最新人教版高中数学必修1第三章《一次函数的性质与图象》课前导引
高中数学 2.2.1一次函数的性质与图象课件 新人教B版必
例 1 设函数 y＝(m－3)xm 2 －6m＋9＋m－2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性． 解 (1)由一次函数的表达式知，mm2－－36≠m0＋，9＝1. 解得 m＝2 或 m＝4. (2)当 m＝2 时，m－3＝2－3＝－1<0，所以对应的函数是减 函数；当 m＝4 时，m－3＝1>0，所以对应的函数是增函数． 小结 只有当 k≠0 时，函数 y＝kx＋b 才是一次函数，若已 知 y＝kx＋b 是一次函数，则隐含着条件 k≠0.要判断一个多 项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数 x 的最高 次为 1 次，x 的系数不为 0.
问题 4 一次函数 y＝kx＋b (k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标 是怎样的？ 答 直线 y＝kx＋b 与 x 轴的交点为－bk，0，与 y 轴的交点 为(0，b)．
例 2 已知一次函数 y＝3x＋12. 求：(1)一次函数 y＝3x＋12 的图象与两条坐标轴交点的坐 标； (2)x 取何值时，y<0? (3)当 y 的取值限定在(－6,6)内时，x 允许的取值范围． 解 (1)当 y＝0 时，x＝－4；当 x＝0 时，y＝12. 所以一次函数 y＝3x＋12 的图象与两条坐标轴交点坐标分别 为(－4,0)、(0,12)． (2)由 3x＋12<0，得 x<－4. (3)由－6<3x＋12<6，得－6<x<－2.
小结 一次函数 y＝kx＋b (k≠0)与一元一次方程及一元一 次不等式是密切联系的，一次函数与 x 轴交点的横坐标即为 相应的一元一次方程的解，一次函数图象在 x 轴下面的部分 对应的 x 的范围就是不等式 kx＋b<0 的解集．
跟踪训练 2 已知一次函数 y＝2x＋1， (1)当 y≤3 时，求 x 的范围； (2)当 y∈[－3,3]时，求 x 的范围； (3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积． 解 (1)由题意知，2x＋1≤3，解之，得 x≤1； (2)因 y∈[－3,3]，所以－3≤2x＋1≤3，
人教版B版高中数学必修1：一次函数的性质与图象_课件42
│ 知识梳理
7．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤 ax＋f2(bxa)2＋ ＝4_a_c4_－ a__ba_x22.＋_ba_x_＋_c ______ ＝ __a_x_＋_2ba_2－_4b_a2＋_c_______ ＝
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛 物 _＜__线 0_－时 _， 2b_a， ，_对 4_a开 c4－_称 a _b2口 _轴_向 _方_下 _程_． _为_________x； _＝_－当 2_ba __a_＞ __0_时 __， __开 _， 口顶 向点 上坐 ，标 当是a
当 0<21a<1，即 a>12时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2； 当 1≤21a≤2，即14≤a≤21时， g(a)＝f21a＝2a－41a－1； 当21a>2，即 0<a<41时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3，
│ 二次函数
二次函数
│ 知识梳理
知识梳理
1．函数_y_＝__k_x_＋__b______叫做一次函数，它的定义域为_R_______，值域为 ___R_____，图象是__直__线____．
2．一次函数y＝kx＋b中，k叫做直线的__斜__率____，k＝__ΔΔx_y＝_xy_22－ －_yx11__(其中(x1，y1)， (x2，y2)为直线y＝kx＋b上的任意两点)，函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx成 ___正__比___．
[答案] 2 －12
[解析]由题意可知，－3,2是函数f(x)的两个零点， ∴f(x)＝2x2＋bx＋c＝2(x＋3)(x－2)＝2x2＋2x－12， ∴b＝2，c＝－12.
