动态规划求解TSP问题分析

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动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告

TSP问题算法实验报告指导教师：****名：***学号：**********提交日期：2015年11月目录总述 (2)动态规划法 (3)算法问题分析 (3)算法设计 (3)实现代码 (3)输入输出截图 (6)OJ提交截图 (6)算法优化分析 (6)回溯法 (6)算法问题分析 (6)算法设计 (7)实现代码 (7)输入输出截图 (9)OJ提交截图 (9)算法优化分析 (10)分支限界法 (10)算法问题分析 (10)算法设计 (10)实现代码 (10)输入输出截图 (15)OJ提交截图 (15)算法优化分析 (15)总结 (16)总述TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。

动态规划法算法问题分析假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。

首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。

设数组dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。

算法设计输入：图的代价矩阵mp[n][n]输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度1.初始化第0列（动态规划的边界问题）for(i=1;i<n;i++)dp[i][0]=mp[i][0]2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]for(i=1;i<n;i++)if（子集x[j]中不包含i）对x[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min{mp[i][k]+dp[k][j-1]};3.输出最短路径长度。

TSP问题分析动态规划,分支界限法,蛮力法

算法综合实验报告学号： 1004111115 姓名：李宏强一、实验内容：分别用动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题（无向图）的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。

二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：（包括程序的数据结构、函数组成、输入/输出设计、符号名说明等）1、动态规划法(1)数据结构：利用二进制来表示集合，则集合S可由一个十进制数x相对应，此x所由一个十进制数x相对应，此x所对应的二进制数为y，如果y的第k位为1，则表示k存在集合S中。

例如：集合S={0，1}（其子集合为{}{0}{1}{01}），我们用二进制数11（所对应十进制数为3）表示S，11中右手边第1个数为1表示0在集合S中，右手边第二个数为1表示1在集合S中，其他位为0表示其它数字不在集合S中；同理,集合S={0,2}（其子集合为{}{0}{2}{02}可用二进制数101（所对应十进制数为5）表示（右手边第1个数为1表示0在集合S中，右手边第二个数为0表示1不在集合S中，右手边第3个数为1表示2在集合S中，则说明0，2在集合中，1不在集合中。

利用邻接矩阵表示任意两点之间的距离例如：mp[i][j]表示点i，j两点之间的距离。

(2)函数组成输入函数in()利用动态规划法算法实现的求解函数solve()主函数main()(3)输入/输出设计本程序可以通过键盘进行输入、屏幕进行输出。

（根据实际程序情况，还可以选择随机产生输入数据、将输出数据输出到文件等其它方式）这里采用随机产生输入数据，将数据输出在屏幕上的方式。

(4)符号名说明n 表示顶点个数。

mp[i][j] 表示顶点i和顶点j之间的距离。

dp[i][j] 表示顶点i经过集合S(用二进制表示的数为j)后回到起始点的最短路径和。

(5)算法描述某一个点i不经过任意点回到起始点的最短路径和为mp[i][0](默认初始点为0)dp[i][0] = mp[i][0]; (1<=i<n)点i经过集合S（二进制表示的数为j）的最短路径和为从点i经过集合S中的某一点k后再从该点出发，经过集合S-{k}的最小值。

动态规划解TSP问题

用动态规划方法编程求解下面的问题：某推销员要从城市v1 出发，访问其它城市v2，v3，…，v6 各一次且仅一次，最后返回v1。

D为各城市间的距离矩阵。

问：该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？1、变量设定阶段k：已遍历过k个结点，k=1,2…6,7。

K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1状态变量Xk=(i，Sk)：已遍历k个结点，当前位于i结点，还未遍历的结点集合为Sk。

则X1=(1，{2,3,4,5,6})，X6=(i，Φ)，X7=(1，Φ)决策变量Uk=(i，j)：已遍历k个结点，当前位于i结点，下一个结点选择j。

状态转移方程：X k+1 = T(Xk，Uk) = (j，Sk-{j})第k阶段的指标函数Vk = D[i,j]。

最优指标函数Fk(Xk) = Fk(i，Sk)：已遍历k个结点，当前从i结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。

