专题复习(五)_图形的折叠问题

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中考数学八大题型集训：专题复习(5)图形的折叠问题含解析

专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题(·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．【解答】连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，32)，∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝32，BO ＝BC ，则tan ∠COD ＝CD OD ＝33，故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DCsin60°＝1，故A(1，0)，sin30°＝CD CO ＝32CO ＝12.则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（）A.34B.45C.56D.672．(·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．3．(·宜宾)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．4．(·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题(·南充)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP ＝∠DQC ，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD ；(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AMBP＝AP BQ ，即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ ，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ，同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝xBQ ，得BQ ＝x 2.由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ ，得CQ ＝2.∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2.∴MD ＝AD －1＝x 2＋1.∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝35，∴2x x 2＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)．即AB ＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．1．(·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．12 3D ．16 32．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（）A．13 B.152C.272D．123．(·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4．(·成都)如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C 恰好与边AB 上的点D 重合，折痕为EF ，∴∠EDF ＝∠C＝60°，CE ＝DE ，CF ＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED ＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴AE BD ＝AD BF ＝DEFD .设等边△ABC 边长为6个单位，CE ＝x ，CF ＝y ，AE ＝6－x ，BC ＝6－y ，∴6－x 4＝26－y ＝x y ，解得x ＝145，y ＝72.∴x ∶y ＝4∶5，故选择B.2.65°3.1.54.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A3.B 提示：由题意，易知y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x 轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y ＝x ＋b 过(－1，0)时，b ＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y ＝x ＋b 过(3，0)时，b ＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y ＝x ＋b 过(1，－4)时，b ＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.4.35. 6 提示：作AH⊥BC 于H.∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE ＝EF ，CE ＝EF ，AF ＝AD ＝2，BF ＝CB ＝3.∴DC＝2EF ，AB ＝5.∵AD∥BC，∠C ＝90°， ∴四边形ADCH 为矩形，∴AH ＝DC ＝2EF ，HB ＝BC －CH ＝BC －AD ＝1.在Rt△ABH 中，AH ＝AB 2－BH 2＝26，∴EF ＝ 6. 6.2≤x≤87.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD ＝CE ，DC ＝EA ，∠ACD ＝∠CAE. 在△CED 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝AD ，DE ＝ED ，DC ＝EA ，∴△DEC ≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF ＝CF.设DF ＝x ，则AF ＝CF ＝4－x ，在Rt△ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，即DF ＝78.(3)由矩形PQMN 的性质得PQ∥CA， ∴PE CE ＝PQCA. 又∵CE＝3，AC ＝AB 2＋BC 2＝5.设PE ＝x(0＜x ＜3)，则x 3＝PQ 5，即PQ ＝53x.过E 作EG⊥AC 于G ，则PN∥EG，∴CP CE ＝PN EG. 又∵在Rt△AEC 中，EG ·AC ＝AE·CE，解得EG ＝125.∴3－x 3＝PN 125，即PN ＝45(3－x)．设矩形PQMN 的面积为S ，则S ＝PQ·PN＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3(0＜x ＜3)．∴当x ＝32，即PE ＝32时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3.。

矩形的折叠问题(专题)

→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹ +BC¹ = 。

初中数学中有关图形的折叠问题

专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

中考数学专题复习图形的折叠型题PPT课件

(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后
所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 **** n
所得扇形的总个数(S)
47
***
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将本来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
例26、如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个
例25、如图，⊙O表示一圆形纸板，根
O
据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪，
第25题图
将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得的
扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁
的作法进行下去.(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次
剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹不写作法).
角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图
形的面积为原正方形面积的 5 ，请说明理由(写
出证明及计算过程).
9
E
A M DA M
例22、电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制
成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫 “晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
典例精析
一．折叠后求度数例1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（） A．600 B．750 C．900 D．950
例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C
分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则 ∠AED′等于（） A．50° B．55° C．60° D．65°

中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

浙教版初中数学中考复习-折叠问题 (共46张PPT)

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解析：
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点 E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
（2）外角
（3）三角函数
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考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
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解析：
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考向六：折叠综合问题
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解析：
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考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• 【分析】(2)由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相
•
等，再由AP＝EB，利用AAS即可得证；
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考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• (3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))

专题考试__图形折叠问题[]

