相似三角形专题复习学生版解析
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)学习资料
中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念,判定及性质,以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点睛、相似的有关概念1 •相似形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同,大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 •相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等.3. 相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.、相似三角形的概念1. 相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,△ ABC与厶ABC相似,记作△ ABCABC,符号s读作相似于”2•相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形”、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图,△ ABC与厶ABC相似,则有A A , B B , C C .2 •相似三角形的对应边成比例△ ABC与厶ABC相似,则有-AB BC AC k(k为相似比)AB BC AC3•相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图1,△ ABC与厶ABC相似,AM是厶ABC中BC边上的中线,AM 是厶ABC中BC边上的中线, 则有上邑匹竺k上也(k 为相似比).AB BC AC AM如图则有2, △ ABC与厶ABC相似,AB BC AC kAB BC AC AHAH3, △ ABC 与厶ABC分线,则有2AB -BCAB BC AC如图相似,AC k1AH是△ ABC中BC边上的高线,AH是厶ABC中BC边上的高线,(k为相似比).AD是厶ABC中BAC的角平分线,AD是厶ABC 竺(k为相似比).AD图2中BAC的角平4. 相似三角形周长的比等于相似比.如图4, △ ABC与厶ABC相似, 则有AB BC ACkAB B C AC(k为相似比).应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACAB BC AC AB BC A C5•相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定1 •平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似•可简单说成:两 角对应相等,两个三角形相似.3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三 边对应成比例,两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这 两个直角三角形相似. 6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如 果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证一一 —一,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A , B , C 恰为△ ABC 的顶BE BF点;分母的两条线段是 BE 和BF ,三个字母B , E , F 恰为△ BEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABCEBF •2. 纵向定型法欲证一一 匹,纵向观察,比例式左边的比 AB 和BC 中的三个字母 A , B , C 恰为△ ABC 的顶点;右边的 BC EF 比两条线段是 DE 和EF 中的三个字母 D , E , F 恰为A DEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABC DEF .AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,则有ABBC AC k AH ( k 为相似比) .进而可得比ABCABBCACAHABC-BC AH BC 2BC 空k 2•AH如图5, △ ABC 与厶ABC 相似,AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,如图:S A ABCACD 1BC AH21CD AH2BCCD如图:SA ABC12BC AHAHSA BCD1BC DG DG2S A ABD S A ABD S A AED AB AD AB AD SA ACESA AEDSA ACEAE AC AE AC3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。
专题22 相似三角形(归纳与讲解)(解析版)
专题22 相似三角形【专题目录】技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件 技巧2:巧作平行线构造相似三角形 技巧3:证比例式或等积式的技巧 (1)基本性质:a b =cd ad =bc ; (2)合比性质:a b =cda +b b =c +dd;技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件2.相交线型.3.子母型.4.旋转型.12与3.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点,ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证:AB AC =DF AF.【类型】四、旋转型4.如图,已知∠DAB =∠EAC ,∠ADE =∠ABC.求证:(1)△ADE ∽△ABC ; (2)AD AE =BD CE.参考答案1.(1)证明:∵ED∥BC,∵ED ∥BC,∴∠DE B =∠EBC.h△BDE表示△BDE中DE边上的高,∵DE=6,∴BC=10.2.解:相似.理由如下:因为EOBO=DOCO,∠BO E=∠COD,∠DOE=∠COB,所以△BOE∽△COD,△DOE∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO.因为∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO,所以∠ADE=∠ABC.又因为∠A=∠A,所以△ADE∽△ABC.3.证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∴∠BAC=∠A DB=90°.又∵∠CBA =∠ABD(公共角), ∴△ABC ∽△DBA. ∴AB AC =DBDA,∠BAD =∠C. ∵AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点, ∴DE =EC.∴∠BDF =∠CDE =∠C. ∴∠BDF =∠BAD. 又∵∠F =∠F , ∴△DBF ∽△ADF. ∴DB AD =DF AF .∴AB AC =DF AF.(第3题)点拨:当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似,条件又不具备成比例线段时,可考虑用中间比“搭桥”,称为“等比替换法”,有时还可用“等积替换法”,例如:如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,D E ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,求证:AE·AB =AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB =AD 2,AF·AC =AD 2,∴AE·AB =AF·AC. 4.证明:(1)∵∠DAB =∠EAC ,∴∠DAE =∠BAC.又∵∠ADE =∠ABC ,∴△ADE ∽△ABC. (2)∵△ADE ∽△ABC ,∴AD AE =ABAC.∵∠DAB =∠EAC ,∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE =BDCE .技巧2:巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1.如图,在△ABC 中,E ,F 是边BC 上的两个三等分点,D 是AC 的中点,BD 分别交AE ,AF 于点P ,Q ,求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2.如图,在△ABC 中,AC =BC ,F 为底边AB 上一点,BF AF =32,取CF 的中点D ,连接AD并延长交BC 于点E ,求BEEC的值.【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,在边AB 上取一点D ,在AC 上取一点E ,使AD =AE ,直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证:BP CP =BDEC.【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4.如图,在△ABC 中,点M 为AC 边的中点,点E 为AB 上一点,且AE =14AB ,连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证:BC =2CD.参考答案1.解:如图,连接DF ,∵E ,F 是边BC 上的两个三等分点,∴BE =EF =FC.∵D 是AC 的中点,∴AD =CD. ∴DF 是△ACE 的中位线. ∴DF ∥AE ,且DF =12AE.∴DF ∥PE. ∴∠BEP =∠BFD. 又∵∠EBP 为公共角,∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF =BPBD.∵BF =2BE ,∴BD =2BP.∴BP =PD.∴DF =2PE. ∵DF ∥AE ,∴∠APQ =∠FDQ ,∠PAQ =∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD =APDF .设PE =a ,则DF =2a ,AP =3a. ∴PQ QD =AP DF =3 2.∴BP PQ QD =53 2.2.解:如图,过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ,∴∠DAF =∠G. 又∵D 为C F 的中点,∴CD =DF.在△ADF 和△GDC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF =∠G ,∠ADF =∠CDG ,DF =CD ,∴△ADF ≌△GDC(AAS ).∴AF =CG. ∵BF AF =32,∴AB AF =52.∵AB ∥CG ,∴∠CGE =∠BAE ,∠BCE =∠ABE. ∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC =AB CG =AB AF =52.3.证明:如图,过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ,∴∠PFC =∠PDB ,∠PCF =∠PBD. ∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP =BDCF.∵AD ∥CF ,∴∠ADE =∠EFC. ∵AD =AE ,∴∠ADE =∠AED.∵∠AED =∠CEP ,∴∠EFC =∠CEP.∴EC =CF. ∴BP CP =BD EC. 4.证明:(方法一)如图①,过点C 作CF ∥A B ,交DE 于点F ,又∵∠AME =∠CM F , ∴AE BE =CD BD =13,即BD =3CD. 又∵BD =BC +CD , ∴BC =2CD.(第4题②)(方法二)如图②,过点C 作CF ∥DE ,交AB 于点F , ∴AE AF =AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点, ∴AC =2AM. ∴2AE =AF.∴AE =EF. ∴BC =2CD.由EF ∥CD ,易证得△EFM ∽△DCM , EF MF∴EF =12CD.∴BC =2CD.(第4题④)(方法四)如图④,过点A 作AF ∥BD ,交DE 的延长线于点F , ∴∠F =∠D ,∠FAE =∠B. ∴△AEF ∽△BED. ∴AE BE =AF BD . ∵AE =14AB ,=1BE.=1BD.12.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D ,边BC 的延长线上有一点E ,且AD =CE ,DE 交AC 于点F ,3.如图,在▱ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F.求证:DC AE =CF AD.4.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,M 为BC 的中点,DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ,交AB 于E.求证:AM2=MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.求证:BP·CP=BM·CN.【类型】四、等比过渡法6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.求证:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG·DF=DB·EF.7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证:CE2=DE·PE.【类型】五、两次相似法8.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ,交AD 于F.求证:BF BE =ABBC.9.如图,在▱ABCD 中,AM ⊥BC ,AN ⊥CD ,垂足分别为M ,N.求证:1011BP12.如图,已知AD 平分∠BAC ,AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证:PD 2=PB·PC.参考答案12而解决问题.3.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴A E ∥D C ,∠A =∠C. ∴∠CDF =∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE =CFAD .4.证明:∵DM ⊥BC ,∠BAC =90°,∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°.∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D.又∵M为BC的中点,∠BAC=90°,∴BM=AM.∴∠B=∠BAM.∴∠BAM=∠D.即∠EAM=∠D.56.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE∥BC,∴∠ABC+∠EDB=180°,∠ACB+∠FED=180°.∴∠FED=∠EDB.又∵∠EDF=∠DBE,∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD=EFDE.即DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠GED=∠EFD.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.∴DG DE =DEDF .即DE 2=DG·DF. ∴DG·DF =DB·EF.7.证明:∴BG∴AP ,PE∴AB ,∴∴AEP =∴DEB =∴AGB =90°. ∴∴P +∴PAB =90°, ∴PAB +∴AB G =90°.89.证明:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴∠B =∠D.∵AM ⊥BC ,AN ⊥CD , ∴∠AMB =∠AND =90°. ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN =AB AD ,∠BAM =∠DAN.又AD =BC ,∴AM AN =ABBC .∵AM ⊥BC ,AD ∥BC ,∴∠MAD =∠AMB =90°.∴∠B +∠BAM =∠MAN +∠NAD =90°.∴∠B =∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB =MN AC .10.证明:∵AD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∴∠ADB =∠AED =90°. 又∵∠BAD =∠DAE ,1112.证明:如图,连接PA ,∵EP 是AD 的垂直平分线, ∴PA =PD.∴∠PD A =∠PAD.∴∠B +∠BAD =∠DAC +∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∴∠B =∠CAP. 又∵∠APC =∠BPA , ∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB =PCPA .A 3243A .6B .7C .8D .9【答案】C【提示】根据平行线分线段成比例定理,由DE∴BC 得AD AEDB EC=,然后利用比例性质求EC 和AE的值即可【详解】∴//DE BC , ∴AD AE DB EC =,即932AE=, ∴6AE =,∴628AC AE EC =+=+=. 故选C .例(A AB ACAB BCA B C D 例4、如图,在ABC ∆中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,15BCED S =四边形,则ABC S ∆=( )A.30B.25C.22.5D.20【答案】D:S∆例得mA【解析】∴∴ABE=∴DCE, ∴AEB=∴CED,∴∴ABE∴∴DCE,∴AB BE CD CE=.∴BE=90m,EC=45m,CD=60m,∴()906012045AB m ⨯== 故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图,∴ABC 与∴DEF 位似,点O 为位似中心.已知OA ∴OD =1∴2,则∴ABC 与∴DEF 的面积比为( )A 8A .20cmB .10cmC .8cmD .3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】解:设投影三角尺的对应边长为xcm , ∴三角尺与投影三角尺相似, ∴8:x =2:5, 12BD ADE 与ABC 的周长之比为(A ABC ADE ∽,相似三角形的对应边成∴∴∴ABC ADE ∽, ∴∴AD :AB =1:3, ∴13ADE ABC C C ∆∆=::, 即ADE 与ABC 的周长比为1:3. 故选:D .【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键.2.如图,在ABC 中,高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有( )A ADB ,△∴FEB ,△A ∠=∠∴ADB , ABD =∠,又90AEC BEC =∠=∴FEB ,ACE =∠,∴FDC △,【点睛】本题考查了相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.3ABC 中,D 、A ∴∴ADE ∴∴ABC ,∴∴ADE 与∴ABC 的周长之比为1:2,∴∴ADE 与∴ABC 的面积之比为1:4,即14.故选:B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,三角形中位线定理,掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解决此题关键.4.如图,D 是ABC 的边BC 上的一点,那么下列四个条件中,不能够判定∴ABC 与∴DBA 相似的是( )ABC ∴DBA ,故选项ABC ∴DBA ,故选项B 不符合题意;ACB 与BAD ∠是否相等,所以无法判定两三角形相似,故选项B B ∠=∠,ABC ∴DBA ,故选项【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,熟练掌握相关定理是解题的关键.ABC ∴A B C ''',是它们的对应角平分线,若的面积比是( )3 B .C .3【答案】B【分析】根据相似三角形的性质:【详解】ABC ∴A B C ''',AD 和A D ''是它们的对应角平分线,8AD =,12A D ''=,∴两三角形的相似比为: :8:122:3AD A D '==',则ABC 与'''A B C 的面积比是:4:9. 故选:B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.二、填空题6.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高为1.5m,测得AB =3m,AC=10m,则建筑物CD的高是_____m.7.如图所示,要使ABC ADE~,需要添加一个条件∠=∠【答案】ADE B【分析】根据已有条件,加上一对角相等就可以证明ABC与ADE相似,依据是:两角对应相等的两个三角形相似.【详解】解:添加ADE B∠=∠,A A∠=∠ABC ADE∴~故答案为:ADE B∠=∠.【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法,牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键.8(1)(2)(2)(((2)解:∴∴ADE∴∴ABC,∴AD DEAB BC=,243BC=,∴BC=6.【点睛】本题考查了三角形的判定和性质,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.相似三角形(提升测评)一、单选题1.如图,在菱形ABCD 中,点E 在AD 边上,EF ∴CD ,交对角线BD 于点F ,则下列结论中错误的是( )DE DFEF DFEF DFEF DF【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.2.如图1为一张正三角形纸片ABC ,其中D 点在AB 上,E 点在BC 上.今以DE 为折线将B 点往右折后,BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点,如图2所示.若10AD =,16AF =,14DF =,8BF =,则CG 的长度为多少?( )A.7B.8C.9D.10,解:∴3A.B.4C D.2【答案】B【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,构造相似三角形,再利用相似三角形的性质列出比例式,计算求解即可.【详解】解:过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,则90ACO ODB ∠=∠=︒,90B BOD ∠+∠=︒,A 的坐标是AC =1,122DB=,即:B 的纵坐标是故选:B . 4的A .AD AFBD EF= B .AF DFAE EB= C .=AD AEAB ACD .CAF FE DEB = 【答案】D∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等,判断即可.【分析】根据DF BE∥,DE BC【详解】解:DF BE∥,AD AF∴=,BD EF故A选项比例式正确,不符合题意;DF BE∥,∴△∽△,ADF ABE5【答案】9x,根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x,然后加【分析】设地面影长对应的树高为m上墙上的影长CD即为树的高度.x,【详解】解:设地面影长对应的树高为m由题意得,140.5x =, 解得8x =,墙上的影子CD 长为1m , ∴树的高度为()819m +=.故答案为:9.【点睛】本题考查利用投影求物高.熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键.616AD BC ,FCG ,2, CFG 的面积之比AD BC ,:(2)2:5x a a x ∴+-=,67x a ∴=,68,77AE a EG a ∴==, :3:4AE EG =,∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3,∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7.故答案为:16:7.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握并运用:相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质,是解此题的关键.三、解答题7,H(1)(2)(2),证出ADK FGK ,得出比例式求出()由正方形的性质求出出AM =4,FM =2,∴AMF 12CH AF =,根据勾股定理求出()解:∴四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形,∴AD =CD =BC =1,CG =FG =CE =3,,AD BC GF BE ∥∥,∴G =90°,∴DG =CG -CD =2,AD GF ∥,∴ADK FGK ,∴DK :GK =AD :GF =1:3,∴3342GK DG ==,∴312tan32GKGFKFG∠===;(2)解:∴正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,∴AB=BC=1,CE=EF=3,∴E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,如图所示:则∴∴∴在∴8.如图所示,BEF的顶点AF,满足((CEB , BCE ∠∴=,ABCD 是矩形,∴BC DAB ∠,ACB =∠,BCE ACB ∠∠+=∴即∴90FAD DAC ∠∠∴+=︒,90DAB ∠=︒,90BAC DAC ∠∠∴+=︒,FAD BAC ∠∠∴=,在Rt ABC 中,tanBCBACAB∠===,30BAC∴∠=︒,30FAD∠∴=︒;(2)由(1)得9030ABC BAC∠∠=︒=︒,,CEB,ABCE,313,3,FAE中,【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,解答的关键是结合图形及相应的性质求得∠。
专题 相似三角形中的对角互补模型(学生版)
专题09相似三角形中的基本模型-对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.对角互补模型(相似模型)【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中,相对的角互补。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线,从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】(1)对角互补相似1条件:如图,在Rt△ABC中,∠C=∠EOF=90°,点O是AB的中点,辅助线:过点O作OD⊥AC D,过点O作OH⊥BC,垂足为H,结论:①△ODE∼△OHF;②OE BCOF AC=(思路提示:OE OD BH BCOF OH OH AC===).(2)对角互补相似2条件:如图,已知∠AOB =∠DCE =90°,∠BOC =α.辅助线:作法1:如图1,过点C 作CF ⊥OA ,垂足为F ,过点C 作CG ⊥OB ,垂足为G ;结论:①△ECG ∼△DCF ;②CE =CD·tan α.(思路提示:CE CG CD CF =,CF =OG ,在Rt △COG 中,CG tan OGα=)辅助线:作法2:如图2,过点C 作CF ⊥OC ,交OB 于F ;结论:①△CFE ∼△COD ;②CE =CD·tan α.(思路提示:CE CF tan CD CO α==,在Rt △OCF 中,CF tan OC α=)(3)对角互补相似3条件:已知如图,四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°辅助线:过点D 作DE ⊥BA ,垂足为E ,过点D 作DF ⊥BC ,垂足为F ;结论:①△DAE ∼△DCF ;②ABCD 四点共圆。
例1.(2022·黑龙江·鸡西九年级期末)如图,在Rt ABC 中,90ABC ∠=︒,6AB =,8BC =,在Rt MPN △中,90MPN ∠=︒,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E ,PN 交BC 于点F ,当2PE PF =时,AP 的长为()A .4B .6C .245D .256例3.(2022·江西·吉水县九年级期末)【问题情境】如图①,直角三角板ABC中,∠C=90°,AC=BC,将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上,再将该直角绕点D旋转,并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点.【问题探究】(1)在旋转过程中,①如图2,当AD=BD时,线段DP、DQ的数量关系是()A、DP<DQB、DP=DQC、DP>DQD、无法确定②如图3,当AD=2BD时,线段DP、DQ有何数量关系?并说明理由.③根据你对①、②的探究结果,试写出当AD=nBD时,DP、DQ满足的数量关系为(直接写出结论,不必证明)。
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题一、比例1.成比例线段(简称比例线段):对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即dcb a =(或a :b=c :d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
如果作为比例内项的是两条相同的线段,即cbb a =或a :b=b :c ,那么线段b 叫做线段a ,c 的比例中项。
2.黄金分割:用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段,若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比,则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割,分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点,较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
4.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
5.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似:相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、大小无关。
2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3.三角形相似的判定方法(1)定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,构成的三角形与原三角形相似。
(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似。
相似三角形的判定--知识讲解(提高)学生版
相似三角形的判定--知识讲解(提高)【要点梳理】要点一、相似三角形在和中,如果我们就说与相似,记作∽.k就是它们的相似比,“∽”读作“相似于”.要点诠释:(1)书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即∽,则说明点A的对应点是A′,点B的对应点是B′,点C的对应点是C′;(2)对于相似比,要注意顺序和对应的问题,如果两个三角形相似,那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时,两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1.判定方法(一):平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似;2.判定方法(二):如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;3.判定方法(三):如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.要点诠释:此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必需是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.4.判定方法(四):如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.要点诠释:要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换:【典型例题】类型一、相似三角形1. 判断对错:(1)两个直角三角形一定相似吗?为什么?(2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么?(3) 两个等边三角形一定相似吗?为什么?举一反三:【变式】下列说法错误的是().A.有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似B.全等的两个三角形一定相似C.对应角相等的两个多边形相似D.两条邻边对应成比例的两个矩形相似类型二、相似三角形的判定2.(2015•湖州模拟)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,,连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)若正方形的边长为4,求BG的长.举一反三:【变式】(2015•大庆模拟)如图,△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,D为AB的中点,过点D的直线与BC交于点E,若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似,则DE=.3.如图,小正方形边长均为1,则图中的三角形(阴影部分)与相似的是哪一个?图(1)图(2)图(3)图(4)4. 已知:如图,,,,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?举一反三:【变式】如图,正方形ABCD和等腰Rt,其中,G是CD与EF的交点.(1)求证:≌.(2)若,,,求的值.。
专题28 相似三角形篇(解析版)
专题28 相似三角形考点一:比例1. 比例的性质:①基本性质:两内项之积等于量外项之积。
即若d c b a ::=,则ad bc =。
②合比性质:若d c b a =,则d d c b b a +=+。
③分比性质:若d c b a =,则d d c b b a -=-。
④合分比性质:若d c b a =,则d c d c b a b a -+=-+。
⑤等比性质:若n m d c b a ===...,则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。
