线性二次型最优控制

线性二次型最优控制(3/12)
线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有 系统性、应用最为广泛和深入的分支。
本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输出 量测方程为
对于最优控制问题,极大值原理很好地描述了动态系统的最 优控制解的存在性。 但对于复杂的控制问题,如非线性系统的控制问题、系 统模型与性能指标函数对控制量u(t)不为连续可微的控 制问题,在确定最优控制规律时存在不少困难,如 非线性常微分方程求解、 最优控制的非平凡性问题,
而且带来闭环控制系统工程实现时困难性,难以得到统 一、简洁的最优控制规律的表达式。
时变状态调节器(2/3)
C(t)=I,z(t)=0,则y(t)=x(t)=-e(t)
有限时间LQ调节器问题 设线性时变系统的状态方程和初始 条件为
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), x x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
式中,控制量u(t)不受约束。 寻找最优控制函数u*(t),使下列二次型性能指标泛函为最 小
内容为：
最优控制的充分必要条件 矩阵P(t)的若干性质 最优控制的存在性与唯一性
J [u(t )]
1 τ 1 tf (1/10)—定理7-14 x (t f ) Fx(t f ) [ x τ (t )Q(t ) x(t ) 最优控制的充分必要条件 uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函 J[u(· )] 中的第 1 项 e(tf)Fe(tf), 是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的 , 称为末端 代价函数。 非负定的常数矩阵 F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。该项函数值总是为非负 的。 若矩阵 F 的第 i 行第 i 列元素值较大 , 代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
(t ) A(t ) x (t ) B (t )u(t ), x y (t ) C (t ) x (t ) x (t0 ) x0
式中, x(t)是n维状态向量,u(t)是r维输入控制向量,y(t)是m维实际的 输出向量。 A(t)、B(t)和C(t)分别是n×n、n×r和m×n维的分段连续的 时变矩阵。 假定系统的维数满足0<mrn,且u(t)不受约束。 用z(t) 表示预期的输出 , 它为 m维向量 , 则定义输出误差向量 如下 e(t)=z(t)-y(t)
Ch.7 最优控制原理
目录(1/1)
目

录
7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
线性二次型最优控制(1/12)
7.5 线性二次型最优控制
的解,而最优性能值为
时变矩阵 Q(t) 的不同选择 , 对闭环最优控制系统 的性能的影响较大。
线性二次型最优控制(9/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
3) 性 能 指 标 泛 函 J[u(· )] 中 第 2 项 的 被 积 函 数 的 第 2 项 u(t)R(t)u(t), 表示在系统工作过程中对控制向量 u(t) 的大 小的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 R(t) 为正定的 , 故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正的。 而且 u(t) 越大 , 该项函数值越大 , 其在整个性能指 标泛函所占的分量就越大。 因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向 量u(t)的大小的约束和限制。 如u(t)为与电压或电流成正比的标量函数时,该项 为 u2(t), 并与功率成正比 , 而 u2(t)dt 则与在 [t0,tf] 区 间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。
线性二次型最优控制(2/12)
对于线性系统,若取状态变量x(t)和控制变量u(t)的二次型函 数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题 称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称 为线性二次型问题。
该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表 达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。 因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工 作者和工程技术人员都具有很大吸引力。 近40年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、 性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成 功的应用。
线性二次型最优控制(8/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
非负定的时变矩阵Q(t) 为加权矩阵 ,其各行各列元素 的值的不同 , 体现了对相应的误差向量 e(t) 的分量在 各时刻的要求不同、重要性不同。
线性二次型最优控制(10/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
因此,该项 Lu 是用来衡量控制功率大小的代价函数。