最新人教版高中数学必修1第三章《一次函数的性质与图象》预习导航
预习导航请沿以下脉络预习：1．一次函数的概念及图象：函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数．它的定义域为R ，值域为R .2.2 一次函数和二次函数注意：①一次函数定义中的条件：一次项系数k ≠0.要特别注意，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，它的图象是与x 轴平行或重合的一条直线，通常称为常值函数； ②一次函数的定义域和值域都是R ；③一次函数又叫做线性函数．2．一次函数的性质：①函数值的改变量Δy ＝y 2－y 1与自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1的比值等于常数k .即k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．③当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．④直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为(－b k，0)，与y 轴的交点为(0，b )． 3．一次函数与正比例函数有什么区别和联系？解答：一次函数不一定是正比例函数，而正比例函数一定是一次函数，即正比例函数是特殊的一次函数；一次函数与正比例函数图象都是一条直线．1．函数y ＝(m 2－4)x ＋2m 是关于x 的一次函数，则m 的取值范围是( )．A ．m ≠2B ．m ≠－2C ．m ≠±2D ．m 为任意实数答案：C解析：由一次函数概念知，m 2－4≠0，∴m ≠±2.2．已知一次函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与y 轴上的截距分别为( )．A. 12，72B ．1，－7C ．1，72D ．－12，72答案：A 解析：x －2y ＋7＝0化为1722y x =+， ∴直线的斜率12k =，在y 轴上的截距72b =. 3．若函数21(2)t t y t x --=-是正比例函数，则t 的值是( )．A ．2B ．－1C ．2或－1D ．0或2答案：B解析：由条件知，22011t t t -≠⎧⎨--=⎩解得t ＝－1.4．已知两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝bx ＋a ，其中a ＞0，b ＜0，这两条直线在同一坐标系中图象的位置关系大致是( )．答案：A解析：根据各直线对应解析式中a ，b 的意义判断．5．下列函数中，是一次函数的为________．(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝|x |；(3)y ＝kx ＋3； (4)y ＝2x ＋6；(5)y (6)y ＝3x ； (7)7y x =； (8)21x y x =+. 答案：(4) (6)。
高三数学一次函数的性质与图象教案人教版
§2.2.1一次函数的性质与图象【教学目标】1、在已有知识的基础上，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；进一步掌握一次函数的概念、性质和图象。
2、熟练做出一次函数的图象，培养学生的观察能力，引导学生学会用数形结合的方法解决问题。
3、培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。
【教学重点与难点】重点：一次函数的性质和图象；难点：截距b的理解和应用。
【课前检测】1、下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？（1）y=-8x （2）（3）y=13x （4）y=2(x-1)2、在同一坐标系中作出下列函数图象，并探究它们的奇偶性。
y=x y=12x y=-x y=-12x【自学导引】1、研究一次函数的概念与图象：函数y=kx+b(k≠0)，它的图象是。
以后简写为直线y=kx+b，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的。
一次函数又叫线性函数。
练习：求下列一次函数的斜率、在y轴上的截距，并画出图象：（1）y=3x+2 （2）y=3-2x （3）y=12x+5 （4）y=5x-13思考：如何快速准确作出一次函数y=kx+b(k≠0)的图象？2、一次函数的主要性质：（1）定义域：值域：（2）阅读课本完成下面的问题：在直线y=kx+b(b ≠0)上任取两点P(x 1,y 2)，Q(x 2,y 2)则1122y kx b y kx b=+⎧⎨=+⎩，两式相减得y 2-y 1=k(x 2-x 1)，221y y y k x x x -∆==∆-或△y=k △x(x 1≠x 2) y k x∆=∆是直线的平均变化率，它是一个常数。
（3）单调性：当k>0时，一次函数为 ；当k<0时，一次函数为 。
（4）奇偶性：当b=0时，一次函数为正比例函数，是 ；当b ≠0时，它既不是 ，也不是 。
（5）与坐标轴的交点：直线y=kx+b(b ≠0)与x 轴交点为 ，与y 轴的交点为 。
截距与距离的区别：例：一次函数的图象过点（2，0）和（-2，1），求此函数的解析式。
一次函数的图像和性质说课ppt
斜率决定了函数的增减性。斜率为正表示函数为增函数，斜率为负表示函数为 减函数。
一次函数的增减性
单调性
一次函数的单调性由其斜率决定。在区间(-∞, +∞)上，当k>0时，函数为增函数； 当k<0时，函数为减函数。
增减性的判断方法
通过求导数或利用区间内任取两点连线的斜率来判断。在定义域内任取两点x1, x2 （x1<x2），如果y1<y2，则函数在此区间内为增函数；如果y1>y2，则函数在此 区间内为减函数。
03 一次函数的性质
一次函数的定义域和值域
定义域
对于一次函数y=kx+b（k≠0）， 其定义域为全体实数R，即x可以取 任意实数值。
值域
由于一次函数的图像是一条直线， 其值域也为全体实数R，即y可以取 任意实数值。
一次函数的斜率
斜率
一次函数的斜率是函数图像在平面坐标系中的倾斜度，由参数k决定。当k>0 时，函数图像为增函数；当k<0时，函数图像为减函数。
课程目标
理解一次函数的概念 和图像。
能够应用一次函数解 决实际问题。
掌握一次函数的性质， 如斜率和截距。
02 一次函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数关系的一种图形 表示，通过坐标系中的点 来表示函数中自变量和因 变量的对应关系。
坐标系
用于表示平面内点的位置， 通常由x轴和y轴组成，每 个轴上的单位长度表示一 定的数值。
教师自我反思
教师需要自我反思，思考课程中存在的问题和不足，以及如何改进。
调整教学方法和内容