2. 比例线段:若四条线段d c b a ,,,,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如d c b a ::=(即ad bc =),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段。
3. 平行线分线段成比例:三条平行线被两条直线所截,所得的对应线段成比例。
即如图:有EFDE BC AB =;DFDE AC AB =;DFEF AC BC =。
推论:①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
②如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
③平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
1.(2022•镇江)《九章算术》中记载,战国时期的铜衡杆,其形式既不同于天平衡杆,也异于称杆.衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔,一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物,可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上,这样,用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆的使用示意图,此时被称物重量是砝码重量的 倍.【分析】根据比例的性质解决此题.【解答】解:由题意得,5m被称物=6m砝码.∴m被称物:m砝码=6:5=1.2.故答案为:1.2.2.(2022•巴中)如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD ∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为( )A.4B.5C.6D.7【分析】根据CD∥OB得出,根据AC:OC=1:2,得出,根据C、D两点纵坐标分别为1、3,得出OB=6,即可得出答案.【解答】解:∵CD∥OB,∴,∵AC:OC=1:2,∴,∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3,∴CD =3﹣1=2,∴,解得:OB =6,∴B 点的纵坐标为6,故选:C .3.(2022•临沂)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,32 DB AD ,若AC =6,则EC =( )A .56B .512C .518D .524【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴=,∴,∴,∴EC =.故选:C .4.(2022•丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A ,B ,C 都在横线上.若线段AB =3,则线段BC 的长是( )A .32B .1C .23D .2【分析】过点A 作平行横线的垂线,交点B 所在的平行横线于D ,交点C 所在的平行横线于E ,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.【解答】解:过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,则=,即=2,解得:BC=,故选:C.5.(2022•襄阳)如图,在△ABC中,D是AC的中点,△ABC的角平分线AE交BD于点F,若BF:FD=3:1,AB+BE=33,则△ABC的周长为 .【分析】如图,过点F作FM于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.证明AB =3AD,设AD=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3b,求出a+b,可得结论.【解答】解:如图,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,∴FM=FN,∴===3,∴AB=3AD,设AD =DC =a ,则AB =3a ,∵AD =DC ,DT ∥AE ,∴ET =CT ,∴==3,设ET =CT =b ,则BE =3b ,∵AB +BE =3,∴3a +3b =3,∴a +b =,∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =5a +5b =5,故答案为:5.6.(2022•哈尔滨)如图,AB ∥CD ,AC ,BD 相交于点E ,AE =1,EC =2,DE =3,则BD 的长为( )A .23B .4C .29D .6【解答】解:∵AB ∥CD ,∴△ABE ∽△CDE ,∴=,即=,∴BE =1.5,∴BD =BE +DE =4.5.故选:C .7.(2022•雅安)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB 和AC 上的点,DE ∥BC ,若12 BD AD ,那么BCDE =( )A .94B .21C .31D .32【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∵=,∴=,∴==.故选:D .8.(2022•凉山州)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,若DE ∥BC ,32 BD AD ,DE =6cm ,则BC 的长为( )A .9cmB .12cmC .15cmD .18cm【分析】根据=,得到=,根据DE ∥BC ,得到∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,得到△ADE ∽△ABC ,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.【解答】解:∵=,∴=,∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∴=,∴BC =15(cm ),故选:C .9.(2022•鞍山)如图,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于点E ,若AE :DE =1:2,AB =2.5,则CD 的长为 .【分析】由平行线的性质求出∠B =∠C ,∠A =∠D ,其对应角相等得△EAB ∽△EDC ,再由相似三角形的性质求出线段CD 即可.【解答】解:∵AB ∥CD ,∴∠B =∠C ,∠A =∠D ,∴△EAB ∽△EDC ,∴AB :CD =AE :DE =1:2,又∵AB =2.5,∴CD =5.故答案为:5.10.(2022•上海)如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =90°,D 为AB 中点,E 在线段AC 上,BC DE AB AD ,则AC AE = .【分析】利用平行线截线段成比例解答.【解答】解:∵D 为AB 中点,∴=.当DE ∥BC 时,△ADE ∽△ABC ,则===.当DE 与BC 不平行时,DE =DE ′,=.故答案是:或.11.(2022•宜宾)如图,△ABC 中,点E 、F 分别在边AB 、AC 上,∠1=∠2.若BC =4,AF =2,CF =3,则EF = .【分析】由∠1=∠2,∠A =∠A ,得出△AEF ∽△ABC ,再由相似三角形的性质即可得出EF 的长度.【解答】解:∵∠1=∠2,∠A =∠A ,∴△AEF ∽△ABC ,∴,∵BC =4,AF =2,CF =3,∴,∴EF =,故答案为:.考点二:相似三角形的性质1.相似图形的概念:把形状相同的图形称为相似图形。
相似三角形(解析版)
4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点:(1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两 个图形全等;二、相似三角形 在和中,如果我们就说与相似,记作∽.k 就是它们的相似比,“∽”读作“相似于”一、单选题 1.若ABC A B C ''',40A ∠=︒,110B ∠=︒,则'C ∠的度数为( )A .30°B .40°C .70°D .110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△,则说明点A 的对应点为点'A ,点B 的对应点B ',点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△,所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒,110B ∠=︒,所以30C ∠=︒,所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点:相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等,是关键. 2.若ABCA B C '''',3BC =,'' 1.8B C =,则A B C '''与ABC 的相似比为( )A .5∶3B .32∶C .23∶D .35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得:A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△,3BC =,'' 1.8B C =,所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点:相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3.如图,已知ADEACB ,若AB=10,AC=8,AD=4,则AE 的长是( )A .4B .3.2C .20D .5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可. 【详解】由相似三角形的性质可得:AD AEAC AB=, 则·41058AD AB AE AC ⨯===, 故选:D .【点睛】本题考查相似三角形的性质,熟记相似三角形对应边成比例是解题关键.4.如果ABC DEF ∆∆∽,A 、B 分别对应D 、E ,且:1:2AB DE =,那么下列等式一定成立的是( ) A .:1:2BC DE =B .ABC ∆的面积:DEF ∆的面积1:2=C .A ∠的度数:D ∠的度数1:2= D .ABC ∆的周长:DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比,面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得:A :BC 和DE 不是对应边,故错;B :面积比应该是1:4,故错;C:对应角相等,故错;D :周长比等于相似比,故正确. 故选:D【点睛】考核知识点:相似三角形性质.理解基本性质是关键.5.如图所示,△ACB ∽△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为( )A .20°B .30°C .35°D .40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′,都减去∠A′CB 即可. 【详解】解:∵△ACB ∽△A′CB′,∴∠ACB=∠A′CB′,∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB , ∴∠ACA′=∠BCB′, ∵∠BCB′=30°, ∴∠ACA′=30°, 故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形性质,掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.6.如图,在△ABC 中,∠A =75°,AB =6,AC =8,将△ABC 沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A .B .C .D .【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; C 、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误. D 、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确; 故选D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.7.在△ABC 中,已知AB =5,BC =4,AC =8.若△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1的最长边的长为16,则其他两边的长分别为( )A .A1B1=8,B1C1=10B .A1B1=10,B1C1=8C .A1B1=5,B1C1=8D .A1B1=10,B1C1=4【解答】B【详解】分析:根据相似三角形对应边的比相等解答即可.详解:∵两个三角形中最长边和最长边是对应边,△ABC ∽△A1B1C1,∴111111AB BC ACA B B C AC == ,∴111154816A B B C ==,∴A1B1=10,B1C1=8. 故选B .点睛:本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用.掌握相似三角形的性质是解题的关键.8.若ABC DEF △△,且ABC 与DEF 的相似比为m ,DEF 与ABC 的相似比为n ,则(.): A .m n = B .0m n += C .1⋅=m n D .1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意,可判定ABC 与DEF 的相似比为m ,则DEF 与ABC 的相似比为其倒数,所以两者积为1.【详解】解:∵ABC 与DEF 的相似比为m , ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ,即1n m=, ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质,熟练掌握,即可解题.9.△ABC ∽△A′B′C′,已知AB =5,A′B′=6,△ABC 面积为10,那么另一个三角形的面积为( ) A .15B .14.4C .12D .10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比,进而求出即可. 【详解】解:∵△ABC ∽△A′B′C′,AB =5,A′B′=6, ∴A'B'C'2536ABC S S =, ∵△ABC 面积为10, ∴解得:S △A′B′C′=14.4. 故选B .【点睛】本题考查相似三角形的性质,利用相似比与面积比的关系得出是解题关键.10.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC ,DE ∥BC ,那么在下列三角形中,与△EBD 相似的三角形是( )A .ABCB .ADEC .DABD .BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°,AB=AC ,易求∠ABC=∠C=72°,而BD 是角平分线,易求∠ABD=∠CBD=36°,又DE ∥BC ,那么有∠EDB=∠CBD=36°,即∠A=∠BDE ,∠ABD=∠DBE ,从而可证△ABD ∽△DBE . 【详解】∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠C=72°, 又∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∵DE ∥BC ,∴∠EDB=∠CBD=36°,即∠A=∠BDE ,∠ABD=∠DBE , ∴△ABD ∽△DBE , 故选C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理.解题的关键是求出相关角的度数.二、填空题11.已知111ABC A B C △△,相似比为23,111222A B C A B C △△,相似比为54,则222ABC A B C △△,其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =,112254A B A B =,故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△,相似比为23,所以1123AB A B =,因为111222A B C A B C ∽△△,相似比为54,所以112254A B A B =,所以2256AB A B =,即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点:相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12.ΔABC 与△DEF 中,65A ∠=︒,42B ∠=︒,65D ∠=︒,73F ∠=︒,3AB =,5AC =,6BC =,6DE =,10DF =,12EF =,则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒,42B ∠=︒, ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒,73F ∠=︒, ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法,相似三角形的判定方法有:①对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似;③两角相等的两个三角形相似;④两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似判定即可;⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13.已知ABC 的三边分别是4,5,6,则与它相似'''A B C 的最长边为12,则'''A B C 的周长是________. 【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12,所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边,进而再由对应边成比例即可求解.【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′,且其最大边为12,所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边,∴△′B′C′的另两边的长为8,10, 故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14.若ABC DEF ∽,50B ∠=,70C ∠=,则D ∠的度数为________. 【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ,再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A . 【详解】∵50B ∠=,70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF , ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质,掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15.如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC , AD =3cm , BD =2cm ,则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____;若 DE =4cm ,则 BC =________.【解答】 3:5203cm ; 【详解】∵AD=3cm ,BD=2cm , ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,且相似比为:35AD AB =; ∴35DE AD BC AB ==,即435BC =, ∴BC=203. 故答案为(1)35;(2)203.点睛:本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边(或两边的延长线),所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ,这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16.在ABC 中,5AB AC ==,6BC =,点E 、F 分别在AB 、BC 边上,将BEF 沿直线EF 翻折后,点B 落在对边AC 的点为'B ,若'B FC 与ABC 相似,那么BF =________.【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17.如图,已知ADE ABC ∽,相似比为2:3,则:BC DE 的值为________.【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ,且已知了它们的相似比,因此两三角形的对应边的比等于相似比.由此可求出BC 、DE 的比例关系.【详解】∵△ADE ∽△ABC ,且相似比为2:3, ∴BC :DE=3:2, 故答案为3:2.【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解. (1)相似三角形面积的比等于相似比的平方;(2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.18.如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在边BC 上,连接AD ,将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ,使得∠DAE=∠BAC ,连接DE 交AC 于F ,请写出图中一对相似的三角形:________(只要写出一对即可).【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析:先根据等腰三角形的性质,由AB=AC 得∠B=∠C ,再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ,且∠BAD=∠CAE ,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF . 详解:∵AB=AC , ∴∠B=∠C ,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ,使得∠DAE=∠BAC ,∴∠ADE=∠E=∠B=∠C,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽AEF.故答案为△ABD∽AEF.点睛:本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.三、解答题19.根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由(1)AB=12,BC=15,AC=24,A′B′=25,B′C′=40,C′A′=20(2)AB=3,BC=4,AC=5,A′B′=12,B′C′=16,C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】(1)通过计算得出两个三角形三边成比例,即可得出结论.(2)通过计算得出两个三角形三边成比例,即可得出结论.【详解】解:(1)∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======,,,∴△ABC∽△C′A′B′(2)∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======,,∴△ABC∽△A′B′C′.【点睛】本题考查相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法,通过计算得出三边成比例是解题的关键.20.如图,在△ABC中,D、E两点分别在AC、AB两边上,∠ABC=∠ADE,AB=7,AD=3,AE=2.7,求AC的长.【解答】6.3.【详解】试题分析:已知∠ABC=∠ADE,∠A=∠A,则可推出△ABC∽△ADE,根据相似三角形的相似比即可求得AC的长.试题解析:在△ABC和△ADE中,∵∠ABC=∠ADE,∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=,即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点:相似三角形的判定和性质.21.如图,在正方形网格上有△ABC 和△DEF .(1)这两个三角形相似吗?为什么? (2)请直接写出∠A 的度数 ;(3)在上边的网格内再画一个三角形,使它与△ABC 相似,并求出其相似比. 【解答】(1)相似,理由见解析;(2)45º;(3)见解析【提示】(1)根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度,然后根据三边对应成比例,两三角形相似解答;(2)取AC 的中点O ,连接BO ,根据网格结构可以判断∠ABO=90°,△ABO 是等腰直角三角形,即可得解;(3)把△ABC 三边扩大2倍,然后利用网格结构作出即可. 【详解】(1)AB=22152=+, AC=22026=21+, BC=5, DE=1,DF=22152=+, EF=22222=2+, ∵5AB AC BCDE EF DF===, ∴△ABC ∽△DEF ;(2)如图,取AC 的中点O ,连接BO , 则△ABO 是等腰直角三角形, ∴∠A=45°;(3)如图,△A′B′C′与△ABC 相似,它们的相似比是2.【点睛】本题考查了利用相似变换作图,熟练掌握相似三角形的判定与性质,网格结构的特点是解题的关键.22.已知:如图AB//CD//EF ,AC 、BD 相交于点O ,E 在AC 上,F 在BD 上,且AE:EC=2:3,BD=10.(1)求BF 的长;(2)当AB=12,CD=8时,求EF 的长.【解答】(1)4 (2)4【提示】(1)根据平行线分线段成比例定理得出BF :FD 的值,从而得出BF 与FD 的数量关系,再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.(2)先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式,再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+,代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解:(1)∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=(2)AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,比例的性质.(1)中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键;(2)中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形,建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23.如图,直线EF 分别交ABC 的边AB ,AC 于点F ,E ,交BC 的延长线于点D ,已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证:AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△,根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△,由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证:BF BA BC BD ⋅=⋅,∴AB BC BD BF =, 又ABC DBF ∠=∠,∴ABC DBF ∽△△,∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠,∴AEF DEC ∽△△,∴AE EF DE EC=,即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 分别在BC ,AB 上,且∠BDE =∠CAD.求证:△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析:由等腰三角形的性质得出∠B=∠C,由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C,因此∠B=∠ADE,再由公共角∠DAE=∠BAD,即可得出△ADE∽△ABD.试题解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE,∠BDE=∠CAD,∴∠ADE=∠C,∠B=∠ADE.∵∠DAE=∠BAD,∴△ADE∽△ABD.25.点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点,∠BDE+∠ACB=180°,DE=AC,AD =2BD.(1) 如图1,当点D、E分别在AB、CB的延长线上时,求证:BE=BD(2) 如图2,当点D、E分别在AB、BC边上时,BE与BD存在怎样的数量关系?请写出你的结论,并证明【解答】(1)证明见解析;(2)BE=3BD【提示】(1)在BD上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB,利用AD=2BD,AB=AD-BD即可得结论;(2)在AB上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入,即可得结论.【详解】(1)在BD上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°,∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中,EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ,∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ;(2) BE=3BD ,理由如下:在AB 上找一点M ,连接EM ,使EM=ED ,如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180,∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质,掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。
专题 相似三角形手拉手模型(学生版)
专题03相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型,在实际的应用和解题当中出现时,对于同学们来说,都比较困难。