正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列元素 的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t)的分量在 各时刻的要求不同、重要性不同。
时变状态调节器(1/3)
7.5.1 时变状态调节器
前面已经指出,状态调节器问题为:
用不大的控制能量,使状态x(t)保持在零值附近的二次型 最优控制问题。
该问题的描述如下。
1 1 tf J [u()] e τ (t f ) Fe(t f ) [e τ (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
1. 最优控制的充分必要条件 定理7-14(有限时间LQ调节器) 对于有限时间LQ调节器问题,为 其最优控制的充分必要条件是
u* (t ) Kx* (t ), K (t ) R1 (t ) Bτ (t ) P(t )
最优轨线为下述状态方程
* (t ) A(t ) x* (t ) B(t )u* (t ), x* (t0 ) x0 , t [t0 , t f ] x
线性二次型最优控制(5/12)
控制的目标 J 是寻找最优控制函数 u*(t),使下列二次型性 能指标泛函为最小
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使输出值y(t)保持在零值 附近,称为输出调节器问题。
1 1 tf J [u()] e τ (t f ) Fe(t f ) [e τ (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
线性二次型最优控制(12/12)
线性二次型最优控制(7/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
2) 性 能 指 标 泛 函 J[u(· )] 中 的 第 2 项 被 积 函 数 中 的 第 1 项 e(t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差向量e(t)的 要求和限制。 由于时变的加权矩阵 Q(t) 为非负定的 , 故该项函数值 总是为非负的。 一般情况下 ,e(t) 越大 ,该项函数值越大 ,其在整个 性能指标泛函所占的份量就越大。 因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向 量e(t)的大小的约束和限制。 在e(t)为标量函数时,该项可取为e2(t),于是该项与 经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分 指标一致。
时变矩阵 R(t) 的不同选择 , 对闭环最优控制系统的性能 的影响较大。 综上所述, 可见线性系统的二次型性能指标泛函的 最优控制问题的实质在于用不大的控制量u,来保持 较小的控制误差e,以达到所耗费的能量和控制误差 的综合最优。
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
该问题转化成 :用不大的控制能量 ,使状态x(t)保持在 零值附近,称为状态调节器问题。 2) 若令 z(t)=0, 则 y(t)=-e(t) 。这时 ,线性二次型问题的性能指 标泛函变为
1 τ 1 tf τ J [u()] y (t f ) Fy(t f ) [ y (t )Q(t ) y(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
线性二次型最优控制(11/12)
现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。 1) 若令C(t)=I,z(t)=0,则y(t)=x(t)=-e(t)。这时,线性二次型问题 的性能指标泛函变为
1 τ 1 tf τ J [u()] x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u τ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
式中, R(t), Q(t)和F都为对称矩阵 对称
F为m×m维非负定的常数矩阵;
≥0
Q(t)为m×m维时变的分段连续的非负定矩阵; ≥0 R(t) 为 r×r 维时变的分段连续的正定矩阵 , 且其逆矩 阵存在并有界; ＞0 末态时刻tf是固定的。 固定
百度文库
线性二次型最优控制(6/12)
1 τ 1 tf τ J [u()] e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
1 τ 1 tf τ J [u(t )] x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
式中, F和Q(t)为非负定矩阵;
R(t)为正定矩阵; 末态时刻tf是固定的。
J [u(t )]
1 τ 1 tf x (t f ) Fx(t f ) [ x τ (t )Q(t ) x(t ) uτ (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 t0
时变状态调节器(3/3)
由于所讨论的系统为线性系统,给定的性能指标泛函J 对状态变 量x(t)和控制量u(t)均连续可微 ,因此,状态调节器问题可用变分 法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。 本节采用变分法 给出最优控制解存在的充分必要条件及 最优控制问题解的表达式,讨论最优控制解的存在性、唯一 性等性质及解的计算方法。
3) 若z(t)≠0,则e(t)=z(t)-y(t)。 这时 , 线性二次型问题为 : 用不大的控制能量 , 使输出 y(t)跟踪期望信号z(t)的变化(e(t)保持在零值附近 ),称 为输出跟踪问题。 下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的 求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为： 时变状态调节器 定常状态调节器