则Fk(i，Sk) = min{ D[i,j] + F k+1(j，Sk-{j}) } 1≤k≤6F7(X7) = F7(1，Φ) = 02、分析：3、伪代码和时间复杂度为方便计算，结点编号改为0到5.(1)用一张二维表格F[][]表示F(i,Sk)，行数是n，列数是2n-1。

(2)行号表示当前所在的结点i。

列号对应的五位二进制表示表示{V5,V4,V3,V2,V1}的一个子集，1表示在集合中，0表示不在集合中。

例如：00110表示的集合为{V3,V2}，00000表示空集(3)再用一张n*2n-1的表格M[][]存储对应每个状态(i，Sk)所做的最优决策，以便回溯找最短路线。

伪代码：TSP(int D[][]，int n)//输入n个顶点的有向图，矩阵D[][]是有向图的邻接矩阵//D[][]是原图的邻接矩阵//F[][]中存储阶段最短路径，M[][]中存储阶段最优策略, 行数是n，列数是2n-1//找到从V0出发，遍历所有城市一次且仅一次再回到V0的最短路径长度//并输出最短路径{for(i=0; i<n; i++)F[i][0] = D[i][0]; //初始化第0列，F6(i，Φ)= D[i,0]for(i=1; i<2n-1-1; i++) //列for(j=1; j<n; j++) //行if(j不在i的二进制表示对应的集合中)对于i对应集合中的每一个点k{计算D[j][k]+F[k][i-2k-1]并选择使之取得最小值min的k*;F[k][i] = min ; //填表，记录阶段最优值M[k][i] = k* ; //记录每个状态的最优决策k*}//i==2n-1-1 时对于i中的每个节点k计算D[0][k] + F[k][ [i-2k-1]并选择使之取得最小值min的k*F[0][ 2n -1-1] = min; //总最短路径 M[0][ 2n -1-1] = k*;//回溯查表M 输出最短路径输出V0for(2n -1-1,j=0; i>0; ) { j = M[j][i];//下一步去往哪个结点 i = i –2j -1;//从i 表示的集合中删除j 输出Vj }}考虑算法中所做的加法和比较次数:∑k (k −1)(n −1k)n−1k=2 + (n -1) = (n -1)(n -2)2n -3 + (n -1) = O(n 22n )。

动态规划求解TSP问题

f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7

对于k=4, 有

f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造

决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}

动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告材料

TSP问题算法实验报告指导教师：季晓慧姓名：辛瑞乾学号： 1004131114 提交日期： 2015年11月目录总述 (2)动态规划法 (3)算法问题分析 (3)算法设计 (3)实现代码 (3)输入输出截图 (6)OJ提交截图 (6)算法优化分析 (6)回溯法 (6)算法问题分析 (6)算法设计 (7)实现代码 (7)输入输出截图 (9)OJ提交截图 (10)算法优化分析 (10)分支限界法 (10)算法问题分析 (10)算法设计 (10)实现代码 (11)输入输出截图 (15)OJ提交截图 (16)算法优化分析 (16)总结 (16)总述TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。

动态规划法算法问题分析假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。

首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。

Tsp问题的几种算法的分析

摘要本文分析比较了tsp问题的动态计划算法，分支界限法，近似等算法。

分析了旅行商问题的时刻度特点，针对启发式算法求解旅行商问题中存在的一些问题提出了改良算法。

此算法将群体分为假设干小子集，并用启发式交叉算子，以较好利用父代个体的有效信息，达到快速收敛的成效，实验说明此算法能提高寻优速度，解得质量也有所提高。

关键词：旅行商问题 TSPAbstractthis paper analyzed the time complexity of traveling salesman problem,then put forward some imprivement towards the genetic algorithm for solving this problen: divding the population into some small parent individual well.so it can quickly get into convergence, the experimental result indicates the impwoved algorithm can accelerate the apeed of finding solution and improve the precision. Keywords traveling salesman problem; genetic algorithm; subset; henristic crossover operator目录1、摘要--------------------------------------------------------------12、Abstract---------------------------------------------------------13、Tsp问题的提法------------------------------------------------24、回溯法求Tsp问题--------------------------------------------35、分支限界法求Tsp问题--------------------------------------76、近似算法求解Tsp问题-------------------------------------107、动态计划算法解Tsp问题----------------------------------12引言tsp问题刚提出时，很多人都以为很简单。