而深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;③第②步成立,直接从证这两个三角形相似,逆向证明到线段乘积相等;④第②步不成立,则选择替换掉线段比例式中的个别线段,之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义:如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变),我们称这样的图形变换为旋转相似变换,这个顶点称为旋转相似中心,所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图,∠BAC=∠DAE=α,AD AE k AB AC ==;结论:△ADE ∽△ABC ,△ABD ∽△ACE ;EC k BD=.2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图,90AOB COD ∠=∠=︒,OC OD k OA OB==(即△COD ∽△AOB );结论:△AOC ∽△BOD ;BD k AC =,AC ⊥BD ,12ABCD S AB CD =⨯.3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点;结论:△BME ∽△CMF ;BE CF 条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形;结论:△ABD ∽△ACE.例1.(2022·山西长治·九年级期末)问题情境:如图1,在△ABC 中,AB =6,AC =5,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且∥DE BC .数学思考:(1)在图1中,BD CE 的值为;(2)图1中△ABC 保持不动,将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2的位置,其它条件不变,连接BD ,CE ,则(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由;(3)拓展探究:在图2中,延长BD ,分别交AC ,CE 于点F ,P ,连接AP ,得到图3,探究∠APE 与∠ABC 之间有何数量关系,并说明理由;(4)若将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图4的位置,连接BD ,CE ,延长BD 交CE 的延长线于点P ,BP 交AC 于点F ,则(3)中的结论是否仍然成立,若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出∠APE 与∠ABC 之间的数量关系.例2.(2022·山东济南·八年级期末)某校数学活动小组探究了如下数学问题:(1)问题发现:如图1,ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =.点P 是底边BC 上一点,连接AP ,以AP 为腰作等腰Rt APQ △,且90PAQ ∠=︒,连接CQ 、则BP 和CQ 的数量关系是______;(2)变式探究:如图2,ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =.点P 是腰AB 上一点,连接CP ,以CP 为底边作等腰Rt CPQ △,连接AQ ,判断BP 和AQ 的数量关系,并说明理由;(3)问题解决:如图3,在正方形ABCD 中,点P 是边BC 上一点,以DP 为边作正方形DPEF ,点Q 是正方形DPEF两条对角线的交点,连接CQ .若正方形DPEF ,CQ =ABCD 的边长.例3.(2022·河南信阳·九年级期末)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D,E分别为AC,BC的中点.△CDE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°≤α≤360°),记直线AD与直线BE的交点为点P.(1)如图1,当α=0°时,AD与BE的数量关系为______,AD与BE的位置关系为______;(2)当0°<α≤360°时,上述结论是否成立?若成立,请仅就图2的情形进行证明;若不成立,请说明理由;(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周,请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值.例4.(2022·江苏·无锡市天一实验学校一模)如图,在等边ABC 边长为6,O 是中心;在Rt ADE △中,90ADE ∠=︒,60DAE ∠=︒,2AD =.将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转一周.(1)当AD 、AE 分别在AC 、AB 边上,连结OD 、OE ,求ODE 的面积;(2)设DE 所在直线与ABC 的边AB 或AC 交于点F ,当O 、D 、E 三点在一条直线上,求AF 的长;(3)连结CE ,取CE 中点M ,连结DM ,DM 的取值范围为_________.例5.(2022·山东烟台·中考真题)(1)【问题呈现】如图1,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接BD ,CE .求证:BD =CE .(2)【类比探究】如图2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°.连接BD ,CE .请直接写出BD CE的值.(3)【拓展提升】如图3,△ABC 和△ADE 都是直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°,且AB BC =AD DE =34.连接BD ,CE .①求BD CE的值;②延长CE 交BD 于点F ,交AB 于点G .求sin ∠BFC 的值.例6.(2023·四川·成都九年级期中)如图1,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明:四边形CEGF是正方形;(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2所示,试探究线段AG与BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图3所示,当B,E,F三点在一条直线上时,延长CG交AD于点H,若AG=9,GH=,求BC的长.课后专项训练1、如图,AB=3,AC=2,BC=4,AE=3,AD=4.5,DE=6,∠BAD=20°,则∠CAE的度数为()A.10°B.20°C.40°D.无法确定2、如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB与DE交于点O,AB=4,AC=3,F是DE的中点,连接BD,BF,若点E是射线CB上的动点,下列结论:①△AOD∽△FOB,②△BOD∽△EOA,③∠FDB+∠FBE=90°,④BF=56AE,其中正确的是()A.①②B.③④C.②③D.②③④,D、E分别在边AC、BC上,CD=1,DE∥AB,将△CDE3、如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC绕点C旋转,旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′,当点E′落在线段AD′上时,连接BE′,此时BE′的长为()A.B.C.D.4、已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD 的延长线上,连结AG ,CE 交于点H ,若3AB =,2DE =,则CH 的长为________.5.(2022·浙江国·九年级课时练习)观察猜想(1)如图1,在等边ABC 中,点M 是边BC 上任意一点(不含端点B 、C ),连接AM ,以AM 为边作等边AMN ,连接CN ,则ABC ∠与ACN ∠的数量关系是______.(2)类比探究:如图2,在等边ABC 中,点M 是BC 延长线上任意一点(不含端点C ),(1)中其它条件不变,(1)中结论还成立吗?请说明理由.(3)拓展延伸:如图3,在等腰ABC 中,BA BC =,点M 是边BC 上任意一点(不含端点B 、C ),连接AM ,以AM 为边作等腰AMN ,使顶角AMN ABC ∠=∠.连按CN .试探究ABC ∠与ACN ∠的数量关系,并说明理由.6.(2022湖北·九年级专题练习)如图,ABC为等边三角形,D为AC边上一点,连接BD,M为BD的中点,连接AM.(1)如图1,若AB=,∠ABD=45°,求AMD的面积;(2)如图2,过点M作MN AM⊥与AC交于点E,与BC的延长线交于点N,求证:AD=CN;(3)如图3,在(2)的条件下,将ABM沿AM翻折得'AB M,连接B'N,当B'N取得最小值时,直接写出BN DE MN-的值.7.(2023·广西·九年级课时练习)某校数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究:(1)问题发现:如图1,在等边ABC 中,点P 是边BC 上任意一点,连接AP ,以AP 为边作等边APQ ,连接CQ ,BP 与CQ 的数量关系是________;(2)变式探究:如图2,在等腰ABC 中,AB BC =,点P 是边BC 上任意一点,以AP 为腰作等腰APQ ,使AP PQ =,APQ ABC ∠=∠,连接CQ ,判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系,并说明理由;(3)解决问题:如图3,在正方形ADBC 中,点P 是边BC 上一点,以AP 为边作正方形APEF ,Q 是正方形APEF的中心,连接CQ .若正方形APEF 的边长为5,2CQ =,求正方形ADBC 的边长.8.(2022·河南开封·九年级期末)某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后,在等腰△ABC 中,其中AB AC =,如图1,进行了如下操作:第一步,以点A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交BA 的延长线和AC 于点E ,F ,如图2;第二步,分别以点E ,F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧相交于点D ,作射线AD ;第三步,以D 为圆心,DA 的长为半径画弧,交射线AE 于点G ;(1)填空;写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为___;(2)①请判断AD 与BC 的位置关系,并说明理由.②当6,2AB AC BC ===时,连接DG ,请直接写出AD AG =___;(3)如图3,根据以上条件,点P 为AB 的中点,点M 为射线AD 上的一个动点,连接PM ,PC ,当CPM B ∠=∠时,求AM 的长.9.(2022·山东济南·一模)在Rt ABC 中与Rt DCE 中,90,30ACB DCE BAC DEC ∠=∠=︒∠∠=∠=︒,AC DC =Rt DCE 绕点C 顺时针旋转,连接,BD AE ,点,F G 分别是,BD AE 的中点,连接,CF CG .(1)观察猜想:如图1,当点D 与点A 重合时,CF 与CG 的数量关系是__________,位置关系是__________;(2)类比探究:当点D 与点A 不重合时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请仅就图2的情形给出证明;如果不成立,请说明理由.(3)问题解决在Rt DCE 旋转过程中,请直接写出CFG △的面积的最大值与最小值.10.(2022•莱芜区一模)在△ACB中,∠ACB=120°,AC=BC,点P在AB边上,AP=AB,将线段AP绕点P顺时针旋转至PD,记旋转角为a,连接BD,以BD为底边,在线段BD的上方找一点E,使∠BED=120°,ED =EB,连接AD、CE.(1)如图1,当旋转角a=180°时,请直接写出线段CE与线段AD的数量关系;(2)当0<a<180°时,①如图2,(1)中线段CE与线段AD的数量关系是否还成立?并说明理由.②如图3,当点A、D、E三点共线时,连接CD,判断四边形CDBE的形状,并说明理由.11.(2022·江苏·九年级课时练习)观察猜想(1)如图1,在等边ABC 中,点M 是边BC 上任意一点(不含端点B 、C ),连接AM ,以AM 为边作等边AMN ,连接CN ,则ABC ∠与ACN ∠的数量关系是______.(2)类比探究:如图2,在等边ABC 中,点M 是BC 延长线上任意一点(不含端点C ),(1)中其它条件不变,(1)中结论还成立吗?请说明理由.(3)拓展延伸:如图3,在等腰ABC 中,BA BC =,点M 是边BC 上任意一点(不含端点B 、C ),连接AM ,以AM 为边作等腰AMN ,使顶角AMN ABC ∠=∠.连按CN .试探究ABC ∠与ACN ∠的数量关系,并说明理由.12、如图1,在Rt ABC 中,90C ∠=︒,30A ∠=︒,1BC =,点D ,E 分别为AC ,BC 的中点.CDE △绕点C 顺时针旋转,设旋转角为α(0360α︒≤≤︒,记直线AD 与直线BE 的交点为点P .(1)如图1,当0α=︒时,AD 与BE 的数量关系为_________,AD 与BE 的位置关系为_______;(2)当0360α<≤︒︒时,上述结论是否成立?若成立,请仅就图2的情形进行证明;若不成立,请说明理由;(3)CDE △绕点C 顺时针旋转一周,请直接写出运动过程中P 点运动轨迹的长度和P 点到直线BC 距离的最大值.13、尝试:如图①,ABC 中,将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C '',点B 、C 的对应点分别为B ′、C ',连接BB '、CC ',直接写出图中的一对相似三角形_______;拓展:如图②,在ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C '',点B 、C 的对应点分别为B ′、C ',连接BB '、CC ',若8BB '=,求CC '的长;应用:如图③,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,2AB =,30ABC ∠=︒,将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周,在旋转过程中,当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时,直接写出此时点C 的运动路径长.14、问题背景:如图(1),已知A ABC DE ∽△△,求证:ABD ACE ∽;尝试应用:如图(2),在ABC 和ADE 中,90BAC DAE ︒∠=∠=,30ABC ADE ︒∠=∠=,AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上,AD BD=DF CF 的值;拓展创新:如图(3),D 是ABC 内一点,30BAD CBD ︒∠=∠=,90BDC ︒∠=,4AB =,AC =AD 的长.15、如图,四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形,C ,F ,G 三点在一直线上,连接AF 并延长交边CD 于点M .(1)求证:△MFC ∽△MCA ;(2)求证△ACF ∽△ABE ;(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG 的边长.16.(2022•南山区校级一模)(1)【问题发现】如图①,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD 上,连接CF.填空:①线段CF与DG的数量关系为;②直线CF与DG所夹锐角的度数为.(2)【拓展探究】如图②,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请利用图②进行说明.(3)【解决问题】如图③,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=10,O为AC的中点.若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D的运动过程中,线段OE长的最小值为(直接写出结果).17、某校数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究:(1)问题发现:如图1,在等边ABC 中,点P 是边BC 上任意一点,连接AP ,以AP 为边作等边APQ ,连接CQ ,BP 与CQ 的数量关系是________;(2)变式探究:如图2,在等腰ABC 中,AB BC =,点P 是边BC 上任意一点,以AP 为腰作等腰APQ ,使AP PQ =,APQ ABC ∠=∠,连接CQ ,判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系,并说明理由;(3)解决问题:如图3,在正方形ADBC 中,点P 是边BC 上一点,以AP 为边作正方形APEF ,Q 是正方形APEF的中心,连接CQ .若正方形APEF 的边长为5,2CQ =,求正方形ADBC 的边长.。
专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)
专题04相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.一线三等角模型(相似模型)【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形,因为一条直线上有三个相等的角,一般就会有两个三角形的“一对角相等”,再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等,从而得到两个三角形相似.1)一线三等角模型(同侧型)(锐角型)(直角型)(钝角型)条件:如图,∠1=∠2=∠3,结论:△ACE∽△BED.2)一线三等角模型(异侧型)条件:如图,∠1=∠2=∠3,结论:△ADE∽△BEC.3)一线三等角模型(变异型)图1图2图3①特殊中点型:条件:如图1,若C为AB的中点,结论:△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1:条件:如图2,∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论:△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2:条件:如图3,∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论:△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A.3B.5C.2D.1B (1)如图2,在53⨯个方格的纸上,小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB 为端点在格点的已知线段.请用三种不...同连接格点.....的方法,作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角,并标出等联角,保留作图痕迹;(2)如图3,在Rt APC △中,90A ∠=,AC AP >,延长AP 至点B ,使AB AC =,作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠.将APC △沿PC 折叠,使点A 落在点M 处,得到MPC ,再延长PM 交BD 的延长线于E ,连接CE 并延长交PD 的延例5.(2022·浙江·嘉兴一中一模)阅读材料:我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型”如图①:在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线,垂足分别为D 、E ,我们很容易发现结论:△ADC ≌△CEB .(1)探究问题:如果AC ≠BC ,其他条件不变,如图②,可得到结论;△ADC ∽△CEB .请你说明理由.(2)学以致用:如图③,在平面直角坐标系中,直线y =12x 与直线CD 交于点M (2,1),且两直线夹角为α,且tanα=32,请你求出直线CD 的解析式.(3)拓展应用:如图④,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =5,点E 为BC 边上一个动点,连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°,点A 落在点P 处,当点P 在矩形ABCD 外部时,连接PC ,PD .若△DPC 为直角三角形时,请你探究并直接写出BE 的长.例6.(2023·浙江·九年级专题练习)在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,点D 在BC 所在的直线上运动,作45ADE ∠=︒(A 、D 、E 按逆时针方向).(1)如图,若点D 在线段BC 上运动,DE 交AC 于E .①求证:ABD DCE △△∽;②当ADE V 是等腰三角形时,求AE 的长;(2)如图,若点D 在BC 的延长线上运动,DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E ',是否存在点D ,使ADE '△是等腰三角形?若存在,求出线段CD 的长度;若不存在,请简要说明理由;(3)若点D 在BC 的反向延长线上运动,是否存在点D ,使ADE V 是等腰三角形?若存在,写出所有点D 的位置;若不存在,请简要说明理由.上一点,轴9,23A.()9,3B.()3.(2023·湖南长沙·九年级专题练习)如图,在矩形4.(2021·浙江台州·中考真题)如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,则BF=_____.分别在边6.(2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习)如图,在四边形分别在线段AD、DC上(点E与点A、CD=,在BC边上取中点E,连接DE,过点E 8.(2023·山东烟台·九年级统考期末)如图,在正方形ABCD中,4做EF ED⊥与AB交于点G,与DA的延长线交于点F.(1)求证:BEG CDE△∽△;(2)求AFG的面积.⊥交AB于点M,9.(2023·上海·九年级假期作业)在矩形ABCD中,3AB=,4=AD,点E是边AD上一点,EM EC∠=∠.(1)求证:AE是AM和AN的比例中项;(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上(如图),且ANE DCE长线上时,联结AC,且AC与NE互相垂直,求MN的长.的两个等腰直角三角形,(3)【拓展探究】在整个运动过程中,请直接写出N点运动的路径长,及CN的最小值.312.(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图,在ABC 中6cm AB AC ==,8cm BC =,点E 是线段BC 边上的一动点(不含B 、C 两端点),连接AE ,作AED B ∠=∠,交线段AB 于点D .(1)求证:BDE CEA△∽△(2)设BE x =,AD y =,请求y 与x 之间的函数关系式.(3)E 点在运动的过程中,ADE V 能否构成等腰三角形?若能,求出BE 的长;若不能,请说明理由.13.(2023春·广东深圳·八年级校考期中)【操作发现】如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC 的三个顶点均在格点上.①请按要求画图:将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒,点B 的对应点为点B ',点C 的对应点为点C ',连接BB ';②在①中所画图形中,AB B '∠=______︒.【问题解决】如图2,在Rt ABC △中,190BC C =∠=︒,,延长CA 到D ,使1CD =,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ,连接DE ,求ADE ∠的度数.【拓展延伸】如图3,在四边形ABCD 中,AE BC ⊥,垂足为E ,BAE ADC ∠=∠,1BE CE ==,3CD =,2=AD AB ,求BD 的长.14.(2023·浙江·九年级专题练习)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线AB 与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,2OA =,AOB 的面积为2.(1)如图1,求直线AB 的解析式.(2)如图2,线段OA 上有一点C ,直线BC 为2(0)y kx k k =-<,AD y ⊥轴,将BC 绕点B 顺时针旋转90︒,交AD 于点D ,求点D 的坐标.(用含k 的式子表示)(3)如图3,在(2)的条件下,连接OD ,交直线BC 于点E ,若345ABC BDO ∠-∠=︒,求点E 的坐标.九年级专题练习)某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后,在BC=.点E是线段AD上的动点(点E不与18.(2022·湖南郴州·中考真题)如图1,在矩形ABCD中,4AB=,6⊥,交AB于点F.点A,D重合),连接CE,过点E作EF CE∽;(1)求证:AEF DCE⊥,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点,连接GM.(2)如图2,连接CF,过点B作BG CF①求AG GM+的最小值;②当AG GM+取最小值时,求线段DE的长.。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比. 要点:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽,则由比例性质可得:4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽,则分别作出与的高和,则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点:相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点:H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ,从而得到BD=2EH ,再根据△BDO 和△EHO 相似,利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ,同理其他比例也可以得到. 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度,通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点:测量旗杆的高度的几种方法:平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相似三角形求解。
1.如甲图所示,通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离(长度),根据相似三角形的性质,求出AB 的长.2.如乙图所示,可先测AC 、DC 及DE 的长,再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点:1.比例尺:表示图上距离比实地距离缩小的程度,比例尺= 图上距离/ 实际距离;2.太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻,两物体影子之比等于其对应高的比;3.视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置); 4. 仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角. 一、单选题1.两三角形的相似比是2:3,则其对应角的角平分线之比是( ) A .2:3 B .2:3 C .4:9 D .8:27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可. 【详解】解:∵两三角形的相似比是2:3, ∴相似三角形对应角平分线的比是2:3,故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形的性质,主要利用了相似三角形对应角平分线的比,对应高的比,对应中线的比都等于相似比的性质.2.已知ABC DEF ∽△△,ABC 与DEF 的面积之比为1:2,若BC 边上的中线长为1,则EF 边上的中线长是( ) A .2 B .2 C .3D .4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△,ABC 与DEF 的面积之比为1:2可知:相似比为1:2,则对应中线的比为1:2,即可求出答案.【详解】∵ABC DEF ∽△△,ABC 与DEF 的面积之比为1:2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选:A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点,熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键,属于基础知识题.3.如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上,下列条件能判定ED ∥BC 的是( ).A .AD DEAB BC =; B .AD AE AC AB =;C .AD AB DE BC ⋅=⋅; D .AD AC AB AE ⋅=⋅. 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽,推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断. 【详解】解:A 、∵AD DEAB BC =,EAD BAC ∠=∠,不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似,即不能推出//DE BC ,故本选项错误;B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠, ADE ACB ∴∆∆∽,E B ∴∠=∠,D C ∠=∠,即不能推出//DE BC ,故本选项错误;C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =,不能推出DAE BAC ∆∆∽,即不能推出D B ∠=∠,即不能推出两直线平行,故本选项错误;D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅,AD AEAB AC ∴=,EAD BAC ∠=∠, DAE BAC ∴∆∆∽,D B ∴∠=∠,//DE BC ∴,故本选项正确;故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用,主要考查学生的推理和辨析能力,注意:有两组对应边的比相等,且这两边的夹角相等的两三角形相似. 4.已知ABC 与DEF 相似,且A D ∠=∠,那么下列结论中,一定成立的是( ) A .B E ∠=∠ B .AB ACDE DF =C .相似比为AB DED .相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论.【详解】解:∵B 可以与E 对应,也可以与F 对应,∴∠B=∠E 或∠B=∠F ,A 不一定成立; 同上,AB 可以与DE 对应,也可以与DF 对应,∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =,B 不一定成立;同上,AB 可以与DE 对应,也可以与DF 对应,∴相似比可能是AB DE ,也可能是ABDF ,C 不一定成立;∵∠A=∠D ,即∠A 与∠D 是对应角,∴它们的对边一定是对应比,即BC 与EF 是对应比,∴相似比为BCEF ,∴D 一定成立, 故选D .【点睛】本题考查相似三角形的性质,注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的. 5.如图,小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E .C ,E ,A 三点在同一直线上,B ,C 相距 20 米,D ,C 相距 40 米,乙楼的高 BE 为 15 米,小明的身高忽略不计,则甲楼的高 AD 为 ( )A .40 米B .20 米C .15 米D .30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△,利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解:由题意可知:90ADC ∠=︒,90EBC ∠=︒,C ∠是公共角,∴ADC EBC ∽△△, ∴AD DCEB BC =, ∵20m BC =,40m DC =,15m BE =, ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯.故选:D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质. 6.如图,在Rt △ABC 中,90ACB ∠=,CD AB ⊥垂足为D ,那么下列结论错误的是( )A .22AC BD BC AD ⋅=⋅B .22BC BD CD AB ⋅=⋅C .AD BC AC CD ⋅=⋅ D .CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ,利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°,CD ⊥AB , ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ,BC2=BD·AB ,故22AC BD BC AD ⋅=⋅,A 正确,B 错误;∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅,CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确; 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7.如图,E ,F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点,AE=CF=14AC .连接DE ,DF 并延长,分别交AB ,BC 于点G ,H ,连接GH ,则ADG BGHS S △△的值为( )A .12B .23C .34D .1【解答】C【提示】首先证明AG :AB=CH :BC=1:3,推出GH ∥AC ,推出△BGH ∽△BAC ,可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG ()()====,13ADG ADCSS=,由此即可解决问题.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ,DC=AB , ∵AC=CA , ∴△ADC ≌△CBA , ∴S △ADC=S △ABC ,∵AE=CF=14AC ,AG ∥CD ,CH ∥AD ,∴AG :DC=AE :CE=1:3,CH :AD=CF :AF=1:3, ∴AG :AB=CH :BC=1:3, ∴GH ∥AC , ∴△BGH ∽△BAC , ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG ()()====,∵13ADG ADCS S=,∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C .【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.8.如图,在正方形ABCD 中,ABP 是等边三角形,AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ,联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ,下列结论中错误的是( )A .AE=2DEB .CFP APHC .CFP APCD .2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题. B.根据两角相等两个三角形相似即可判断.C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ,即可判断.D.利用相似三角形的性质即可证明. 【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠D=∠DAB=90°, ∵△ABP 是等边三角形, ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°, ∴∠DAE=30°, ∴AE=2DE ,故A 正确; ∵AB ∥CD ,∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°,∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°, 又∵BC=BP ,∠PBC=30°, ∴∠BPC=∠BCP=75°, ∴∠CPF=105°,∴∠PHA=∠CPF ,又易得∠APB=∠CFP=60°, ∴△CFP ∽△APH ,故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF , ∴△PFC 与△PCA 不相似,故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°, ∴∠PCH=∠PBC , ∵∠CPH=∠BPC , ∴△PCH ∽△PBC ,∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ,故D 正确, 故选:C .【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,正方形的性质,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.9.如图所示,D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点,且//DE AC ,AE 、CD 相交于点O .若45::2DOE COA S S ∆∆=,则BDES ∆与CDE S ∆的比是( )A .1:2B .1: 3C .2:3D .2:5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可. 【详解】解:∵//DE AC , ∴DEO CAO ∆∆∽, ∵45::2DOE COA S S ∆∆=,∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭,∴25DE AC =, ∵//DE AC , ∴25BE DE BC AC ==, ∴23BE EC =,∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=,故选:C .【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定,熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键.10.如图,正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上,顶点, ,B C G 在同一条直线上.O 是EG 的中点,EGC ∠的平分线GH 过点D ,交BE 于点H ,连接FH 交EG 于点M ,连接OH 交EC 于点N .则BCCG 的值为( )A .31-B .3C .21-D .2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形,,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠.在BCE和DCG △中,,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌.90BGH CDG ∠+∠=︒,,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒.GH BE ∴⊥.GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠.()BGH EGH ASA ∴≌.BH EH ∴=.又O 是EG 的中点,//HO BG ∴.D C DHN G ∴∽△△.DN HN DC CG ∴=.设HN a =,正方形ECGF 的边长是2b ,则2BC a =,22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=,即2220a ab b +-=,解得(12)a b =-+或(12)a b =--(舍去),则221,212a BCb CG =-∴=-.