四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案

2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷
（4月10日 上午8：45—11：15）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元
2．设关于x 的分式方程
22
22
a a x x --=
--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个
3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111
a b c
++的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．正负不能确定
4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111
a b c a b c
+-=+-，则一定有（ ）
A ．a =b =c
B ．a =b
C ．a =c 或b =c
D ．a 2+b 2=c 2
5．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）
A ．152
B ．7
C ．8
D ．172
6．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）
A ．等于2
22 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2
．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．
3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．
4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）
设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．
Q
P D
C
B
A
四、（本大题满分25分）
现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）
已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．
F
E D C B A
2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛
参考解答与评分标准
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克
按100克计）0.4元。

某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ）。

（A ）2.3元 （B ） 2.6元 （C ） 3元 （D ） 3.5元 答：书的质量701003100470+⋅+=（克），故邮资为：3.24.04.037.0=+⋅+（元），选A 。

2、设关于x 的分式方程
2
2
22--=
--x a x a 有无穷多个解，则a 的值有（ ）． （A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 无穷多个
答：因为分式方程有解，故a a -=-22，解得2=a ，故a 只有1个，所以选B 。

３、实数a 、b 、c ，满足0=++c b a ，且0>abc ，则
c
b a 1
11++的值（ ）。

（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 正负不能确定
答：由0=++c b a ，0>abc 知，c b a ,,中，必有两负一正，不妨设0<a ，0<b ，0>c ，
且||||c a <，所以
||1||1c a >，故c a 11>-，而01<b ，所以01
11<++c
b a ，选B 。

４、若
c b a ,,分别是三角形三边长，且满足
c
b a
c b a -+=
-+1
111，则一定有（ ）． （A ） c b a == （B ） b a = （C ）c a =或c b = （D ）2
22c b a =+
答：由分式化简可得0))()((=--+c b c a b a ，故c a =或c b =，选C 。

５、已知如图，长方形ABCD ，AB =8，BC =6，若将长方形顶点A 、C 重合
折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）。

（A ）
215 （B ）7 （C ）8 （D ）2
17
答：显然AC 与PQ 相互垂直平分，于是POC ∆相似ADC ∆，则DC OC AD PO =，得415=PO ，故2
15
=PQ ，选A 。

６、用三个2，能写出最大的数一定（ ）。

（A ）2
22
（B ） 等于222 （C ） 等于242 （D ）大于1000
答：最大的数是1000222
>，选D 。

第5题
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、x 是实数，那么|5||1||1|++++-x x x 的最小值是（ ）。

答：当1-=x 时，|5||1||1|++++-x x x 取最小值6.
2、已知13-=
a ，则20102011201222a a a -+的值是 。

答：因为324)13(22-=-=a ，故0222
=-+a a 。

故
0)22(2222010201020112012=-+=-+a a a a a a 。

3、右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是 143 。

答：如图设6个正方形的边长从小到大依次为：1、x 、x 、1+x 、2+x 、
3+x ，则由长方形的上下两边相等有：)3()2()1(+++=+++x x x x x ，
得4=x 。

于是长方形的长和宽分别为：13)1(=+++x x x 、
11)3(=++x x ，于是长方形面积为14311*13=。

4、在ABC ∆的三条中线长为3、4、5，则ABC S ∆为 。

答：将GD 延长一倍至D ’，则四边形BDCD ’是平行四边形，则C GD '∆的边长分别是ABC ∆的三条中线长的
32倍，故它是直角三角形，且面积为3
8；另一
3
1，方面，C GD '∆的面积与BGC ∆面积相等，而BGC ∆的面积是ABC ∆的故8=∆ABC S 。

三、（本大题满分20分）
设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值。

解：由题意，这m 个正n 边形的内角总和度数为
m mn n m 360180180)2(-=⋅- ……………………5分
因为m 360能被8整除，故180mn 能被8整除；
而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn 能被2整除， 故m 、n 中只至少有一偶数。

………………10分 又1≥m ，3≥n ，且均为整数。

要使m +n 最小，则
取1=m 时，则4=n ；………………15分 取2=m 时，则3=n ；
故m +n 的最小值为5. ………………20分
（第3题）
第4题
四、（本大题满分25分）
现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子。

解1：因为有4种颜色的袜子，故5只袜子必有1双；……………………5分 取出1双袜子，剩下3只，则再增加2只袜子，又可以配成1双；…………10分 以此类推，配成袜子的双数（x ）与所需袜子只数（y ），就有如下关系：
32+=x y ………………15分
于是要配成10双袜子，所需23只就够了。

………………20分
如果取出22只袜子，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。

因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。

………………25分
解2
单色袜子最多剩下4只；……………………5分
因此，24只袜子一定能够配成10双；…………10分
当取出23只袜子时，一定能够配成9双，此时剩下5只袜子；………………15分 5袜子中，可以配成1双，于是23只袜子，也可以配成10双；………………20分
当取出22只袜子时，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。

因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。

………………25分 五、（本大题满分25分）
已知如图：正方形ABCD ，BE =BD ，CE 平行BD ，BE 交CD 于F 。

求证：DE =DF 。

证明：作E 关于BC 的对称点E ’，连接DE ’、CE ’、BE ’。

根据对称性质有： BD BE BE =='；CE CE ='；且 90'=∠ECE 。

………5分
故'DCE ∆绕C 点逆时针旋转
90就得到BCE ∆，…………10分
所以BE DE ='，则'DBE ∆是正三角形，故
60'=∠DBE 。

于是
15''=-∠∠=∠DBC DBE CBE ………………15分 又
15
'=∠=∠EBC CBE ，故
30
=∠DBE ，所以
75=∠DEB ； ………………20分
而
7590=∠-=∠=∠FBC BFC DFE
故DFE DEB ∠=∠
所以DE =DF 。

………………25分
第五题。