线性二次型最优控制
线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制器设计
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
1 要寻求控制向量 (t ) 使得二次型目标函数 J u
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
2 0
( x Qx u Ru )dt
T T
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u
R
1
B Px Kx
T
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 T 1 P PB BP Q 0 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA
A
R
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),(k 0,1, , N 1)
要寻求控制向量u (k )使得二次型目标函数
1 T T J [ x (k )Qx(k ) u (k ) Ru (k )] 2 k 0
E[ (t ) (t )] 0 E[ (t ) (t )] 0
T
式中，E〔x〕为向量x的均值。E〔xxT〕为零均值的Gauss信号x的协方差。 进一步假设ω (t)和ν (t)为相互独立的随机变量，使得E〔 ω (t)ν T(t) 〕=0。定义最 优控制的目标函数为： T T
x(k 1) 2 x(k ) u (k ) y (k ) x(k )
试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
第五章 章 线性系统二次型指标的最优控制
因为状态方程只能是对飞行器实际动力学特性 的近似描绘，这里存在着模型误差，把U 0 (t ) 加到飞 行器上去，所产生的实际状态 X (t ) 将不同于 X 0 (t ) （这 里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作用）。 （这里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作 用）。
令状态误差为 X (t ) X (t ) X 0 (t ) ，我们要使X (t ) 愈小愈好，为此，可根据 X (t )构成一个最优反馈控 制 U (t )，作为校正信号加到 U 0 (t ) 上去，得到的实际 控制信号U (t ) U 0 (t ) U (t ) 将使飞行器尽可能沿着 X 0 (t ) 飞行。
因此可从 t f 到 t 0 逆时间积分黎卡提微分方程， 求出 K (t ) 。由(5-9)和(5-11)就可构成最优反馈控制
U (t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) X (t ) G(t ) X (t )
(5-16)
G(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) 又称为最优反馈增益矩阵。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Pe (t f ) e (t )Q(t )e(t ) U T (t ) R(t )U (t ) dt （5-4） 2 2 t0
P 其中， 是 l l 对称半正定常数阵，Q(t ) 是 l l 对 称半正定阵, R(t ) 是 m m对称正定阵。 一般 Q R 将 P 、 (t ) 、 (t ) 取成对角阵。
U (t )
实际系统 （飞行器）
X (t )
U(t)
线性二次最优反馈控制
X (t )
图5-1 线性二次最优反馈控制的应用
(优选)线性二次型最优控制器设计
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
现代控制理论线性二次型最优控制
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
线性二次型的最优控制
(5 11)
（5-13）-（5-12）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
(5 14)
第5章 线性二次型的最优控制
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
本章主要内容：
5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器
5.3 输出调节器
5.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好 坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第5章 线性二次型的最优控制
线性二次型问题的本质：
f=0; %initial value
sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100);
y = deval(sol,x);
plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100)
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab进行
第5章 线性二次型的最优控制
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
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对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
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线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
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6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
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线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
线性二次型最优控制问题.ppt
上式所示的性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)
（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影 响系统的工作品质。例如，提高S阵中某一元素的比重，说明 更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t) 阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较 好的快速响应特性；而提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着 需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的 能量消耗。这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如 何安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要 而又十分困难的工作 。