二、填空题11.若两个相似三角形的面积比是9:25,则对应边上的中线的比为 _________. 【解答】3:5【提示】根据相似三角形的性质:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案. 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9:25 ∴两个相似三角形的相似比是3:5 ∴对应边上的中线的比为3:5 故答案为:3:5.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,掌握相似三角形的性质是解题的关键. 12.如图,△ABC ∽△CBD ,AB=9,BD=25,则BC=______.【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算即可求解. 【详解】解:∵△ABC ∽△CBD ,∴AB CBCB BD =,即2BC AB BD =⨯, AB=9,BD=25,2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==,15BC =∴, 故答案为:15【点睛】本题考查了相似三角形的性质,根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键. 13.一个三角形三边长度之比为2:5:6,另一个与它相似的三角形最长边为24,则三角形的最短边为_________. 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程,解此方程即可求得答案.【详解】解:设与它相似的三角形的最短边的长为x ,则 2624x =,∴8x =;∴三角形的最短边为8. 故答案为:8.【点睛】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单,注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用.14.如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 的中点,连接AE ,过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F .若4AB =,6BC =,则DF 的长为______.【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长,再利用DF CD DF =-可求解.【详解】解:四边形ABCD 为矩形,90B C ∴∠=∠=︒,4CD AB ==,90BAE AEB ∴∠+∠=︒,EF AE⊥,90AEF∴∠=︒,90AEB CEF∴∠+∠=︒,BAE CEF∴∠=∠,BAE CEF∴∆∆,::AB CE BE CF∴=,E是BC的中点,6BC=,3BE CE∴==,4AB=,4:33:CF∴=,解得94CF=,97444DF CD DF∴=-=-=.故选:7 4.【点睛】本题主要考查矩形的性质,相似三角形的判定与性质,证明BAE CEF∆∆是解题的关键.15.用杠杆撬石头的示意图如图所示,P是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕P点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起8cm,已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4:1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压_____cm.【解答】32【提示】首先根据题意画出图形,然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=,然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4:1和8BN≥即可求出AM的最小值.【详解】解:如图:AM、BN都与水平线垂直,即AM∥BN;∴△APM∽△BPN;∴APBP=AMBN,∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4:1,∴AMBN=41,即AM=4BN;∴当BN≥8cm时,AM≥32cm;故要使这块石头滚动,至少要将杠杆的端点A 向下压32cm . 故答案为:32.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用,掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键. 16.如图,已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=,则DAC ∠的度数为_________.【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ,得到∠BAC=∠DAE ,再根据20BAD ︒∠=,60DAE ︒∠=,可得出∠DAC 的度数.【详解】解:∵AB BC ACAD DE AE ==, ∴~ABC ADE , ∴60BAC DAE ︒∠=∠=, 又∵20BAD ︒∠=, ∴40DAC ︒∠=. 故答案为:40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17.如图,已知在ABC 中,90C ∠=︒,10AB =,1cot 2B =,正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上,点D 、E 在斜边AB 上,那么正方形DEFG 的边长为_____.【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ,交GF 于N ,由勾股定理可得出AB ,由面积法求出CM ,证明△CGF ∽△CAB ,再根据对应边成比例,即可得出答案. 【详解】作CM ⊥AB 于M ,交GF 于N ,如图所示: ∵Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,1cot B 2=,∴设BC =k ,则AC =2k ,AB2=AC2+BC2,即:102=(2k )2+k2,解得:k =25, ∴BC =25,AC =45, ∴CM =AC BC AB ⋅=452510⨯=4,∵正方形DEFG 内接于△ABC , ∴GF =EF =MN ,GF ∥AB , ∴△CGF ∽△CAB ,∴CN GF =CM AB ,即4EF EF410-=, 解得:EF =207;故答案为:207.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识;正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.18.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点E 是边AC 上一点,以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △,连接,CF AF ,若6AB =,四边形ABFC 的面积为12,则AE =_________,AF =_________.【解答】 234【提示】如图,过点E 作EH AB ⊥于H ,过点F 作FQ AC ⊥,交AC 的延长线于Q ,由面积和差关系可求3BCF S ∆=,通过证明ABE CBF ∆∆∽,可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=,可求2EH =,由勾股定理可求AE ,BE ,EF 的长,通过证明BEH EFQ ∆∆∽,可得2BE EH BH EF QF EQ ===,可求22EQ =,2QF =,由勾股定理可求解.【详解】解:如图,过点E 作EH AB ⊥于H ,过点F 作FQ AC ⊥,交AC 的延长线于Q ,90ACB ∠=︒,AC BC =,2AB BC ∴,=6AB ,32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12,12ABC BCF S S ∆∆∴+=, 3BCF S ∆∴=,等腰Rt BEF ∆,2BE BF ∴,45EBF∠=︒,=45ABC ∠︒,ABE CBF ∴∠=∠,2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽,∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=, 326ABE S ∆∴=⨯=,∴162AB EH ⨯=,2EH ∴=,45CAB ∠=︒,EH AB ⊥,45CAB AEH ∴∠=∠=︒,2AH EH ∴==,222AE EH ==,4BH ∴=,2CE =,2221825BE CE BC ∴=+=+=,10EF ∴=,180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒, 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒,且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠,且90Q BHE ∠=∠=︒,BEH EFQ ∴∆∆∽, ∴2BE EH BHEF QF EQ ===, 22EQ ∴=,2QF =, 42AQ ∴=,2232234AF AQ QF ∴=+=+=,故答案为:22,34.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识,利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键.三、解答题19.如图,在ABP 中,C ,D 分别是,AP BP 上的点.若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====.(1)求证:ABP DCP ∽△△; (2)求AB 的长. 【解答】(1)见解析(2)AB=8【提示】(1)△ABP与△DCP有公共角,分别计算PDPC与APBP的值,得到PD PCPA PB=,根据相似三角形的判定定理得出结论;(2)运用相似三角形的性质计算即可.(1)证明:∵CD=CP=4,DP=5,AC=6,BD=3,∴AP=AC+CP=6+4=10,BP=BD+DP=3+5=8,∴54PDPC=,10584APBP==,∴PD APPC BP=,即PD PCPA PB=,∵∠DPC=∠APB,∴△ABP∽△DCP;(2)解:∵△ABP∽△DCP,∴AB PBCD PC=,即844AB=,∴AB=8.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,属于基础题.解决问题的关键是掌握:有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.20.如图,在矩形ABCD中,AB:BC=1:2,点E在AD上,BE与对角线AC交于点F.(1)求证:△AEF∽△CBF;(2)若BE⊥AC,求AE:ED.【解答】(1)见解析(2)1:3【提示】(1)根据矩形的性质得到AD∥BC,然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF;(2)设AB=x,则BC=2x,利用矩形的性质得到AD=BC=2x,∠BAD=∠ABC=90°,接着证明△ABE∽△BCA,利用相似比得到AE=12x,则DE=32x,从而可计算出AE:DE.(1)解:证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴△AEF∽△CBF;(2)设AB=x,则BC=2x,∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=2x,∠BAD=∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠AFB=90°,∵∠ABF+∠BAF=90°,∠BAC+∠ACB=90°,∴∠ABF=∠ACB,∵∠BAE=∠ABC,∠ABE=∠BCA,∴△ABE∽△BCA,∴AE ABAB BC=,即2AE xx x=,∴AE=12x,∴DE=AD-AE=32x,∴AE:DE=13:22x x=1:3.【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件,同时利用相似三角形的性质进行几何计算.也考查了矩形的性质.21.如图,为了测量平静的河面的宽度EP,在离河岸D点3.2米远的B点,立一根长为1.6米的标杆AB,在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF,电线杆的顶端M在河里的倒影为点N,即PM PN=,两岸均高出水平面0.75米,即0.75DE FP==米,经测量此时A、D、N三点在同一直线上,并且点M、F、P、N N共线,点B、D、F共线,若AB、DE、MF均垂直与河面EP,求河宽EP是多少米?【解答】河宽为12米【提示】连接DF ,根据题意可得出四边形DEPF 为矩形,由ADB NDF ∽△△可求得DF ,便可解决问题.【详解】解:如图,连接DF ,∵点B 、D 、F 共线,DE 、MF 均垂直与河面EP ,且0.75DE FP ==, 4.5MF =, ∴四边形DEPF 为矩形, ∴DF EP =,∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=, ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=, ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP , ∴90ABD NFD ∠=∠=︒, ∵ADB NDF ∠=∠, ∴ADB NDF ∽△△; ∴AB NFBD DF =, ∵ 1.6AB =, 3.2BD =, ∴1.663.2DF =,∴12DF =, ∴12EP =(米). 答:河宽EP 是12米.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,矩形的判定和性质等知识.关键是构造和证明三角形相似.22.如图,已知AD ,BC 相交于点E ,且△AEB ∽△DEC ,CD =2AB ,延长DC 到点G ,使CG =12CD ,连接AG .(1)求证:四边形ABCG 是平行四边形;(2)若∠GAD =90°,AE =2,CG =3,求AG 的长. 【解答】(1)证明见解析; (2)35AG =【提示】(1)根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ,再由CD =2AB ,CG =12CD ,可得AB =CG ,即可证明;(2)由平行四边形的性质可得AG ∥BC ,可得∠AEB =90°,再由CG =3可得AB =3,利用勾股定理可得BE ,再由相似三角形的性质可得CE ,从而得出BC ,即可求解. (1)证明:∵△AEB ∽△DEC , ∴∠B =∠BCD , ∴AB ∥CD , 即AB ∥CG ,∵CD =2AB ,CG =12CD ,∴AB =CG ,∴四边形ABCG 是平行四边形; (2)解:∵四边形ABCG 是平行四边形,AE =2,CG =3, ∴AG ∥BC ,AG =BC ,AB =CG =3, ∵∠GAD =90°, ∴∠AEB =90°,在Rt △ABE 中,由勾股定理可得:BE 22AB AE -即BE =22325-=,∵△AEB ∽△DEC , ∴12BE AB CE CD ==, ∴CE =25,∴BC =BE+CE =35, ∴AG =BC =35.【点睛】本题考查相似三角形的性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质,勾股定理的运用,平行四边形的判定与性质.23.如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,点E 是边AC 上一点,且满足ADE B ∠=∠.(1)证明:ADB AED ∆∆;(2)若3AE =,5AD =,求AB 的长. 【解答】(1)见解析(2)253【提示】(1)证出∠BAD=∠EAD .根据相似三角形的判定可得出结论; (2)由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =,则可得出答案. (1)∵AD 是∠BAC 的角平分线, ∴∠BAD=∠EAD . ∵∠ADE=∠B , ∴△ADB ∽△AED . (2)∵△ADB ∽△AED , ∴AD ABAE AD =,∵AE=3,AD=5, ∴535AB =, ∴253AB =. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理,熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.24.已知:平行四边形ABCD ,E 是BA 延长线上一点,CE 与AD 、BD 交于G 、F .求证:2CF GF EF =⋅.【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥,AB CD ∥,得到△DFG ∽△BFC ,△DFC ∽△BFE ,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可. 【详解】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD BC ∥,AB CD ∥,∴△DFG ∽△BFC ,△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =,CF DFEF BF =, ∴GF CFCF EF =, 即2CF GF EF =⋅.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.25.如图,已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒,ABC DAC △∽△.(1)求AB 的长;(2)求DC 的长; (3)求BAD ∠的度数.【解答】(1)32cm a ;(2)2cm3b ;(3)153︒【提示】(1)由ABC DAC △∽△,可得:,AB BCAD AC =再代入数据可得答案;(2)由ABC DAC △∽△,可得:,AC BCDC AC =再代入数据可得答案;(3)由ABC DAC △∽△,可得:117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案; 【详解】解:(1)23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△,,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=(2) ABC DAC △∽△,,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=(3) ABC DAC △∽△,36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例是解题的关键.26.如图,在四边形ABCD 中,AC ,BD 交于点F .点E 在BD 上,且BAE CAD ∠=∠,AB ACAE AD =.(1)求证:ABC AED ∽△△. (2)若20BAE ∠=︒,求∠CBD 的度数. 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】(1)根据两边对应成比例,且夹角相等,两个三角形相似,即可证明.(2)根据(1)中ABC AED ∽△△,得出ADB ACB ∠=∠,再根据对顶角相等,AFD BFC ∠=∠,证得AFD BFC ∽△△,得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠,即可求解. (1)∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠, ∴BAC DAE ∠=∠, AB ACAE AD =,∵在ABC 和AED △中, AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩,∴ABC AED ∽△△. (2)∵ABC AED ∽△△, ∴ADB ACB ∠=∠,又∵AFD BFC ∠=∠,对顶角相等,∴AFD BFC ∽△△, ∴CBD CAD ∠=∠,∵BAE CAD ∠=∠,20BAE ∠=︒,∴20CAD ∠=︒, 故答案为:20︒.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 27.如图,四边形ABCD 为正方形,且E 是边BC 延长线上一点,过点B 作BF ⊥DE 于F 点,交AC 于H 点,交CD 于G 点.(1)求证:△BGC ∽△DGF ; (2)求证:GD AB DF BG ⋅=⋅; (3)若点G 是DC 中点,求GFCE 的值.【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】(1)由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等,后由对顶角相等,进而得到△BGC ∽△DCF .(2)由第一问的结论可得到相似比,既有DG BC DF BG ⋅=⋅,然后因为正方形四边相等,进行等量代换即可求出证明出结论.(3)通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ,进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ,然后通过相似比设未知数,赋值CG x =,即可求出GFCE 的值.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠,又∵BGC DGF ∠=∠, ∴△BGC ∽△DCF . (2)证明:由(1)知△BGC ∽△DGF , ∴BG BCDG DF =, ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅. (3)解:由(1)知△BCC ∽△DGF , ∴FDG CBG ∠=∠,在△BGC 与△DEC 中,,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC (ASA ) ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中,设CG x =,则2BC x =,BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质等知识点,熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键.28.如图1,在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点D 是AB 边上一点(含端点A 、B ),过点B 作BE 垂直于射线CD ,垂足为E ,点F 在射线CD 上,且EF BE =,连接AF 、BF .(1)求证:ABF CBE ∽;(2)如图2,连接AE ,点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点,连接PM 、MN 、PN .求PMN ∠的度数及MNPM 的值;(3)在(2)的条件下,若2BC =PMN 面积的最大值.【解答】(1)证明见解析;(2)135PMN ∠=;=2MN PM 3)14 【提示】(1)根据两边对应成比例,夹角相等判定即可.(2)PMN ∠的值可以根据中位线性质,进行角转换,通过三角形内角和定理求解即可,MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.(3)过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ,12PMN S MN PQ =△,将相关线段关系转化为CE ,可得关系218PMN S CE =△,观察图象,当2CE BC == 【详解】(1)证明:∵90ACB ∠=︒,AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即:ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽(2)解:∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ,//MN AF ,11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM(3)如下图:过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时,PMN 取得最大值, ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心,BC 为直径的圆上运动,∴当CE CB ==CE 最大,∴11=2=84S ⨯, 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法,根据题意找见相关的等量是解题关键.。
相似三角形专题复习(精品)
相似三角形的解题技巧与策略
相似三角形的解题思路与步骤
明确解题目标:确定要证明的结论和所求的量明确解题方向。
观察图形特征:分析相似三角形的形状、大小关系确定解题方法。
寻找相似条件:根据相似三角形的性质寻找对应边、对应角的关系构建相似三角形。
推导解题过程:利用相似三角形的性质和相关定理推导解题过程得出结论。
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似三角形的判定条件
定义:两个三角形如果对应角相等则它们相似
判定条件:SS、S、SSS、S、HL
应用:证明三角形相似求解线段长度和角度大小
性质:相似三角形对应边成比例对应角相等
03
相似三角形在解题中的应用
题目:在△BC中B=CD是BC上一点∠BD=40°E是D上一点且∠BE=∠CD则∠DEC= _______.题目:在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目:在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目:在等腰三角形BC中B=CD是BC上一点且D=BD若∠CD=50°则∠CB的大小为 _______.
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专题 相似三角形中的半角模型(学生版)
专题10相似三角形中的半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,难度大,是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题模型,再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件:已知,如图,在正方形ABCD 中,∠EAF 的两边分别交BC 、CD 边于M 、N 两点,且∠EAF =45°结论:如图1,△AMN ∽△AFE 且AF AE EF AM AN MN===.(思路提示:∠ANM=∠AEF ,∠AMN=∠AFE );图1图2结论:如图2,△MAN ∽△MDA ,△NAM ∽△NBA ;结论:如图3,连接AC ,则△AMB ∽△AFC ,△AND ∽△AEC .且AF AC AM AB==;图3图4结论:如图4,△BME ∽△AMN ∽△DFN.(2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1条件:如图1,已知∠BAC =90°,45ABC ACB DAE ∠=∠=∠=︒;结论:①△ABE ∽△DAE ∽△DCA ;②AB AD CD BE AE AC==;③AB AC BE CD ⋅=⋅(2AB BE CD =⋅)(2)含60°半角模型条件:如图2,已知∠BAC =120°,60ADE DAE ∠=∠=︒;结论:①△ABD ∽△CAE ∽△CBA ;②AD CE AC BD AE AB==;③AD AE BD CE ⋅=⋅(2DE BD CE =⋅)图2分别是分别在边M例7.(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起,点A 为公共顶点,90BAC G ∠=∠=︒,若ABC 固定不动,将AFG 绕点A 旋转,边AF ,AG 与边BC 分别交于点D ,E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),则结论2BE CD AB ⋅=是否成立______(填“成立”或“不成立”);【类比引申】(2)如图2,在正方形ABCD 中,EAF ∠为BAD ∠内的一个动角,两边分别与BD ,BC 交于点E ,F ,且满足EAF ADB ∠=∠,求证:ADE ACF ∽;【拓展延伸】(3)如图3,菱形ABCD 的边长为12cm ,120BAD ∠=︒,EAF ∠的两边分别与BD ,BC 相交于点E ,F ,且满足EAF ADB ∠=∠,若9cm BF =,则线段DE 的长为______cm .A .4B .32.(2022·广东深圳·统考一模)如图,正方形与对角线BD 交于点M ,N ,连接④::2:5:3DN MN BM =3.如图,正方形ABCD 中,ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△,AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ,若4AE =,则EF ED ⋅的值为()A .4B .6C .8D .164.如图,菱形ABCD 的边长为4,E ,F 分别是AB ,AD 边上的动点,BE AF =,120BAD ∠=︒,则下列结论:①BEC AFC ∆∆≌;②ECF ∆为等边三角形;③AGE AFC ∠=∠;④若1AF =,则12GF GE =.其中正确个数为()A .4B .3C .2D .16.(2023·成都市·九年级专题练习)如图,在将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后,得到△的面积等于四边形AFBD 的面积;④BE 7.(2023·上海宝山·校考一模)如图,在△么DE BC 的值是.8.(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.原题:如图1,点E ,F 分别在正方形ABCD 的边BC ,CD 上,45EAF ∠=︒,连接EF ,则EF BE DF =+,试说明理由.(1)思路梳理AB CD =,∴把ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG △,可使AB 与AD 重合.90180ADC B FDG ∠=∠=︒∠=︒,,∴点F ,D ,G 共线.根据______(从“SSS ,ASA ,AAS ,SAS ”中选择填写),易证AFG ≌△______,得EF BE DF =+.(2)类比引申如图2,四边形ABCD 中,AB AD =,90BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45.EAF ∠=︒若B ∠,D ∠都不是直角,则当B ∠与D ∠满足等量关系______时,仍有EF BE DF =+.(3)联想拓展如图3,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D ,E 均在边BC 上,且45.DAE ∠=︒猜想BD ,DE ,EC 应满足的等量关系,并写出推理过程.(4)思维深化如图4,在ABC 中,60BAC ∠=︒,AB AC =,点D ,E 均在直线BC 上,点D 在点E 的左边,且30DAE ∠=︒,当4AB =,1BD =时,直接写出CE 的长.9.(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究,如图,在等腰ABC 中,AB AC =,点D 、E 为底边BC 上的两个动点(不与B 、C 重合),且DAE B ∠=∠.(1)请在图中找出一个与ABE 相似的三角形,这个三角形是__________;(2)若90BAC ∠=︒,分别过点D 、E 作AB 、AC 的垂线,垂足分别为F 、G ,且DF 、EG 的反向延长线交于点M ,若1AB =,求四边形AFMG 的面积;问题解决(3)如图所示,有一个矩形仓库ABCD ,其中40AB =米,30AD =米,现计划在仓库的内部的E 、F 两处分别安装监控摄像头,其中点E 在边BC 上,点F 在边DC 上.设计要求45EAF ∠=︒且CE CF =,则CE 的长应为多少米?12.(2022秋·广东·九年级深圳市福田区北环中学校考期中)如图①,在正方形ABCD中,点N、M分别在边BC、CD上,连接AM、AN、MN.∠MAN=45°,将△AMD绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE.易证:△ANM≌△ANE,从而得DM+BN=MN.【实践探究】(1)在图①条件下,若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是______.(2)如图②,点M、N分别在边CD、AB上,且BN=DM.点E、F分别在BM、DN上,∠EAF=45°,连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系,并说明理由.(3)【拓展应用】如图③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上,连接AM,AN,已知∠MAN=45°,BN=2,求DM的长.13.(2023春·江苏·八年级专题练习)问题背景:如图1,在正方形ABCD 中,点E F 、分别在边BC CD 、上,45EAF ∠=︒,求证:EF BE DF =+.洋洋同学给出了部分证明过程,请你接着完成剩余的证明过程.证明:延长FD 到点P 使DP BE =,连接AP ,正方形ABCD ,90AB AD ADP ABE ∴∠∠︒=,==,在 Rt ABE △和Rt ADP △中,AB AD ABE ADP BE DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()Rt ABE Rt ADP SAS ∴△≌△迁移应用:如图2,在正方形ABCD 中,QA QB 、交CD 于点G H 、,若45AQB ∠=︒,31CH GH ==,,求AG 的长.联系拓展:如图3,在矩形ABCD 中,点E F 、分别在边BC CD 、上,45EAF ∠=︒,若::1:2:4DF AD AB =,探究BE 与EC 的数量关系,并给出证明.14.(2023·浙江杭州·九年级期中)已知正方形ABCD 的边长为4,一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转,角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ,连接EF .设,CE a CF b ==.(1)如图1,当EAF ∠被对角线AC 平分时,求a 、b 的值;(2)当AEF △是直角三角形时,求a 、b 的值;(3)如图3,探索EAF ∠绕点A 旋转的过程中,CEF △的面积是否发生变化?请说明理由.统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图【探究一】如图②,把CDM V 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH ,同时得到点H 在直线AB 上.求证:CNM CNH ∠=∠【探究二】在图②中,连接BD ,分别交CM ,CN 于点E ,F .求证:CEF CNM △∽△;【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置,直线BD 与三角尺45︒角两边CM ,CN 分别交于点E ,F .连接AC 交BD 于点O ,求EF NM 的值.。
2023年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
3.相似多边形旳性质:假如两个多边形是相似形,那么这两个多边形旳对应角相等,对应边旳长度成比例。
注意:当两个相似旳多边形是全等形时,他们旳对应边旳长度旳比值是1.