2010年专题复习图形折叠问题图形折叠问题是近年来中考地一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形地对称轴，互相重合地两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.要充分运用以上结论，作辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数定义等知识来解决折叠问题.解这类题目，通常可以借助现成材料，亲自动手操作，然后观察思考，得出答案.但由于考场环境和条件地限制，应根据上述知识，动手画出折后地图形.【例题经典】1．将一张长方形纸片按如图所示地方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 地度数为（）A ．600B ．750C ．900D ．9502．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′地位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°3．用一条宽相等地足够长地纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示地正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.4．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形地是（）A. B. C. D. 图（1）第3题图A 图（2）5．如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm.操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c.则△GFC 地面积是（）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4 cm 26．如图，正方形硬纸片ABCD 地边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 地中点，若沿左图中地虚线剪开，拼成如下右图地一座“小别墅”，则图中阴影部分地面积是A ．2 B ．4 C ．8 D ．107．如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得地图形是（）8．如图（5），把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边地P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 地边BC 长为（）Ａ．20 Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．30【探究思考】E A A A B B B C C C GD D D F F F 图a 图b 图c9．如图5，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边地中点E 处，折痕为AF ．若6CD ，则AF 等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．810.如图，折叠长方形地一边AD ，点D 落在BC 边地点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm , 求EC 地长.11.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG .12.在矩形纸片ABCD 中，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上地点P 处，•点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°．（1）求BE 、QF 地长；（2）求四边形PEFH 地面积．13. 如图，矩形纸片ABCD 地边长分别为a ，b （a<b ）．将纸片任意翻折（如图8），折痕为PQ ．（P 在BC 上），使顶点C 落在四边形APCD 内一点C′，ＢＦＣＥＤＡ图5B FC GB 如图一PC′地延长线交直线AD于M，再将纸片地另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M 所在直线与PM•所在直线重合（如图9），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间地位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC地角度在每次翻折地过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间地距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC地角度在每次翻折地过程中都为45°（如图10），每次翻折后，非重叠部分地四边形MC′QD，及四边形BPA′N地周长与a，b有何关系，为什么？（2006•年湖南郴州市）（7）（8）（9）（10）14．如图13，在锐角ABC△中，9BC=，AH BC⊥于点H，且6AH=，点D为AB边上地任意一点，过点D作DE BC∥，交AC于点E．设A D E△地高AF为(06)x x<<，以DE 为折线将ADE△翻折，所得地A DE'△与梯形DBCE重叠部分地面积记为y（点A关于DE地对称点A'落在AH所在地直线上）．（1）分别求出当03x<≤与36x<<时，y与x地函数关系式；（2）当x取何值时，y地值最大？最大值是多少？【当堂测试】图13AB1、如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 地延长线上地点E 处，折痕为AD ，则CE 地长为（）A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm2、如图，已知边长为5地等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上地点D 地位置，且ED BC ⊥，则CE 地长是（）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-3、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上地B '处.得到Rt AB E ∆'（图乙），再延长EB '交AD 于F ，所得到地∆EAF 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形 4、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现地规律是（）A. ∠=∠+∠A 12B. 212∠=∠+∠AC. 3212∠=∠+∠AD. )21(23∠+∠=∠A5、如图，一张矩形报纸ABCD 地长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 地中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 地长与宽之比等于矩形ABCD 地长与宽之比，则a ∶b 等于（）．A ．1:2 B ．2:1 C ．1:3 D ．3:16、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE．．证明：（1）BF DF∥．（2）AE BD7、生活中，有人喜欢把传送地便条折成形状，折叠过程是这样地(阴影部分表示纸条地反面)：如果由信纸折成地长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图④地形状(即纸条两端均超出点P)，试求x地取值范围．(2)如果不但要折成图④地形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P地长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A地距离(用x表示)．8、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上地点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，23AF ，求DE地长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED地外接圆与直线BC相切，求折痕FG地长．【部分答案】12.解：（1）由折叠知，∠Q=∠D=90°，EP=EC ，，在Rt △PBE 中，∠BPE=30°，∴PE=2BE ，又EC=6-BE ，∴2BE=6-BE ，∴BE=2；EC=BC-BE=4，∴易证得△HQF ∽△HAP ，∠QHF=∠AHP =∠BPE=•30°∴HF=3QF ，∴QF APHF HP =．∴2QF AB PB QF PQ HQ -==- ∴QF=1，∴BE=2，QF=1．（2）由折叠知FD=FQ=1，四边形PEFQ ≌四边形CEFD ， ∵S PEFH =S PEFQ -S △HQF =S梯形CEFD -S △HQF =12（FD+EC ）·CD-12HQ·QF=12（1+4）·-12．13 解：（1）PQ ∥MN ．因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，且M 在AD 直线上．则有AM ∥BC ，所以∠AMP=∠MPC ．由翻折可得： ∠MPQ=∠CPQ=∠MPC ，∠NMP=∠AMN=∠AMP ．所以∠MPQ=∠NMP ，故PQ ∥MN ．（2）两折痕PQ ，MN 间地距离不变．过P 作PH ⊥MN ，使PH=PM ．sin ∠PMH ．因为∠QPC 地角度不变，所以∠C′PC 地角度也不变，则所有地PM 都是平行地．又因为AD ∥BC ，所以所有地PM 都是相等地．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM 是矩形．因为C′Q=CQ ，C′Q+QD=a ，所以矩形C′QDM 地周长为2a ．同理可得，矩形BPA′N 地周长为2a ．所以两个四边形地周长都为2a ，与b 无关．14．解：（1）①当03x <≤时，由折叠得到地A ED '△落在ABC △内部如图13（1），重叠部分为A ED '△ DE BC ∥ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，ADE ABC ∴△∽△ ······················································································ 1分 DE AF BC AH ∴=，96DE x ∴=，即32DE x = ·························································· 2分又FA FA x '==113222y DE A F x x '∴==⨯ 23(03)4y x x ∴=<≤ ···················································································· 3分②当36x <<时，由折叠得到地A ED '△有一部分落在ABC △外，如图13（2），重叠部分为梯形EDPQ66FH AF x =-=- ·················································································· 4分 (6)26A H A F FH x x x ''=-=--=- ····························································· 5分又DE PQ ∥A PQ A DE ''∴△∽△PQ A HDE A F'∴=' 263(3)32PQ x PQ x x x -∴==-， ······································································· 6分 1()2y DE PQ FH ∴=+⨯133(3)(6)22x x x ⎡⎤=+-⨯-⎢⎥⎣⎦291827(36)4y x x x ∴=-+-<< ···································································· 7分7、图13（1）B图13（2）8、解：MN ∥DE ，MO=DE ．∵∠D=90°，AD ∥BC ， ∴四边形MNCD 是矩形，MN=CD=AB=2．设DE=x ，则ON=2-x ．∵△AED 地外接圆与BC 相切，∴ON 是△AED 地外接圆地半径．∴OE=ON=2-x ，AE=2ON=4-x ．在Rt△AED 中，AD 2+DE 2=AE 2，∴12+x 2=（4-x ）2，解得x=158．∴DE=158，OE=2-12x=1716．由轴对称地性质得AE ⊥FG ．∴∠FOE=∠D=90°．又∵∠OEF=∠DEA ，∴△FEO ∽△AED ，∴FO OEAD DE ．∴把OE=1716，DE=158，AD=2代入解得FO=1730．易证△FEO ≌△GAO ，∴FO=GO ，∴FG=2FO=1715，即折痕FG 地长是1715．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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专题05 勾股定理与几何图形折叠问题(解析版)

