投资学第13章 Black-Scholes 期权定价模型

▪ 在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到
dwt t dt
cov(dwt , dws ) 0
（13.3） （13.4）
▪ 所以，dwt 概率分布的性质
dwt ~ N(0, dt) E(dwt ) 0, D(dwt ) dt
以上得到的随机过程，称为维纳过程。
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13.2 ITO定理
由于 N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（13.11）得到
E(x2 ) b2t
（13.12）
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
当Δt→0时，由（13.9）可得
df
f t
f
1 2 f
dt x dx 2 x2
dx2
f t
wt1 wt ws1 ws
有效市场
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
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➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
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▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
st xt , a(st ,t) st , b(st , t) st dst stdt stdwt
s
其中，w代表维纳过程
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B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f t
f a 1 x 2
2 f x2
b2 )dt
f b dw x
B-S微分方程
f t
f rs＋ 1 2 f 2s2 rf s 2 s2
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
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➢ 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票
➢ 对卖空没有任何限制 ➢ 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗
运动
ds dt dw ds sdt sdw
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wt t t
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
（13.1）
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
▪ 一般维纳过程(Generalized Wiener process)可 表示为
dxt adt bdwt 其中，dwt ~ N(0, dt)
（13.5）
显然，一般维纳过程的性质为
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dxt ~ N (adt,b2dt)
E(dxt ) adt, D(dxt ) b2dt
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▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
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▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
dx a(x,t)dt b(x,t)dw （13.7）
▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可 以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t) 的价格变动过程可以表示为
df (f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
f f (x,t), a a(x,t),b b(x,t)
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证明：将（13.7）离散化
x a(x,t)t b(x,t)w 由（13.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
f (f t f x 1 2 f x2 ) 2 f xt
t x 2 x2
xt
1 2
2 t
f
2
t2
（13.8）
3
在连续时间下，即 t 0 从而 t2 0 t 2 0
3
lim xt at2 bt 2 0
t 0
因此，（13.8）可以改写为
f
f t
t
f x
x
1 2
2 f x2
x2
（13.9）
x2 [at b t ]2
2
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
（13.10）
且当t 0时，有t2 0,从而
lim D(x2 ) [b2t]2 D( 2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
由（13.10）可得
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （13.11）
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13.1 维纳过程
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。
▪ 对于随机变量w是Wiener process，必须 具有两个条件：
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满 足Δt
投资学 第13章
投资分析（4）：Black-Scholes 期 权定价模型
概述
▪ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
▪ 模型基本假设8个
➢ 无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变 化。
➢ 标的股票不支付红利 ➢ 期权为欧式期权
dt
f x
(adt
bdw)
1 2
2 f x2
ห้องสมุดไป่ตู้
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[ D(i ) 1], 证毕. i 1