图形的折叠问题试卷
图形的折叠问题 小学数学 巩固提高
一、选择题1. 将一张圆形纸对折、对折、再对折之后，得到的角是（）。
A．30°B．45°C．90°D．180°2. 把周长48厘米的正方形上下对折，再左右对折（如图），得到的小正方形的周长是（）厘米。
A．24 B．48 C．123. 将一张正方形纸先上下对折，再左右对折，得到的两条折痕（）。
A．互相垂直B．互相平行C．互相重合D．长度不一样4. 图是一个平面纸板图，下面有几个立体图形，其中有一个是纸板折合而成的，请你找出来．( )A．B．C．D．5. 一张不规则的纸，至少对折（）次，一定能得到一个直角。
A．1 B．2 C．3二、填空题6. 把一张长方形纸连续对折3次后展开，每份是这张长方形纸的。
7. 把一张长方形纸连续对折3次，按下面的方式剪一剪，能剪出( )只完整的蝴蝶。
8. 如图，把一张长40厘米，宽32厘米的长方形纸对折成了两个小长方形，每个小长方形的周长是( )厘米。
9. 一张正方形纸片，对折再对折后，正方形可能被分成4个________形，也可能被分成4个________形。
10. 一张正方形的纸对折一次后，周长是6厘米，这个正方形的实际周长是____．三、解答题11. 以“感恩”为主题的班会上，乐乐给王老师做了一张可对折的感恩卡，对折后的贺卡刚好是一个正方形，这个正方形的周长是28厘米，这张贺卡打开后的周长是多少厘米？12. 如图，把一张长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。
13. 把一张长方形纸折成下图的形状，求阴影部分的面积。
14. 把一张纸沿虚线对折后剪去两个小三角形，展开后得到第二行的哪个图形？把它圈起来。
七年级数学下专题——折叠问题
七年级数学下专题——折叠问题1、将一张等宽的纸条按照图示方式折叠，如果∠1=50°，那么∠2的角度是多少？2、在矩形ABCD中（AD>AB），点M在CD上，如果沿着AM折叠，那么点N会恰好落在BC上。
求∠ANB+∠MNC的度数。
3、将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得ED与BC相交于点G，点D和C分别在M和N的位置上。
如果∠EFG=55°，那么∠1和∠2的角度分别是多少？4、将一个正方形折叠三次，然后沿着虚线剪下，得到的图形是（）。
如果将EB延长线与AD或其延长线相交于F，则△EAF是（）。
5、将矩形ABCD沿着折痕MN对折，然后将点B叠在折痕上。
6、将标号为A、B、C、D的正方形沿着虚线剪开，得到标号为P、Q、M、N的四个图形。
按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空：A与______对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应。
7、将一张正方形纸片对折两次，并剪出一个菱形小洞，然后展开铺平。
得到的图形是（）。
8、将一块正方形纸片沿着对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）。
9、将一圆形纸片对折两次，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分。
其中一部分展开后的平面图形是（）。
10、将ABC沿着DE折叠后，点A落在BC边上的A 处，如果点D是AB边的中点，且B50，那么BDA的度数是多少？11、将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使得D点落在BC边的F处。
如果∠BAF=60º，那么∠DAE的度数是多少？12、将正方形ABCD沿着折痕EF对折。
将这个正方形展平后，再分别将A、B对折，使点A、点B都与折痕EF上的点G重合。
这时，我们可以发现，线段DE与线段FG重合，线段EF与线段DG重合，因此三角形DEF与三角形GDE完全重合，它们的所有角度都相等。
所以∠1的度数为90度。
2020年九年级数学中考专题：图形折叠的问题
2020年九年级数学中考专题：图形折叠的问题专题图形的折叠问题⼀．选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使得点B 落在点B ′处，则点B ′到线段BC 的距离为( )．A.2572 B.1336 C. 4 D.4357 2. 如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 为等边三⾓形，且S △CDE ＝3，则CD 的长为（）．A.√3B. 2√3C. 3D. 23. 如图，将矩形纸⽚ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对⾓线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E 、F 、H 在同⼀直线上，若AB ＝6，BC ＝8，则CG 的长是( )．A. 3B.2C. 2.5D.4.54. 如图，在菱形ABCD 中，BD ＝211，AC ＝10，点P 在对⾓线AC 上，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′C ＝A ′D ，则AP 的长为( )．A.25 B.21 C. 3 D.43 ⼆．填空题5. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 上⼀点，连接AE ，将△DEC 沿DE 所在的直线对折，使得点C 落在AE 上的点F 处，连接BF ，若EF ＝13AE ，AB ＝1，则AF ＝________．6. 如图，边长为4的菱形纸⽚ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸⽚ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________．7. 如图，将?ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为________．8. 将矩形ABCD 按如图所⽰的⽅式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，且顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同⼀条直线上，同时点E ，F ，O 在另⼀条直线上，若AB ＝2，则AD 的长为 .9.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上的点，将△ADE沿直线DE翻折，使得点A与BC边上的点G重合，连接AG交DE于点F，若AD＝6，EF＝1，则AB的长为.10.如图，正⽅形ABCD，E为BC边的中点，连接AE，点P是边CD上⼀点，沿AP折叠使D点落在AE上的H处，延长PH交BC于F点，若EF＝1，则AB的长为.三．解答题11.如图，矩形ABCD中，△BCD沿BD折叠，使点C落到点E处，BE与AD相交于点F，点O是BD的中点，连接FO并延长交BC于点G，若AB＝6，AD＝8，（1）求证：四边形BFDG是平⾏四边形（2）求FG的长。
四年级数学上册第八单元：折叠图形中的角度问题专项练习(原卷版)苏教版
2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列之第八单元：折叠图形中的角度问题专项练习（原卷版）一、填空题。
1．一张长方形纸如图那样折起，已知130∠=︒，那么2∠=( )︒。
2．把长方形纸折叠后（如图），∠2＝75°，则∠1等于( )°。
3．下图长方形的每个角的度数都是( )。
如果将这个长方形从一条边上的点A折叠，出现两个角（如下图），已知∠1＝110°，那么∠2＝( )°。
4．下图是一张长方形纸折起一个角。
已知130,23∠∠∠∠=( )==，2度。
5．如图，一张长方形纸折起一个角，已知∠1＝52°，那么∠2＝( )°。
6．如图是一张长方形纸折起来形成的图形，∠1＝40°，那么∠2＝( )°。
