第一节 数列的概念及通项公式

答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
[解析] 由已知可得，a2＝2×35－1＝15，
a3＝2×15＝25，a4＝2×25＝45，a5＝2×45－1＝35，
∴{an}为周期数列且T＝4，∴a2 021＝a505×4＋1＝a1＝35.
[答案]
3 5
[解题方略] 周期数列的常见形式与解题方法
(1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函 数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变 形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数 列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
考点一 由an与Sn的关系求an(基础之翼练牢固) [题组练通]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝－n2＋7n(n∈
N *)．则数列{an}的通项公式是an＝________. 解析：因为Sn＝－n2＋7n，① 所以Sn－1＝－(n－1)2＋7(n－1)，n＞1.② ①－②得到an＝－2n＋8(n＞1)． 又当n＝1时，S1＝6，满足an＝－2n＋8，
考点三 数列的函数性质(综合之翼巧贯通)
考法(一) 数列的周期性
[例1]
若数列{an}满足an＋1＝22aann，－01≤，12a<n≤an12<，1，
a1＝35，则数列{an}的第2 021项为________．
[抓特征] 题目条件是数列的递推关系，而待求a2 021中序 号2 021有较大的“数据特征”，不可能从n＝1逐步递推，所以 应该考虑利用递推式探求数列的周期性.
答案：C
2．数列{an}的通项公式an＝
1 n＋
n＋1
，则
10－3是此数列的
第________项．
解析：an＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－ n n＋1＋ n n＋1－
n
＝ n＋1－ n，
∵ 10－3＝ 10－ 9，
∴ 10－3是该数列的第9项．
答案：9
三、“基本思想”很重要 1．利用函数思想解决数列的单调性、周期性等问题． 2．利用方程思想、分类讨论思想，求数列中的项、前n项和及
数)，求an
[例4]
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
2an an＋2
(n∈N *)，则
数列{an}的通项公式an＝________.
[抓特征] 题目条件中的an＋1＝\f(2an,an＋2)具有明显的 “结构特征”，想到取倒数，结合等差数列的定义求解.
[解析] 因为an＋1＝a2n＋an2，a1＝1，所以an≠0， 所以an1＋1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12. 又a1＝1，则a11＝1， 所以a1n是以1为首项，12为公差的等差数列． 所以a1n＝a11＋(n－1)×12＝n2＋12.所以an＝n＋2 1.
[解题方略] 对于形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1，B≠0)的递推关系的递 推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求 此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为 an＋1＋k ＝A(an＋k)求解．
方法(四)
取倒数法——形如an＋1＝
Aan Ban＋C
(A，B，C为常
序号等问题．
1．已知数列{an}满足an＋1＝1－1an，若a1＝12，则a2 020＝ (
)
A．－1
1 B.2
C．1
D．2
解析：由a1＝12，an＋1＝1－1an，得a2＝1－1a1＝2，a3＝1－1 a2＝
－1，a4＝1－1 a3＝12，a5＝1－1a4＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝
3 2
an－3，那么这个数列的通项
公式是________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝32a1－3，解得a1＝6.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32an－3－32an－1－3，
化简整理得aan－n 1＝3， 所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列． 通项公式an＝6×3n－1＝2×3n.
以上(n－1)个式子相乘得， an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝n1.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝n1. [答案] an＝n1
[解题方略] 对于形如aan＋n 1＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两 项之商是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求积解答， 也可写为 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 的形式．
＝4；当n＝2
时，n＋n3＝72，故an＋n n的最小值为72.
答案：D
四、“基本活动体验”不可少 “大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中 的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总 和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列 题．大衍数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此 数列第20项是多少？ 解：根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的 数构成首项为2，公差为2的等差数列．可得从第11项到第20项 依次为60,72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为 200.
[答案]
2 n＋1
[解题方略] 形如 an＋1＝BaAna＋n C(A，B，C 为常数)的数列，将其变形为an1＋1 ＝CA·a1n＋BA.①若 A＝C，则a1n是等差数列，且公差为AB，可直接 用公式求通项；②若 A≠C，则采用待定系数法，构造新数列求 解．
[过关集训]
1．(累加法)已知数列{an}满足 a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N * )，
考点二 由递推关系求通项公式(应用之翼会迁移)
方法(一) 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
[例1]
已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋
1 nn＋1
，n
∈N *，求数列的通项公式an. [解] ∵an＋1－an＝nn1＋1， ∴a2－a1＝1×1 2；a3－a2＝2×1 3；a4－a3＝3×1 4； … an－an－1＝n－11n.
2．(构造法)已知在数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N *)
在直线 4x－y＋1＝0 上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N *)在直线4x－y＋1＝0上， 所以4an－an＋1＋1＝0， 所以an＋1＋13＝4an＋13. 因为a1＝3，所以a1＋13＝130. 故数列an＋13是首项为130，公比为4的等比数列． 所以an＋13＝130×4n－1， 故数列{an}的通项公式为an＝130×4n－1－13. 答案：130×4n－1－13
能力． 2．通过求数列的项或通项公式，提高学生的推理论证和
运算求解能力．
1．数列{an}的前n项和Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝
3，则a1＋a3的值为
()
A．1
B．3
C．5
D．6
解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3， ∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，a1＋a3＝5.
列的递推公式．
4．数列的分类
分类原则
按项数分类
按项与项间 的大小关系
分类
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝ an
其中 n∈N *
二、“基本技能”运用好 1．通过对数列的有关概念的复习，提高学生的抽象概括
因此a2 020＝a3×673＋1＝a1＝12. 答案：B
2．已知数列{an}满足an＝n(n－1)＋3，则an＋n n的最小值为
()
A．2
B．2 3
C．4
7 D.2
解析：∵an＝n(n－1)＋3，∴an＋n n＝n2＋n 3＝n＋n3，∵y＝n
＋n3 在[2，＋∞)上单调递增，当n＝1时，n＋
3 n
则 an＝________. 解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1 ＝n(n≥2)，以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n. 因为a1＝2， 所以an＝2＋(2＋3＋…＋n) ＝2＋n－122＋n＝n2＋2n＋2(n≥2)． 因为a1＝2满足上式，所以an＝n2＋2n＋2. 答案：n2＋2n＋2
第六章 数列
第一节 数列的概念及通项公式
一、“基础知识”掌握牢 1．数列的有关概念 (1)数列的定义：按照 一定顺序排列的一列数叫做数列，数 列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成_以__正__ __整__数_集___N_*_(_或__它__的__有__限__子__集__) _为定义域的函数 an＝f(n)，当自变 量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列的前 n 项和：数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做 数列的前 n 项和．
方法(二) 累乘法——形如aan＋n 1＝f(n)，求n＝
n－1 n
an－1(n≥2，n∈
N *)，则数列{an}的通项公式为________． [解析] ∵an＝n－n 1an－1(n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，an－2＝nn－ －32an－3，…，a2＝12a1.
2．an 与 Sn 的关系
若数列{an}的前
n
项和为
Sn，则
an＝
S1 ，n＝1， Sn－Sn－1 ，n≥2.
3．数列的通项公式与递推公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与 序号 n 之间的 关系可以用一个式子 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数 列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从 第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数
方法(三) 转化法——形如an＋1＝λan＋t(λ≠0且λ≠1， t≠0)，求an
[例3] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N *)，则
数列{an}的通项公式为________．
[解析] ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. [答案] an＝2·3n－1－1