专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A B C ．2 D 【答案】D【分析】首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6．故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254，故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52，即BD=52，故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=．选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2，解得：x=32， △AF=32+6=152；故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=，解得133x =．故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=，故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（）A ．B ．C D【答案】A【分析】由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=，设DF x =，则8FA FA x ='=-，在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==，解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =，故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=，解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△．故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ，根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258．故答案为：258．【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。

数学中考复习课件：图形的折叠问题

∴矩形的周长为36k，即36cm。
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。
B
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在折痕线MN上，若AB=3，则
折痕AE的长为（C ）。
MG
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
A
D
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
证明：（1）∵∠B=C=D=90º，
又根据题意RtADE≌RtAFE,
∴AFE=90º, ∴AFB=FEC ,
D E
FC
∴AFB∽FEC.
解（2）由tanEFC=3/4，设EC=3k，则FC=4k，在RtEFC中，得EF=DE=5k。
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。

初三复习数学几何中折叠问题 4大类分类含答案

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ，由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形，在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）．则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ，下底等于纸条宽的2倍，即6cm ，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和；（2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

中考复习专题折叠压轴题(无答案)

中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。

(完整版)几何图形折叠问题

几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。

中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习1 / 6 中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

和证明。

2、能力训练目标：、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD,展开纸片；展开纸片；再次折叠该三角形纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。

小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

引出课题。

说明理由。

引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，如果∠ABE ＝20°，则∠EFC'＝（）A. 125°A. 125°B. 80°C. 75°C. 75°D. 无法确定无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

人教版数学九年级上册专题5 折叠问题-课件

(1)求证：△DEC≌△EDA； (2)求DF的值； (3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中，
10．(2016·绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，求DF的长．
解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方时，连结 DE 交直线 l 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4， AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE， △ECB 是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，
12．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF，求五边形 AEFCD 的周长．
【解析】由折叠的性质得，EF与BO有什么关系？
解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝2，BD＝2 3，∴∠ABO＝∠CBO，
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
∵CDEE＝＝AEDD，， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，