J
1 2
eT
(t f
)Se(t f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
(6.1.2)
2019年8月3
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为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定
对称常数矩阵，Q(t)是ll半正定对称时变矩阵，R(t)是mm正 定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。
但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法 检测到。因此式（6.2.3）的最优调节作用在工程上是难以实 现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系 统状态变量X(t)的函数。令：
(t) P(t)X (t)
其中P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得
(t) P(t)X (t) P(t)X (t)
2019年8月3
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（2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为 能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及 较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然 会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的 因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。
现代控制理论7线性二次型最优控制
• 要求：同时考虑系统性能和控制能量， 采用二次型性能指标：
7.1 二次型最优控制
• 二次型性能指标中出现的是输出向量， 而不是状态向量情形，？
7.2 应用MATLAB求解二次型最优 控制问题
Matlab中的函数： [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)
其中： P Q AT PA AT PB(R BT PB)1 BT PA
• 系统二次型最优控制问题有解的条件是 系统是能镇定的，即存在稳定化的状态 反馈控制器。
7.3 离散时间系统的线性二次型最 优控制
• 离散自治系统：
x(k 1) Ax(k)
系统的性能指标为：
J 1 xT (k)Qx(k) 2 k0
问题：如何确定系统性能指标的值。
• 离散时间系统：
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
现代控制理论
Modern Control Theory
浙江理工大学自动化研究所
第7章 线性二次型最优控制
7.1 二次型最优控制 7.2 应用MATLAB求解二次型最优控制
问题 7.3 离散时间系统的线性二次型最优控
制
• 控制器设计，使得 ➢闭环系统是稳定的；
➢闭环系统具有给定的极点，保证一定的 动态、稳态性能
和二次型性能指标：
J 1 [xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)] 2 k0
设计状态反馈控制器
u(k) Kx
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
是能控的，则线性二次型最优控制问题有解，且最 优控制器为
u(k) (R BT PB)1 BT PAx(k)
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
Lecture 08 线性二次型最优控制系统
(8 − 19) (8 − 20)
8.3 输出调节问题
• 被控系统是完全能观的，则输出调节问题可以转化为状 态调节问题处理。
设线性时变系统及性能指标为： & x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ), x (t 0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x (t ) 1 T 1 tf T J = y (t f ) Fy (t f ) + ∫ [ y (t )Qy (t ) + u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0 式中， F ∈ R m × m − 半正定常数矩阵； Q (t ) ∈ R m × m − 半正定矩阵； R (t ) ∈ R r × r − 正定矩阵. 并假设系统是完全能观的，控制 u不受约束，终端时刻 t f 是固定的。
当矩阵A, B, Q和R都是常数矩阵，在区间[t0 ,t f ]内，P(t)仍然是 时间函数，反馈增益矩阵K(t)是时变的。 具有时变调节器的系统是时变系统，结构复杂，不利于工程应用。 当原系统是线性时不变系统时，只要P(t)是常数，就能构成线性 时不变调节系统，便于工程实现。 随着tf无限增大，P(t)就变成常数，时变系统就变成了时不变系统。 u * (t ) = − R −1 BT Px(t ) = − Kx(t ) 式中，P ∈ R n×n是正定常数矩阵。它是Riccati方程的解。 PA + AT P − PBT R −1 BP + Q = 0 最优轨线x* (t )满足下列线性时不变齐次方程 & x = ( A − BR −1 BT P ) x, 最优性能指标为 x(0) = x0 (8 − 21)
线性系统二次型最优控制律
线性系统二次型最优控制律线性系统二次型最优控制定义使用二次型性能指标的线性系统最优控制。
它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。
性能指标线性系统状态方程及输出方程为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)y(t)=C(t)x(t) (2)式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。
设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义e(t)=z(t)-y(t) (3)误差向量。
线性二次型最优控制问题的性能指标这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。
假设tf固定。
要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。
其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。
因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。