7．如图，一个长方形和一个正方形如图叠放，∠1＝( )°。
8．一个长方形和一个正方形如图叠放，∠1＝∠2，则∠1＝( )°。
9．如图，∠1＋∠2＋∠3＝110°，∠l＝( )°，∠3＝( )°。
10．如图是一张长方形纸折起来以后的图形，已知∠2是65°，∠1是( )度。
二、解答题。
11．下图是一张长方形纸折起来以后得到的图形。
如果∠1＝36°，那么∠2是多少度？如果∠2＝36°，那么∠1是多少度？12．如图，把一张长方形的一个角折过来，已知∠1＝70°，求∠2。
13．将一张长方形的纸按如图所示的方法折叠．∠1是多少度？14．将一张长方形的纸按如图所示的方法折叠．∠1是多少度？15．下图表示一张长方形纸折起一个角。
已知∠2＝60°，∠1是多少度？请你写出计算过程。
初三数学折叠问题试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 将一张长方形纸对折两次，折痕相交于纸的某个点，那么这个点在纸上的位置一定是：A. 纸的顶点B. 纸的中心点C. 纸的边缘点D. 无法确定2. 在折纸活动中，以下哪种折法可以使得折痕形成等边三角形？A. 将纸对折两次，折痕相交于纸的中心点B. 将纸对折一次，折痕与纸的边平行C. 将纸对折两次，折痕相互垂直D. 将纸对折一次，折痕与纸的边成45°角3. 在折纸过程中，以下哪种折法可以使得折痕形成的图形为正方形？A. 将纸对折两次，折痕相交于纸的中心点B. 将纸对折一次，折痕与纸的边平行C. 将纸对折两次，折痕相互垂直D. 将纸对折一次，折痕与纸的边成45°角4. 一个正方形纸张对折两次后，形成的折痕长度与原正方形边长的比是：A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:15. 在折纸活动中，以下哪种折法可以使得折痕形成的图形为等腰三角形？A. 将纸对折两次，折痕相交于纸的中心点B. 将纸对折一次，折痕与纸的边平行C. 将纸对折两次，折痕相互垂直D. 将纸对折一次，折痕与纸的边成45°角6. 一个矩形纸张对折两次后，形成的折痕长度与原矩形长度的比是：A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:17. 以下哪种折法可以使得折痕形成的图形为等腰梯形？A. 将纸对折两次，折痕相交于纸的中心点B. 将纸对折一次，折痕与纸的边平行C. 将纸对折两次，折痕相互垂直D. 将纸对折一次，折痕与纸的边成45°角8. 一个圆形纸张对折两次后，形成的折痕长度与原圆半径的比是：A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:19. 在折纸活动中，以下哪种折法可以使得折痕形成的图形为平行四边形？A. 将纸对折两次，折痕相交于纸的中心点B. 将纸对折一次，折痕与纸的边平行C. 将纸对折两次，折痕相互垂直D. 将纸对折一次，折痕与纸的边成45°角10. 一个三角形纸张对折两次后，形成的折痕长度与原三角形边长的比是：A. 1:2B. 1:4C. 1:3D. 1:1二、填空题（每题5分，共50分）11. 将一张正方形纸张对折两次，折痕相交于纸的中心点，那么形成的图形是______。
折叠问题专题练
A B C D M N PQ 折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ）A ．110° B．115° C．120° D．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD 的度数为（ ） A ．15° B．20° C．25° D．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度.1 A EDCBF8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于_____________。
9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=_____。
10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。
图形的折叠问题 小学数学 测试题
一、选择题1. 将一张圆形纸片对折3次，其中1份所对的角是（）。
A．45°B．60°C．120°2. 把一张正方形纸对折两次，展开后折痕（）。
A．一定互相垂直B．一定互相平行C．互相垂直或平行D．以上都不对3. 小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是图（）。
D．A．B．C．4. 把一张正方形的纸对折，不可能出现的图形是（）。
A．C．B．5. 如下图，将长方形纸对折一次，按照虚线剪一剪，展开后得到的图形是( )。
A．B．C．二、填空题6. 把一根绳子对折2次，这根绳子被平均分成了( )份，每份是它( )。
7. 把一根彩带对折2次后的长度占全长的( )。
8. 把一张长方形纸对折后，每份是这张长方形纸的( )，把这张长方形纸再对折两次后，每份是这张长方形纸的( )。
9. 一张纸的厚度大约是0.1毫米。
小亮把这样的一张纸对折……一共对折3次。
那么对折后的这叠纸厚( )毫米。
10. 将一张圆形纸片对折2次，所得到的是( )角，是( )度。
三、解答题11. 用一张圆形的纸折45°的角，最少需要对折几次？12. 把一根绳子对折，对折，再对折，这时每段绳子长5米，这根绳子原来长多少米？13. 一张正方形纸片边长是12厘米，现将这张正方形纸，对折再对折，展开后得到如下图形。
每一个小长方形的周长是多少厘米？14. 文文制作了一份对折的“新年贺卡”，对折后的贺卡正好是一个周长48厘米的正方形。
这张贺卡打开后的周长是多少？。
2021年中考一轮《图形折叠问题》复习试卷及答案
2021年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，则点 D 的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD 边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD 边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。
八年级初二数学 图形的对称-翻折变换(折叠问题) 含答案
图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。
中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)
中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。
中考必考折叠问题数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列图形中，折叠后可以得到一个正方形的图形是（）A. 长方形B. 等腰梯形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形2. 将一个长方形沿着对角线折叠，得到的新图形是（）A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形3. 一个等腰三角形底边上的高为4cm，底边长为6cm，将这个等腰三角形沿着高线折叠，得到的新图形是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形4. 将一个正方形沿着对角线折叠，得到的新图形是（）A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形5. 一个长方形的长为8cm，宽为4cm，将这个长方形沿着长边折叠，得到的新图形是（）A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形6. 