根据学生的表现和反馈，调整教学方法和内容，以提高教学效果。
人教B版高中数学必修一教案一次函数的性质与图象
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
2.2.1一次函数的性质与图像
教学目标：研究一次函数的性质与图像
教学重点：研究函数和利用函数的方法
教学过程：
1、 复习一次函数b kx y +=的定义
2、 通过以下几方面研究函数
（1）、函数的改变量
（2）、斜率k 的符号与函数单调性的关系
（3）、b 的取值对函数的奇偶性的影响
（4）、函数的图像与坐标轴的交点坐标
3、课内练习
1. 函数Y=2x 3n －2,当n=____时,Y 是x 的正比例函数。
2. 试验表明小树原高为1.5米,在成长期间,每月增长20厘米,试写出小树高度Y(米)与月份x
之间的函数关系式。
问半年后小树的高度是多少？
3. 某电信局收取网费如下：１６３网费为每小时３元，１６９网费为每小时２元，但要收
取１５元月租费。
设网费为Ｙ元，上网时间为ｘ小时，
（１） 分别写出Ｙ与ｘ的函数关系式。
（２） 某网民每月上网１９小时，他应选择哪种上网方式。
4、函数Y=2mx+3-ｍ是 正比例函数,则m=____。
5、已知蜡烛燃掉的长度与点燃的时间成正比例。
一只蜡烛点燃６分钟，剩下的烛长为１２厘米，点燃１６分钟，剩下的烛长为７厘米，假设蜡烛点燃ｘ分钟，剩下的烛长为Ｙ厘米，求Ｙ与ｘ之间的函数关系式。
问这只蜡烛点完需要多少时间？
课堂练习：教材第60页 练习A 、B
小结：通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究函数.
课后作业：（略）。
一次函数图像和性质说课课件
提倡学生互相交流
鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，促进共同进步。
激发学生探究兴趣
通过一些趣味性的问题或实验，激发学生的探究兴趣，培养学生 的自主学习能力。
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感谢您的观看
解题思路
将已知的两点坐标代入一次函数的一般式，得到关于$k$ 和$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$和$b$ 的值，从而得到一次函数的表达式。
解题思路
将已知的点坐标代入直线方程，求出$b$的值，即可得到 直线的表达式。
判断一次函数图像位置关系
例题1
解题思路
例题2
解题思路
判断直线$y=x+1$与 $y=-2x+4$的图像位置 关系，并求出它们的交 点坐标。
连线绘制
将描出的点用直线连接起来，即可得 到一次函数的图像。注意要保持直线 的平滑和连续性。
检查图像
在绘制完成后，要检查图像是否符合 一次函数的特征，如直线是否过原点、 斜率是否正确等。
直线方程在坐标系中表示形式
一般式
直线方程的一般式为Ax+By+C=0（A、B不同时为 零），它可以表示任何一条直线。
教学方法与手段
01
02
03
04
讲授法
通过教师的系统讲解，引导学 生理解一次函数图像和性质的
基本概念和方法。
演示法
利用多媒体课件进行动态演示 ，帮助学生直观地理解一次函 数图像和性质的变化规律。
探究法
通过问题设置和情境创设，引 导学生自主探究一次函数图像 和性质在实际问题中的应用。
练习法
通过课堂练习和课后作业，巩 固学生对一次函数图像和性质
高中数学 2.2.1《一次函数的图像和性质》教学案 新人教b版必修1
2.2.1一次函数的图像和性质学习目标1、 准确掌握一次函数的概念和性质；2、 一次函数是线性关系的重要模型，要注重数形结合及其应用.自主学习一次函数的性质与图像1）一次函数的概念：函数 叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为 。
2)一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ，其中k 叫做该直线的 。
b 叫做该直线在y 轴上的 。
一次函数又叫做 。
3）一次函数的性质（1）函数值的改变量 与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于常数 。
（2）当k >0时，一次函数是增函数；当k <0时，一次函数是 。
（3）当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）直线y kx b =+与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。
探究：直线1y kx b =+与直线2y kx b =+的位置关系如何？典例示范例：画出函数21y x =+的图像，利用图像完成下述问题：（1） 求方程210x +=的根；（2） 求不等式210x +≥的解集；（3） 当0y ≤时，求x 的取值范围；（4） 当33x -≤≤时，求y 的取值范围；（5） 求图像与坐标轴的两个交点的距离；（6） 求图像与坐标轴围成的三角形的面积。
快乐体验1、下列说法正确的是（ ）A 、函数b kx x f +=)(为一次函数B 、函数)0(,)(≠+=b b kx x f 的图像是一条是与x 轴相交的直线C 、函数b kx x f +=)(的图像是一条是与x 轴相交的直线D 、函数)0()(≠+=k b kx x f ，是一次函数 2、函数的解析式为270x y -+=，则其对应直线的斜率与在y 轴上的截距分别为（ ） A. 12, 72 B 1, 7- C 1, 72 D 17,22- 3、若332)1(+--=m m x m y 是一次函数，则（ ）A 、1=mB 、2=mC 、1>mD 、1=m 或2=m4、若函数(23)(31)y m x n =-++的图像经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围分别是（ ） A 31,23m n >>- B 3,3m n >>- C m<31,23n <- D 31,23m n >< 5、如果,0,0<>bc ab 那么一次函数0=++c by ax 的图像的大致形状是（ ）A B C D6、函数)3(--=m mx y 的图像不可能是（ ）A B C D7、过点)2,1(-A 作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、48、函数[]3,1)(∈+=x b kx x f ，的值域为[]7,5则k= ，b= 。
高中数学人教新课标必修一B版教案一次函数的性质和图象教学设计
“一次函数的性质和图象”教学设计一.学习目标：以一次函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过一次函数的有关知识的复习与提高，沟通初、高中数学内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学的平稳过渡。