知识点二:比例线段有关概念及性质
(1)有关概念
1、比:选用同一长度单位量得两条线段。a、b旳长度分别是m、n,那么就说这两条线段旳比是a:b=m:n(或 )
②两个位似图形旳位似中心只有一种。
③两个位似图形也许位于位似中心旳两侧,也也许位于位似中心旳一侧。
④位似比就是相似比。
2)性质:①位似图形首先是相似图形,因此它具有相似图形旳一切性质。
②位似图形是一种特殊旳相似图形,它又具有特殊旳性质,位似图形上任意一对对应点到位似中心旳距离等于位似比(相似比)。
③每对位似对应点与位似中心共线,不通过位似中心旳对应线段平行。
3.推论旳逆定理:假如一条直线截三角形旳两边(或两边旳延长线)所得旳对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形旳第三边. (即运用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形旳一边,并且和其他两边相交旳直线,所截旳三角形旳三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理:三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得旳线段相等,难么在另一条直线上截得旳线段也相等。
三角形相似旳鉴定定理:
鉴定定理1:假如一种三角形旳两个角与另一种三角形旳两个角对应相等,那么这两
个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.(此定理用旳最多)
鉴定定理2:假如一种三角形旳两条边和另一种三角形旳两条边对应成比例,并且夹
角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)
一、相似的有关概念1.相似形具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.二、相似三角形的概念1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”.2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”.三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等A 'B 'C 'CB A中考要求知识点睛相似三角形的性质及判定2.相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C===''''''(k 为相似比).3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线,则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''(k 为相似比).图1如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).图2如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线,则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''(k 为相似比).图34.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk===(k 为相似比).应用比例的等比性质有A 'B 'C 'CB AM 'MA 'B 'C 'C BAH 'H AB C C 'B 'A 'D 'D A 'B 'C B AAB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++. 图45.相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图5,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△.图5四、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似.3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单地说成:三边对应成比例,两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”. 1.横向定型法欲证AB BCBE BF =,横向观察,比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;分母的两条线段是BE 和BF ,三个字母B E F ,,恰为BEF △的三个顶点.因此只需证ABC EBF △∽△.A 'B 'C 'CB AH 'H AB C C 'B 'A '欲证AB DEBC EF=,纵向观察,比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ,,恰为ABC △的顶点;右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ,,恰为DEF △的三个顶点.因此只需证ABC DEF △∽△. 3.中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时,常用到中间比.比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相似问题。
中考数学考点23相似三角形总复习(解析版)
相似三角形【命题趋势】在中考中.相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主.常考的3种相似模型经常以解答题形式考查.常结合二次函数、圆综合考查。
【中考考查重点】一、比例线段及性质二、相似三角形性质与判定考点1:比例线段及性质1、比例线段的有关概念:在比例式a c b d =(::a b c d =)中.a 、d 叫外项.b 、c 叫内项.a 、c 叫前项.b 、d 叫后项.d 叫第四比例项.如果b c =.那么b 叫做a 、d 的比例中项.2、把线段AB 分成两条线段AC 和BC.使2·AC AB BC =.叫做把线段AB 黄金分割.C 叫做线段AB 的黄金分割点.3比例性质:①基本性质:a b c dad bc =⇔=. ②合比性质:±±a b c d a b b c d d=⇒=. ③等比性质:……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0. 4、平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线.所得的对应线段成比例. 如图.已知1l ∥2l ∥3l .可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DF AC DF DE EF=====或或或或等.(2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得:AD AE BD EC AD AEDB EC AD EA AB AC===或或.此推论较原定理应用更加广泛.(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法.即:利用比例式证平行线.(4)定理:平行于三角形的一边.并且和其它两边相交的直线.所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.1.(2021秋•金安区校级期末)如图.已知直线l1∥l2∥l3.直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F.若DE=3.DF=8.则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵l1∥l2∥l3.∴.∵DE=3.DF=8.∴.即=.故选:B.2.(2021•兰州)如图.小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为5m时.标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm.当测试距离为3m 时.最大的“”字高度为()A.121.17mm B.43.62mm C.29.08mm D.4.36mm【答案】B【解答】解:由题意得:CB∥DF..∵AD=3m.AB=5m.BC=72.7mm..∴DF=43.62(mm).故选:B.考点2 相似三角形的性质与判定性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形周长的比等于相似比.(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方.判定(1)两角对应相等.两个三角形相似.(2)两边对应成比例且夹角相等.两三角形相似.(3)三边对应成比例.两三角形相似.三大常考相似模型模型一A字型模型二8字型模型三K型3.(2021•河北)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图).用去一部分液体后如图2所示.此时液面AB=()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm【答案】C【解答】解:如图:过O作OM⊥CD.垂足为M.过O'作O'N⊥AB.垂足为N.∵CD∥AB.∴△CDO∽△ABO'.即相似比为.∴=.∵OM=15﹣7=8(cm).O'N=11﹣7=4(cm).∴=.∴AB=3cm.故选:C.4.(2021秋•南岸区期末)如图.在△ABC中.D.E分别是AB和BC上的点.且DE∥AC...则△ABC与△DBE的面积之比为()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:∵.∴=.∴=.∵DE∥AC.∴△BDE∽△BAC.∴△ABC与△DBE的面积比=()2=.故选:D5.(2021秋•椒江区期末)如图.点D.E分别在△ABC的边AB.AC上.且满足△ADE∽△ACB.∠AED=∠B.若AB=10.AC=8.AD=4.则CE的长是()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解答】解:∵△ADE∽△ACB.∠AED=∠B.∴=.∴=.∴AE=5.∴CE=AC﹣AE=3.故选:B.6.(2021秋•贞丰县期末)如图AC与BD相交于点E.AD∥BC.若AE:AC=1:3.S△AED:S△CEB为()A.1:9B.1:4C.D.【答案】B【解答】解:∵AD∥BC.∴△ADE∽△BCE.∵AE:AC=1:3.∴AE:EC=1:2.∴S△AED:S△CEB=1:4.故选:B.7.(2021•临沂)如图.点A.B都在格点上.若BC=.则AC的长为()A.B.C.2D.3【答案】B【解答】解:方法一:作CD⊥BD于点D.作AE⊥BD于点E.如右图所示.则CD∥AE.∴△BDC∽△BEA.∴.∴=.解得BA=2.∴AC=BA﹣BC=2﹣=.故选:B.方法二:AB===2.∵BC=.∴AC=AB﹣BC=2﹣=.故选:B.8.(2021•韩城市模拟)如图.矩形ABCD中.E.F分别为CD.BC的中点.且AE⊥EF.BC =2.则AC的长为()A.B.2C.3D.2【答案】D【解答】解:∵四边形ABCD是矩形.∴AD=BC=2.∠D=90°.∴∠DAE+∠AED=90°.∵AE⊥EF.∴∠AEF=90°.∴∠DEA+∠CEF=90°.∴∠DAE=∠CEF.∴tan∠DAE=tan∠CEF.即.∵E.F分别为CD.BC的中点.∴DE=CE.CF=BC=1.∴DE2=AD•CF=2×1=2.∴DE=(﹣舍去).∴DC=2DE=2.在Rt△ADC中.根据勾股定理.得AC==2.故选:D.9.(2021•安徽模拟)如图.在△ABC中.∠B=60°.∠C=45°.AB=4.E为AC中点.D 为AB上一点.连接DE.当∠AED=60°时.AD的长为()A.2B.C.3D.【答案】C【解答】解:如图.过点A作AH⊥BC于H.∵∠B=60°.AH⊥BC.∴∠BAH=30°.∴BH=AB=2.AH=BH=2.∵sin C=.∠C=45°.∴=.∴AC=2.∵点E是AC的中点.∴AE=EC=.∵∠AED=60°=∠B.∠BAC=∠DAE.∴△DAE∽△CAB.∴.∴=.∴AD=3.故选:C.10.(2020秋•长安区期末)如图.△ABC中.CD⊥AB于D.AD=9.CD=6.如果△ADC与△CDB相似.则BD的长度为.【答案】4或9【解答】解:∵CD⊥AB.∴∠ADC=∠CDB=90°,∵△ADC与△CDB相似.∴=或,∵AD=9.CD=6.∴=或=,∴BD=4或9.故答案为:4或9.11.(2021•连云港)如图.BE是△ABC的中线.点F在BE上.延长AF交BC于点D.若BF=3FE.则=.【答案】【解答】解:如图.∵BE是△ABC的中线.∴点E是AC的中点.∴=.过点E作EG∥DC交AD于G.∴∠AGE=∠ADC.∠AEG=∠C.∴△AGE∽△ADC.∴.∴DC=2GE.∵BF=3FE.∴.∵GE∥BD.∴∠GEF=∠FBD.∠EGF=∠BDF.∴△GFE∽△DFB.∴==.∴.∴=.故答案为:.12.(2021•安徽模拟)(1)如图.Rt△ABC中.∠A=90°.AB=AC.D为BC中点.E、F 分别为AB、AC上的动点.且∠EDF=90°.求证:DE=DF.(2)如图2.Rt△ABC中.∠BAC=90°.AC=4.AB=3.AD⊥BC.∠EDF=90°.①求证:DF•DA=DB•DE.②求EF的最小值.【答案】(1)略(2)略.【解答】(1)证明:如图1.连接AD.∵AB=AC.∠BAC=90°.BD=CD.∴AD⊥BC.AD=BD=DC.∠B=∠DAE=45°.∵∠ADB=∠EDF=90°.∴∠ADB﹣∠ADF=∠EDF﹣∠ADF.即∠ADE=∠BDF.在△BDF和△ADE中..∴△BDF≌△ADE(ASA).∴DE=DF.(2)①证明:∵AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴∠ADB=∠EDF.∴∠ADB﹣∠ADF=∠EDF﹣∠ADF.即∠BDF=∠ADE.∵∠BAD+∠DAE=90°.∠BAD+∠B=90°.∴∠B=∠DAE.∴△BDF∽△ADE.∴=.∴DF•DA=DB•DE.②解:如图2.连接EF.在Rt△ABC中.∠BAC=90°.AC=4.AB=3.则BC==5.∴AD==.由勾股定理得:DC==.∵∠B=∠B.∠ADB=∠CAB.∴△ADB∽△CAB.∴=.由①可知.=.∴=.∵∠EDF=∠CAB=90°.∴△EDF∽△CAB.∴=.即=.∴EF=.当DE最小时.EF取最小值.当DE⊥AC时.DE最小.此时.DE===.∴EF的最小值为:=.13.(2021•靖西市模拟)如图.在△ABC中.点D.F.E分别在AB.BC.AC边上.DF∥AC.EF ∥AB.(1)求证:△BDF∽△FEC.(2)设.①若BC=15.求线段BF的长.②若△FEC的面积是16.求△ABC的面积.【答案】(1)略(2)BF=5.S△ABC=16×=36【解答】(1)证明:∵DF∥AC.∴∠BFD=∠C.∵EF∥AB.∴∠B=∠EFC.∴△BDF∽△FEC.(2)解:①∵EF∥AB.∴==.∵BC=15.∴=.∴BF=5.②∵=.∴=.∵EF∥AB.∴∠CEF=∠B.∵∠C=∠C.∴△EFC∽△BAC.∴=()2=.∵S△EFC=16.∴S△ABC=16×=36.1.(2021春•永嘉县校级期中)如图.已知点C是线段AB的黄金分割点(其中AC>BC).则下列结论正确的是()A.B.C.AB2=AC2+BC2D.BC2=AC•BA【答案】A【解答】解:∵点C是线段AB的黄金分割点.且AC>BC.∴==.∴选项A符合题意.AC2=BC•AB.∴选项D不符合题意.∵==.∴选项B不符合题意.∵AB2≠AC2+BC2.∴选项C不符合题意.故选:A2.(2021秋•南京期末)如图.在△ABC中.DE∥BC.=.则下列结论中正确的是()A.=B.=C.=D.=【答案】C【解答】解:∵DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.∴===.故A.B错误.∴=.故C正确.∴=()2=.故D错误.故选:C.3.(2021•平南县三模)如图.在△ABC中.点D在AC上.点F是BD的中点.连接AF并延长交BC点E.BE:BC=2:7.则AD:CD=()A.2:3B.2:5C.3:5D.3:7【答案】A【解答】解:如图.过点D作DH∥AE交BC于H.∵BF=DF.FE∥DH.∴BE=EH.∴BE:BC=2:7.∴EH:CH=2:3.∵AE∥DH.∴==.故选:A.4.(2021•吉安模拟)如图平行四边形ABCD.F为BC中点.延长AD至E.使DE:AD=1:3.连结EF交DC于点G.若△DEG的面积是1.则五边形DABFG的面积是()A.11B.12C.D.【答案】D【解答】解:如图.连接BG.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.AD=BC.∴∠E=∠CFG.∵F为BC中点.∴FC=BC=AD.∵DE:AD=1:3.∴DE:BC=1:3.∴DE:CF=2:3.∵∠E=∠CFG.∠DGE=∠CGF.∴△DGE∽CGF.∴DG:CG=DE:CF=2:3.∴S△DEG:S△CFG=4:9=1:S△CFG.∴S△CFG=.取AD的中点Q.连接FQ.∴FQ∥DG.∴△EDG∽△EQF.∴DE:EQ=1:2.5=2:5.∴S△DEG:S△QEF=4:25=1:S△EQF.∴S△EQF=.∴S四边形DQFG=﹣1=.∴S四边形ABFQ=S四边形DQFG+S△CFG=+=.∴S五边形DABFG=+=.故选:D5.(2021•蚌埠二模)如图.在△ABC中.点D是AB上一点.且∠A=∠BCD.S△ADC:S△BDC=5:4.CD=4.则AC长为()A.5B.6C.9D.【答案】B【解答】解:∵S△ADC:S△BDC=5:4.∴S△BCD:S△ABC=4:9.∵∠A=∠BCD.∠ABC=∠CBD.∴△ABC∽△CBD.∴=()2=.∴=.∴AC=6.故选:B.6.(2021•东港区校级二模)如图.AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.弦AD∥OC.直线CD交BA的延长线于点E.连接BD.求证:(1)△EDA∽△EBD.(2)ED•BC=AO•BE.【答案】(1)略(2)略【解答】证明:(1)连接DO.如图:∵AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.∴∠CBO=90°.∵AD∥OC.∴∠DAO=∠COB.∠ADO=∠COD.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ADO.∴∠COD=∠COB.在△COD和△COB中..∴△COD≌△COB(SAS).∴∠CDO=∠CBO=90°.∵AB为⊙O的直径.∴∠EDO=∠ADB=90°.即∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°.∴∠EDA=∠BDO.∵OD=OB.∴∠BDO=∠DBO.∴∠EDA=∠DBO.即∠EDA=∠DBE.∵∠E=∠E.∴△EDA∽△EBD.(2)由(1)知:∠EDO=∠EBC=90°.又∠E=∠E.∴△EOD∽△ECB.∴=.∴ED•BC=OD•BE∵OD=AO.∴ED•BC=AO•BE.1.(2021•阿坝州)如图.直线l1∥l2∥l3.直线a.b与l1.l2.l3分别交于点A.B.C和点D.E.F.若AB:BC=2:3.EF=9.则DE的长是()A.4B.6C.7D.12【答案】B【解答】解:∵l1∥l2∥l3.∴AB:BC=DE:EF.∵AB:BC=2:3.EF=9.∴DE=6.故选:B.2.(2021•巴中)两千多年前.古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割.即:如图.点P 是线段AB上一点(AP>BP).若满足.则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见.例如:主持人在舞台上主持节目时.站在黄金分割点上.观众看上去感觉最好.若舞台长20米.主持人从舞台一侧进入.设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上.则x满足的方程是()A.(20﹣x)2=20x B.x2=20(20﹣x)C.x(20﹣x)=202D.以上都不对【答案】A【解答】解:由题意知.点P是AB的黄金分割点.且PB<P A.PB=x.则P A=20﹣x.∴.∴(20﹣x)2=20x.故选:A.3.(2021•巴中)如图.△ABC中.点D、E分别在AB、AC上.且==.下列结论正确的是()A.DE:BC=1:2B.△ADE与△ABC的面积比为1:3C.△ADE与△ABC的周长比为1:2D.DE∥BC【答案】D【解答】解:∵==.∴AD:AB=AE:AC=1:3.∵∠A=∠A.∴△ADE∽△ABC.∴DE:BC=1:3.故A错误.∵△ADE∽△ABC.∴△ADE与△ABC的面积比为1:9.周长的比为1:3.故B和C错误.∵△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠B.∴DE∥BC.故D正确.故选:D.4.(2021•湘西州)如图.在△ECD中.∠C=90°.AB⊥EC于点B.AB=1.2.EB=1.6.BC =12.4.则CD的长是()A.14B.12.4C.10.5D.9.3【答案】C【解答】解:∵EB=1.6.BC=12.4.∴EC=EB+BC=14.∵AB⊥EC.∴∠ABE=90°.∵∠C=90°.∴∠ABE=∠C.又∵∠E=∠E.∴△ABE∽△DCE.∴=.即=.解得:CD=10.5.故选:C.5.(2021•温州)如图.图形甲与图形乙是位似图形.O是位似中心.位似比为2:3.点A.B 的对应点分别为点A′.B′.若AB=6.则A′B′的长为()A.8B.9C.10D.15【答案】B【解答】解:∵图形甲与图形乙是位似图形.位似比为2:3.AB=6.∴=.即=.解得.A′B′=9.故选:B.6.(2021•遂宁)如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.若△ADE的面积是3cm2.则四边形BDEC的面积为()A.12cm2B.9cm2C.6cm2D.3cm2【答案】B【解答】解:如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.∴DE∥BC.且=.∴△ADE∽△ABC.∴△ADE的面积:△ABC的面积=1:4.∴△ADE的面积:四边形BDEC的面积=1:3.∵△ADE的面积是3cm2.∴四边形BDEC的面积是9cm2.7.(2021•南充)如图.在△ABC中.D为BC上一点.BC=AB=3BD.则AD:AC的值为.【答案】【解答】解:∵BC=AB=3BD.∴.∵∠B=∠B.∴△ABC∽△DBA.∴,∴AD:AC=,故答案为:.8.(2021•百色)如图.△ABC中.AB=AC.∠B=72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D.则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2.则BD=.【答案】3﹣【解答】解:∵AB=AC=2.∴∠B=∠ACB=72°.∠A=36°.∵CD平分∠ACB.∴∠ACD=∠BCD=36°.∴∠A=∠ACD.∴AD=CD.∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°.∴∠CDB=∠B.∴BC=CD.∴BC=AD.∵∠B=∠B.∠BCD=∠A=36°.∴△BCD∽△BAC.∴BC:AB=BD:BC.∴AD:AB=BD:AD.∴点D是AB边上的黄金分割点.AD>BD.∴AD=AB=﹣1.∴BD=AB﹣AD=2﹣(﹣1)=3﹣.故答案为:3﹣.9.(2021•包头)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.过点B作BD⊥CB.垂足为B.且BD =3.连接CD.与AB相交于点M.过点M作MN⊥CB.垂足为N.若AC=2.则MN的长为.【答案】【解答】解:∵∠ACB=90°.BD⊥CB.MN⊥CB.∴AC∥MN∥BD.∠CNM=∠CBD.∴∠MAC=∠MBD.∠MCA=∠MDB=∠CMN.∴△MAC∽△MBD.△CMN∽△CDB.∴..∴.∴.∴MN=.故答案为:.10.(2021•菏泽)如图.在△ABC中.AD⊥BC.垂足为D.AD=5.BC=10.四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上.那么△AEM与四边形BCME的面积比为.【答案】1:3【解答】解:∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.∴EF=EH=HM.EM∥BC.∴△AEM∽△ABC.∴.∴.∴EF=.∴EM=5.∵△AEM∽△ABC.∴=()2=.∴S四边形BCME=S△ABC﹣S△AEM=3S△AEM.∴△AEM与四边形BCME的面积比为1:3.故答案为:1:3.11.(2021•玉林)如图.在△ABC中.D在AC上.DE∥BC.DF∥AB.(1)求证:△DFC∽△AED.(2)若CD=AC.求的值.【答案】(1)略(2)【解答】(1)证明:∵DF∥AB.DE∥BC.∴∠DFC=∠ABF.∠AED=∠ABF.∴∠DFC=∠AED.又∵DE∥BC.∴∠DCF=∠ADE.∴△DFC∽△AED.(2)∵CD=AC.∴=由(1)知△DFC和△AED的相似比为:=.故:=()2=()2=.12.(2021•南通)如图.利用标杆DE测量楼高.点A.D.B在同一直线上.DE⊥AC.BC⊥AC.垂足分别为E.C.若测得AE=1m.DE=1.5m.CE=5m.楼高BC是多少?【答案】9m【解答】解:∵DE⊥AC.BC⊥AC.∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.∴=.∴=.∴BC=9(m).答:楼高BC是9m.13.(2021•滨州)如图.在⊙O中.AB为⊙O的直径.直线DE与⊙O相切于点D.割线AC ⊥DE于点E且交⊙O于点F.连接DF.(1)求证:AD平分∠BAC.(2)求证:DF2=EF•AB.【答案】(1)略(2)略【解答】(1)证明:连接OD.如右图所示.∵直线DE与⊙O相切于点D.AC⊥DE.∴∠ODE=∠DEA=90°.∴∠ODA=∠DAC.∵OA=OD.∴∠OAD=∠ODA.∴∠DAC=∠OAD.∴AD平分∠BAC.(2)证明:连接OF.BD.如右图所示.∵AC⊥DE.垂足为E.AB是⊙O的直径.∴∠DEF=∠ADB=90°.∵∠EFD+∠AFD=180°.∠AFD+∠DBA=180°.∴∠EFD=∠DBA.∴△EFD∽△DBA.∴.∴DB•DF=EF•AB.由(1)知.AD平分∠BAC.∴∠F AD=∠DAB.∴DF=DB.∴DF2=EF•AB.14.(2021•盐城)如图.O为线段PB上一点.以O为圆心.OB长为半径的⊙O交PB于点A.点C在⊙O上.连接PC.满足PC2=P A•PB.(1)求证:PC是⊙O的切线.(2)若AB=3P A.求的值.【答案】(1)略(2)【解答】(1)证明:连接OC.∵PC2=P A•PB.∴.∴△P AC∽△PCB.∴∠PCA=∠B.∵∠ACB=90°.∴∠CAB+∠B=90°.∵OA=OC.∴∠CAB=∠OCA.∴∠PCA+∠OCA=90°.∴OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线.(2)解:∵AB=3P A.∴PB=4P A.OA=OC=1.5P A.PO=2.5P A.∵OC⊥PC.∴PC==2P A.∵△P AC∽△PCB.∴===.1.(2021•武都区二模)如图所示.若点C是AB的黄金分割点.AB=2.则AC的值为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:∵点C是AB的黄金分割点.∴AC=AB==.故选:C.22.(2021•香洲区二模)如图.AB∥CD∥EF.AF与BE相交于点G.若BG=2.GC=1.CE =5.则的值是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵GC=1.CE=5.∴EG=CE+CG=5+1=6.∵AB∥EF.∴∠BAG=∠GFE.∠ABG=∠GEF.∴△ABG∽△FEG.∴=.∵BG=2.EG=6.∴==.故选:B.2.(2021•武进区校级模拟)如图.在△ABC中.DE∥BC..则下列结论中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:∵.∴.∵DE∥BC.∴.△ADE∽△ABC.∴.故B错误..故C正确..故D错误.已有的条件不能说明=.故A错误.故选:C.3.(2021•镇江)如图.点D.E分别在△ABC的边AC.AB上.△ADE∽△ABC.M.N分别是DE.BC的中点.若=.则=.【答案】【解答】解:∵M.N分别是DE.BC的中点.∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线.∵△ADE∽△ABC.∴==.∴=()2=.故答案为:.4.(2021秋•阳山县期末)如图.已知△ABC∽△AMN.点M是AC的中点.AB=6.AC=8.则AN=.【答案】【解答】解:∵△ABC∽△AMN.∴.∵M是AC的中点.AB=6.AC=8.∴AM=MC=4.∴.解得AN=.故答案为:.5.(2021•兰州模拟)如图.已知△ABE∽△CDE.AD、BC相交于点E.△ABE与△CDE 的周长之比是.若AE=2、BE=1.则BC的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【解答】解:∵△ABE∽△CDE.△ABE与△CDE的周长之比是.∴AE:CE=2:5.∵AE=2.∴CE=5.∵BE=1.∴BC=BE+EC=1+5=6.故选:D.6.(2021•云南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC于点D.AD=4.AB=5.则AC长为()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵∠BAC=90°.∴∠ADB=∠ABC.∵∠DAB=∠BAC.∴△ADB∽△ABC.∴=.即=.解得:AC=故选:B.7.(2021•元阳县模拟)如图.点E是正方形ABCD的边CD上的一点.且=.延长AE交BC的延长线于点F.则△CEF和四边形ABCE的面积比为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:∵四边形ABCD是正方形.∴AB=BC=CD.AB∥CD.∵.∴.∵AB∥CD.∴△CEF∽△BAF.∴=()2.∴S△BAF=9S△CEF.∴S四边形ABCD=8S△CEF.故选:C.8.(2021•滦南县二模)如图.某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度.他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜.镜子与铁塔底端B的距离BE=16m.当镜子与观测者小芳的距离ED=2m时.小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小芳的眼睛距地面的高度CD=1.5m.铁塔AB的高度为()(根据光的反射原理.∠1=∠2)A.9m B.12m C.15m D.18m【答案】B【解答】解:由镜面对称可知:△CDE∽△ABE.∴=.∴=.∴AB=12(米).故选:B.9.(2021•城关区校级模拟)如图.AB、CD都是BD的垂线.AB=4.CD=6.BD=14.P是BD上一点.联结AP、CP.所得两个三角形相似.则BP的长是.【答案】2或12或【解答】解:设BP=x.则PD=14﹣x.当△ABP∽△PDC时.=.即=.解得.x1=2.x2=12.当△ABP∽△CDP时.=.即=.解得.x=.综上所述.当所得两个三角形相似时.则BP的长为2或12或.故答案为:2或12或.10.(2021•二道区校级一模)如图.在△ABC中.∠ACB=90°.CD是斜边AB的中线.过点C、D分别作CE∥AB.DE∥AC交于点E.连结BE.(1)求证:四边形CDBE是菱形.(2)若AB=10.tan A=.则菱形CDBE的面积为.【答案】(1)略(2)24【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°.CD是斜边AB的中线.∴CD=AD=DB=AB.∵CE∥AB.DE∥AC.∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE=AD.∴CE=DB.∴四边形CDEB是平行四边形.∵CD=DB.∴四边形CDBE是菱形.(2)解:∵∠ACB=90°.AB=10.tan A=.∴=.∴设BC=3x.AC=4x.∵AC2+BC2=AB2.∴(4x)2+(3x)2=102.∴x=2或x=﹣2(舍去).∴BC=6.AC=8.∵四边形ADEC是平行四边形.∴AC=DE=8.∴菱形CDBE的面积=BC•DE=×6×8=24.故答案为:24.11.(2020•曹县二模)如图.AB是⊙O的直径.C为⊙O上一点.PC切⊙O于C.AE⊥PC 交PC的延长线于E.AE交⊙O于D.PC与AB的延长线相交于点P.连接AC、BC.(1)求证:AC平分∠BAD.(2)若PB:PC=1:2.PB=4.求AB的长.【答案】(1)略(2)12【解答】解:(1)如图所示:连接OC.∵PC是⊙O的切线.∴OC⊥EP.又∵AE⊥PC.∴AE∥OC.∴∠EAC=∠ACO.又∵∠ACO=∠AOC.∴∠EAC=∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)∵AB是⊙O的直径.∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.∵OB=OC.∴∠OCB=∠ABC.∵∠PCB+∠OCB=90°.∴∠PCB=∠P AC.∵∠P=∠P.∴△PCA∽△PBC.∴=.∴P A==16.∴AB=P A﹣PB=16﹣4=12.。