动态规划解TSP问题

用动态规划方法编程求解下面的问题：某推销员要从城市v1 出发，访问其它城市v2，v3，…，v6 各一次且仅一次，最后返回v1。

D 为各城市间的距离矩阵。

问：该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=012201622561801011274516804323415105019232125301801250403020100654321v v v v v v D1、变量设定阶段k ：已遍历过k 个结点，k=1,2…6,7。

K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1状态变量Xk=(i ，Sk)：已遍历k 个结点，当前位于i 结点，还未遍历的结点集合为Sk 。

则X1=(1，{2,3,4,5,6})，X6=(i ，Φ)，X7=(1，Φ)决策变量Uk=(i ，j)：已遍历k 个结点，当前位于i 结点，下一个结点选择j 。

状态转移方程：X k+1 = T(Xk ，Uk) = (j ，Sk-{j}) 第k 阶段的指标函数Vk = D[i,j]。

最优指标函数Fk(Xk) = Fk(i ，Sk)：已遍历k 个结点，当前从i 结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。

则Fk(i ，Sk) = min{ D[i,j] + F k+1(j ，Sk-{j}) } 1≤k ≤6 F 7(X7) = F 7(1，Φ) = 02、分析：（1）k=6时，F6(i ，Φ) = min{D[i,1] + F7(X7)} = D[i,1] i=2,3,4,5,6（6）k=1时，F1(1,S1) = min{D[1,j] + F2(j,S2)}3、伪代码和时间复杂度为方便计算，结点编号改为0到5.(1)用一张二维表格F[][]表示F(i,Sk)，行数是n，列数是2n-1。

(2)行号表示当前所在的结点i。

列号对应的五位二进制表示表示{V5,V4,V3,V2,V1}的一个子集，1表示在集合中，0表示不在集合中。

TSP问题分析动态规划-分支界限法-蛮力法教学文案

T S P问题分析动态规划-分支界限法-蛮力法算法综合实验报告学号： 1004111115 姓名：李宏强一、实验内容：分别用动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题（无向图）的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。

二、程序设计的基本思想、原理和算法描述：（包括程序的数据结构、函数组成、输入/输出设计、符号名说明等）1、动态规划法(1)数据结构：①利用二进制来表示集合，则集合S可由一个十进制数x相对应，此x所对应的二进制数为y，如果y的第k位为1，则表示k存在集合S中。

②利用邻接矩阵表示任意两点之间的距离例如：mp[i][j]表示点i，j两点之间的距离。

(2)函数组成①输入函数in()②利用动态规划法算法实现的求解函数solve()③主函数main()(3)输入/输出设计本程序可以通过键盘进行输入、屏幕进行输出。

（根据实际程序情况，还可以选择随机产生输入数据、将输出数据输出到文件等其它方式）这里采用随机产生输入数据，将数据输出在屏幕上的方式。

(4)符号名说明① n 表示顶点个数。

② mp[i][j] 表示顶点i和顶点j之间的距离。

③ dp[i][j] 表示顶点i经过集合S(用二进制表示的数为j)后回到起始点的最短路径和。

(5)算法描述①某一个点i不经过任意点回到起始点的最短路径和为mp[i][0](默认初始点为0)dp[i][0] = mp[i][0]; (1<=i<n)②点i经过集合S（二进制表示的数为j）的最短路径和为从点i经过集合S中的某一点k后再从该点出发，经过集合S-{k}的最小值。