二.重点难点：重点： 斜率公式的推导难点： 理解一次函数的性质三.教学内容安排(一).复习引入:1.什么是一次函数？定义域,值域分别是什么?2.一次函数的图象是什么?(二).新课导入：1.提出问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）对于一次函数)0(≠+=k b kx y ,思考以下几个问题.（1）、函数值的改变量与自变量的改变量的比值是什么?（2）、斜率k 的符号与函数单调性的关系是什么?（3）、b 的取值对函数的奇偶性的影响是什么?（4）、函数的图像与坐标轴的交点坐标是什么?在同一坐标系内画出下列函数的图象:(1).y=2x, (2).y=-2x (3).y=2x+1 (4).y=-2x+12.分组讨论后请学生回答结论.(1).函数值的改变量12y y -与自变量的改变量12x x -的比值1212x x y y x y --=∆∆，称作函数在1x 到2x 之间的平均变化率，对一次函数来说它是一个常数，等于这条直线的斜率.(2).一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性与一次项系数的正负有关，当0>k 时，函数为增函数，当0<k 时，函数为减函数。
(3) 一次函数)0(≠+=k b kx y ,当0b =时,一次函数变为正比例函数,图象过原点,为奇函数,当0b ≠时,既不是奇函数也不是偶函数.(4). 一次函数)0(≠+=k b kx y 与x 轴交点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,kb ,与y 轴交点坐标为()b ,0.引导学生关注：(1).当0=k 时，函数为b y =. 此时，它不再是一次函数，它的图象是一条与x 轴平行或重合的直线，通常成为常值函数.(2). 要准确地作出一次函数的图象，只要找准图象上的两个点即可，这两个点通常是找图象与坐标轴的交点.3.例题:(学生分组讨论回答,教师总结)例1:设函数4m x )2m (y 137m m 2-+-=+-,(1).当m 为何值时,它是一次函数?并写出函数图象和坐标轴交点坐标.(2).当m 为何值时,它是正比例函数?说出函数单调性.例2:设函数,1)x 1(,32x )x (f ≤<-+=则函数值域为 .例3:用函数单调性定义证明函数52x 31y +-=在R x ∈上是减函数.4、课内练习教材第56页练习A 第1, 3 , 5题.教材第56页练习B 第1题.巩固练习:1. 函数y=2x 3n －2,当n=____时,y 是x 的正比例函数。
一次函数的图像和性质PPT演示课件
1．下列函数中，是正比例函数的是
A．y＝－8x
B．y＝－x8
C．y＝5x2＋6
D．y＝－0.5x－1
2．一次函数 y＝x－2 的图象不经过 ( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
( A)
•32
3．已知正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则正比例
函数的解析式为
考点聚焦
考点1 一次函数与正比例函数的概念
•1
考点2 一次函数的图象和性质 (2)正比例函数与一次函数的性质
第一、三 象限
第二、四 象限
•2
第一、二、 三象限
第一、三、 四象限
第一、二、 四象限
第二、三、 四象限
•3
考点3 两条直线的位置关系
k1≠k2 k1＝k2，b1≠b2
•4
考点4 两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标 轴围成的三角形的面积
•21
变式题
5．已知直线 y＝kx＋b 经过点(k,3)和(1，k)，则 k
的值为( B )
A. 3
B．± 3
C. 2
D．± 2
•22
变式题
▪ 6、在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y
＝kx＋b交x轴于点A(－2，0)，交y轴于点
B．若△AOB的面积为8，则k的值为( D ) ▪ A．1 B．2 C．－2或4 D．4或－4
图10－2 •26
变式题
▪ 1（1）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b＞0的解集为____________ ▪ （2）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b≥0的解集为____________ ▪ （3）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b≤0的解集为____________
一次函数图象与性质课件
一次函数在距离与时间问题中的应用
总结词：匀速运动
详细描述：在距离、时间和速度的问题中，如果速度保持不变，则距离和时间之间存在一次函数关系 。例如，匀速行驶的汽车，其行驶的距离是时间的线性函数。
和b是常数，k≠0。
它表示的是一种线性关系，即因 变量y与自变量x之间的变化关系
。
当k>0时，函数为增函数，随着 x的增加，y也增加；当k<0时， 函数为减函数，随着x的增加，y
减少。
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析 式表示为y=kx+b， 其中k和b是常数且 k≠0。
还可以通过表格的形 式表示，列出一些自 变量x的值和对应的 因变量y的值。
一次函数在交通运输中的应用
总结词
运输量与运输成本的关系
详细描述
在交通运输中，一次函数可以用来表示运输量与运输成本之 间的关系。随着运输量的增加，运输成本也会相应增加，这 种关系可以用一次函数来表示。通过分析这种关系，可以更 好地制定运输计划和控制运输成本。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
数。通过求解这个方程，可以预测不同投资额下的预期回报率。
一次函数在生产计划中的应用
总结词
生产量与生产要素的关系
详细描述
在生产计划中，一次函数可以用来表示生产量与生产要素之间的关系。例如， 生产量与劳动力、原材料、设备等生产要素之间存在线性关系，可以用一次函 数来表示这种关系，从而更好地安排生产计划。
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点 缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}． 例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)． 由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值． 【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》