一个等边三角形边长为6cm，将这个等边三角形沿着高线折叠，得到的新图形是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形7. 将一个长方形沿着短边折叠，得到的新图形是（）A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形8. 一个等腰梯形上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，将这个等腰梯形沿着高线折叠，得到的新图形是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形9. 一个正方形边长为5cm，将这个正方形沿着对角线折叠，得到的新图形是（）A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形10. 一个等边三角形边长为10cm，将这个等边三角形沿着高线折叠，得到的新图形是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰梯形D. 长方形二、填空题（每题3分，共30分）1. 将一个等腰三角形沿着高线折叠，得到的新图形是_______。
2. 一个长方形的长为8cm，宽为4cm，将这个长方形沿着长边折叠，得到的新图形的面积为_______。
3. 一个正方形边长为5cm，将这个正方形沿着对角线折叠，得到的新图形的周长为_______。
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)
八年级数学下册《图形的折叠问题》练习题与答案(人教版)一、选择题1.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.55°2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝( )A.2B.3C.4D.54.在△ABC中，AB＝10，AC＝12，BC＝9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.55.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为( )A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm6.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题7.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为.8.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD＝120°，则EF的长为 .9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后端点D恰好落在边OC 上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为10.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为11.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．三、解答题13.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F 处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.15.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长.16.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________；(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.17.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.(1)求证：四边形AFHG为正方形；(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.18.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.19.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．(1)如图1，求证：AE⊥BF；(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4求QF的值.20.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．21.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1 图2参考答案1.A.2.A3.B.4.D.5.C.6.A7.答案为：36°.8.答案为：3(cm).10.答案为：3cm.11.答案为：2.12.答案为：28.8.13.解：∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°由题意得：AF＝AD＝40cm；DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2∴EC＝32﹣23.2＝8.8.14.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.∵在Rt△ACD中，AC＝10∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2即(8﹣x)2＝42＋x2解得x＝3，即：EF＝3.(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.15.解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE∴△AEF≌△BCE∴△GEF≌△HCE∴EG＝CH；(2)∵AF＝FG＝2，∠FDG＝45°∴FD＝2，AD＝2＋2；∵AF＝FG＝HE＝EB＝2，AE＝AD＝2＋ 2∴AB＝AE＋EB＝2＋2＋2＝2＋2 2.16.解：(1)(3，4)；(0，1)(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下：∵四边形OABC为长方形∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°由折叠的性质可得DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m.如图，假设点E恰好落在x轴上.在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝22，则有OE＝OC﹣CE＝m﹣2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m﹣22)2＝m2，解得m＝3 2.17.证明：(1)∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°；由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；∴四边形AFHG是正方形解：(2)∵四边形AFHG是正方形∴∠BHC＝90°又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；设AD的长为x则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去) ∴AD＝12∴AB＝6 5.18.