TSP-动态规划

算法总体思想
动态规划算法总体思想 :
在每种情况下, 列出各种可能的局部解, 然后按某些条件, 从局部解（或中间解）中挑选出可能产生最佳解的结果，而扬弃其余。
TSP问题
从某一城市出发，遍历各城市一次且仅一次，最后返回原地，求最短路径。分析: 令T(Vi;V)表示从Vi出发, 经V各点一次, 最后返回Vi的路径模型 T(Vi;V)=min{dij+T(Vj;V\{vj})} 要求的问题是:
TSP问题
从某一城市出发，遍历各城市一次且仅一次，最后返回原地，求最短路径。 (3) T(V2;V3,V4)=20 T(V3;V2,V4)=19 T(V4;V2,V3)=18 (4) T(V1;V2,V3,V4)=min{d12+T(V2;V3, V4), d13+T(V3; V2,V4), d14+T(V4;V2,V3)} =min{6+20,7+19,9+18} =26 故最短路径为：1,2,4,3,1 1,3,4,2,1
TSP问题
复杂性估计：
T(V1;V2,V3,V4)
T(V2;V3,V4)
T(V2;V3) T(V2;V4)
T(V3;V2,V4)
T(V3;V2) T(V3;V4)
T(V4;V2,V3) T(V4;V2) T(V4;V3)
T(v34; φ)
T(V2;φ)
T(v3; φ)
算法总体思想
结论 :
动态规划虽然提供了一种解法，但也不是一种可行的算法。
算法总体思想
最佳原理 :
假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1,D2,…,Dn，如若这个决策是最优的，对于任何一个整数k，1<k<n，不论前面k个是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策 DK+1,Dk+2,…,Dn也是当前最优的。

动态规划-TSP问题-最短超级串

动态规划-TSP问题-最短超级串2020-03-03 22:55:08问题描述：给定⼀个字符串数组 A，找到以 A 中每个字符串作为⼦字符串的最短字符串。

我们可以假设 A 中没有字符串是 A 中另⼀个字符串的⼦字符串。

⽰例 1：输⼊：["alex","loves","leetcode"]输出："alexlovesleetcode"解释："alex"，"loves"，"leetcode" 的所有排列都会被接受。

⽰例 2：输⼊：["catg","ctaagt","gcta","ttca","atgcatc"]输出："gctaagttcatgcatc"提⽰：1 <= A.length <= 121 <= A[i].length <= 20问题求解：解法⼀：暴⼒求解⾸先我们要明确的就是，本题可以转化成图论的题⽬，就是在⼀个图中要遍历所有的节点⼀次，最后路径的最⼩值是多少。

（这⾥和TSP略有不同，即我们不需要返回起始节点）暴⼒求解，可以理解为全排列，只不过我们做了⼀些剪枝操作进⾏了加速。

时间复杂度：O(n!)int res = (int)1e9;List<Integer> path;int n;public String shortestSuperstring(String[] A) {n = A.length;int[][] graph = new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {for (int k = Math.min(A[i].length(), A[j].length()); k >= 0; k--) {if (A[j].substring(0, k).equals(A[i].substring(A[i].length() - k))) {graph[i][j] = A[j].length() - k;break;}}}}helper(A, graph, 0, 0, 0, new ArrayList<>());StringBuffer sb = new StringBuffer();for (int i = 0; i < n; i++) {int node = path.get(i);String s = A[node];if (i == 0) sb.append(s);else sb.append(s.substring(s.length() - graph[path.get(i - 1)][node]));}return sb.toString();}private void helper(String[] A, int[][] graph, int k, int used, int curr, List<Integer> curr_p) {if (curr >= res) return;if (k == n) {res = curr;path = new ArrayList<>(curr_p);return;}for (int i = 0; i < n; i++) {if ((used & (1 << i)) != 0) continue;curr_p.add(i);helper(A, graph, k + 1, used | (1 << i), k == 0 ? A[i].length() : curr + graph[curr_p.get(curr_p.size() - 2)][i], curr_p);curr_p.remove(curr_p.size() - 1);}}解法⼆：DPdp[s][i] : 当前访问过的节点状态为s，且以i为结尾的最短路径。