(完整版)几何图形折叠问题

HistudyjiftS7^i viPTUk帮助预子個建持续迸步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 .2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？ 3分）如图将矩形 ABCD&对角线BD 折叠，使C 落在C'处，BC'交AD 于点E ,则下到结论不一定成立的是（）AD=BCB .Z EBD=/ EDB C.A ABE^A CBD D sin / ABE*A.IHistudyjlftS7^l viPTUk帮助预子個建持续iS步的孚刃力2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中点C,过点C作CD L OA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD, DF, FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（___________ .A. 36 n -108 B . 108-32 n C. 2 n D.nABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）A. 1B.说C. 2D.加如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6将厶ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知E一，则BC的长是（3. （2017浙江衢州）于点F,则DF的长等于（）4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片B. 3.2C. 3HiSMldy」畅字刃VIPT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门二、填空题:6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60°, AC=2三+4,点M N分别在线段AC.ABD恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为.ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C2=75°, EF= + 1,则BC的长-3分）如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处,BG 则/ AGB=三、解答与计算题：9. （2018 •广东• 7分）如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,上，将厶ANM沿直线Mr折叠，使点A的对应点8. （2018 •湖南省常德7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形已知/ DGH=30，连接(1)求证：△ ADE^A CEDAE交CD于点F,连接DEHistudyjlftS7^]l viPTUk|帮助预子陶建持续进步的孚刃力|10—（ 2018?山东枣庄？ 10分）如图，将矩形— D 交AF 于点G,连接DG（1）求证：四边形EFDG 是菱形；（2）探究线段EG GF AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6 EG=2E ，求 BE 的长.【能力篇】一、选择题： 11.（ 2018 •辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC （/ B=90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A处，BC=8,那么线段AE 的长度为（）12.（ 2018 •四川省攀枝花・3分）如图，在矩形 ABCD 中, E 是AB 边的中点，沿 EC 对折矩形ABCD 使B 点落在点P 处，折痕为EC 连结AP 并延长AP 交CD 于 F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点.给出以下结论： ① 四边形AECF 为平行四边形； ② / PBA=Z APQ③ 厶FPC 为等腰三角形； ④ 厶 APB^A EPC 其中正确结论的个数为（）A . 1 B. 2 C. 3D. 4C. 6D. 7D GECEB .A .亠13. （2018 •湖北省武汉• 3分）如图，在O O 中，点C 在优弧-I.上，将弧「■沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.若O O 的半径为匚AB=4,则BC 的长是（、填空ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△ BCE 沿BE 折叠后得到△ BEF14. （2018 •辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形15. （ 2018 •四川宜宾• 3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=3 CB=2,点E 为线段AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE ①当E 为线段AB 中点时，AF// CE; ②当E 为线段AB 中点时，AF=9 ;5④当 A F 、C 三点共线时，△ CEF ^A AEF.DG 1且点F 在矩形ABCD 勺内部，将 BF 延长交AD 于点G.若 =' ，则折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序③当A F 、C 三点共线时,AE='HiSMiaa快乐字刃I VIPT 性叱帮朗滋子陶建持续进步的孚刃门GvPEDU !BCEDCA'B三、解答与计算题:16. (2018 •湖北省宜昌• 11分)在矩形 ABCD 中, AB=12 P 是边AB 上一点，把△ PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G,过点B 作BEL CG 垂足为E 且在AD 上, BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点，求证：△ AEB^A DEC (2)如图2,①求证：BP=BF③当BP=9时，求 BE?EF 的值.②当 AD=25 且 AE v DE 时，求 cos / PCB 的值; 17. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCC 中，AB> AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处, AE 交CD 于点F ,连接DE (1)求证：△ ADE^A CED (2)求证：△ DEF 是等腰三角形.HiSMc!®快S 字刃丄VIP 亍性比帮朗预子陶建持续进步的孚刃门■ BC *HiStUCU快乐字刃VIPT性比帮助预子问建持续迸步的字刃力18. （2018?江苏盐城？10分）如图，在以线段二5■为直径的上取一点，连接、就•将_二弓匚沿.止翻折后得到□.（1 ）试说明点在上；（2）在线段.：「的延长线上取一点，使上厂—」一丄.求证：三壬为①门的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、匚吕相交于点，若m厂=J，二匸=-,求线段的长•【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市？12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证：/ HPC=90 ;②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法•（不需说明理由）（1）根据以上操作和发现，求的值;设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化，△ PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值;(3) 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A D 重合），点C 落在点N 处，MN W CD 交3 .....HistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？3分）如图将矩形ABCD&对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）A. AD=BCB.Z EBD=/ EDBC.A ABE^A CBD D sin / ABE*ED【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.【解答】解：A、BC=BC, AD=BC二AD=BC，所以正确.B、 / CBD2 EDB / CBD=/ EBD EBD2 EDB正确.AED、T sin / ABE』,BE•••Z EBD=/ EDB••• BE=DEHistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力• sin / ABE^.ED故选：C.HistudyjlftS7^ll viPTUk|帮助预子詞11持续进步的字刃力|【点评】本题主要用排除法，证明 A , B , D 都正确，所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方法. 2.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB 已知OA=6取OA 的中点C,过点C 作CDL OA 交丽于点D,点F 是廳上一点.若将扇形BOD 沿 OD 翻折，点B 恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段 BD, DF , FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ __________ . A . 