教学设计：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第三章函数概念与性质《函数的概念及其表示：函数的表示方法》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解并掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法），并能根据具体情境选择合适的表示方法。
2.逻辑推理：通过分析不同表示方法下的函数实例，学生能够推导出函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
3.数学建模：培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力，特别是能够运用函数的不同表示方法来构建数学模型。
4.数学运算：在理解函数表示方法的基础上，学生能够进行简单的函数运算和性质分析。
5.数学交流：通过小组合作和课堂展示，学生能够清晰、准确地表达自己对函数表示方法的理解和应用。
教学重点•掌握函数的三种基本表示方法（解析式、列表法、图像法）。
•理解并能灵活应用不同表示方法解决实际问题。
教学难点•理解函数图像与解析式、列表法之间的内在联系，能够相互转化。
•在复杂情境中准确选择和应用合适的函数表示方法。
教学资源•多媒体课件（包含函数实例、图像展示、动画演示等）。
•教材及配套习题册。
•黑板和粉笔/白板和笔，用于板书和演示。
•数学软件（如GeoGebra、Desmos）用于实时绘制函数图像和进行性质分析。
教学方法•讲授与演示结合：利用多媒体展示函数实例和图像，辅助讲解函数表示方法。
•小组合作学习：分组讨论函数实例，共同探究不同表示方法的优缺点和适用情境。
•问题驱动法：通过提出问题引导学生主动思考，加深对函数表示方法的理解和应用。
•实践操作法：利用数学软件绘制函数图像，进行性质分析，提高学生的实践能力。
教学过程导入新课•情境创设：展示一个实际问题的情境（如汽车速度随时间变化的问题），引导学生思考如何描述这种变化关系。
•问题引入：提问“我们有哪些方式来表示这种变化关系（即函数）？”引出函数的不同表示方法。
新课教学1.解析式法：•讲解解析式法的定义和特点，强调其精确性和一般性。
《一次函数的图象与性质》教案 (公开课)2022年人教版数学
第2课时 一次函数的图象与性质1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点)2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出以下函数的图象．(1)y ＝12x ； (2)y ＝12x ＋2；(3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究探究点一：一次函数的图象【类型一】 一次函数图象的画法在同一平面直角坐标中，作出以下函数的图象．(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．解：如下列图．方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．【类型二】 判定一次函数图象的位置正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，那么一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( )解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．应选B.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y轴的交点坐标为(0，b)．探究点二：一次函数的性质【类型一】判断增减性和图象经过的象限等对于函数y＝－5x＋1，以下结论：①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k＝－5＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×∵k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜－4，那么y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③.应选B.方法总结：一次函数的性质：k＞0，y 随x的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．【类型二】一次函数的图象与系数的关系函数y＝(2m－2)x＋m＋1，(1)当m 为何值时，图象过原点？(2)y随x增大而增大，求m的取值范围；(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；(4)图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．解析：(1)根据函数图象过原点可知，m ＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x 增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x 轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1；(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m ＋1＞0，解得m＞－1；(4)∵图象过第一、二、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m－2<0，m＋1>0，解得－1＜m＜1.方法总结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限．探究点三：一次函数图象的平移在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x ＋4，那么以下平移作法正确的选项是() A．将l1向右平移3个单位长度B．将l1向右平移6个单位长度C．将l1向上平移2个单位长度D．将l1向上平移4个单位长度解析：∵将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋4，解得a＝－3，故将l1向右平移3个单位长度．应选A.方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．