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE∵FG∥CE∴∠FGE＝∠CEB∴∠FGE＝∠FEG∴FG＝FE∴FG＝EC∴四边形CEFG是平行四边形又∵CE＝FE∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10∴AF＝8∴DF＝2设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x∵∠FDE＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x 2，解得，x ＝103 ∴CE ＝103∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝103×2＝203. 19.证明：(1)∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点 ∴CF ＝BE在△ABE 和△BCF 中∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS)∴∠BAE ＝∠CBF又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°∴∠BGE ＝90°∴AE ⊥BF ；(2)解：∵将△BCF 沿BF 折叠，得到△BPF∴FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB ＝90°∵CD ∥AB∴∠CFB ＝∠ABF∴∠ABF ＝∠PFB∴QF ＝QB设QF ＝x ，PB ＝BC ＝AB ＝4，CF ＝PF ＝2∴QB ＝x ，PQ ＝x ﹣2在Rt △BPQ 中∴x 2＝(x ﹣2)2＋42解得：x ＝5，即QF ＝5．20.解：(1)∵在△OAB 中，∠OAB ＝90º，∠AOB ＝30º，OB ＝8 ∴OA ＝43，AB ＝4.∴点B 的坐标为(43，4).(2)∵∠OAB ＝90º∴AB ⊥x 轴∴AB ∥EC.又∵△OBC 是等边三角形∴OC ＝OB ＝8.又∵D 是OB 的中点，即AD 是Rt △OAB 斜边上的中线∴AD ＝OD∴∠OAD ＝∠AOD ＝30º∴OE ＝4.∴EC ＝OC －OE ＝4.∴AB ＝EC.∴四边形ABCE 是平行四边形.(3)设OG ＝x ，则由折叠对称的性质，得GA ＝GC ＝8－x. 在Rt △OAG 中，由勾股定理，得GA 2=OA 2+OG2 即，解得，x ＝1. ∴OG 的长为1.21. (1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ∴点B 与点E 关于PQ 对称∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF.又∵EF ∥AB∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ∴四边形BFEP 为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形∴BC ＝AD ＝20，CD ＝AB ＝12，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称∴CE ＝BC ＝20.在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝16∴AE ＝AD －DE ＝20－16＝4.在Rt △APE 中，AE ＝4，AP ＝12－PB ＝12－PE∴EP 2＝42＋(12－EP)2.解得EP ＝203∴菱形BFEP 的边长为203cm. ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝4. 当点P 与点A 重合时，如图点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12 ∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.。
图形的折叠问题 小学数学 测试卷
一、选择题1. 如图，将一张正方形纸片沿虚线向上对折，再沿虚线向右对折，得到一个正方形，最后沿虚线剪下一个角。
将这张纸片展开后，得到的图形是（）。
A．B．C．D．2. 把一张边长是6厘米的正方形纸，对折成两个长方形，其中每个长方形的周长为（）。
A．12厘米B．18厘米C．24厘米3. 在手工课上，小明把一张长8厘米、宽4厘米的长方形对折两次，折痕之间的关系是（）。
A．互相平行B．互相垂直C．可能平行，也可能垂直D．既不互相垂直也不互相平行4. 把一张长方形的纸对折三次，折痕间的关系是（）。
A．互相平行B．互相垂直C．可能互相平行，也可能互相垂直5. 一张长方形纸对折两次后展开，两条折痕（）。
A．互相平行B．互相垂直C．可能互相平行，可能互相垂直D．不确定二、填空题6. 把一张长方形的纸沿着同一方向对折两次，打开后折痕互相( )。
7. 一个面积为16cm2的正方形纸，对折3次后，把其中一份涂上绿色，绿色部分占正方形的。
8. 下面哪些图形通过一次对折即可从折痕处用剪刀剪出来？在下面的（）里画“√”。
9. 将一张圆形纸片连续对折两次，得到的角是( )度，共有( )个这样的角。
10. 在中，，( )．三、解答题11. 一根绳子对折再对折后长1米，这根绳子全长多少米？12. 淘气在对折好的纸上剪了两个洞，打开后会是哪一个？想一想，做一做。
13. 诚诚制作了一份对折的“新年贺卡”对折后的贺卡正好是一个周长为68厘米的正方形。
这张贺卡打开后的周长是多少？14. 把下边的大正方形对折两次，不可能折成什么图形？。
折叠几何综合专题---16道题目(含答案)
折叠几何综合专题---16道题目(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EFAF ＝FHEF ，即EF 2＝FH ·AF ，又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ；(3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ，解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∵∠DCE ＝∠ADF ＝90°，∴Rt △DCE ∽Rt △ADF ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝1255.02如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ，若DE ＝4，BD ＝8.(1)求证：AF ＝EF ；(2)求证：BF 平分∠ABD .证明：(1)在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵△BED 是△BCD 对折得到的，∴ED ＝CD ，∠E ＝∠C ，∴ED ＝AB ，∠E ＝∠A ，(2分)又∵∠AFB ＝∠EFD ，∴△ABF ≌△EDF (AAS)，∴AF ＝EF ；(4分)(2)在Rt △BCD 中，∵DC ＝DE ＝4，BD ＝8，∴sin ∠CBD ＝DC BD ＝12， ∴∠CBD ＝30°，(5分)∴∠EBD ＝∠CBD ＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F 重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
七年级数学上册 折叠与展开问题专题训练 试题
A．文B．明C．和D．谐
5．以下各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )
6、以下各图经过折叠不能围成一个正方体的是〔〕
7、如下图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，那么所得的图形是( )
8．将一张长方形纸片按如下图的方式折叠，BC、BD为折痕，那么∠CBD为度.