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。

由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。

本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。

1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。

由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。

枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。

2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。

直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。

最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。

3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。

插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。

插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。

缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。

4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。

在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。

遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。

缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。

5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。

在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。

动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。

缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。

以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。

不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。

TSP问题之动态规划法PPT课件

序号０１２３４５６７
集合表示 000 001 002 003 012 013 023 123
.
11
动态规划法（一）
动态规划法：定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量的重复计算。特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2}) }
C
(
ci j
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), C13+ d(3, {2})} d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), C23+ d(3, {1})} d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}), C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {})
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
.
12
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

tsp问题有几种方案

TSP问题有几种方案引言TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，找出一条最短路径，使得旅行商可以从起始城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到起始城市。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学领域被广泛研究。

本文将介绍TSP问题的几种解决方案。

1. 暴力法暴力法是最简单直接的解决TSP问题的方法。

该方法通过枚举所有可能的路径，并计算每个路径的总距离，最后找出最短路径。

但是，由于TSP问题的解空间随着城市数量的增加呈指数级增长，因此暴力法的时间复杂度非常高，不适用于大规模的问题。

2. 穷举法穷举法是改进的暴力法，通过剪枝操作减少了暴力法的时间复杂度。

穷举法一般使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来遍历解空间，并在搜索过程中记录当前路径的总距离。

当搜索到目标节点时，更新最短路径。

穷举法的时间复杂度仍然很高，但相比暴力法有所改善。

3. 动态规划动态规划是一种常用的解决TSP问题的方法。

动态规划通过将原问题划分为若干子问题，并记录每个子问题的最优解，从而通过计算较小规模的问题得到整体问题的最优解。

具体来说，动态规划中的状态转移方程可以表示为：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])，其中 S 表示已经访问过的城市集合，i 表示当前城市，j 表示 i 的上一个访问的城市。

通过迭代计算出 dp[S][i]，最后找出使得 dp[S][i] + d[i][0] 最小的 i 值作为最优路径的终点。

4. 贪心算法贪心算法是一种启发式算法，它通过贪心地选择当前最优解来逐步构建整体问题的解。

在TSP问题中，贪心算法每一步都选择离当前城市最近的未访问过的城市，直到遍历完所有城市。

然而，贪心算法并不能保证得到最优解，因为局部最优解并不一定是全局最优解。

5. 遗传算法遗传算法是一种演化算法，模拟生物进化的过程来寻找最优解。

动态规划法-回溯法-分支限界法求解TSP问题实验报告

{
for(int i=1;i<=n;i++)
vis[i]=x[i];
ans=cur+mp[x[n-1]][x[n]]+mp[x[n]][1];
}
}
else
{
for(int i=t;i<=n;i++)
{
if(mp[x[t-1]][x[i]]!=-1&&(cur+mp[x[t-1]][x[i]]<ans||ans==-1))
一般情况下，假设当前已确定的路径为U=(r1,r2,…,rk),即路径上已确定了k个顶点，此时，该部分解的目标函数值的计算方法（限界函数）如下：
Lb=（2∑c[ri][r(i+1)]+∑ri行不在路径上的最小元素+∑ri行最小的两个元素）/2
算法设计
输入：图G=(V,E)
输出：最短哈密顿回路
1、根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up；
算法设计
输入：图的代价矩阵mp[n][n]
输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度
1.初始化第0列（动态规划的边界问题）
for(i=1;i<n;i++)
dp[i][0]=mp[i][0]
2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]
for(i=1;i<n;i++)
if（子集x[j]中不包含i）
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
using namespace std;

动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告

#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
using namespace std;
int mp[20][20];
int x[30],vis[30];
int n,k,cur,ans;
void init()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
mp[i][j]=inf;
continue;
}
int tmp;
scanf("%d",&tmp);
mp[i][j]=tmp;
}
}
int mx=(1<<(n-1));
dp[0][0]=0;
for(int i=1; i<n; i++)
{
dp[i][0]=mp[i][0];
}
dp[0][mx-1]=inf;
实现代码
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
算法设计
输入：图的代价矩阵mp[n][n]
输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度

tsp问题总结归纳

tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。

本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。

一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。

该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。

在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。

二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。

然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。

2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。

动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。

3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。

遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。

三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。

通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。

结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。

穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。

TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。

通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。