探究点四：一次函数的图象与性质的综合运用一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)求A、B两点坐标；(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．解析：(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0，y轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．解：(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点A的坐标为(2，0)；令x＝0，得y＝4.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点B的坐标为(0，4)；(2)由(1)中知OA＝2，OB＝4.∴S△AOB＝1 2·OA·OB＝12×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．三、板书设计1．一次函数的图象2．一次函数的性质3．一次函数图象的平移规律本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状．二是两点法画一次函数的图象．三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了到达上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果．第2课时平行四边形的判定定理11．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〞的判定方法；(重点) 2．平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF ∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形ABCD 是平行四边形，证明：∵DF ∥BE ，∴∠AFD ＝∠CEB ，又∵AF ＝CE 、DF ＝BE ，∴△AFD ≌△CEB (SAS)，∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE ，∴AD ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等． 探究点二：平行四边形的判定定理与性质的综合应用【类型一】 利用性质与判定证明如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS 〞可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF ，再利用得出△ADE ≌△BCF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD .∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)； (2)解：四边形BFDE 是平行四边形，理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB .∴∠DAC ＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，假设要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形到达上述目的．【类型二】 利用性质与判定计算如图，六边形ABCDEF 的六个内角均为120°，且CD ＝2cm ，BC ＝8cm ，AB ＝8cm ，AF ＝5cm.试求此六边形的周长．解析：由∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，那么必为等边三角形．事实上，设BC 、ED 的延长线交于点N ，那么△DCN 为等边三角形．由∠E ＝120°，∠N ＝60°，可知EF ∥BN .同理可知ED ∥AB ，于是从平行四边形入手，找出解题思路．解：延长ED 、BC 交于点N ，延长 EF 、BA 交于点M .∵∠EDC ＝∠BCD ＝120°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝60°.∴∠N ＝60°.同理，∠M ＝60°.∴△DCN 、△FMA 均为等边三角形．∴∠E ＋∠N ＝180°.同理∠E ＋∠M ＝180°.∴EM ∥BN ，EN ∥MB .∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN ＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋F A＋AB＋BC＋CD ＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM ＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规那么〞的六边形变成“规那么〞的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．三、板书设计一组对边平行且相等的四边形是平行四边形本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和开展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。
最新人教版高中数学必修1第三章《一次函数的性质与图象》课堂导学
课堂导学三点剖析一、一次函数的概念【例1】已知函数y=(m 2-m)m m x -22+3是一次函数,求其解析式.思路分析：本题考查一次函数的定义,一次函数中自变量的次数为1,系数不等于零.解:由题意,得⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=0m -m 1m -2m 22⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=.10,121m m m m 且或 ∴m=21-. 故所求函数的解析式为y=43x+3. 温馨提示在运用某个定义时,一定要注意定义中的每一个条件.二、一次函数的性质的应用【例2】一次函数y=(m+4)x+2m-1是增函数,且它的图象与y 轴的交点在x 轴下方,则m 的取值范围是.思路分析：y=kx+b(k≠0),当k ＞0时,为增函数,图象与y 轴的交点为(0,b).解:∵函数y=(m+4)x+2m-1是增函数,∴m+4＞0. ①又∵函数y=(m+4)x+2m-1的图象与y 轴的交点在x 轴下方,∴2m-1＜0. ②由①②,解得-4＜m ＜21. 答案：(-4,21) 温馨提示注意函数y=kx+b 的解析式中参数k 、b 各自的作用.