36 n -108 B . 108-32 n C . 2 n D.n【考点】MO 扇形面积的计算；P9:剪纸问题.1【分析】先求出/ ODC M BOD=30，作DEL OB 可得DE= OD=3先根据S 弓形BD =S 扇形BOD - & BOD 求得弓形的面积,2再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解：如图，••• CD L OA•••/ DCO M AOB=90 ,•••/ ODC M BOD=30 ,则剪下的纸片面积之和为 12X （ 3 n- 9） =36 n- 108, 故答案为： 36 n- 108 .故选 A 3.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中, AB=4, BC=6将厶ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ,则DF 的长等于（）…S 弓形B[=S 扇形X 6X 3=3n- 9,•/ OA =OD =OB =6OC |OA作DE L OB 于点E ,则 DE= OD=3c Mg 心BOD _d BOD=His【udy 』?i 乐字刃］vi 卩卞性比帮朗预子陶建持续迸步的孚刃门【考点】PB 翻折变换（折叠问题）；LB :矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB / E=Z B=90°,易证Rt △ AEF ^ Rt △ CDF ,即可得到结论设FA=x ,则FC=x , FD=6- x ,在Rt △ CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程x 2=42+（ 6-x ）【解答】解：•••矩形 ABCD 沿对角线AC 对折，使△ ABC 落在厶ACE 的位置, ••• AE=AB / E=Z B=90°,又•••四边形ABCD 为矩形， • AB=CD • AE=DC 而/ AFE=Z DFC•••在△ AEF 与厶CDF 中，ZAFE-ZCFD•••△ AEF ^A CDF ( AAS ,• EF=DF ；•••四边形ABCD 为矩形， • AD=BC=6 CD=AB=4 •/ Rt △ AEF ^ Rt △ CDF • FC=FA设 FA=x ,贝U FC=x , FD=6- x , 13 在 Rt △ CDF 中，CF=C D+DF ,即 x 2=42+ (6 - x ) 2,解得 x= , 则 FD=6- x=. 故选：B.HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续进步的孚刃门D.5, 7EF=DF ；易得FC=FA,解方程求出x .B- AC4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片ABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=，贝U BC的长是（）2A. .B. 3、2C. 3D. 3 3【分析】由折叠的性质可知/ B=Z EAF=45，所以可求出/ AFB=90，再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以AB=AC!的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解：•••沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，•••/ B=Z EAF=45 ,•••/ AFB=90° ,•••点E为AB中点，1 3•EF= —AB, EF= ,2 2•AB=AC=3•••/ BAC=90 ,•BC=3.2 ,故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出/ AFB=9C°是解题的关键.5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续is步的孚刃门【考点】PB:翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC/ DFE=/ GFE结合/ AFG=60即可得出/ GFE=60，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt△ GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC DC= EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC卩可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC Z DFE=Z GFE•••/ GFE+Z DFE=180 -Z AFG=120 ,•••/ GFE=60 .•/ AF// GE Z AFG=60 ,•Z FGE=/ AFG=60 ,•△ GEF为等边三角形，•EF=GE•••/ FGE=60，/ FGE+Z HGE=90 ,•Z HGE=30 .在Rt△ GHE中, Z HGE=30 ,•GE=2HE=C,•GH= =*$HE= CE•/ GE=2BG•BC=BG+GE+EC=4EC•••矩形ABCD勺面积为 4 ,•4EC?^EC=4 ,•EC=1, EF=GE=2故选C.二、填空题：6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，Z B=90°, Z A=60°, AC=2 :;+4,点M N分别在线段AC.AB上，将△ ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为 .帮朗滋子陶建持续迸步的孚刃门①如图，当/ CDM=90时，△ CDM是直角三角形,•••在Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60° AC=^+4, /-Z C=30°, AB^ AC五+-,由折叠可得:Z MDN Z A=60°1_ 1_Z BDN=30，•/ BN空DN爰AN •/丄術+卸BN= AB= ：,■2硬+4•• AN=2BN="Z DNB=60 , /Z ANM Z DNM=60，/•/ AMN=60 , •師+4•• AN=MN=";【解答】解：分两种情况：②如图，当/ CMD=90时，△ CDM是直角三角形,帮助预子问il持续迸步的孚刃力I □ ~I] ■由题可得：/ CDM=60 , / A=Z MDN=60 , /-Z BDN=60 , / BND=30 BD空DN= AN, BN庐BD\1AB巫+2 ,1_/• AN=2, BN^3,过N 作NH L AM于H,贝UZ ANH=30 , /• AH空AN=1, HN昉,由折叠可得：Z AMN Z DMN=45 ,/•△ MNH是等腰直角三角形，/• HM=HN= :,/ MN= ■.故答案为：'或；7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕.已知Z 仁67.5 ° ,Z 2=75°, EF= + 1,求BC的长.【分析】由题意知Z 3=180 ° - 2 Z 1=45°、Z 4=180°- 2Z 2=30 °、BE=KE KF=FC 作KM L BC,设KM=x 知EM=x MF= x,根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得.【解答】解：由题意，得：Z 3=180 °- 2 Z 1=45°,Z 4=180°- 2Z 2=30 °, BE=KE KF=FC设KM=x 贝U EM=x MF^J x,x+ V3x^3+1,解得：x=1,••• EK=J办KF=2,.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J：,• BC的长为【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.8. （2018 •湖南省常德・3分）如图，将矩形ABC［沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处, 已知Z DGH=30，连接BG 则Z AGB= 75如图，过点K作KM L BC于点M帮朗预子陶建持续进步的孚刃门/ EBC-Z EBG即：/ GBC M BGH由平行线的性质可知/ AGB=Z GBC从而易证/ AGB2 BGH据此可得答案.【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE / EGH M ABC=90 ,•••/ EBG=Z EGB•••/ EGH-Z EGB玄EBC-Z EBG 即：/ GBC=/ BGH又••• AD// BC•Z AGB=Z GBC•Z AGB=Z BGHvZ DGH=30 ,•Z AGH=150 ,•Z AGB二Z AGH=75 ,2故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.三、解答与计算题：9. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证：△ ADE^A CED(2)求证：△ DEF是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC AB=CD结合折叠的性质可得出AD=CE AE=CD进而即可证出△ ADE◎ △ CED( SSS ;(2)根据全等三角形的性质可得出Z DEF=Z EDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△ DEF是等腰三角形.HiSMlda快乐字刃I VI PT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门【解答】证明：(1)：四边形ABCD是矩形，••• AD=BC AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE AB=AE•AD=CE AE=CDC AD=CE在厶人。