性能指标的第一项则表示终值误差。
状态调节器问题系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为P(tf)=F (7)由式(6)解出P(t)后，可得最优控制规律为u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)由式(8)可以看出，最优控制规律是一个状态线性反馈规律，控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成，构成状态反馈，并且呈线性关系。
这样，能方便地实现闭环最优控制，这一点在工程上具有十分重要的意义。
P(t)是一对称矩阵，一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。
P(t)是时间函数，即使线性系统是定常的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。
线性二次型最优控制
✓ R(t)为r×r维时变旳分段连续旳正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定旳。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致旳讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中旳第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目旳旳控制误差旳要求和限制而引进旳,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定旳常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素旳 值旳不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 旳要求不同、主要性不同。 ✓ 若矩阵F旳第i行第i列元素值较大,代表二次项旳主 要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(9/12)
3) 性能指标泛函J[u(·)]中旳被积函数旳第2项u(t)R(t)u(t),表 达在系统工作过程中对控制向量u(t)旳大小旳要求和限 制。
✓ 因为时变旳加权矩阵R(t)为正定旳,故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正旳。 ❖ 而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指 标泛函所占旳分量就越大。
时变状态调整器(3/3)
因为所讨论旳系统为线性系统,给定旳性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,所以,状态调整器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划措施中旳任一种求解。
➢ 本节采用变分法给出最优控制解存在旳充分必要条件及 最优控制问题解旳体现式,讨论最优控制解旳存在性、 唯一性等性质及解旳计算措施。
➢ 最优轨线为下述状态方程
x *(t) A(t) x*(t) B(t)u*(t), x*(t0 ) x0, t [t0, t f ]
旳解,而最优性能值为
J*
J[u* (t)]
1 2
x0 P(0) x0 , x0
0
式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程旳正定或半正定解。
线性二次型最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
1 2
e
T
(t
f
)Fe(t f
)
1 2
tf t0
eT
(t)Q(t)e(t)
uT
(t ) R(t )u(t ) dt
演变为
J
1 2
xT (t f
)Fx(t f
)
1 2
tf t0
xT (t)Q(t) x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向
2021年4月30日
第7章第14页
可以证明，只要系统是能控的，无限时间状态调节器与有限时间状态调节器的求解过 程基本相同。最优控制为
u R1BT Px(t)
其中， P 是黎卡提矩阵方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
的解。最优轨线满足如下方程
性能指标最小值为
x(t) A BR1BT P x ， x(0) x0
P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) Q(t) 0 满 足 边 界 条 件
P(t1) S 的解。
2021年4月30日
第7章第12页
有限时间状态调节器问题的求解步骤：
（1）求解如下黎卡提矩阵微分方程
P AT P PA PBR1BP Q
量，使性能指标 J
1 2
yT (t f
)Fy(t f
)
1 2
tf t0
yT
(t)Q(t)
y(t)
uT
(t ) R(t ) u(t) dt
极小，即
使得系统状态 x(t) 始终保持在零平衡状态附近。因而，这一类线性二次型最优控制问题称
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。
首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
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一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
示意图如下：3．振动实例 已知多自由度有阻尼线性结构的参数：276200027600002300M kg ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，54.406 1.92101.921 3.443 1.52210/0 1.522 1.522K N m -⎡⎤⎢⎥=--⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，阻尼矩阵采用瑞利阻尼C M K αβ=+，,αβ根据前两阶自振频率及阻尼比确定，阻尼比取0.05，该多自由度结构（参数同上）所受地震波数据见dzb.xls 文件，文件第一列为时间，单位s ，文件第2列为加速度，单位m/s 2。
方法采用中心差分法:3.1变刚度对比了刚度分别为K 、10*K 以及0.1*K 时M1的响应时程曲线以及最大位移。