相似三角形及其判定(知识点串讲)(解析版)
专题11 相似三角形及其判定知识网络重难突破知识点相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法①定义:各角对应相等,各边对应成比例.②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.③有两个角对应相等.④两边对应成比例,且夹角相等.⑤三边对应成比例.二、相似三角形基本图形1、8字型有一组隐含的等角(对顶角),此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行,∠A=∠C)(AB∥CD)2.A字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③,∠DAF+∠BAD=∠DAF+∠EAF),此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例3.双垂直型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2=AD·AB仍成立,另CD2=AD·BD)4.三垂直型结论推导,如图①,∠D+∠DBA=∠E+∠EBC=∠DBA+∠EBC=90°,∴∠EBC=∠D,∠E=∠DBA,且一组直角相等,用任意两组等角即可证得三角形相似【典例1】(2019秋•保山期末)如图,在△ABC中,点P在边AB上,则在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,能满足△APC与△ACB相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③【点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断.【解析】解:当∠ACP=∠B,∵∠A=∠A,所以△APC∽△ACB;当∠APC=∠ACB,∵∠A=∠A,所以△APC∽△ACB;当AC2=AP•AB,即AC:AB=AP:AC,∵∠A=∠A所以△APC∽△ACB;当AB•CP=AP•CB,即PC:BC=AP:AB,而∠P AC=∠CAB,所以不能判断△APC和△ACB相似.故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.【典例2】如图,BD、CE是△ABC的两条高,AM是∠BAC的平分线,交BC于M,交DE于N,求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)=.【点拨】(1)先根据有两组角对应相等的两个三角形相似,判定△ABD∽△ACE;(2)先相似三角形的性质,得出=,再根据∠DAE=∠BAC,判定△ADE∽△ABC,进而得到=,再根据∠CAM=∠EAN,判定△ACM∽△AEN,得到=,最后等量代换即可得到=.【解析】证明:(1)∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠ADB=∠AEC=90°,∵∠DAE=∠BAC,∴△ABD∽△ACE;(2)∵△ABD∽△ACE,∴=,即=,又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,∴=,且∠ACB=∠AED,∵AM是∠BAC的平分线,∴∠CAM=∠EAN,∴△ACM∽△AEN,∴=,∴=.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用,解题时注意:有两组角对应相等的两个三角形相似,两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.【典例3】(2019秋•七里河区期末)如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动,同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接DE,设运动时间为t(s)(0<t<10),解答下列问题:(1)当t为何值时,△BDE的面积为7.5cm2;(2)在点D,E的运动中,是否存在时间t,使得△BDE与△ABC相似?若存在,请求出对应的时间t;若不存在,请说明理由.【点拨】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解;(2)根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可.【解析】解:(1)分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC,垂足为F、G如图∴DF∥AG,=∵AB=AC=10,BC=16∴BG=8,∴AG=6.∵AD=BE=t,∴BD=10﹣t,∴=解得DF=(10﹣t)∵S△BDE=BE•DF=7.5∴(10﹣t)•t=15解得t=5.答:t为5秒时,△BDE的面积为7.5cm2.(2)存在.理由如下:①当BE=DE时,△BDE∽△BCA,∴=即=,解得t=,②当BD=DE时,△BDE∽△BAC,=即=,解得t=.答:存在时间t为或秒时,使得△BDE与△ABC相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质,解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形.【变式训练】1.(2020•浙江自主招生)如图,在4×4的正方形网格中,画2个相似三角形,在下列各图中,正确的画法有()A.1个B.2个C.3个D.4个【点拨】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得.【解析】解:第1个网格中两个三角形对应边的比例满足==,所以这两个三角形相似;第2个网格中两个三角形对应边的比例==,所以这两个三角形相似;第3个网格中两个三角形对应边的比例满足===,所以这两个三角形相似;第4个网格中两个三角形对应边的比例==,所以这两个三角形相似;故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键2.(2019秋•奉化区期末)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交与点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD与点F,AD交PC于点G,则下列结论中错误的是()A.△CGE∽△CBP B.△APD∽△PGD C.△APG∽△BFP D.△PCF∽△BCP【点拨】由相似三角形的判定依次判断可求解.【解析】解:∵∠CPD=∠A=∠B,且∠APD=∠B+∠PFB=∠APC+∠CPD,∴∠APC=∠BFP,且∠A=∠B,∴△APG∽△BFP,故选项C不合题意,∵∠A=∠CPD,∠D=∠D,∴△APD∽△PGD,故选项B不合题意,∵∠B=∠CPD,∠C=∠C,∴△PCF∽△BCP,故选项D不合题意,由条件无法证明△CGE∽△CBP,故选项A符合题意,故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,牢固掌握相似三角形的判定是本题的关键.3.(2019秋•萧山区期末)如图,∠ACB=∠BDC=90°.要使△ABC∽△BCD,给出下列需要添加的条件:①AB∥CD;②BC2=AC•CD;③,其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解.【解析】解:①若AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,且∠ACB=∠BDC=90°,∴△ABC∽△BCD,故①符合题意;②若BC2=AC•CD,∴,且∠ACB=∠BDC=90°,无法判定△ABC∽△BCD,故②不符合题意;③若,且∠ACB=∠BDC=90°,∴△ABC∽△BCD,故③符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键.4.(2019秋•新华区校级月考)如图,四边形ABGH,四边形BCFG,四边形CDEF都是正方形,图中与△HBC相似的三角形为()A.△HBD B.△HCD C.△HAC D.△HAD【点拨】设正方形ABGH的边长为1,先运用勾股定理分别求出HB、HC的长,将其三边按照从大到小的顺序求出比值,再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值,根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可.【解析】解:设正方形ABGH的边长为1,运用勾股定理得HB=,HC=,则HC:HB:BC=::1.A、∵HB=,BD=2,HD=,∴HD:BD:HB=:2:=::1,∴HC:HB:BC=HD:BD:HB,∴△HBC∽△DBH,故本选项正确;B、∵HC=,CD=1,HD=,∴HD:HC:CD=::1,∴HC:HB:BC≠HD:HC:CD,∴△HBC与△HCD不相似,故本选项错误;C、∵HA=1,AC=2,HC=,HC:AC:HA=:2:1,∴HC:HB:BC≠HC:AC:HA,∴△HBC与△HAC不相似,故本选项错误;D、∵HA=1,AD=3,HD=,HD:AD:HA=:3:1,∴HC:HB:BC≠HD:AD:HA,∴△HBC与△HAD不相似,故本选项错误.故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,判定两个三角形相似的一般方法有:(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.本题还可以利用方法(3)进行判定.5.(2018秋•秀洲区期末)如图,点D在△ABC的边AC上,若要使△ABD与△ACB相似,可添加的一个条件是∠ABD=∠C(答案不唯一)(只需写出一个).【点拨】两组对应角相等,两三角形相似.在本题中,两三角形共用一个角,因此再添一组对应角即可【解析】解:要使△ABC与△ABD相似,还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等.故答案为:∠ABD=∠C(答案不唯一).【点睛】此题考查了相似三角形的判定.注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用.6.(2019秋•崇川区校级月考)如图,∠A=∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,在边AB上取点P,使得△P AD与△PBC相似,则满足条件的AP长为 2.8或1或6.【点拨】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算:①若△APD∽△BPC②若△APD∽△BCP.【解析】解:∵∠A=∠B=90°①若△APD∽△BPC则=∴=解得AP=2.8.②若△APD∽△BCP则=∴=解得AP=1或6.∴则满足条件的AP长为2.8或1或6.故答案为:2.8或1或6.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,明确相关判定与性质及分类讨论,是解题的关键.7.(2019秋•临安区期末)如图,点B、D、E在一条直线上,BE交AC于点F,=,且∠BAD=∠CAE.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:△AEF∽△BCF.【点拨】(1)根据相似三角形的判定定理证明;(2)根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E,结合图形,证明即可.【解析】(1)∵∠BAD=∠CAE∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中=,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE;(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠C=∠E、在△AEF和△BFC中,∠C=∠E,∠AFE=∠BFC,∴△AEF∽△BCF.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.8.(2019春•广陵区校级月考)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,并请说明理由.【点拨】(1)理由等角的余角相等证明∠MBA=∠NMC,然后根据直角三角形相似的判定方法可判断Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)利用勾股定理可得到AM=2,由于Rt△ABM∽Rt△MCN,利用相似比可计算出MN=,接着证明=,从而可判断Rt△ABM∽Rt△AMN.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°,∵AM⊥MN,∴∠AMN=90°,∴∠AMB+∠NMC=90°,而∠AMB+∠MAB=90°,∴∠MBA=∠NMC,∴Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)解:当M点运动到BC为中点位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN.理由如下:,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=4,BM=MC=2,∴AM=2,∵Rt△ABM∽Rt△MCN,∴==2,∴MN=AM=,∵==,==,∴=,而∠ABM=∠AMN=90°,∴Rt△ABM∽Rt△AMN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.也考查了正方形的性质.巩固训练1.(2019•崇明区一模)如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍不能确定△ABC∽△ADE 的是()A.∠B=∠D B.∠C=∠AED C.=D.=【点拨】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案.【解析】解:∵∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC,∴A,B,D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边,所以不相似,故选:C.【点睛】此题考查了相似三角形的判定:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.2.(2020•上虞区校级一模)已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A、C重合),以BD为边作正△BDE,边DE与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有()对.A.6 B.5 C.4 D.3【点拨】根据相似三角形的判定定理,两个等边三角形的3个角分别相等,可推出△ABC∽△EDB,根据对应角相等推出△BDC∽△BFE∽△DF A.△BDF∽△BAD.【解析】解:图中的相似三角形是△ABC∽△EDB,△BDC∽△BFE,△BFE∽△DF A,△BDC∽△DF A,△BDF∽△BAD.理由:∵△ABC和△BDE是正三角形,∴∠A=∠C=∠ABC=60°,∠E=∠BDE=∠EBD=60°,∴△ABC∽△EDB,可得∠EBF=∠DBC,∠E=∠C,∴△BDC∽△BFE,∴∠BDC=∠BFE=∠AFD,∴△BDC∽△DF A,∴△BFE∽△DF A,∵∠DBF=∠ABD,∠BDF=∠BAD,∴△BDF∽△BAD.故选:B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用,关键在于根据图中两个等边三角形,找出相关的相等关系,然后结合已知条件,得出结论.3.(2019秋•市中区期末)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=4,D为BC的中点,E为AB 上的动点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<12),连接DE,当△BDE与△ABC相似时,t的值为4或7或9.【点拨】由条件可求得AB=8,可知E点的运动路线为从A到B,再从B到AB的中点,当△BDE为直角三角形时,当∠EDB=90°或∠DEB=90°,得出△BDE和△ABC相似,可求得BE的长,则可求得t的值.【解析】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4,∴AB=2BC=8,∵D为BC中点,∴BD=2,∵0≤t<12,∴E点的运动路线为从A到B,再从B到AB的中点,按运动时间分为0≤t≤8和8<t<12两种情况,①当0≤t≤8时,AE=t,BE=BC﹣AE=8﹣t,当∠EDB=90°时,则有AC∥ED,∴△BDE∽△BCA,∵D为BC中点,∴E为AB中点,此时AE=4,可得t=4;当∠DEB=90°时,∵∠DEB=∠C,∠B=∠B,∴△BED∽△BCA,∴,即,解得t=7;②当8<t<12时,则此时E点又经过t=7秒时的位置,此时t=8+1=9;综上可知t的值为4或7或9,故答案为:4或7或9.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,用t表示出线段的长,化动为静,再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路.4.(2019秋•海淀区期末)如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是的中点,连结AD,BD,其中BD与AC 交于点E.写出图中所有与△ADE相似的三角形:△CBE,△BDA.【点拨】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断.【解析】解:∵=,∴∠ABD=∠DBC,∵∠DAE=∠DBC,∴∠DAE=∠ABD,∵∠ADE=∠ADB,∴△ADE∽△BDA,∵∠DAE=∠EBC,∠AED=∠BEC,∴△AED∽△BEC,故答案为△CBE,△BDA.【点睛】本题考查相似三角形的判定,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.5.(2020•成都模拟)如图,BC是⊙O的弦,A是劣弧BC上一点,AD⊥BC于D,若AB+AC=10,⊙O的半径为6,AD=2,则BD的长为2或4.【点拨】作直径AE,连接CE,证明△ABD∽△AEC,得,设AB=x,则AC=10﹣x,列方程可得AB的长,最后利用勾股定理可解答.【解析】解:作直径AE,连接CE,∴∠ACE=90°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠ADB=∠ACE,∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC,∴,设AB=x,则AC=10﹣x,∵⊙O的半径为6,AD=2,∴,解得:x1=4,x2=6,当AB=4时,BD===2,当AB=6时,BD===4,∴BD的长是2或4;故答案为:2或4.【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的性质和判定,正确作辅助线,构建相似三角形是本题的关键.6.(2020•雨花区校级一模)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,AC=3,BC=4,且AC=AD,弦CD交直径AB于点E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求弦CD的长.【点拨】(1)由垂径定理可知∠AEC=90°,然后根据相似三角形的判定即可求出答案.(2)根据相似三角形的性质可知AC2=AE•AB,从而可求出AE=,再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度.【解析】解:(1)∵AC=AD,AB是⊙O的直径,∴CD⊥AB,∴∠AEC=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BAC=∠BAC+∠B=90°,∴∠ACE=∠B,∴△ACE∽△ABC.(2)由(1)可知:,∴AC2=AE•AB,∵AC=3,BC=4,∴由勾股定理可知:AB=5,∴AE=,∴由勾股定理可知:CE=,∴由垂径定理可知:CD=2CE=.【点睛】本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用勾股定理,相似三角形的性质与判定,圆周角定理,本题属于中等题型.7.(2018秋•姜堰区校级月考)如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数:(3)若连接EC,求证:△ABD∽△ACE.【点拨】(1)根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE,结合图形,证明即可;(2)根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解析】(1)证明:∵==.∴△ABC~△ADE;∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF,即∠BAD=∠CAE;(2)解:∵△ABC~△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,∴∠EBC=∠BAD=21°;(3)证明:连接CE,∵△ABC~△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF,即∠BAD=∠CAE,∵=.∴△ABD∽△ACE.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.8.(2019秋•江阴市期中)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)试探究t为何值时,△BPQ的面积是cm2;(3)直接写出t为何值时,△BPQ是等腰三角形;(4)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接写出t的值.【点拨】(1)由勾股定理可求AB的长,分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解;(2)过点P作PE⊥BC于E,由平行线分线段成比例可得PE=3t,由三角形的面积公式列出方程可求解;(3)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质可求解;(4)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,根据△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入计算即可.【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,∴AB===10cm,∵△BPQ与△ABC相似,且∠B=∠B,∴或,当时,∴,∴t=1,当,∴,∴t=;(2)如图1,过点P作PE⊥BC于E,∴PE∥AC,∴,∴PE==3t,∴S△BPQ=×(8﹣4t)×3t=,∴t1=或t2=;(3)①当PB=PQ时,如图1,过P作PE⊥BQ,则BE=BQ=4﹣2t,PB=5t,由(2)可知PE=3t,∴BE===4t,∴4t=4﹣2t,∴t=②当PB=BQ时,即5t=8﹣4t,解得:t=,③当BQ=PQ时,如图2,过Q作QG⊥AB于G,则BG=PB=t,BQ=8﹣4t,∵△BGQ∽△ACB,∴,∴解得:t=.综上所述:当t=或或时,△BPQ是等腰三角形;(3)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图3所示:则PB=5t,∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB,∴=∴BM=4t,PM=3t,且BQ=8﹣4t,BC=8,∴MC=8﹣4t,CQ=4t,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM,∵∠ACQ=∠PMC,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴∴t=【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.。
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形(学生版)