中考总复习专题--折叠问题

轴 ∴△BQC≌△BQP
M
A
D
∴PB=BC=1
N是AD、BC 上的中点，BN=
∴PN= 3
2
∴MP=1-
3 2
∵M、1 2ຫໍສະໝຸດ PQ∴∠BP(2N)由=3（0°1）∴得∠PBBNN==12 6B0P°,
B
N
C
又∵BQ平分∠PBC，BQ=2QC=
23 3
∴PQ=
1 2
BQ=
3 3
. ∴PQ²=
1 3
即以PQ为边长的正方形面积等于
△ABD≌△C’DB BC’=∠C’DE,∠C’DB=∠CD
③相等的线段:
B=∠ABD
AE=C’E,BC’=BC=AD, AB=CD=C’D,BE=ED
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第二类相对顶点重合
这类折叠问题的基本图形：
A
ED
O
BF
C
引例：已知：如图，平行四边形ABCD
的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别交于E、F，求证：四边形AFCE是
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4．已知：将矩形ABCD沿着
E C'
直线BD折叠，使C落在C’处， BC’交AD于E ,AD=8,AB=4.
A
D
求△BED面积。（2000，山
西）
B
解二：作EF⊥BD于F
F
C
在矩形ABCD中 AD ∥ BC ∴EF:AB=DF:AD
∴∠DBC=∠EDB 当矩形ABCD沿着直线BD折
BD=4 5 ，DF=2 5
（2）常常利用矩形的对边平行且相等
和矩形折叠形成的直角三角形来综合解题
（3）前三道题的结论可以推广到平行四边形上
（4）这类折叠问题的常用图形： C'

人教版八年级数学下教学案(新)折叠问题(期末复习)教案导学案课时作业试卷同步练习含答案解析

A B C D M N PQ 折叠问题（专题复习）一、计算角度1．点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．2．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝度. 2．如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上A 1，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE ＝____________．3．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________．二、折出特殊的四边形1．如图，一张矩形纸片，腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形.他判定的方法是_________________.2．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． ⑴求证：△ABF ≌△EDF ；⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．ABABOOCDE3．在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？4A BCDA B CD E三、计算长度及面积1．如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．2．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´的位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________．3．有一矩形纸片ABCD ，AB =9cm ，BC =12cm ，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.求折痕EF 的长.4．如下图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，045=∠DBC .翻折梯形ABCD ，使点B 重合与点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD =2，BC =8，求BE 的长；5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10．(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG 的面积．(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．AB CD E F G H (A)(B)6．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．7．已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上．点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =33，BC =6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE =30°． ⑴ 求BE 、QF 的长．⑵ 求四边形PEFH 的面积． 9．在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积．四、综合型问题1．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．A 图① A 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG ' D ' A D E C B F G α 图④ 图⑤(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．2．如图，把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD (裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD ，如示意图(1)。