三、y=kx+b 中k 、b 的符号与图象之间的对应【例3】在同一坐标系中,直线l 1:y=(k-2)x+k 和l 2:y=kx 的位置可能是下图中的()解析：A 图中,l 1经过第一、二、四象限,∴⎩⎨⎧><0.k 0,2-k ∴0＜k ＜2.而l 2经过第二、四象限,∴k ＜0矛盾,故排除A.但此法不能排除B 、C 、D.又l 1、l 2的交点为方程组⎩⎨⎧=+-=kxy k x k y ,)2(的解(2k ,22k ), ∵22k ＞0, ∴交点必过第一、二象限.∴选B.答案：B温馨提示注意挖掘图形中的解题信息,不要弄错符号.各个击破类题演练1若正比例函数y=(2a+1)12-+a a x 的图象经过第一、三象限,则a=_______.解析：∵y 是x 的正比例函数,∴x 的指数为1.又∵图象经过第一、三象限,∴函数为增函数,比例系数大于零.∴⎩⎨⎧>+=-+.012,112a a a 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧->=-=,21,12a a a 或即a=1. 答案：1变式提升1若直线y=(m 2-3)x+5与y=x+m 2-m-1重合,则m=________.解析：∵两直线重合,∴其斜率及在y 轴上的截距完全相同,即有⎪⎩⎪⎨⎧== 5.1-m -m 1,3-m 22∴⎩⎨⎧=-==-=.32,22m m m m 或或∴m=-2. 答案：-2类题演练2已知正比例函数y=k 1x 的图象与一次函数y=k 2x-9的图象交于点P(3,-6).(1)求斜率k 1、k 2的值;(2)如果该一次函数与x 轴交于点A,求A 点的坐标.解析：(1)∵点P(3,-6)在y=k 1x 上,∴-6=3k 1.∴k 1=-2.又∵点P(3,-6)在y=k 2x-9上,∴-6=3k 2-9.∴k 2=1.(2)∵k 2=1,∴y=x-9.故一次函数y=x-9与x 轴的交点为A(9,0).变式提升2已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m 为何值时,(1)这个函数为一次函数;(2)函数值y 随x 的增大而减小;(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x 轴上.解析：(1)当m≠21时,这个函数为一次函数. (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m<21时,y 随x 的增大而减小. (3)∵直线y=x+1与x 轴交于点(-1,0),代入y=(2m-1)x+1-3m 中,得1-2m+1-3m=0.∴m=52. 类题演练3两条直线y 1=ax+b 与y 2=bx+a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )解析：假设B 项中直线y 1=ax+b 正确,则a>0,b>0,所以y 2=bx+a 的图象应过第一、二、三象限,而实际图象过第一、三、四象限.∴B 错.同理C 、D 错.故A 正确.答案：A变式提升3三峡工程在2006年6月1日至6月10日下闸蓄水期间,水库水位由106米升至135米,高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升,那么下列图象中,能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( )解析：刚开始观察为106米,10天后为135米,故答案为B.答案：B。
【B版】人教课标版高中数学必修一《一次函数的性质与图象》导学案-新版
2.2.1 一次函数的性质与图象一．学习要点：一次函数的性质及其简单应用二．学习过程：1. 一次函数的有关概念：函数()0y kx b k =+≠叫做一次函数，又叫做线性函数。
定义域是R ，值域是R ．一次函数()0y kx b k =+≠的图象是直线，简称直线y kx b =+．其中k 叫做该直线的斜率，b 做该直线在y 轴上的截距。
注意：（1）对于一次函数y kx b =+，k 不能取0；（2）对于直线y kx b =+，k 可以取0，当0k =时，函数y b =为常值函数，其图象为平行于x 轴的直线。
（3）直线的斜率k 表示与x 轴不垂直的直线相对于x 轴的倾斜程度。
（4）直线的截距不是距离，它可正，可负，也可为零。
0b =时，一次函数为正比例函数。
2. 一次函数()0y kx b k =+≠的性质：（1）单调性：（2）奇偶性：（3）与坐标轴的交点：（4）一次函数()()0f x kx b k =+≠在[],m n 上恒为正()()00f m f n >⎧⎪⇔⎨>⎪⎩；()()0f x kx b k =+≠在[],m n 上恒为负()()00f m f n <⎧⎪⇔⎨<⎪⎩； ()()0f x kx b k =+≠在[],m n 上函数值异号()()0f m f n ⇔⋅<．例1设函数()()332m f x m x m -=-++．（1）当m 为何值时，函数()f x 是一次函数；（2）当m 为何值时，函数()f x 是正比例函数。
例2 作出下列函数的图象。
（1）1y x =-+； （2）1y x =- （3）1y x =-+例3对于每个实数x ，设()f x 取41y x =+，24y x =-+，2y x =+三个函数中的最小值，用.分段函数写出()f x 的解析式，并求()f x 的最大值。
三．课堂练习：1．已知一次函数()2232y m x m m =-+--，它的图象在y 轴上的截距为4-，则m 的值为（ ）A ．4-B ．2C ． 1D ．2或42．一次函数1y kx k =+()0k ≠的图象可能是（ ）3．函数43y x =-，当0y <时，x 的取值范围为4．若函数()291529m m y m x-+=-是正比例函数，其函数图象经过第二、四象限，则m 的值为5．若函数()21f x ax a =++在[]1,1-上恒为正值，则实数a 的取值范围为6．直线()212y m x m =-+-的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围为 y x O A y x O B y x O C y x O D。
数学人教B版必修1学案：课前导引 2-2-1一次函数的性质与图象 含解析 精品
2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
课前导引
情境导入
为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如下图所示：
请你分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 的函数关系式,并帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡更便宜.