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形一、单选题1.(2022九上·义乌期中)若两个相似三角形的面积之比为1:4,则它们的最长边的比是( )A .1:2B .1:4C .1:16D .无法确定2.(2022九上·镇海区期中)如图示,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是( )A .∠D =∠B B .∠C =∠AEDC .AB AD =AC AED .AB AD =BC DE3.(2022·泸县模拟)如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ∼△ADE 的是( )A .∠C =∠EB .∠B =∠ADEC .AB AD =BC DED .AB AD =AC AE4.(2022九上·拱墅期中)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在AB ,AC 上,若DE ∥BC ,AD AB =25,AE =6cm ,则AC 的长为( )A .9cmB .12cmC .15cmD .18cm5.(2022九上·镇海区期中)如图所示,在△ABC 中,D 、E 为AB 、AC 的中点,若S △ADE =2,则四边形DBCE 的面积为( )A.4B.6C.8D.106.(2022九上·镇海区期中)如图,点A,B,C,D为⊙O上的四个点,AC平分∠BAD,AC交BD 于点E,CE=4,CD=6,则AC的长为()A.8B.9C.10D.117.(2022九上·镇海区期中)如图,AB是半圆的直径,∠ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和D,若BE=2DE,AB=4,则AE长为()A.2B.√2+1C.√6D.4√338.(2022九上·舟山期中)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,E在AD上,且CE平分∠BCD,BE•平分∠ABC,则下列关系式中成立的有()①CDAB=DEAE;②CDAB=DEAB;③CEDE=BEAB;④CE2=CD×BC;⑤BE2=AE×BCA.2个B.3个C.4个D.5个9.(2022九上·新昌期中)如图,在等边三角形ABC中,点P,Q分别是AC,BC边上的动点(都不与线段端点重合),且AP=CQ,AQ、BP相交于点O.下列四个结论:①若PC=2AP,则BO=6OP;②若BC=8,BP=7,则PC=5;③AP2=OP⋅AQ;④若AB=3,则OC的最小值为√3,其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③二、填空题10.(2022九上·宁波期中)如图,在△ABC中,AM是中线,G是重心,GD∥BC,交AC于D.若BC=6,则GD=.11.(2022九上·闵行期中)已知△ABC∽△A′B′C′,顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应,AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线,如果BC=3,AD=6,B′C′=2,那么A′D′的长是.12.(2022九上·北仑期中)如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED =1,BD=4,那么AB=.13.(2022九上·宝山期中)如图,矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.已知BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,那么△ABC的面积是cm2.14.(2022九上·南海月考)如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动,点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动.如果P、Q分别从B、A同时出发,经过秒钟△APQ与△ABC相似?15.(2022九上·乐山期中)如图,在矩形ABCD和矩形AEGH中,AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE=.16.(2022九上·宁波期中)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE,连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5,AE=1.则∠P=,PC=.三、作图题17.(2022九上·海曙期中)如图是8×6的正方形网格,已知△ABC,请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹,不要求写作法和结论).(1)将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°,得到△A 1B 1C 1,请在图1中作出△A 1B 1C 1. (2)在图2中,在AC 所在直线的左侧找一格点E ,画∠AEC=∠B. (3)在图3中,仅用无刻度直尺在线段AC 上找一点M ,使得AM MC =23.18.(2022九上·金华月考)如图,在4×8的网格中,已知格点△ABC (小正方形的顶点称为格点,顶点在格点处的三角形称为格点三角形),在图1、图2中分别画一个格点三角形(所画的两个三角形不全等),使其同时符合下列两个条件.(1)与△ABC 有一公共角; (2)与△ABC 相似但不全等.四、解答题19.(2022·泸县模拟)已知:D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点,AB =8,AD =3,AC =6,AE =4,求证:△ABC ∼△AED .20.如图,∠CAB =∠CBD ,AB =4,AC =6,BD =7.5,BC =5,求CD 的长.21.(2021·广东)如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.22.(2021·光明模拟)如图,在直角坐标系中,直线y=−12x+4与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直径作圆O1,过B作圆O1的切线交x轴于点C.(1)求C点的坐标;(2)设点D为BC延长线上一点,CD=BC,P为线段BC上的一个动点(异于B,C),过P点作x轴的平行线交AB于M,交DA的延长线于N,试判断PM+PN的值是否为定值,如果是,则求出这个值;如果不是,请说明理由.五、综合题23.(2022九上·宁波期中)定义:若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB,则称P 为线段AB的KZ点,但点P不是线段BA的KZ点.(1)如图1,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=17,若点C是线段AB的KZ点,求AC的长.(2)如图2,在ΔABC中,D是边AB上一点,连结CD,若点A分别是线段CD,线段BC的KZ点.求证:C是线段BD的KZ点(提示:证明△ADC与△ACB相似).(3)如图3,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=120°,点E,F分别是BC,CD上的点,且满足∠AEF= 120°.连结AF,若点E是线段AF的KZ点.求DF的长.24.(2022九上·宁波期中)如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是斜边AB上一动点(0<AD<3.2),以点A为圆心,AD长为半径作圆A交AC于点F,连结CD并延长交圆A于点E,连结AE,DF.(1)求证:∠FAE=2∠FDC.(2)如图2,若AE∥CB,求EC的长.(3)如图3①若AD平分∠FAE,求圆A的半径长;②当点D在斜边AB上运动时,直接写出CD⋅DE的最大值.25.(2022九上·镇海区期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB,交BC于点E,连结AE交BD于点F. 已知∠AFD=∠ADB+∠CDE,(1)①假设∠ABD=α,则∠AFD=.②证明:AB=AE;(2)若AB2=BF⋅BD,AD=2,求CB的长;(3)若CE=2,AB=8,求DE的长.26.(2022九上·镇海区期中)(1)【基础巩固】如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,AF交DE于点G,求证:DGEG=BF CF.(2)【尝试应用】如图2,已知D、E为△ABC的边BC上的两点,且满足BD=2DE=4CE,一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N,求LMMN的值.(3)【拓展提高】如图3,点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点,AB=3,延长CD至点F,使DF=2DE,连接CG,求CG的最小值.27.(2022九上·闵行期中)已知,在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D、E分别在边AB、BC上,且均不与顶点B重合,∠ADE=∠A(如图1所示),设AD=x,BE=y.(1)当点E与点C重合时(如图2所示),求线段AD的长;(2)在图1中当点E不与点C重合时,求y关于x的函数解析式及其定义域;(3)我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形.请阅读理解以上定义,完成问题探究:如图1,设点F在边AB上,CE=3,如果四边形ACEF是等邻角四边形,求线段AF的长.答案解析部分1.【答案】A【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解:解:∵两个相似三角形的面积比为1:4,∴它们的相似比为1:2.故答案为:A.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.2.【答案】D【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解:∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EADA、∠D=∠B,两个三角形的对应角相等,那么△ABC∽△ADE,故A选项不符合题意;B、∠C=∠AED,两个三角形的对应角相等,那么△ABC∽△ADE,故B选项不符合题意;C、ABAD=ACAE,两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等,那么△ABC∽△ADE,故C选项不符合题意;D、ABAD=BCDE,∠B与∠D的大小无法判断,即无法判定△ABC∽△ADE,故D选项符合题意.故答案为:D.【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD,根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED,根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加AB AD=ACAE,从而一一判断得出答案.3.【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE,A、∵∠C=∠E,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,故A不符合题意;B、∵∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,∴△ABC∽△ADE,故B不符合题意;C、∵∠BAC=∠DAE,ABAD=BC DE,∴△ABC 与△ADE 不相似,故C 符合题意; D 、∵∠BAC=∠DAE ,AB AD =AC AE ,∴△ABC ∽△ADE ,故D 不符合题意; 故答案为:C【分析】由∠1=∠2可证得∠BAC=∠DAE ,要使△ABC ∽△ADE ,可以添加另外两组对应角中的一组对应角相等,可对A ,B 作出判断;利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,可对C ,D 作出判断.4.【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解:∵DE ∥BC ,AD AB =25,∴△ADE ∽△ABC ,∴AE AC =AD AB =25,∵AE =6cm ,∴AC =52AE =52×6=15(cm ),∴AC 的长为15cm. 故答案为:C.【分析】易证△ADE ∽△ABC ,然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.5.【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质;三角形的中位线定理 【解析】【解答】解:∵D 、E 为AB 、AC 的中点,∴DE 为△ABC 的中位线, ∴DE ∥BC ,DE=12BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴S △ADE S △ABC =(DE BC )2=14∴S △ABC =4S △ADE =8∴S 四边形DBCE =S △ABC −S △ADE =8-2=6. 故答案为:B.【分析】先根据三角形的中位线定理证明DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC ,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积,即可由S四边形DBCE=S△ABC−S△ADE求出四边形DBCE的面积.6.【答案】B【知识点】圆周角定理;相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解:∵AC平分∠BAD,∴BC⌢=CD⌢,∴∠BDC=∠CAD,∵∠ACD=∠DCE,∴△CDE∽△CAD,∴CD:AC=CE:CD,∴CD2=AC•CE,∴62=4(4+AE),∴AE=5,∴AC=AE+CE=9,故答案为:B.【分析】根据同弧所对的圆周角相等及角平分线的定义可得∠BDC=∠CAD=∠BAC,又∠ACD=∠DCE,可推出△CDE∽△CAD,根据相似三角形对应边成比例得CD:AC=CE:CD,代入数值,求解可得AE,进而根据AC=AE+CE算出答案.7.【答案】D【知识点】圆周角定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值【解析】【解答】解:∵∠CDB=∠CAB,∠DCA=∠DBA∴△CBE∽△ABE∴CDAB=DEBE=12∴CD=12AB=2∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠ABD∴∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD ∴AD=CD=2∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°∴sin∠ABD=ADAB=24=12∴∠ABD=30°∴∠DAE=30°∴AE=ADcos30°=4√3 3,故答案为:D.【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB,∠DCA=∠DBA,根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE,根据相似三角形对应边成比例可得CD=2,根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD,根据等角对等边可得AD=CD,根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°,进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°,进而根据余弦函数的定义,由AE=ADcos30°可算出答案.8.【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定(HL);角平分线的性质;相似三角形的判定与性质;角平分线的定义【解析】【解答】解:过点E作EF⊥BC于点F,∵梯形ABCD,AB∥CD,∠A=90°,∴∠A+∠D=90°,∠DCB+∠ABC=180°,∴∠D=90°,∴DE⊥CD,EA⊥AB∵CE平分∠BCD,BE•平分∠ABC ,∴DE=EF=EA,∠DCB=2∠ECB,∠ABC=2∠EBC,∴∠ECB+∠EBC=90°,∴∠CEB=90°;在Rt△CDE和Rt△CFE中{CE=CEDE=FE∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)∴CD=CF,同理可证AB=BF,∵∠DEC+∠DCE=90°,∠DEC+∠AEB=90°,∴∠DCE=∠AEB,∵∠D=∠A=90°,∴△CDE∽△EAB,∴CDAE=DEAB,CEDE=BEAB,故③正确,①②错误;∵∠CFE=∠CBE=90°,∠ECF=∠ECB,∴△ECF∽△BCE,∴CFEC=ECBC∴CE2=CD×BC,故④正确;同理可证△BEF∽△BCE,∴BE2=BF×BC=AE×BC,故⑤正确;∴正确结论的序号为③④⑤,一共3个.故答案为:B【分析】过点E作EF⊥BC于点F,利用梯形的性质和平行线的性质可证得∠A+∠D=90°,∠DCB+∠ABC=180°,利用角平分线的性质可证得DE=EF=EA,∠DCB=2∠ECB,∠ABC=2∠EBC,从而可推出∠CEB=90°;利用HL证明Rt△CDE≌Rt△CFE,利用全等三角形的性质可得到CD=CF,同理可知AB=BF;再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得△CDE∽△EAB,利用相似三角形的对应边成比例,可对①②③作出判断;同理可证得△ECF∽△BCE,利用相似三角形的对应边成比例,可证得CE2=CD×BC,可对④作出判断;同理可证得BE2=AE×BC,可对⑤作出判断;综上所述可得到正确结论的个数.9.【答案】A【知识点】等边三角形的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;三角形全等的判定(SAS)【解析】【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∵AP=CQ,∴CP=BQ,∵PC=2AP,∴BQ=2CQ ,如图,过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ,∴△ADP ∽△AQC ,△POD ∽△BOQ ,∴PD CQ =AP AC =13,PD BQ =OP BO ,∴CQ=3PD , ∴BQ=6PD ,∴BO=6OP ;故①正确; 过B 作BE ⊥AC 于E , 则CE=12AC=4,∵∠C=60°, ∴BE=4√3,∴PE=√PB 2−BE 2=1,∴PC=4+1=5,或PC=4-1=3,故②错误; 在等边△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=∠C=60°, 在△ABP 与△CAQ 中, {AB =AC ∠BAP =∠C AP =CQ, ∴△ABP ≌△ACQ (SAS ), ∴∠ABP=∠CAQ ,PB=AQ , ∵∠APO=∠BPA , ∴△APO ∽△BPA , ∴AP PB =OP AP,∴AP 2=OP•PB ,∴AP 2=OP•AQ.故③正确;以AB 为边作等边三角形NAB ,连接CN ,∴∠NAB=∠NBA=60°,NA=NB , ∵∠PBA=∠QAC ,∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°,∴点N ,A ,O ,B 四点共圆,且圆心即为等边三角形NAB 的中心M , 设CM 于圆M 交点O′,CO′即为CO 的最小值, ∵NA=NB ,CA=CB , ∴CN 垂直平分AB , ∴∠MAD=∠ACM=30°, ∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°, 在Rt △MAC 中,AC=3,∴MA=AC•tan ∠ACM=√3,CM=2AM=2√3, ∴MO′=MA=√3,即CO 的最小值为√3,故④正确. 综上:正确的有①③④. 故答案为:A.【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC ,由已知条件可知AP=CQ ,则CP=BQ ,结合PC=2AP 可得BQ=2CQ ,过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ,易证△ADP ∽△AQC ,△POD ∽△BOQ ,根据相似三角形的性质可得CQ=3PD ,则BQ=6PD ,据此判断①;过B 作BE ⊥AC 于E ,则CE=12AC=4,利用勾股定理可得PE ,进而判断②;利用SAS 证明△ABP ≌△ACQ ,得到∠ABP=∠CAQ ,PB=AQ ,证明△APO ∽△BPA ,利用相似三角形的性质可判断③;以AB 为边作等边△NAB ,连接CN ,则∠NAO+∠NBO=180°,故点N ,A ,O ,B 四点共圆,且圆心即为等边△NAB 的中心M ,设CM 于圆M 交点O′,CO′即为CO 的最小值,易知∠MAD=∠ACM=30°,∠MAC=90°,根据三角函数的概念可得MA、CM,据此判断④.10.【答案】2【知识点】相似三角形的判定与性质;三角形的重心及应用【解析】【解答】解:∵AM是中线,BC=6,∴BM=CM=3,∵G是重心,∴AGAM=23,∵GD∥BC,∴△AGD∽△AMC,∴DGMC=AGAM=23,∴DG3=23,∴DG=2.故答案为:2.【分析】易得MB=CM=3,根据重心的性质可得AGAM=23,根据平行三角形一边的直线,截其它两边,所截的三角形与原三角形相似可得△AGD∽△AMC,进而根据相似三角形对应边成比例建立方程,求解即可得DG的长.11.【答案】4【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解:∵△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应中线,BC=3,AD=6,B′C′=2,∴BC:B′C′=AD:A′D′,∴6:A′D′=3:2,∴A′D′的长是4,故答案为:4【分析】根据相似三角形的性质可得BC:B′C′=AD:A′D′,再将数据代入求出A′D′的长即可。
专题 相似三角形母子型(共边共角模型)(学生版)
专题02相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型,其中“母子型”相似模型应用较为广泛,深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;③第②步成立,直接从证这两个三角形相似,逆向证明到线段乘积相等;④第②步不成立,则选择替换掉线段比例式中的个别线段,之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点,由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀),也是有一个“公共角”,再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1图2图31)“母子”模型(斜射影模型)条件:如图1,∠C=∠ABD;结论:△ABD∽△ACB,AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2,∠ACB=90o,CD⊥AB;结论:△ACD∽△ABC∽△CBD;CA2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3,∠D=∠CAE,AB=AC;结论:△ABD∽△ECA;例1.(2022·贵州贵阳·中考真题)如图,在ABC 中,D 是AB 边上的点,B ACD ∠=∠,:1:2AC AB =,则ADC 与ACB △的周长比是()A .B .1:2C .1:3D .1:4例2.(2023·广东·九年级课时练习)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,已知AD =94,55BD =,那么BC =_______.例3.(2022.山西九年级期中)如图,点C ,D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且∠APB =120°,求证:(1)△ACP ∽△PDB ,(2)CD 2=AC•BD .例4.(2022·浙江·九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且ADAC=ACAB.(1)求证△ACD∽△ABC;(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.例5.(2022.浙江中考模拟)如图,在ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB.(1)图1中共有对相似三角形,写出来分别为(不需证明):(2)已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长:(3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D为坐标原点O,建立直角坐标系(如图2),若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB运动,点Q出B点出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA运动,其中t秒是否存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.例6.(2022·浙江绍兴·九年级期末)如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系,则称这两个相似三角形互为母子三角形.(1)如果DEF 与ABC 互为母子三角形,则DE AB 的值可能为()A .2B .12C .2或12(2)已知:如图1,ABC 中,AD 是BAC ∠的角平分线,2,AB AD ADE B =∠=∠.求证:ABD △与ADE 互为母子三角形.(3)如图2,ABC 中,AD 是中线,过射线CA 上点E 作//EG BC ,交射线DA 于点G ,连结BE ,射线BE 与射线DA 交于点F ,若AGE 与ADC 互为母子三角形.求AG GF 的值.A .ABP C ∠=∠B .APB ABC ∠=∠2.(2023成都市九年级期中)如图,矩形ABCD 中,F 是DC 上一点,BF ⊥AC ,垂足为E ,AD AB =12,△CEF 的面积为S 1,△AEB 的面积为S 2,则S 1S 2的值等于()A .116B .15C .14D .1253.(2023浙江九年级期中)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高.如果BD =4,CD =6,那么BC :AC 是()A .3:2B .2:3C .3:13D .2:13.任意长为半径作弧,5.(2023•宜宾)如图,已知直角△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,AC =4,BC =3,则AD =.6.(2022·江苏盐城·中考真题)如图,在ABC 与A B C '''V 中,点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上,且ACD A C D '''∽△△,若___________,则ABD A B D '''△∽△.请从①BD B D CD C D ''='';②AB A B CD C D ''='';③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.7.(2022秋·陕西西安·九年级校联考期中)如图,在ABC 中,点D 是边AB 上的一点,ADC ACB ∠=∠,2AD =,8AB =.求边AC 的长.8.(2022•惠山区九年级专项)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90o ,AD ⊥BC 于D .(1)图中有多少对相似三角形?(2)求证:AB 2=BD BC ,AC 2=CD CB ,AD 2=BD CD ;(3)求证:AB AC=BC AD的边2三角形来加以证明的(填“全等12.(2022·湖北武汉·一模)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 为AB 上一点.(1)如图1,若CD ⊥AB ,求证:AC 2=AD ·AB ;(2)如图2,若AC =BC ,EF ⊥CD 交CD 于H ,交AC 于F ,且49FH HE =,求AD BD 的值;(3)如图3,若AC =BC ,点H 在CD 上,∠AHD =45°,CH =3DH ,则tan ∠ACH 的值为________.13.(2023·安徽合肥·九年级期中)中,90ABC ∠=︒,BD AC ⊥,点E 为BD 的中点,连接AE 并延长交BC 于点F ,且有AF CF =,过F 点作FH AC ⊥于点H .(1)求证:ADE CDB ∽;(2)求证:=2AE EF ;(3)若FH BC 的长.14.如图1,在ABC 中,在BC 边上取一点P ,在AC 边上取一点D ,连AP 、PD ,如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP 相似,我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”.(1)如图2,在ABC 中AB AC =,50B ∠=︒,APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”,且AD DP =,PAC BPD ∠=∠,请直接写出PAC ∠的度数;(2)如图3,在ABC 中,2A C Ð=Ð,在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”,请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”,并说明理由;(3)如图4,在Rt ABC △中4AB AC ==,APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”,求出AD 长度的所有可能值.15.(2022•静安区期末)如图1,四边形ABCD 中,∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ,已知AB =9,AE =6,AE 2=AB•AD ,且DC ∥AE .(1)求证:DE 2=AE•DC ;(2)如果BE =9,求四边形ABCD 的面积;(3)如图2,延长AD 、BC 交于点F ,设BE =x ,EF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.16.(2022·安徽·校联考三模)在ABC 中,2ABC ACB ∠=∠,BD 平分ABC ∠.(1)如图1,若3AB =,5AC =,求AD 的长.(2)如图2,过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ,AF BD ⊥于F .①求证:ABC EAF ∠=∠;②求BF AC 的值.ACD(1)求证:ABE CAD≌;△△(2)求证:AC FB∥;(3)若点D,E,F在同一条直线上,如图2,求AB的值.(温馨提示:请用简洁的方式表示角)BC、。
初中九年级相似相似三角形知识点总结及经典例题解析
第27章:相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段;2.比例性质:(1)基本性质:bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 (2)合比定理:d dc b b ad c b a ±=±⇒= (3)等比定理:)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割:如图,若AB PB PA ⋅=2,则点P 为线段AB 的黄金分割点.4.平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● (1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
● (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
● (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● (1)对应边的比相等,对应角相等. ● (2)相似三角形的周长比等于相似比.● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.● (4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式); 2、利用三角形相似,求线段的长等3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。
部编数学九年级下册专题06相似三角形(热考题型)解析版含答案