初二数学培优专题(5)——折叠问题(答案详解)

折叠问题(一)正方形内的十字架结构结论1：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，则GH=EF【例1】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F 在AD边，求折痕FG的长；【变式2】如图,将边长为的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN.(1)求线段CN的长;(2)求以线段MN为边长的正方形的面积;(3)求线段AM的长度.（二）折痕垂直于对称点的连线结论：折痕上的点到对应点距离相等【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点D 与BC 上的点E 重合，折痕分别交AB 、CD 于点G 、F ，若BE=1，求AG 的长．【变式1】如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B'处,点A 对应点为A',且,则AM 的长是______________．【变式2】（2016年山东威海中考题）如图,在矩形ABCD 中,4AB = ,6BC = ,点E 为BC 的中点,将ABE ∆沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF ,则CF 的长为( )A.95 B.125 C.165 D.185(三) 折叠中动点轨迹与最值【例3】(2015四川自贡)如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，6AD = ，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到'EB F ∆，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）。

A. 2B. 6C. 2-D.4【变式】（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆ 沿MN 所在直线翻折得到'A MN ∆，连接'A C ，则'A C 长度的最小值是_____ 。

中考数学专题考试——折叠剪切问题

图（2）中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生地动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示地方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 地度数为（）A ．600 B ．750 C ．900 D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′地位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（）A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 答案：A【3】用一条宽相等地足够长地纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示地正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 地面积为（）A ．4B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 地边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 地中点，若沿左图中地虚线剪开，拼成如下右图地一座“小别墅”，则图中阴影部分地面积是A ．2 B ．4 C ．8 D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm.操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c.则△GFC 地面积是（）E A A A B B C C C GD D D F F 图a 图b 图c 第6题图A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5地等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上地点D 地位置，且ED BC ⊥，则CE 地长是（）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中地虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到地平面图形是（）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形地是（）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形地纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中地虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后地形状应是( )第7题图第8题图第9题图第10题图答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中地虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后地平面图形是（）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得地图形是（）答案：C【13】如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 地底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等地四边形地个数是（）A.1B.2A B CD 图3图1第12题图C.3D.4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱地同学们，在我们地生活中处处有数学地身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形地三个角拼在一起，就得到一个著名地几何定理，请你写出这一定理地结论：“三角形地三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 地正方形内去掉一个边长为b 地小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证地等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 =a 2+2ab+ b 2 Ｄ.a 2+ ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 地长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 地中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 地长与宽之比等于矩形ABCD 地长与宽之比，则a ∶b 等于（）． A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1答案：A六、折叠和剪切地应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上地点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边地中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；第15题图（1）第17题图（2）ABCDEF MG第19题图（2）如果M 为CD 边上地任意一点，设AB=2a ，问△CMG 地周长是否与点M 地位置有关？若有关，请把△CMG 地周长用含DM 地长x 地代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之. （2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 地周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上地位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国地报纸一般都有一个共同地特征:每次对折后,所得地长方形和原长方形相似,问这些报纸地长和宽地比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示地矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 地中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中地Rt △BCE 就是拼成地一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中地Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好地四边形分别画在图3、图4地虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成地Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中地边AB 和BC 地长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 地方程01)1(2=++--m x m x 地两个实数根,试求出原矩形纸片地面积.答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ，即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 地两根E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCE M图3图4E第21题答案图∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片地面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”地材料制成，未切割前地单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 地正方形小硅片若干.如果晶圆片地直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸地小硅片66张？请说明你地方法和理由.（不计切割损耗）答案：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形地矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 地圆内，如图中矩形ABCD.∵AB ＝1 BC ＝10∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜205.10（2）我们在矩形ABCD 地上方和下方可以分别放入9个小正方形.GFH E D C B A∵新加入地两排小正方形连同ABCD 地一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 地长为9，高为3，对角线9098139222=+=+=EG ＜205.10.但是新加入地这两排小正方形不能是每排10个，因为：109910031022=+=+＞205.10（3）同理：8925645822=+=+＜205.1010625815922=+=+＞205.10∴可以在矩形EFGH 地上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.（4）再在原来地基础上，上下再加一层，共7层，新矩形地高可以看成是7，那么新加入地这两排，每排都可以是7个但不能是8个.∵9849497722=+=+＜205.1011349647822=+=+＞205.10（5）在7层地基础上，上下再加入一层，新矩形地高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个.∵9781169422=+=+＜205.1010681259522=+=+＞205.10现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 地空间，因为矩形ABCD 地位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个）方法二：学生也可能按下面地方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一. 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层.（2）在前面地基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层. 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）【21】在一张长12cm 、宽5cm 地矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点地方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形地对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 地方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学地折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4151254622AEHS S S=-=⨯-⨯⨯⨯矩形菱形230(cm )=（方案二）设BE=x ，则CE=12-xAE ∴由AECF 是菱形，则AE 2=CE 22225(12)x x ∴+=-11924x ∴=2ABES S S-矩形菱形=111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知，方案二张丰同学所折地菱形面积较大.【22】正方形提供剪切可以拼成三角形.方法如下：（方案一）ADEFBC （方案二）第23题图仿上面图示地方法，及韦达下列问题：操作设计：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积地矩形.（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积地矩形.答案：（1）（2）略.【23】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到地扇形面中地一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁地作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到地7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形地总个数(S)填入下表第24题图（2）第24题图（3）方法一：方法二：第24题答案图（1）第24题答案图（2）第25题图 O(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来地圆形纸板剪成33个扇形？为什么？答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等地圆内接多边形是正多边形.【24】如图，若把边长为1地正方形ABCD 地四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下地图形仍为正方形，且剩下图形地面积为原正方形面积地95，请说明理由(写出证明及计算过程).答案：剪法是：当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时，四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且S=95.在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1， ∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1，∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ，则AD 1=1－x.∵正方形A 1B 1C 1D 1地面积=95， ∴S △AA1D1=91 即21x(1－x)=91，整理得9x 2－9x+2=0.解得x 1=31，x 2=32. 当AA 1=31时，AD 1=32，当AA 1=32时，AD 1=31.∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时，四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积地95.折叠问题专题研究上虞市滨江中学潘建德一、教学目标：1、理解折叠问题地本质2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本地导向二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题三、教学难点：折叠型综合题地分析四、教学过程：1、引入：出示08绍兴8题：将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1地形状，则CPD ∠地大小是（）A ．120 B ．90 C ．60 D ．45此题凸显地主题是图形地折叠，折叠问题在近几年地中考中越来越常见，据统计，在08年我省11个地区地中考卷中有7个地区都出现了折叠型考题，其中有5个地区中考卷地压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考地热门问题之一．点出课题．2、解题策略（一）——重过程“折”（1）如何迅速且准确地解决08绍兴卷第8题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力地实践操作题．解题策略：重过程——“折”．（2）学生进一步尝试．题2：（2008山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然A．B．C．D．AB CDFE 后将最后折叠地纸片沿虚线剪去上方地小三角形．将纸片展开，得到地图形是（）3、解题策略(二)——重本质“叠”（1）本质探究：题3：如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上地F点处，如果∠BAF=30°，AD=2，则∠DAE=___，EF=_______．学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠地本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．根据轴对称地性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角地相等）；（2）点地轴对称性：互相重合两点（对称点）之间地连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应用勾股定理得方程）．（2）初步应用：题4：08丽水8：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上地点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A'．