思路分析：(1)由图象可得函数解析式y 1=201x+5.5(x≥0),y 2=10
1x(x≥0). (2)当x ＞110分钟时,使用“便民卡”便宜;
当x ＜110分钟时,使用“如意卡”便宜;
当x=110分钟时,两种卡一样.
知识预览
1.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,它的定义域为R ,值域为R .一次函数的图象是直线,其中k 叫做斜率,b 叫做截距.
2.k=x
b y -,即y-b 与x 的比值. 3.当k>0时,一次函数是增函数,当k<0时,一次函数是减函数.
4.当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数,当b≠0时,它既不是奇函数也不是偶函数.
5.直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点为(k
b -,0),与y 轴的交点为(0,b). ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧应用过定点截距斜率图象奇偶性单调性值域定义域性质一次函数的概念),0(b b k。
高中数学人教B版必修一课件2.2.1《一次函数的性质与图象》
y=-2x+l
结论：和一次函数的性质相结合
（4）对于函数y=5x+6,y的值随x的值 减小而_减__少___。
（5）函数y=2x－1经过象一限、三、四
（6）函数y=2x -4与y轴的交点为 （）0，，-与4 x轴交于（） 2， 0
1、会画一次函数的图象
2、一次函数的图象与性质，常数k， b的意义和作用
（４）直线y=kx+b与x轴的交点为（- b , 0),与y轴的交点 k
为 （0，b）
（1）你能说出一次函数y=3x-4的图象是 什么形状吗？它与直线y=3x有什么关系？
（2）那么一次函数y=kx+b的图象与正 比例函数y=kx图象有什么关系？
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我 们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到。
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下 平移）
你会画出函数y=2x-1与y=x+1的
图象吗？
y=2x-1
y
x
01
y=2x-1 -1 1
y=x+1
y=x+1 1 2
∴ y=2x-1的图象是经过点 (0，-1)和点(1，1)的直线；
2 ··· o·1
x
y=x+1是经过点(0， 1 )
点(1， 2)的直线。
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1、什么是一次函数？
2、一次函数的图像是什么形状?有 什么性质？
函数 y kx b(k 0) 叫做一次函数.它的 定义域为R，值域为R
一次函数y kx b(k 0.图像是直线，以后简写 为直线y kx b，其中k叫做直线的斜率，b叫做直线 在y轴上的截距 一次函数又叫线性函数
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2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
课前导引
情境导入
为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如下图所示：
请你分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 的函数关系式,并帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡更便宜.
思路分析：(1)由图象可得函数解析式y 1=201x+5.5(x≥0),y 2=10
1x(x≥0). (2)当x ＞110分钟时,使用“便民卡”便宜;
当x ＜110分钟时,使用“如意卡”便宜;
当x=110分钟时,两种卡一样.
知识预览
1.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,它的定义域为R ,值域为R .一次函数的图象是直线,其中k 叫做斜率,b 叫做截距.
2.k=x
b y -,即y-b 与x 的比值. 3.当k>0时,一次函数是增函数,当k<0时,一次函数是减函数.
4.当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数,当b≠0时,它既不是奇函数也不是偶函数.
5.直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点为(k
b -,0),与y 轴的交点为(0,b). ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧应用过定点截距斜率图象奇偶性单调性值域定义域性质一次函数的概念),0(b b k。