首先列写哈密尔顿函数
二次型最优控制器设计
倒立摆系统的模型参数如下： M 小车质量 1.32Kg； m 摆杆质量 0.07Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆转动惯量 0.00093kg*m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 T 采样频率 0.010s 0.2m
2 Q,R的选择原则
由原理知，要求出最优控制作用u，除求解Riccati方程外， 加权矩阵的选择也是至关重要的。而Q、R选择无一般规律可 循，一般取决于设计者的经验，常用的所谓试行错误法，即 选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里仅提供几个 选择的一般原则：
1）Q、R都应是对称矩阵，Q为正半定矩阵，R为正定矩阵。 2）通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固 定，然后改变Q的数值，最优控制的确定通常在经过仿真或实 际比较后得到。当控制输入只有一个时，R成为一个标量数 （一般可直接选R=1）。 3）Q的选择不唯一。这表明当得到的控制器相同时，可以有 多种Q值的选择，其中总有一个对角 线形式的Q。
图1
图2
LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性 能指标（事实也可以对不稳定的系统进行镇定），而且方法 简单便于实现，同时利用Matlab强大的功能体系容易对系统 实现仿真。本文利用Matlab对实例进行LQR最优控制设计， 比较Q、R变化对系统动态性能的影响，说明LQR系统设计 的简单而可行性及Q，R变化对系统性能影响的重要性。
下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：
基于线性二次型的单神经元PID最优控制器设计及仿真
基于线性二次型的单神经元PID最优控制器设计及仿真0.前言由于传统的PID调节器算法简单、鲁棒性好及可靠性高，被广泛应用于过程控制和运动控制中，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性系统，然而实际工业生产过程往往具有非线性、时变不确定性，难以建立精确的数学模型，应用常规的PID控制器不能达到理想的控制效果。
计算机技术和智能控制理论的发展为复杂动态不确定系统的控制提供了新的途径。
神经网络技术、模糊控制技术、遗传算法优化技术等智能控制技术发展很迅速。
将智能技术与数字PID控制结合起来，应用于工控现场，将有着广阔的发展前景。
近年来，神经网络由于具有自学习、自组织、联想记忆和并行处理等功能，因而受到了控制界的关注，在系统辨识与控制中得到了应用。
本文在自调整单神经元PID控制器中引入最优控制理论中的二次型性能指标，通过修改神经元控制器的权系数来使性能指标趋于最小，从而实现了对控制器性能的优化。
1.最优化技术及自适应PI D控制算法所谓最优控制问题,就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律,使系统能最优地达到预期的目标。
线性二次型最优控制系统是一类重要的最优控制系统。
这类系统得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式,易于在工程上实现。
一般的自适应控制算法需要对过程进行辨识,然后再设计出自适应控制规律,从而限制了自适应控制算法的应用。
由Marsik和Strejc在1986年提出的无需辨识的自适应控制算法,其机理是根据过程误差的几何特性建立性能指标,这种算法无需辨识过程参数,只要在线检测过程的期望输出和实际输出,即可形成自适应控制器的控制规律。
2.基于二次型性能指标学习算法的单神经元自适应PI D控制算法单神经元自适应控制器是通过对加权系数的调整来实现自适应、自组织功能的，权系数的调整是按照有监督的Hebb学习规则实现的。
单神经元自适应控制PID控制结构如图1所示。
图 1 单神经元自适应PID 控制结构图中：rin 是给定值, yo u t 是输出值, e z rin yout ==-，这里1()x e k =；2()x e k = ；3()2(1)(2)x e k e k e k =--+-。
线性二次型最优控制的MATLAB实现
线性二次型最优控制的MATLAB实现摘要线性二次型最优控制是一种普遍采用的最优控制系统设计方法。
使用MATLAB 软件设计的GUI控制界面实现最优控制，有较好的人机交互界面，便于使用。
线性二次型最优控制又叫做LQ最优控制或者称为无限长时间定常系统的状态调节控制器。
本文分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现，最优观测器的MATLAB实现，线性二次性Guass 最优控制的MATLAB实现四个研究方案。
本论文就是从这四个方面分别以不同的性能指标设计不同的GUI界面以及不同的程序实现其功能并说明其各自的应用范围。
关键词：线性二次型，最优控制, GUI控制界面，最优观测器，Guass最优控制The Linear Quadratic Optimal Control of MA TLABAbstractLinear quadratic optimal control is a widely used to optimal control system design method. Use of MATLAB software design GUI interface control to realize the optimal control, Have good man-machine interface, easy to use. The linear quadratic optimal control and called LQ optimal control or an infinite long time of the system state regulation and constant controller.This paper respectively from the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB, sexual Guass linear quadratic optimal control MATLAB four research plan. This paper is from the four aspects of the performance index respectively in different design different GUI interface and Different programs that realize its function and their application scope.Keywords：Linear quadratic, The optimal control, GUI control interface, The best Guass observer, the optimal control目录1 引言 (1)1.1 概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (2)2 最优控制的基本概念 (3)2.1最优控制基本思想 (3)2.2最优控制的性能指标 (3)2.2.1 积分型性能指标 (3)2.2.2 末值型性能指标 (5)2.3最优控制问题的求解方法 (5)3 最连续系统最优控制的MATLAB实现 (7)3.1连续系统线性二次型最优控制 (7)3.2连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (8)3.3连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现示例 (8)4 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (17)4.1离散系统稳态线性二次型最优控制 (17)4.2离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现与示例 (18)5 最优观测器的MATLAB实现 (23)5.1 连续时不变系统的KALMAN滤波 (23)5.2K ALMAN滤波的MATLAB实现 (24)5.3K ALMAN滤波的MATLAB实现示例 (25)6 线性二次型GUASS最优控制的MATLAB实现 (31)6.1LQG最优控制的求解 (31)6.2LQG最优控制的MATLAB实现与示例 (32)7 结论 (37)参考文献： (38)致谢 (39)1 引言1.1 概述随着计算机技术的飞速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛的应用，目前已达到了相当高的水平。
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线性二次型最优控制器的设计
u
B
﹢ ∑ x ﹢
.