答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的!专题05 相似三角形判定、性质及其模型【思维导图】◎考点题型1 相似三角形的判定-定义法三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.例.(2022·全国·九年级课时练习)在ABC V 与'A B V ’'C 中,有下列条件,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断'''ABC A B C V :V 的共有( )组.①AB BC A B B C =¢¢¢¢; ②BC AC B C A C =¢¢¢¢; ③'A A Ð=Ð;④'C C Ð=Ð.A .1B .2C .3D .4【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可.【详解】解:能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的有①②或②④或③④,共3组,故选C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①两角分别相等的两个三角形相似;②两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似;③三边成比例的两个三角形相似.变式1.(2022·全国·九年级课时练习)如图,点P 在ABC V 的边AC 上,若要判定ABP ACB V V ∽,则下列添加的条件不正确的是( )A .ABP C Ð=ÐB .APB ABCÐ=ÐC .::AP AB AB AC=D .::AB BP AC AB =【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理,逐项判断即可求解.【详解】解:根据题意得:∠A=∠A ,A 、若ABP C Ð=Ð,可利用AA 证得ABP ACB V V ∽,故本选项不符合题意;B 、若APB ABC Ð=Ð,可利用AA 证得ABP ACB V V ∽,故本选项不符合题意;C 、若::AP AB AB AC =,可利用SAS 证得ABP ACB V V ∽,故本选项不符合题意;D 、若::AB BP AC AB =,无法证得ABP ACB V V ∽,故本选项符合题意;故选:D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.变式2.(2022·河北石家庄·九年级期末)将两个完全相同的等腰直角△ABC 与△AFG 按图所示的方式放置,那么图中一定相似(不含全等)的三角形是( )A .△AEC 与△ADBB .△ABE 与△DAEC .△ABC 与△ADED .△AEC 与△ADC【答案】B 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.【详解】解:A .根据已知条件无法证明△AEC 与△ADB ,故选项不符合题意;B .∵△ABC 与△AFG 都为等腰直角三角形,∴∠DAE =∠B =45°,∵∠AEB =∠DEA ,∴△ABE ∽△DAE ;故选项符合题意;C .根据已知条件无法证明△ABC 与△ADE ,故选项不符合题意;D .根据已知条件无法证明△AEC 与△ADC ,故选项不符合题意;故选:B .【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定等知识,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.变式3.(2023·河北·九年级专题练习)如图,在ABC V 中,P 、Q 分别为AB 、AC 边上的点,且满足AP AQ AC AB=.根据以上信息,嘉嘉和淇淇给出了下列结论:嘉嘉说:连接PQ ,则PQ //BC .淇淇说:AQP ABC V V ∽.对于嘉嘉和淇淇的结论,下列判断正确的是( )A .嘉嘉正确,淇淇错误B .嘉嘉错误,淇淇正确C .两人都正确D .两人都错误◎考点题型2 相似三角形的判定-平行法平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.例.(2021·河北保定·九年级期末)如图,点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点,射线BF 交AD 的延长线于点E ,则下列结论错误的是( )A .ED DF EA AB =B .DE EF BC FB =C .BC BF DE BE =D .BF BC BE AE=变式1.(2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中)在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,联结DE ,那么下列条件中不能判断△ADE 和△ABC 相似的是( )A .DE ∥BCB .∠AED =∠BC .AE AB AD AC =D .AE AC DE BC =【点睛】本题考查了三角形相似的判定,解题关键是变式2.(2021·四川宜宾·九年级期中)如图,AB CD ∥,AE FD ∥,AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ,则图中的相似三角形共有( )A .3对B .4对C .5对D .6对【答案】D 【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似,则图中△BFH 、△BAG 、△CEG 、△CDH 任意两个三角形都相似.【详解】解:∵AB CD ∥,AE FD ∥,∴△BFH ∽△BAG ,△BAG ∽△CEG ,△BFH ∽△CEG ,△BFH ∽△CDH ,△CEG ∽△CDH ,△CDH ∽△BAG .∴相似三角形共有6对.故选C.【点睛】本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似,以及n 个图形任意两个都相似,共有几对相似的计算方法.变式3.(2021·北京大兴·九年级期中)下列条件中,不能判断△ABC 与△DEF 相似的是( )A .∠A =∠D ,∠B =∠FB .BC AC EF DF =且∠B =∠D C .AB BC AC DE EF DF ==D .AB AC DE DF=且∠A =∠D(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.◎考点题型3 判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.例.(2019·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习)下列条件中能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的是( )A .∠A =∠B ,∠A ′=∠BB .∠A =∠A ′,∠B =∠CC .∠A =∠A ′,AB BC A B B C =¢¢¢¢D .∠A =∠A ′,AB =AC ,A ′B ′=A ′C ′变式1.(2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中)如图,在ABC V 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,DE 与BC 不平行,那么下列条件中,不能判断ADE V ∽ACB △的是( ).A .ADE C Ð=ÐB .AED B Ð=ÐC .AE DE AB BC =D .AD AE AC AB=变式2.(2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室九年级期末)如图,△ABC 中,CE ⊥AB ,垂足为E ,BD ⊥AC ,垂足为点D ,CE 与BD 交于点F ,则图中相似三角形有几对( )A .6对B .5对C .4对D .3对【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可.【详解】解:∵BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,∴∠AEC =∠ADB =90°,∠BEF =∠CDF =90°,∵∠A =∠A ,∠EFB =∠DFC ,∴△AEC ∽△ADB ,△BEF ∽△CDF ,∵∠EBF =∠ABD ,∠BEF =∠ADB =90°,∴△BEF ∽△BDA ∽△CEA ∽△CDF ,∴共有6对相似三角形,故选:A .【点睛】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法,属于中考常考题型.变式3.(2021·全国·九年级课时练习)如图,在ACB △中,90,ACB AF Ð=°是BAC Ð的平分线,过点F 作FE AF ^,交AB 于点E ,交AC 的延长线于点D ,则下列说法正确的是( )A .CDF EBFV V ∽B .ADF ABF V V ∽C .ADF CFD V V ∽D .ACF AFEV V ∽【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法AA 解题.【详解】解:EF AF^Q 90AFE \Ð=°90ACB AFE \Ð=Ð=°AF Q 是BAC Ð的平分线,CAF FAE\Ð=Ð()ACF AFE AA \V :V 故选项D 符合题意,选项A 、B 、C 均不符合题意,故选:D .【点睛】本题考查相似三角形的判定方法,角平分线的性质等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.◎考点题型4判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.例.(2022·河北保定·九年级期末)如图,DAB CAE Ð=Ð,请你再添加一个条件,使得ADE ABC D D ∽.则下列选项不成立的是( )A .D BÐ=ÐB .E C Ð=ÐC .AD AE AB AC =D .AD DE AB BC=【答案】D 【分析】先根据DAB CAE Ð=Ð,可得DAE BAC Ð=Ð,然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可.变式1.(2021·江苏·九年级专题练习)如图,四边形ABCD 的两条不等长对角线AC ,BD 相交于点O ,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若::1:2OA OC OB OD ==,则( )A .甲、丙相似,乙、丁相似B .甲、丙相似,乙、丁不相似C .甲、丙不相似,乙、丁相似D .甲、丙不相似,乙、丁不相似【答案】B 【分析】根据已知及相似三角形判定定理,对四个三角形的关系进行分析,从而得到最后答案.【详解】在OAB V 和OCD V 中,::OA OC OB OD =,又AOB COD Ð=Ð,∴OAB OCD ∽△△,即甲丙相似;无法证明OAD OBC V V ∽,即乙丁不相似.故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.变式2.(2021·河北承德·九年级期末)如图,在ABC V 中,D 为AB 上一点,若2AC AD AB =×,则( )A .ADC V ~CBDV B .BDC V ~BCA V C .ADC V ~ACB △D .无法判断【答案】C变式3.(2020·广西贺州·九年级阶段练习)如图,在Rt ABC △中,90ACB Ð=°,CD AB ^,垂足为D ,8AD =,2DB =,则CB 的长为( )A .B .4C .12D .16故选:A【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质,利用平方根的含义解方程,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.◎考点题型5 判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似例.(2020·安徽·九年级阶段练习)如图,已知ABC V 与BDE V 都是等边三角形,点D 在边AC 上(不与点A 、C 重合),DE 与AB 相交于点F ,下列结论中不一定成立的是( )A .BEF DAF∽△△B .BCD DAF ∽△△C .ADF ABD V V ∽D .BDF BAD∽△△【答案】C 【分析】结合题意,运用相似三角形的判定定理逐项分析即可【详解】∵ABC V 与BDE V 都是等边三角形,∴∠A=∠E=60°,又∵∠EFB=∠AFD ,∴∠FBE=∠FDA ,∴BEF DAF ∽△△,A 选项正确;∵∠EBD=∠ABC=60°,∴∠EBD-∠FBD=∠ABC-∠FBD ,∴∠DBC=∠FBE ,∴∠DBC=∠FDA ,又∵∠A=∠C=60°,∴BCD DAF ∽△△,B 选项正确;对于C 选项,条件不明确,无法证明一定相似,故错误;∵∠DBF=∠ABD ,∠FDB=∠A=60°,∴BDF BAD ∽△△,D 选项正确.【点睛】本题考查相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.变式1.(2020·浙江·滨兰实验学校九年级阶段练习)如图,四边形ABGH ,四边形BCFG ,四边形CDEF 都是正方形,图中与DFG D 相似的三角形为( )A .DFHV B .DGH V C .DEG △D .DEH△变式2.(2021·江苏·九年级专题练习)在△ABC 中,点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的周长之比为( )A .12B .13C .14D .16【答案】A∵点D ,E 分别为变式3.(2021·浙江杭州·九年级阶段练习)如图,在正三角形ABC 中,点D 、E 分别在AC 、AB 上,且13AD AC =,AE =BE ,则有( )A .△AED ∽△BEDB .△AED ∽△CBDC .△AED ∽△ABDD .△BAD ∽△BCD但△BCD为一个锐角三角形,故D也错误;故选:B.【点睛】此题考查相似三角形的判定,解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义,大小不同,形状相同,排除错误答案,得到正确结论.◎考点题型6 相似三角形基本图形--8字型有一组隐含的等角(对顶角),此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行,∠A=∠C) (AB∥CD)例.(2021·江苏·九年级专题练习)如图,E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE.交AC于O,交AD于F.求证:2BO OE OF=g.例相等是解决本题的关键.变式1.(2021·重庆·九年级期末)如图AD 与CE 交于B ,且AB CB BD BE=.(1)求证:ABC V ∽DBE V .(2)若8AC =,6BC =,9CE =,求DE 的长.变式2.(2021·全国·九年级专题练习)已知:如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,DE ∥BC ,点F 在边AB 上,BC 2=BF•BA ,CF 与DE 相交于点G .(1)求证:DF•AB=BC•DG ;(2)当点E 为AC 中点时,求证:2DF•EG=AF•DG .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)由BC 2=BF•BA ,∠ABC=∠CBF 可判断△BAC ∽△BCF ,再由DE ∥BC 可判断BCF DGF V V ∽,【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.变式3.(2013·云南德宏·中考真题)如图,是一个照相机成像的示意图.(1)如果像高MN 是35mm ,焦距是50mm ,拍摄的景物高度AB 是4.9m ,拍摄点离景物有多远?(2)如果要完整的拍摄高度是2m 的景物,拍摄点离景物有4m ,像高不变,则相机的焦距应调整为多少?∵D MN CL AB L =,◎考点题型7 相似三角形基本图形--A 字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③,∠DAF +∠BAD =∠DAF +∠EAF ),此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例例.(2021·辽宁丹东·九年级期中)如图,△ABD 中,∠A =90°,AB =6cm ,AD =12cm .某一时刻,动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动;同时,动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动,运动的时间为ts .(1)求t 为何值时,△AMN 的面积是△ABD 面积的29;(2)当以点A ,M ,N 为顶点的三角形与△ABD 相似时,求t 值.变式1.(2021·江苏·九年级)在ABC V 中,()0AB m m =>,D 为AB 上一点,过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ,连接CD .设21,DCE ABC S S S S ==V V ,求21S S 的取值范围.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,二次函数的性质运用等,掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例,以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.变式2.(2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习)V中,90Rt ABCBC=,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动Ð=°,20cmCAC=,15cm点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.(1)求运动时间为多少秒时,P、Q两点之间的距离为10cm?V的面积为S,求S关于t的函数关系式.(2)若CPQV相似?(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与ABC变式3.(2021·上海市金山初级中学九年级期中)如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E、点F在边AC上,且DE∥BC,AF AE FE EC=.(1)求证:DF∥BE;(2)如且AF=2,EF=4,AB=△ADE∽△AEB.◎考点题型8 相似三角形基本图形--母子型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2=AD·AB仍成立,另CD2=AD·BD)例.(2022·江苏南京·九年级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且ADAC=ACAB.(1)求证△ACD∽△ABC;(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.变式1.(2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C 的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB.(1)求证:CP是⊙O的切线;(2)若M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=6,求MC•MN的值.【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用,等腰直角变式2.(2021·安徽合肥·九年级期中)ABC V 中,90ABC Ð=°,BD AC ^,点E 为BD 的中点,连接AE 并延长交BC 于点F ,且有AF CF =,过F 点作FH AC ^于点H .(1)求证:ADE CDB V V ∽;(2)求证:=2AE EF ;(3)若FH BC 的长.变式3.(2021·安徽滁州·九年级期中)如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上一点,且AB ADAC CE=,∠BAD=∠ECA.(1)求证:AC2=BC•CD;(2)若AD是△ABC的中线,求CEAC的值.◎考点题型9 相似三角形基本图形--K字型如图①,∠D+∠DBA=∠E+∠EBC=∠DBA+∠EBC=90°,∴∠EBC=∠D,∠E=∠DBA,且一组直角相等,用任意两组等角即可证得三角形相似例.(2022·上海·七年级专题练习)等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.(1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;(2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积;(3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长.变式1.(2022·山东菏泽·三模)(1)问题如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当90DPC A B Ð=Ð=Ð=°时,求证:AD BC AP BP ×=×.(2)探究若将90°角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变,上述结论还成立吗?说明理由.(3)应用如图3,在ABC V 中,AB =45B Ð=°,以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △.点D 在BC 上,点E在AC 上,点F 在BC 上,且45EFD Ð=°,若CE =CD 的长.变式2.(2021·全国·九年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC mAC n=,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.(1)探究发现:如图1,若m=n,点E在线段AC上,则DEDF= ;(2)数学思考:①如图2,若点E在线段AC上,则DEDF= (用含m,n的代数式表示);②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图3的情形给出证明;(3)拓展应用:若AC BC=DF=CE的长.Ð=oACB90Q,\Ð+Ð=oA ABC90V中,CF在Rt CEF根据勾股定理得,V中,CF在Rt CEF根据勾股定理得,CE(2[25\++CE CE在Rt CEF V 中,2CF AE =根据勾股定理得,2CE +()22[25]CE CE \+-=变式3.(2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末)【感知】如图①,在四边形ABCD 中,点P 在边AB 上(点P 不与点A 、B 重合),90A B DPC Ð=Ð=Ð=°.易证DAP PBC △△∽.(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD 中,点P 在边AB 上(点P 不与点A 、B 重合),A B DPC Ð=Ð=Ð.若4PD =,8PC =,6BC =,求AP 的长.【拓展】如图③,在ABC V 中,8AC BC ==,12AB =,点P 在边AB 上(点P 不与点A 、B 重合),连结CP ,作CPE A Ð=Ð,PE 与边BC 交于点E ,当CPE △是等腰三角形时,直接写出AP 的长.◎考点题型10 相似基本模型(手拉手型)基础模型:旋转放缩变换,图中必有两对相似三角形.例.(2021·全国·九年级专题练习)在Rt ABC V 和Rt DEF △中,30ABC EDF Ð=Ð=°,90BAC DEC Ð=Ð=°,BC 与DF 在同一条直线上,点C 与点F 重合,2AC =,如图为将CED V 绕点C 顺时针旋转30°后的图形,连接BD ,AE ,若12EF AC =,求BDC V 和AEC △的面积.∵AC=2,1EF=AC 2,∴EC=1,变式1.(2021·全国·九年级专题练习)如图,已知点E 在ABC V 内,ABC EBD a Ð=Ð=,60ACB EDB Ð=Ð=°,150AEB Ð=°,90BEC Ð=°.(1)当60a =°时,求证:BD =;(2)当90a =°时,求BD AE 的值.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是变式2.(2022·河南周口·九年级期末)观察猜想V中,点M是边BC上任意一点(不含端点B、C),连接AM,以AM为边作等边(1)如图1,在等边ABCÐ的数量关系是______.AMNV,连接CN,则ABCÐ与ACN(2)类比探究V中,点M是BC延长线上任意一点(不含端点C),(1)中其它条件不变,(1)中结如图2,在等边ABC论还成立吗?请说明理由.(3)拓展延伸如图3,在等腰ABC V 中,BA BC =,点M 是边BC 上任意一点(不含端点B 、C ),连接AM ,以AM 为边作等腰AMN V ,使顶角AMN ABC Ð=Ð.连按CN .试探究ABC Ð与ACN Ð的数量关系,并说明理由.变式3.(2022·全国·九年级专题练习)如图,ABC V 为等边三角形,D 为AC 边上一点,连接BD ,M 为BD 的中点,连接AM .(1)如图1,若AB =,∠ABD =45°,求AMD V 的面积;(2)如图2,过点M 作MN AM ^与AC 交于点E ,与BC 的延长线交于点N ,求证:AD =CN ;(3)如图3,在(2)的条件下,将ABM V 沿AM 翻折得'AB M V ,连接B'N ,当B'N 取得最小值时,直接写出BN DEMN-的值.(2)如解图2,过点A作AG^∵△ABC为等边三角形,∴BG=GC,∵BM=DM,(3)取AC的中点Q,连接∵将△ABM沿AM翻折得Ð=Ð,AB ∴BAM MAB¢【点睛】本题主要考查了三角形综合,涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点,难度大,综合性强,需要平时积累和训练.解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系.◎考点题型11 相似基本模型(一线三等角型)基础模型:如图1,∠B=∠C=∠EDF 推出△BDE ∽△CFD (一线三等角)如图2,∠B=∠C=∠ADE 推出△ABD ∽△DCE (一线三等角)如图3,特别地,当D 时BC 中点时:△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ,FD 平分∠EFC.例.(2022·全国·九年级课时练习)如图,在ABC V 中,点D E 、分别在边BC AC 、上,连接AD DE 、,且B ADE C Ð=Ð=Ð.(1)证明:BDA CED △∽△;(2)若45,2B BC Ð=°=,当点D 在BC 上运动时(点D 不与B C 、重合),且ADE V 是等腰三角形,求此时BD 的长.)。
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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念(1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。
(2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b=.②()a ca b c d b d==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB.即12AC BC AB AC ==简记为:长短=全长注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质:①bc ad d c b a =⇔=::;②2::a b b c b a c =⇔=⋅.注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=.(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b da c=⇔=.(4)合、分比性质:a c abcd b d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等.(5)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b an f d b m e c a =++++++++ .注:①此性质的证明运用了“设k 法”(即引入新的参数k )这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b . 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注:①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边......与原三角形三边......对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注:平行线分线段成比例定理的推论:平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注:①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.B③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:①反身性:对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆.②对称性:若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆.③传递性:若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形:用数学语言表述是:BC DE // , ∴ ADE ∆∽ABC ∆. 知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形E AB C D(3)D B C A E (2)C D E AB DBC1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”)(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)ABCD E12AABBCC DDEE12412B(3)B(2)D(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用:(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;(3)满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.(4)当AD AEAC或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.知识点9 全等与相似的比较:知识点10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.知识点11 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法:(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理BEACD12(3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳:(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.即:找相似找不到,找中间比。
方法:将等式左右两边的比表示出来。
①)(,为中间比nm n m d c n m b a ==②'',,n n n md c n m b a ===③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 (4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。