12．如以下图所示的立方体，假如把它展开，可以是以下图形中的
13、以下图形中，可以折叠成正方体的是( )
14、右边几何体的俯Байду номын сангаас图是〔〕
15．以下图是正方体分割后的一局部，它的另一局部为以下图形中的( )
制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。
9、“仁义礼智信孝〞是我们的传统美德，小明将这六个字写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如下图，那么在该正方体中，和“仁〞相对的字是〔〕
A、礼B、智C、信D孝
10、〔此题6分〕分别在下面正方形网格中按要求画图：
（1）在图〔1〕中画出以点O为中心，旋转180o后的图形；
（2）在图〔2〕中画出以MN为轴，对折后的图形；
折叠与展开
制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。
1．如图把左边的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到右图中的〔〕
2．以下四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是
3.小明用如下左图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，右边所给的四个图案中符合胶滚的图案的是〔〕
（3）在图〔3〕中画出向右平移一个小正方形边长后的图形。
图形的折叠问题试卷
图形的折叠问题试卷文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]翻折组卷一．选择题（共9小题）1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB 边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：15．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．87．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB 边上，则折痕DF= ______cm．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________ °．12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_________ ．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为_________ ．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB 边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=_________ °．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为_________ cm，面积为_________ cm2．16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________ ．17．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为_________cm2．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_________ cm．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________ ．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=_________ 度．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_________ ．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=_________ °．23．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为_________ ．24．现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=_________ ．25．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=_________ 度．三．解答题（共5小题）26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2010赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：应用题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度适中．3．（2010白下区二模）如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据折叠的性质和正方形的判定方法，得四边形CDFE是正方形，四边形ABEF 是矩形；根据矩形的性质，得AF=BE=4，则DF=6，则CD=DF=6（cm）．解答：解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，得四边形CDFE是正方形，则四边形ABEF是矩形．∴BE=AF=4．∴DF=AD﹣AF=6．∴CD=DF=6（cm）．故选D．点评：此题考查了折叠问题，要能够根据折叠的方法发现正方形．4．（2004广安）如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：1考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，可设AB=3x，BC=2x，即可得BD=x，继而求得AB的值，则可求得答案．解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，∴设AB=3x，BC=2x，则AD=BC=2x，∴BD=AB﹣AD=3x﹣2x=x，如图3：AB=AD﹣BD=2x﹣x=x，∴DB：BA=x：x=1：1．故选C．点评：此题考查了折叠的性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求得A′F的长度．解答：解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．∵CE∥A′B，∴△ECF∽△A′BF，∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，∴=；而A′E=AE=AD=2，∴A′F=4﹣．故选D．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．8考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=CFCE．解答：解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB﹣AD=2，第三个图中AB=AD﹣BD=6，∵BC∥DE，∴BF：DE=AB：AD，∴BF=4，CF=BC﹣BF=2，∴△CEF的面积=CFCE=4．故选C．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故选B．点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2012历下区二模）小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．专题：数形结合．分析：根据折叠的性质可得出CF=CB，在RT△CDF中利用勾股定理可求出DF的长度，继而可求出cos∠DFC的值．解答：解：由折叠的性质得，CB=CF，设AB=4x，则BC=5x，在RT△DFC中，DF==3x，∴cos∠DFC==．故选B．点评：此题考查了翻折变换及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出CF的长度，在RT△CDF中求出DF的长度，难度一般．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：轴对称的性质．分析：根据对称的性质和AD=10，BE=6可得出CD的长度．解答：解：根据轴对称的性质可得可得出CD=DF=AD﹣AF=AD﹣BE，∴CD=4cm故选A．点评：本题考查轴对称的性质，关键在于根据图形判断出CD=DF．二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF= 8 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠EDF=30°，从而求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中求出DE，在Rt△DEF中可求出DF．解答：解：由折叠的性质可得：∠EDF=∠CDF=30°，则∠ADE=90°﹣30°﹣30°=30°，在Rt△ADE中，AD=6cm，∠ADE=30°，∴AE=ADtan∠ADE=2cm，DE=2AE=4cm，在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DE=4cm，∴DF==8cm．故答案为：8．点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等．11．（2012宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=40 °．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．解答：解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°﹣70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，=110°﹣70°，=40°．故答案为：40．点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．12．（2013日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A'DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA'C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．解答：解：作OH⊥DK于H，连接OK，∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°，∴∠ODH=30°，∴∠DOH=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴△ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．故答案为：（3π﹣）cm2．点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为80°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据正方形的性质得出AD∥BC，由∠EFG=50°可求出∠1的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠1=∠2=50°，由平角的性质即可得出∠BEG的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠EFG=50°，∴∠1=∠EFG=50°，∵四边形EFD′C′是四边形EFDC翻折而成，∴∠1=∠2=50°，∴∠BEG=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故答案为：80°．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=15 °．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．解答：解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，∴∠NPM=2×75°=150°，∴∠C′PB=30°，由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，∴∠NPB′=15°．故答案为：15．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为cm，面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：过点P作PE⊥MN，∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN==10（cm），∴S△PMN=PMPN=MNPE，∴PMPN=MNPE，即PE==（cm），即矩形纸片ABCD的宽为：；∵BC=PM+MN+PN=6+10+8=24（cm），∴S矩形ABCD=×24=（cm2）．故答案为：，．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2005遂宁）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：利用折叠的性质和勾股定理可知．解答：解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PMPN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=ABBC=．