∫
A
x
C ﹢ ∑ ﹣∧ C
y
B
﹢ ∑ x ﹢﹢
. ∧
∫
A G
x
∧
y
Figure 2. Reconstruction of state x ( t ) 图 2. 状态 x ( t ) 的重构示意图
u u u
系统
y
控制器
x
∧
u
观测器
y
Figure 3. An optimal controller with a state observer 图 3. 带有观测器的最优控制器
根据以上步骤，得出线性二次型最优控制器结构图如图 1 所示。 线性二次型最优控制器的特点如下所示： 1) 最优控制式 u ∗ ( t ) 是线性状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制；
2) 黎卡提方程是非线性矩阵微分方程，通常只能采用计算机逆时间方向求数值解。由于黎卡提方程 与状态及控制变量无关，因而在定常系统情况下可以离线算出 P ( t ) ； 3) 只要时间区间 黎卡提矩阵微分方程的解 P ( t ) 就是时变的， 最优反馈系统将成为 t0 , t f 是有限的， 线性时变系统，即使对于线性定常系统，加权阵为常阵，求出的 P ( t ) 也是时变的。
关键词
最优控制，线性系统，状态反馈
1. 引言
线性二次型最优控制问题属于线性系统综合理论中简单而又应用广泛的一类优化型综合问题，是现 代控制理论中的最重要的成果之一。优化型综合问题的特点是通过使全面表征系统性能好坏程度的性能 指标函数取极大或极小值来确定系统的控制规律。如果系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量 的二次型函数的积分，则这样的最优控制问题称为二次型最优控制问题。二次型性能指标具有明显物理 意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求。 线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)的最优解可以用统一的解析式表示，且可得到一 个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制，这对最优控制在工程应用中的实现具有十分重要的 意义。同时，线性二次型问题还可以兼顾系统性能指标如快速性、准确性、稳定性和灵敏度等多方面因 素。线性二次型问题是最优控制问题中简单而且应用广泛的一类优化问题。线性二次型最优控制器的实 现是先计算出使性能指标泛函取极小值的输入量 u ∗ ( t ) ， 而 u ∗ ( t ) 的作用是通过状态的线性反馈来实现的， 即通过确定状态的最优反馈系数来实现最优控制。在 20 世纪 60 年代之前，控制系统的设计风格为：手 算，利用作图，反复试凑；而在 20 世纪 60 年代之后，控制系统的设计风格为：提出目标函数，采用优 化方法，使用数字计算机，重视算法。LQR 控制器的研究具有普遍意义，易于获得解析解，最为可贵的 是能获得线性反馈的结构[1] [2]。 LQR 控制即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函
3. 结语
线性二次型最优控制系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，二次型最优控制系统可
− R −1 (t )BT + +
x (t )
.
