线性二次型的最优控制

求使性能指标为极小值时的最优控制。
解： u (t )* R 1 BT P(t ) x(t ) 1 p(t ) x(t )
r
其中p(t)为黎卡提方程的解
PA AT P PBR1BT P Q p(t ) 2ap(t ) 1 p 2 (t ) q P r P(t f ) F p(t f ) f
(5 19)
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR1BT P]x
（5-20）与（5-19）相等，可得
(5 20)
P PA AT P PBR1BT P Q
黎卡提方程（Riccati)
加权矩阵的意义：
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
(5 9)
1 T [ x (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f )
设线性时变系统的状态方程为
求最优控制 u * (t ) ，使下列二次型性能指标最小。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R (t )u (t )]dt 2 2 t0 F — 半正定对称常数加权矩阵 Q(t ) — 半正定对称时变加权矩阵 R(t ) — 正定对称时变加权矩阵 t0 及t f 固定
f=0; %initial value
sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100);
y = deval(sol,x);
plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100)
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab进行
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
第5章 线性二次型的最优控制
2.应用其性质求解p(t)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
（5-17）对时间求导
x Ax BR 1 BT Ax S H Qx AT Qx AT Px x
H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）
(5 6)
x Ax BR 1 BT Ax S H 规范方程组： (5 7) Qx AT x S x 下面思路： x A 写成矩阵形式： (5 8) T 确定 x(t ) 与 (t ) Q A 的关系，带入 （ x(t0 ) x(t ) 5-6）形成状态反 (5 9) 其解为： (t ) (t , t0 ) (t ) 馈 0
（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
(5 21)
u (t )* K (t ) x(t ) R 1BT P(t ) x(t )
（4）求解最优轨线x*(t) （5）计算性能指标最优值
(5 18)
J *[ x(t ), t ]
1 x(t )T P(t ) x(t )T 2
第5章 线性二次型的最优控制
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
(5 14)
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
令P(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (5 16)
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
1 T 1 tf T J (u ) x (t f ) Fx(t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 t0
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
1 J [ x(t ), t ] x(t )T P(t ) x(t )T 2
*
(5 23)
第5章 线性二次型的最优控制
3. 状态调节器的设计步骤 （1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R （2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)
P PA AT P PBR1BT P Q P(t f ) F
第5章 线性二次型的最优控制
设a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1，r变化
r越小，p(t )越平稳、x(t )衰减越快、u(t )幅值越大
(5 23)
第5章 线性二次型的最优控制
例[5-1]
已知一阶系统的微分方程为 二次型性能指标为：
x(t ) ax(t ) u (t )
x(0) x0
1 2 1 tf J fx (t f ) [qx2 (t ) ru 2 (t )]dt 2 2 0 f 0 q0 r 0
(5 1)
y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题
状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
第5章 线性二次型的最优控制
5.2 状态调节器问题
终端时间t , 有限时间问题 终端时间t , 无限时间问题
5.2.1 有限时间状态调节器问题
设线性时变系统的状态方程为
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f
即
(5 10)
为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：
(5 11)
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t )
(5 12) (5 13)
(5 14)
（5-13）-（5-12）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
本章主要内容：
5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器
5.3 输出调节器
5.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru)dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
第5章 线性二次型的最优控制
5.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) (5 1) y(t ) C (t ) x(t ) 假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，用 yr (t )表示期望输出，则误差向量为 e(t ) yr (t ) y(t ) (5 2)
最优控制系统仿真
x(t ) x(t ) u(t ) x(0) 1
u (t )* p(t ) x(t )
p(t ) 2 p(t ) p 2 (t ) 1 p(t0 ) 0.3858
第5章 线性二次型的最优控制
取a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1，r 1 计算得p(t0 ) 0.3858
性能指标的物理含义：
(5 3)
1 Le e(t )T Q(t )e(t ) 0 — 状态转移过程中衡量e(t )大小的代价函数 2 1 Lu u (t )T R(t )u (t ) 0 — 状态转移过程中衡量u (t )大小的代价函数 2 1 (t f ) e(t f )T Fe(t f ) 0 — 终端代价函数（衡量终点误差） 2
物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。
(5 4)
第5章 线性二次型的最优控制
解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式
H L f T
1 T 1 x Qx u T Ru xT AT u T BT 2 2
(5 5)
因控制不受约束，故沿最优轨线有：
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) y(t ) C (t ) x(t )
e(t ) yr (t ) y(t ) 1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) (5 2)
(5 15)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
可见 (t )与x(t )是线性关系，（ 16）代入u(t )表达式则有 5
u (t ) R 1BT R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
可实现最优 线性反馈控制
(5 18)
(5 21)
边界条件：
(t f ) Fx(t f )
(5 10)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
P(t f ) F
(5 22)
第5章 线性二次型的最优控制
黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。 还可进一步证明，最优性能指标为：
正定二次型 x 0
(5 3)
xT Ax 0
半ห้องสมุดไป่ตู้定二次型 x 0
xT Ax 0
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
第5章 线性二次型的最优控制
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 t0