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．17．（2010徐汇区二模）把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN=10，BC=10+6+8=24．根据直角三角形的面积公式，得AB==．则矩形的面积=×24=（cm2）．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．专题：计算题；探究型．分析：连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，由垂直平分线的性质可知BM=EM，再由点E是CD的中点，可求出DE的长，由勾股定理即可求出AM的长．解答：解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，∵点E是CD的中点，DE=1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=x，则DM=4﹣x，∴x2+22=（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．点评：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为 1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴=，即=，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故答案为：1．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=70 度．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．故答案为：70．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=25°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为：25°．点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=64 °．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=53°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=64°．故答案为：64．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，以及两直线平行，内错角相等的性质．23．（2010盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为：1 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=DG=CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为：1．故答案为：：1．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．24．（2011桐乡市一模）现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD= 2 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根据AD=DG即可求出AD．解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B 点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），∴∠EAF=∠EAB=45°，又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．连DE，∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，∴∠NDM=∠GDM，∴Rt△NMD≌Rt△GMD，∴DG=DN=，∴AD=DG=2．故答案为2．点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．25．（2013南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20 度．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度数．解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，∴α+∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠β+∠AFC=180°，∵∠β=110°，∴∠AFC=70°，则α=20°．故答案为：20点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）26．（2012衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据==2==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．解答：解：（1）是标准纸，理由如下：∵矩形纸片ABCD是标准纸，∴=，由对开的含义知：AF=BC，∴==2==，∴矩形纸片ABEF也是标准纸．（2）是标准纸，理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD==a，∴==，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；。
初中数学中有关图形的折叠问题
与折叠有关的计算问题一．求角1.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使 C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点恰好落在BC 边上的F 处，如果 ∠BAF=70º,那么∠DAE=__________.3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，连接AE ，求证:AE ∥BD.4. 如图2,将正方形纸片ABCD 折叠,使边AB,CB 均落在对角线BD 上,得折痕BE,BF,则∠EBF=5. 如图3,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120º的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A.15º或30ºB.30º或45ºC.45º或60ºD.30º或60º6. 如图7，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A 1处，连接A 1C,则∠BA 1C= _________º7.如图，在Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 与AB 边上的一点D 重合,当∠A 满足什么条件时， D 恰好为AB 的中点？写出你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点. A DBECABFCEDFAB CDE图3图4CBAMDB C图2图BF E DA BC 图7A EA 1BC D DCA D B二．求边1.(1)如图，沿AE 折叠长方形，使D 点落在BC 边上的F 处，已知AB=8,BC=10.求CE 的长.(2) 如图14所示，折叠长方形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm,BC=10cm,求折痕AE 的长。
2.(1)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长. (2)如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上 的点E 处.已知BC=12,∠B=30º,则DE=______.3. 如图，折叠矩形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm, BC=10cm,则EC=______cm.4.如图，矩形纸片ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE 对折， 使得B 点落在AD 上的点B 1处，折痕与BC 交于点E,则CE=_____.5. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12 cm,EF=16cm,求AD 的长.6.如图，将一长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在E 的位置上，AE 交DC 于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段CF 的长.AB FCE DCBE AFE CDB A BA EB 1C D图 21BFCGEADHBCAF DEB 30°D CEA图14A B F C E D7.如图，点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点，沿CE 折叠，点B 恰好与点O 重合，若BC=3,则折痕CE=_________.8. 如图2,正方形ABCD 的边长为6cm,M,N 分别为AD,BC 边的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 处，折痕BQ 交MN 于点E,则BE 的长等于___________.9.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,E 是BC 边上一点，连接AE, 所∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B 1处.当△CEB 1为直角三角 形时，BE=________.10.如图，已知在三角形纸片ABC 中,BC=3,AB=6,∠BCA=90º,在AC 上取一点E,以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE=_________.11.(1)将一张矩形纸片ABCD 按如图4的方式折起，使顶点C 落在点F 处,其中AB=4,若∠FED=30º,则折痕ED 的长为（ ）A.4B.C.8D.4.5(2) 如图3，在Rt △ABC 中,∠C=90º,D 为AC 上一点，且DA=DB=5,又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ）A. 4B. 3C. 5D. 3.5B 1EBAB 1ABE CD EOB CA D图2B N CEQDPM AD AE CB图 4AB EC DF图图 3A E BC OD DA E FBC B三．求面积 1.如图，沿对角线BD 折叠矩形ABCD ，使得点A 落在点E 处，DE 交BC 于 点F.若AD=8,AB=4,求△DBF 的面积。
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升专题七 折叠问题(含答案)
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题七折叠问题折叠是一种对称变换，属于轴对称，对称轴所在直线是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.解决这些问题的基本方法是精确找出折叠前后相等的边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合思想等数学思想进行解题.类型一平行线中的折叠问题1.如图，将一个对边平行的纸条沿AB折叠一下，若∠1=130∘，则∠2的大小为.2. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处.若α+β=119∘，则∠EMF的度数为（）A. 57∘B. 58∘C. 59∘D. 60∘3. 将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64∘，则∠1的度数为（）第3题图A. 52∘B. 62∘C. 64∘D. 42∘4. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.若∠BDC=62∘，则∠FDE的度数为（）第4题图A. 28∘B. 62∘C. 34∘D. 24∘5.如图1，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H,G的位置，再沿BC折叠成图2.若∠DEF=72∘，则∠GMN=∘.6. 如图1是长方形纸带，∠CFE=55∘，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GE折叠成图3，则图3中∠DEF的度数是.7. 如图，四边形ABCD为一长方形纸片，AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠C=∠ADC =90∘，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点，连接BD.若∠CBD=20∘，且AF//BD,求∠BAE的度数.类型二三角形中的折叠问题8. 如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠,使点B落在点B′处.若∠B=35∘，∠BNM=28∘，则∠AMB′的度数为（）第8题图A. 30∘B. 37∘C. 54∘D. 63∘9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠C=40∘，点D为BC上一点，把△ABD 沿AD折叠到△AB′D，点B的对应点B′恰好落在边BC上，则∠CAB′的度数为（）第9题图A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘10. 