1 s
x(t)
A( t )
P( t )
Figure 1. Diagram of a linear quadratic optimal controller 图 1. 线性二次型最优控制器结构图
(t ) = P − P ( t ) A ( t ) − AT ( t ) P ( t ) + P ( t ) B ( t ) R −1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) − Q ( t )
(2) (3)
u ∗ ( t ) = − R −1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t )
R ( t ) 为 m × m 维正定对称时变的控制加权矩阵；始端时间 t0 及终端时间 t f 固定。
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线性二次型最优控制器的设计
当式(1)中的终时 t f 为有限值时，式(1)被称为有限时间状态调节器问题。它突出了在有限时间内完成 动态误差小、消耗的控制能量少、稳态误差小的折中要求。 通过黎卡提矩阵微分方程的解可求出最优控制 u ∗ ( t ) 的表达式；
(
)
2.2. 带有状态观测器的最优控制器
在线性系统完全可观的情况下，直接采用状态反馈控制器即可实现线性二次型最优控制，如果系统 的状态不完全可观，那么可以通过状态观测器重构不可观的状态，并通过带有观测器的反馈结构实现最 优控制[5] [6]状态观测器的结构如图 2 所示，带有状态观测器的最优控制器的组成如图 3 所示。
1 T 1 tf T J= x ( t f ) Sx ( t f ) + ∫t x ( t ) Q ( t ) x ( t ) + u T ( t ) R ( t ) u ( t ) dt 2 2 0
(1)
式(1)中，S 为 n × n 维半正定对称常数的终端加权矩阵；Q ( t ) 为 n × n 维半正定对称时变的状态加权矩阵；
当终端时间 t f 趋于无穷时， P ( t ) 将趋于某常数，即 P ( t ) 可视为恒值，从而最优反馈时变系统随之转
换成最优控制定常系统，这样就得到无限时间 t f → ∞ 状态调节器。无限时间线性定常系统状态调节器 和有限时间线性连续系统的状态调节器的区别为： a) 无限时间线性定常系统状态调节器的被控对象是线性定常系统； b) 无限时间调节器的性能指标中， 终端权矩阵为 0，即没有终端性能指标。由于 t f → ∞ ，终端指标已失去了实际意义，不必再予以考虑； c) 在无限时间调节器问题中要求被控系统必须完全能控，以保证最优系统的稳定性。这是由于在控制区 间为无限时，如果出现系统状态不能控或不稳定，则不论采取什么控制，都将使性能指标趋于无穷大， 也就无法比较各种控制效果的优劣了。但对有限时间调节器来说，由于控制时间 t0 , t f 为有限时间，即 使出现状态不能控情况，其对性能指标的影响也总是有限的，因而最优控制仍然可以存在。
Keywords
Optimal Control, Linear System, State Feedback
线性二次型最优控制器的设计
姜 静，孟利东
山东理工大学电气与电子工程学院，淄博 Email: anyangjj@, mengeast@ 收稿日期：2014年7月1日；修回日期：2014年7月25日；录用日期：2014年8月3日
摘
要
最优控制中目标函数是一个泛函数，最优控制的求解可以归结为求泛函极值问题。线性二次型泛函的最 优解可以用统一解析式表示，且可得到一个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制。本文给出
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线性二次型最优控制器的设计
了线性二次型系统最优解的求解算法及线性二次型最优控制系统的组成框图，由于在实际系统中状态变 量不一定都是能测量的，本文给出了带有状态观测器的线性二次型最优控制系统的实现方法。
分别表示各个状态误差和输入能量消耗的相对重要性， Q 中对角矩阵的各个元素分别代表各项指标误差
2. 线性二次型最优控制器的设计
2.1. 最优控制量 u∗ ( t ) 的求解过程
Kalman 在研究状态方程、线性系统的能控性和能观性的基础上，对线性系统提出二次型目标函数， 只有这样，才能获得最优的闭环控制器。线性二次型问题的最优解可以用统一的解析式表示，且可得到 一个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制，线性二次型调节器的目标函数中明确地提出消耗 控制能量最少， 这在经典反馈控制中是没有的。 LQR 算法是在一定的性能指标下， 利用最少的控制能量， 来达到最小的状态误差[4]。 对于线性连续系统提出二次型目标函数，即
[1] [2] [3] [4] [5] [6] 施颂椒, 陈学中, 杜秀华 (2005) 现代控制理论基础. 高等教育出版社, 北京. 吴受章 (2008) 最优控制理论与应用. 机械工业出版社, 北京. 杨慧, 王富东 (2012) 自平衡两轮机器人的 LQR 控制策略研究. 工业控制计算机, 6, 83-84. 刘文秀, 郭伟, 余波年 (2011) 倒立摆状态反馈极点配置与 LQR 控制 Matlab 实现. 现代电子技术, 10, 88-89. Rivadeneira, C.V. (2011) Approximating the solution to LQR problems with bounded controls. Latin American Applied Research, 41, 339-351. Tao, C.W., Taur, J.S. and Chen, Y.C. (2012) Design of a parallel distributed fuzzy LQR controller for the twin rotor multi-input mu1ti-output system. Fuzzy Sets and Systems, 7, 2081-2102.
Software Engineering and Applications 软件工程与应用, 2014, 3, 97-103 Published Online August 2014 in Hans. /journal/sea /10.12677/sea.2014.34012
以兼顾系统性能指标的多方面因素，线性二次型最优控制系统根据确定的性能指标函数，通过求解黎卡 提非线性矩阵微分方程来得到最优控制解，即确定最优状态反馈系数来实现最优控制，如果实际系统中 一些状态变量不易直接测量到，需要构造状态观测器估计出不可直接测量的状态变量以实现最优状态反 馈即最优控制。
参考文献 (References)
Ax + Bu ，通过确定最佳控制 数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR 最优设计是针对状态方程= x