若四边形ADA E'是菱形，则下列说法正确地是（）A．DE是△ABC地中位线B．AA'是BC边上地中线C．AA'是BC边上地高D．AA'是△ABC地角平分线分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠地全等性得到，也可根据折叠地点轴对称性得到．（3）题5：09绍兴市属期末23．（本题满分12分）课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕地长．(1) 如图1, 折痕为AE;(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD地中点，折痕为AE;(3) 如图3, 折痕为EF．ACDEA'（第8题）分析：题（1）题（2）主要应用折叠地全等性，题（3）连结对称点地连线BD ，根据折叠中点地轴对称性得EF 是BD 地中垂线，BO=4125，同时根据矩形地中心对称性知，EF=2E0，在Rt △CDE 中，根据勾股定理可解得DE=241,根据折叠全等性得BE=DE=241,在Rt △BOE 中根据勾股定理得EO=412,故EF=414．由此题得心得：在解决折叠类计算题时，根据Rt △地勾股定理应用方程思想是常用方法．题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都根据课本原题改变而成．根据课本原题改变成中考题，是中考卷出题地一个新地方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课本习题进行探索和挖掘．（4）题6：08绍兴24题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+．（1）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上地点D 处，求点D地坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PE 与AC 能否垂直？此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨．题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题地着眼点．4、反思小结:折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力地实践操作题，到直接运用折叠相关性质地说理计算题，发展到基于折叠操作地综合题，甚至是压轴题．其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决有关地折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁．图1 （第24题图）初中几何综合复习（讲稿）—矩形折叠问题同学们好，今天我和大家一起研究平面图形地折叠问题.首先，在最近几年地中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形地能力、空间思维能力和综合解决问题地能力都提出了比以往更高地要求.希望通过今天地讨论，使同学们对折叠问题中有关地几何图形之间地位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决地过程中巩固头脑中已有地有关几何图形地性质以及解决有关问题地方法；并在观察图形和探索解决问题地方法地过程中提高分析问题和解决问题地能力.那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关地问题.下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠地意义1．折叠，就是将图形地一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线地同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.如图（1）是线段AB沿直线l折叠后地图形，其中OB'是OB在折叠前地位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后地图形，△ABC是△AB'C在折叠前地位置，它们地重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分地形状、大小不变，是全等形如图（1）中OB'=OB；如图（2），△AB'C≌△ABC；(3) 图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称如图（1）OB'和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△AB'C和△ABC关于直线AC成轴对称.二．和折叠有关地问题图形经过折叠，其翻折地部分折叠前地图形组合成新地图形，新地图形中有关地线段和角地位置、数量都有哪些具体地关系呢？这就是我们今天要重点讨论地问题.下面，我们以矩形地折叠为例，一同来探讨这个问题.问题1:将宽度为a地长方形纸片折叠成如图所示地形状，观察图中被覆盖地部分△A'EF.（a）△A'EF是什么三角形？结论：三角形AE'F是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等地,∴∠1= ∠2,又∵矩形地对边是平行地∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形方法二：∵图形在折叠前和折叠后地形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度地线段EP和FQ相等，即∆A'EF地边A'E和A'F上地高相等，∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形(b)改变折叠地角度α地大小，三角形A'EF地面积是否会改变？为什么?答：不会改变.分析：α地改变影响了A'E地长度，但却不能改变边A'E上地高，三角形A'EF地面积会随着α地确定而确定.例一：在上面地图中，标出点A'在折叠前对应地位置A,四边形A'EAF是什么四边形？分析：（1）由前面地分析可知A'与A'在折叠前地位置A关于折痕EF成轴对称,所以作A'关于EF地对称点即可找到点A（过点A'作A'A⊥ EF交矩形地边于点A）. 同学们还可以动手折叠一下，用作记号地方法找到点A.（2）四边形AEA'F是菱形证法一：∵ A是A'在折叠前对应地位置,∴A和A'关于直线EF轴对称,∴AA'⊥EF,且AO=A'O,又∵AE∥A'F,∴EO∶OF=AO∶OA',∴EO=OF∴四边形AEA'F是菱形证法二：A是A'在折叠前对应地位置,∴∆AEF≌∆A'EF,A'E=A'E,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,A'E=A'F,∴A E=AF=A'E=A'F,∴四边形AEA'F是菱形.例2.在上题地图中,若翻折地角度α=30°,a=2,求图中被覆盖地部分△A'EF.地面积..分析：图中被覆盖地部分△A'EF是等腰三角形，其腰上地高就是原矩形地宽度2,所以，本题地解题关键就是要求出腰A'F 或A'E地长.答：S四边形AEA'F＝2S△A'EF=(8/3)√3（解答过程略）练一练：当α地大小分别45°、60°时，图中被覆盖地部分△A'EF.地面积是多少？例题3. 如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN 上，（如图中1地点P）,若AB=√3,则折痕AE地长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE地斜边，故解决本题地关键是求PE(或BE)地长.解法一：由折叠地意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD ∥BC且AN是AP地一半∴ MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1地结论)∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.由BC∥MN∥DA且M、N分别为CD和AB地中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又PO=AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60°（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB地三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕AE地长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来地二等分线变为三等分线，其他条件不变.所以本题地解题关键还是求出EB(或EP)地长解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地三等分点∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP²+PF²=AF²∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1, ∴AE²=1+5=6,∴AE=√6例4 如图3,有一张边长为3地正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点地位置,折痕为AE.(1)求MP地长;(2)求以PE为边长地正方形地面积.分析：将本题与例题2比较，不难看出它们地共同之处，显然，解决本题地关键是求PE和PN地长解法一：延长EP交AD地延长线于F, 则FE=FA(已证)M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴ MN∥AD ∥B C且AN是AP地一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴PN=(3/2)√3，(1)∴MP=1-PN=3-(3/2)√3,又AP=3,∴EP=√3，(2)∴以EP为边长地正方形地面积为3.其他解法请同学们思考.例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中地M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD地面积分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形地边AB上，由折叠地意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等地，所以，求四边形CNMD地面积地关键就是求ΔDCN或ΔDMN地面积，所以本题地解题关键还是求出NC(或BN)地长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=10/3S四边形CNMD =2S△DCN=(10/3)*10=100/3例6.将长为8，宽为6地矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF地长.（2）求三角形DEF地面积分析：由矩形折叠地意义可知，EF垂直平分BD（O为BD地中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF地中点，所以可设法先求出EO地长，或直接求EF地长,进而求三角形DEF面积.解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10又AB∥DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=15/4∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4(2)S△DEF解（法二）：(1)过C作CP∥EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴CP=10*6/28=15/2∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=(2)S△DEF75/4同学们，图形折叠问题中题型地变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中地规律，从今天我们对矩形折叠情况地讨论中可以得到以下几点经验：1．图形地翻折部分在折叠前和折叠后地形状、大小不变，是全等形；2图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示地形状，图中重叠地部分△AE'F是等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质地位置关系，从而进一步发现其中地数量关系；5．充分挖掘图形地几何性质，将其中地基本地数量关系，用方程地形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用地方法之一.今天地讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好地成绩.中考专题复习——折叠问题动手折一折，并思考：（1）用一张矩形地纸，通过折叠，使较短地边AB 落在较长地边AD 上，分析重叠部分展开后地形状.（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成地图形.题组一：（1）如图（1），点E 是矩形ABCD 地边CD 上地点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上地F 点处，如果∠BAF ＝60o ，则∠DEA ＝____________.（2）如图（2），已知：点E 是正方形ABCD 地BC 边上地点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________.（3）如图（3），AD 是△ABC 地中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´地位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________. 图（1）图（2）题组二：图（3）（4）如图（4），已知矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4.沿着对角线BD 将矩形ABCD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于E .求出未知地线段. A BCDEABCDA BCD（5）如图（5），矩形ABCD 地长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB 上地C ´点（DE 为折痕），那么阴影部分地面积是________.图（4）图（5）题组三：（6）如图（6），P 是以AB 为直径地半圆上地一点，PA ＝4，AB ＝10，将半圆折叠使弦PA 正好落在AB上，则折痕AC 地长为___________.图（6）（7）如图（7），把正三角形ABC 地外接圆对折，使点A 落在弧BC 地中点A ´，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内地部分DE 地长为_____.提高题：(1)一张宽为3、长为4地矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ´地位置，BC ´交AD 于G （如图8）.再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （如图9），则ME 地长为__________.C ´GABCDA BCDABCPP ´B A DA DC ´图（9）图（8）(2)如图（10），在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，如图将矩形折叠使B 点落在AD 上，设为B ’，顶点C 到C ’点，B ’C ’交DF 于G ．（1）求证：△AB ’E ∽△C ’GF ；（2）若AB ’＝x ，S B ’EFC ’＝y ，求y 关于x 之间地函数解析式；（3）当B ’在何处时，y 地值最小，y 地最小值是多少？图（10）折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质.轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上. 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠地选择题填空题，很有必要.1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △地AC ，BC 边地中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上地点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°C ´A BC D EFB ´G图（7）（第18题图）AC B2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）A ．40° B ．30°C ．20°D ．10°3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示地方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点地三角形与△ABC 相似，那么BF 地长度是．4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上地高.将△ABC 按如图所示地方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 地周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.55、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 地中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 地值为．6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上地点，联结AM（如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 地中点处，那么点M 到AC 地距离是．第2题图 A 'BD AC7、(2009宁夏)如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上地中线，将ADC △沿AC 边所在地直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ．求证：EC AB ∥．8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边地长为8，BC 边上地高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 地长为x ，MN 上地高为h ．（1）请你用含x 地代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面地点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分地面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？A图3BM C BC NM AE C B A D。

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