如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC=6，BC=4，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E,D分别在AB,AC上，则△BCD的周长为.11. 将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处.若∠1=80∘，∠2=28∘，则∠A的度数为.12. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90∘，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，将三角形纸片ABC沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处.已知∠A=∠B=35∘,设∠BED=x∘，当△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”时，求x的值.13. 探究：（1）如图1，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？当∠A=40∘时，∠B+∠C+∠1+∠2=∘.（2）把图1中△ABC沿DE折叠得到△A′DE，如图2.填空：∠1+∠2∠B+∠C;（选填“>”“<”或“=”）如果∠A=30∘，则∠A′DB+∠A′EC=；猜想∠A′DB,∠A′EC与∠A的关系为，并说明理由.（3）如图3，把△ABC沿着DE折叠得到△A′DE，A′D与AC相交于点F,则∠A′DB,∠A′EC与∠A的关系为，并说明理由.答案专题七折叠问题类型一平行线中的折叠问题1．115∘2．B3．A4．C5．726．15∘7．解:∵AD//BC，∠CBD=20∘,∴∠ADB=∠CBD=20∘.∵AF//BD,∴∠ADB=∠FAD.∵∠DAB=90∘,∴∠BAF=∠DAB+∠FAD=110∘.∵纸片沿AE折叠,∴∠BAE=∠FAE,∴∠BAE=1∠BAF=55∘.2类型二三角形中的折叠问题8．C9．A10．1011．26∘12．20【解析】∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，∠A=∠B=35∘,∴∠EDF=∠A=35∘,当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B=90∘或∠DEB+2∠B=90∘,∴2x+35=90或x+2×35=90,∴x=27.5或x=20.①当x=27.5时，即∠DEB=27.5∘,∴∠CDE=∠DEB+∠B=27.5∘+35∘=62.5∘,∴∠CDF=∠CDE−∠EDF=62.5∘−35∘=27.5∘,∴∠CFD=180∘−∠C−∠CDF=180∘−110−27.5∘=42.5∘,此时2∠CDF+∠CFD=2×27.5∘+42.5∘=97.5∘,2∠CFD+∠CDF=2×42.5∘+27.5∘=112.5∘,∴△CDF不是“准直角三角形”；②当x=20时，即∠DEB=20∘,∴∠CDE=∠DEB+∠B=20∘+35∘=55∘,∴∠CDF=∠CDE−∠EDF=55∘−35∘=20∘,∴∠CFD=180∘−∠C−∠CDF=180∘−110∘−20∘=50∘,此时2∠CDF+∠CFD=90∘,∴△CDF是“准直角三角形”;综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为20.13．（1）280【解析】∠1+∠2=∠B+∠C∵∠A+∠1+∠2=180∘，∠A+∠B+∠C=180∘,∴∠1+∠2=∠B+∠C.当∠A=40∘时，∠B+∠C=180∘−40∘=140∘，∠1+∠2=180∘−40∘=140∘，∴∠B+∠C+∠1+∠2=280∘.故答案为: 280.（2）=；60∘；∠A′DB+∠A′EC=2∠A；解：由（1）得∠ADE+∠AED=∠B+∠C.由翻折变换的性质可知，∠1+∠2=∠ADE+∠AED，∴∠1+∠2=∠B+∠C.由翻折变换的性质可知，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE+∠AED=180∘−∠A，∠ADA′+∠AEA′=360∘−2∠A，∠A′DB+∠A′EC=360∘−(360∘−2∠A)=2∠A.当∠A=30∘时，∠A′DB+∠A′EC=60∘.故答案为:=;60∘;∠A′DB+∠A′EC=2∠A.（3）∠A′DB=∠A′EC+2∠A；∵∠A′DB=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A′+∠A′EC，∴∠A′DB=∠A′EC+2∠A.故答案为:∠A′DB=∠A′EC+2∠A.。
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图形的折叠问题试卷 Revised as of 23 November 2020翻折组卷一．选择题（共9小题）1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB 以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：15．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．87．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．8．小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF=______cm．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=_________°．12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_________．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为_________．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=_________°．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为_________cm，面积为_________cm2．16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．17．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为_________cm2．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_________cm．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=_________度．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_________．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=_________°．23．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F 处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为_________．24．现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=_________．25．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=_________度．三．解答题（共5小题）26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…27．把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，求矩形纸片ABCD的面积．28．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．30．如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．（1）求证：△CEG是等边三角形；（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2010?赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB 以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（）A ．1 B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：应用题．分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；∵CE∥AB，∴△ECF∽△ADF，得=，即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；故选C．点评：本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度适中．3．（2010?白下区二模）如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（）A ．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据折叠的性质和正方形的判定方法，得四边形CDFE是正方形，四边形ABEF是矩形；根据矩形的性质，得AF=BE=4，则DF=6，则CD=DF=6（cm）．解答：解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，得四边形CDFE是正方形，则四边形ABEF是矩形．∴BE=AF=4．∴DF=AD﹣AF=6．∴CD=DF=6（cm）．故选D．点评：此题考查了折叠问题，要能够根据折叠的方法发现正方形．4．（2004?广安）如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）A ．3：2 B．2：3 C．1：1 D．2：1考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，可设AB=3x，BC=2x，即可得BD=x，继而求得AB 的值，则可求得答案．解答：解：∵矩形纸片ABCD中，AB：BC=3：2，∴设AB=3x，BC=2x，则AD=BC=2x，∴BD=AB﹣AD=3x﹣2x=x，如图3：AB=AD﹣BD=2x﹣x=x，∴DB：BA=x：x=1：1．故选C．点评：此题考查了折叠的性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求得A′F的长度．解答：解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．∵CE∥A′B，∴△ECF∽△A′BF，∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，∴=；而A′E=AE=AD=2，∴A′F=4﹣．故选D．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）A ．1 B．2 C．4 D．8考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=CF?CE．解答：解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB﹣AD=2，第三个图中AB=AD﹣BD=6，∵BC∥DE，∴BF：DE=AB：AD，∴BF=4，CF=BC﹣BF=2，∴△CEF的面积=CF?CE=4．故选C．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．7．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A ．1B．1 C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故选B．点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2012?历下区二模）小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）A ．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．专题：数形结合．分析：根据折叠的性质可得出CF=CB，在RT△CDF中利用勾股定理可求出DF的长度，继而可求出cos∠DFC的值．解答：解：由折叠的性质得，CB=CF，设AB=4x，则BC=5x，在RT△DFC中，DF==3x，∴cos∠DFC==．故选B．点评：此题考查了翻折变换及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出CF的长度，在RT△CDF中求出DF的长度，难度一般．9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使点C落在边AD上（与点F重合），若BE=6 cm，则CD等于（）A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：轴对称的性质．分析：根据对称的性质和AD=10，BE=6可得出CD的长度．解答：解：根据轴对称的性质可得可得出CD=DF=AD﹣AF=AD﹣BE，∴CD=4cm故选A．点评：本题考查轴对称的性质，关键在于根据图形判断出CD=DF．