投资学第13章 Black-Scholes 期权定价模型
BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
Black-Scholes期权定价模型46页PPT
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
17.07.2021
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
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几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
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几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
17.07.2021
2
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
2024/6/27
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13.4 几何布朗运动与对数正态分布
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4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定价模型
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
期权定价模型
利用期权定价模型对期权进行动态分析Black-Scholes 期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Sholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+= 其中，dS 为股票价格瞬时变化值，dt 为极短瞬间的时间变化值，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。
综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X ，当前时刻为t ，到期时刻为T 。
7．不存在无风险套利机会。
Black-Scholes 期权定价模型（一）Black-Scholes 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ （1） 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
Black-Scholes期权定价模型
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz
则：
S St Sz
（6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望 值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运 动。
dG ( G S
S
G t
1 G
2
2 S
2
S ) dt
2 2
G S
Sdz
(6.10)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S ，由于 代入式（6.10）:
dS S dt dz
（6.6）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S S
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes 期权定价模型
Therefore, concluding
EX EEX | Y
2013-7-29 36
Summary:
When Y is discrete,
EX | Y y PY y
y
When Y is continuous,
2013-7-29
E X | Y y fY y dy
2 2 2 2 2
E Var X | Y E E X | Y E X | Y
2
2013-7-29
40
Note as well …
VarE X | Y E E X | Y E E X | Y
2
2
E E X | Y E X
2013-7-29
24
24
Proof of Theorem (2)
But , and so
Now support X is a nonnegative random variable. If X is an indicator function X=IA , then
which is When Z>0 almost surely, is defined and we may replace X in by
E[max(ST X , 0) Ft ]
其现值为c er (T t ) E[max(ST X ,0) Ft ]
2013-7-29
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证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 方差率为 2 S 2 的伊藤过程来表示(为何用布 朗运动)
dS Sdt SdBt
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
9
为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
2024/9/22
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
2024/9/22
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
1
Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权交割价格S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
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Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
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dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
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▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
st xt , a(st ,t) st , b(st , t) st dst stdt stdwt
▪ 在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到
dwt t dt
cov(dwt , dws ) 0
（13.3） （13.4）
▪ 所以，dwt 概率分布的性质
dwt ~ N(0, dt) E(dwt ) 0, D(dwt ) dt
以上得到的随机过程，称为维纳过程。
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13.2 ITO定理
投资学 第13章
投资分析（4）：Black-Scholes 期 权定价模型
概述
▪ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
▪ 模型基本假设8个
➢ 无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变 化。
➢ 标的股票不支付红利 ➢ 期权为欧式期权
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➢ 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票
➢ 对卖空没有任何限制 ➢ 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗
运动
ds dt dw ds sdt sdw
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[ D(i ) 1], 证毕. i 1
由于 N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（13.11）得到
E(x2 ) b2t
（13.12）
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
当Δt→0时，由（13.9）可得
df
f t
f
1 2 f
dt x dx 2 x2
dx2
f t
df (f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
f f (x,t), a a(x,t),b b(x,t)
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证明：将（13.7）离散化
x a(x,t)t b(x,t)w 由（13.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
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▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
dx a(x,t)dt b(x,t)dw （13.7）
▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可 以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t) 的价格变动过程可以表示为
f (f t f x 1 2 f x2 ) 2 f xt
t x 2 x2
xt
1 2
2 t
f
2
t2
（13.ห้องสมุดไป่ตู้）
3
在连续时间下，即 t 0 从而 t2 0 t 2 0
3
lim xt at2 bt 2 0
t 0
因此，（13.8）可以改写为
f
f t
t
f x
x
1 2
2 f x2
x2
（13.9）
dt
f x
(adt
bdw)
1 2
2 f x2
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wt t t
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
（13.1）
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
wt1 wt ws1 ws
有效市场
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
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13.1 维纳过程
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。
▪ 对于随机变量w是Wiener process，必须 具有两个条件：
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满 足Δt
s
其中，w代表维纳过程
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B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f t
f a 1 x 2
2 f x2
b2 )dt
f b dw x
B-S微分方程
f t
f rs＋ 1 2 f 2s2 rf s 2 s2
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
x2 [at b t ]2
2
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
（13.10）
且当t 0时，有t2 0,从而
lim D(x2 ) [b2t]2 D( 2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
由（13.10）可得
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （13.11）
▪ 一般维纳过程(Generalized Wiener process)可 表示为
dxt adt bdwt 其中，dwt ~ N(0, dt)
（13.5）
显然，一般维纳过程的性质为
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dxt ~ N (adt,b2dt)
E(dxt ) adt, D(dxt ) b2dt
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▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。