MATLAB 程序如下：clearclcM=diag([2762 2760 2300]); %质量矩阵K=100000*[4.406 -1.921 0;-1.921 3.443 -1.522;0 -1.522 1.522];kk={K,10.*K,0.1.*K} %细胞矩阵-变刚度 W=[4.1041;10.4906;14.9514]; %各阶频率zuni=0.05area=2*W(1)*W(2)*zuni/(W(1)+W(2));byta=2*zuni/(W(1)+W(2));C=area*M+byta*K; %阻尼矩阵num=xlsread('dzb.xls',1,'B1:B1501');P=M*ones(3,1)*num'; %读入外荷载*********中心差分法**********h=0.02; %步长para=[1/h^2,1/(2*h),2/h^2,h^2/2]; %参数向量Kx=para(1)*M+C*para(2); %x(i+1)前系数x(:,1)=zeros(3,1); %初位移v(:,1)=zeros(3,1); %初速度a(:,1)=-0.00082*num(1)*ones(3,1); %初加速度for j=1:3for i=1:1:1501 %差分迭代第一步 if i<2;x0=x(:,1)-h*v(:,1)+h^2/2*a(:,1);Px(:,i)=P(:,i)-(kk{j}-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*C)*x0;x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);a(:,i+1)=para(1)*(x0-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应v(:,1)=para(2)*(x(:,i+1)-x0); %速度响应else %差分迭代Px(:,i)=P(:,i)-(kk{j}-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*C)*x(:,i-1);x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);a(:,i+1)=para(1)*(x(:,i-1)-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应v(:,i)=para(2)*(x(:,i+1)-x(:,i-1)); %速度响应endend*************中心差分法*************X=x(:,1:1501);Y=max(abs(X),[],2);Z(j)=max(Y);save X %保存位移相应subplot(3,1,j) %画图plot(X(1,:))xlabel('时间t/0.02s')ylabel('位移X1/m');end运行结果如下：最大位移分别为：0.0085ｍ0.0045ｍ0.0100ｍ３.２变阻尼依旧使用上述系统，对比无阻尼，阻尼为C和0.5C三种情况下Ｍ１的响应时程曲线和最大位移。
MATLAB程序：clearclcM=diag([2762 2760 2300]); %质量矩阵K=100000*[4.406 -1.921 0;-1.921 3.443 -1.522;0 -1.522 1.522]; %刚度矩阵W=[4.1041;10.4906;14.9514]; %各阶频率zuni=0.05area=2*W(1)*W(2)*zuni/(W(1)+W(2));byta=2*zuni/(W(1)+W(2));C=area*M+byta*K;cc={0*C,C,0.5*C}; %变阻尼num=xlsread('dzb.xls',1,'B1:B1501');P=M*ones(3,1)*num'; %读入外荷载**************中心差分法************h=0.02; %步长para=[1/h^2,1/(2*h),2/h^2,h^2/2]; %参数向量Kx=para(1)*M+C*para(2); %x(i+1)前系数x(:,1)=zeros(3,1); %初位移v(:,1)=zeros(3,1); %初速度a(:,1)=-0.00082*num(1)*ones(3,1); %初加速度for j=1:3for i=1:1:1501 %差分迭代第一步if i<2;x0=x(:,1)-h*v(:,1)+h^2/2*a(:,1);Px(:,i)=P(:,i)-(K-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*cc{j})*x0;x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);a(:,i+1)=para(1)*(x0-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应v(:,1)=para(2)*(x(:,i+1)-x0); %速度响应else %差分迭代Px(:,i)=P(:,i)-(K-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*cc{j})*x(:,i-1);x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);a(:,i+1)=para(1)*(x(:,i-1)-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应v(:,i)=para(2)*(x(:,i+1)-x(:,i-1)); %速度响应endend**************中心差分法******************X=x(:,1:1501);Y=max(abs(X),[],2);Z(j)=max(Y);save X %保存位移相应subplot(3,1,j) %画图plot(X(1,:))xlabel('时间t/0.02s')ylabel('位移X1/m');end运行结果是：最大位移分别为：0.0115ｍ0.0085ｍ0.0068ｍ三、主动控制算法简介主动控制算法是主动控制的基础，它们是根据控制理论建立的。
好的控制理论算法必须在线计算时间短、稳定性及可靠性好、抗干扰能力强。
结构控制算法分为经典控制理论与现代控制理论两类。
１.经典控制理论：经典控制理论的特点是以输入输出特性（主要是传递函数）为系统数学模型，采用频率响应法和根轨迹法这些图解分析方法，分析系统性能和设计控制装置。
经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频域方法。
经典控制理论包括线性控制论、采样控制理论、非线性控制理论三个部分。
２.现代控制理论：现代算法计算主要用时间域,采用状态空间法(State Space Method) 来描述系统的动力性态,其数学工具为线性代数、矩阵理论和变分法。
其主要包括下面一些算法：（1）经典线性最优控制法（2）瞬时最优控制法（3）极点配置法（4）独立模态空间控制法（5）随机最优控制法（6）界限状态控制法（7）模糊控制法（8）预测实时控制法（9）H∞优化控制（10）变结构控制３.简要介绍各种算法最优控制算法通俗来讲：即对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
在工程上，最优控制算法以现代控制理论中的状态空间理论为基础，采用极值原理，使用最优滤波或者动态规划等最优化方法，进一步求解结构振动最优控制输入，在振动主动控制领域应用比较普遍。
当被控对象结构参数模型可以被精确建模，并且激励和测量信号比较确定时，采用最优算法设计控制器可以较容易地取得控制效果。
最优控制法根据具体算法又可分为经典线性最优控制法、瞬时最优控制法、随机最优控制法等等，下面简单介绍：A经典线性最优控制法该算法基于现代控制理论,以线性二次型性能指标为目标函数来确定控制力与状态向量之间的关系式。
目标函数中用权矩阵来协调经济性与安全性之间的关系,需求解Riccati方程。
由于该算法忽略了荷载项,严格说来,由它得到的控制不是最优控制;但数值分析和有限的试验证明,这一控制算法虽然不是最优的,但是可行的和有效的。