二．填空题（共16小题）10．如图，一张宽为6cm的矩形纸片，按图示加以折叠，使得一角顶点落在AB边上，则折痕DF=8cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠EDF=30°，从而求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中求出DE，在Rt△DEF 中可求出DF．解答：解：由折叠的性质可得：∠EDF=∠CDF=30°，则∠ADE=90°﹣30°﹣30°=30°，在Rt△ADE中，AD=6cm，∠ADE=30°，∴AE=ADtan∠ADE=2cm，DE=2AE=4cm，在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DE=4cm，∴DF==8cm．故答案为：8．点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等．11．（2012?宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF 于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=40°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．解答：解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°﹣70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，=110°﹣70°，=40°．故答案为：40．点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．12．（2013?日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A'DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA'C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．解答：解：作OH⊥DK于H，连接OK，∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∵∠C=90°，∴∠DA'C=30°，∴∠ODH=30°，∴∠DOH=60°，∴∠DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴△ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．故答案为：（3π﹣）cm2．点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=50°，那么∠BEG的度数为80°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据正方形的性质得出AD∥BC，由∠EFG=50°可求出∠1的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠1=∠2=50°，由平角的性质即可得出∠BEG的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠EFG=50°，∴∠1=∠EFG=50°，∵四边形EFD′C′是四边形EFDC翻折而成，∴∠1=∠2=50°，∴∠BEG=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故答案为：80°．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．14．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=15°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．解答：解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，∴∠NPM=2×75°=150°，∴∠C′PB=30°，由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，∴∠NPB′=15°．故答案为：15．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．把矩形纸片ABCD折叠，使B、C两点恰好落在AD边上的点P处（如图），若∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的宽为cm，面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：过点P作PE⊥MN，∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN==10（cm），∴S△PMN=PM?PN=MN?PE，∴PMPN=MNPE，即PE==（cm），即矩形纸片ABCD的宽为：；∵BC=PM+MN+PN=6+10+8=24（cm），∴S矩形ABCD=×24=（cm2）．故答案为：，．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2005?遂宁）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：利用折叠的性质和勾股定理可知．解答：解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PM?PN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=AB?BC=．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．17．（2010?徐汇区二模）把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为cm2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据勾股定理，得MN=10；根据直角三角形的面积公式，得AB=；根据折叠，知BC=6+8+10=24，进而求得矩形的面积．解答：解：∵∠MPN=90°，PM=6cm，PN=8cm，∴MN=10，BC=10+6+8=24．根据直角三角形的面积公式，得AB==．则矩形的面积=×24=（cm2）．点评：此题综合运用了勾股定理、折叠的性质和直角三角形的斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的方法．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．专题：计算题；探究型．分析：连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，由垂直平分线的性质可知BM=EM，再由点E是CD的中点，可求出DE的长，由勾股定理即可求出AM的长．解答：解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，∵点E是CD的中点，DE=1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=x，则DM=4﹣x，∴x2+22=（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．点评：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为1．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=﹣=1，如图3，AB=AD﹣BD=﹣1=，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴=，即=，∴BF=，∴CF=BC﹣BF=﹣=1．故答案为：1．点评：本题考查了翻折变换及正方形的性质，利用了折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等及正方形的性质，平行线的性质，有一定的难度．20．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=70度．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．故答案为：70．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．21．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=25°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为：25°．点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=53°，那么∠BEG=64°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=53°，由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=53°，∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=64°．故答案为：64．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，以及两直线平行，内错角相等的性质．23．（2010?盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为：1．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证RT△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD．解答：解：连DE，如图，∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD=45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴RT△DGE≌Rt△DCE，∴DC=DG，又∵△AGD为等腰直角三角形，∴AD=DG=CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为：1．故答案为：：1．点评：本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质．24．（2011?桐乡市一模）现将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，且，那么AD=2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：连DE，由矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），根据折叠的性质得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③），再次根据折叠的性质得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，则△AGD为等腰直角三角形，而M点正好在∠NDG的平分线上，得到∴∠NDM=∠GDM，易证Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根据AD=DG即可求出AD．解答：解：∵矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD ）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②），∴∠EAF=∠EAB=45°，又∵沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．连DE，∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，∴△AGD为等腰直角三角形，即∠MGD=90°，又∵第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，∴∠NDM=∠GDM，∴Rt△NMD≌Rt△GMD，∴DG=DN=，∴AD=DG=2．故答案为2．点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两重合的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰直角三角形三边的关系．25．（2013?南昌模拟）如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，已知：β=110°，求α=20度．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：由折叠及矩形的性质得到∠AFE为直角，利用平角的定义得到一对角互余，再由AB与DC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，求出∠AFC的度数，即可确定出α的度数．解答：解：由折叠的性质得：∠AFE=90°，∴α+∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠β+∠AFC=180°，∵∠β=110°，∴∠AFC=70°，则α=20°．故答案为：20点评：此题考查了平行线的性质，以及翻折变换，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）26．（2012?衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．。