分类计数原理与分步计数原理教学提纲
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。
（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。
2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。
（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。
（2）分步乘法计数原理的应用。
2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。
（2）理解分步乘法计数原理的含义。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。
3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。
五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。
2. 相关实例和练习题。
教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。
2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。
3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。
二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。
2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。
3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。
2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。
3. 让学生举例说明并计算。
二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。
2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。
分类计数原理与分步计数原理排列组合
分类计数原理与分步计数原理、排列组合适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点分类计数原理；分步计数原理；排列；组合教学目标 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理2. 理解排列与组合的意义掌握排列数与组合数的计算公式及组合数的两个性质，并用它们解决一些简单的应用问题．教学重点 1. 以学生熟悉的数学问题为主的带有附加条件排列问题；2. 以“至少”“至多”为限量词的组合问题；3. 按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步的处理排列组合的基本思想；4. 直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题.教学难点排列、组合内容中分类讨论、分步讨论。
教学过程一、课堂导入问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？二、知识讲解考点1 分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。
1. 排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （n m ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .2. 排列数定义：从n 个不同元素中，任取m （n m ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.3. 排列数公式： !()()().()!n m n nn m n m A n A n n n n m A n m --=---+==-1214. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。
（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。
（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。
3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。
2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。
3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。
4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。
六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案人教课标版（优秀教案）
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案⼈教课标版（优秀教案）《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》教案枣庄⼀中刘卫教学⽬标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利⽤两个原理分析和解决⼀些简单的应⽤问题；过程与⽅法：问题式、螺旋上升的教学⽅法情感、态度与价值观：培养学⽣的归纳概括能⼒；引导学⽣形成 “⾃主学习”与“合作学习”等良好的学习⽅式教学重点：归纳的得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学难点：（）正确理解“完成⼀件事”的含义；（）根据实际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”授课类型：新授课教具：多媒体教学过程：引⼊课题先看下⾯的问题：（）最近上海举⾏世博会，想从三名同学中选两名去参加，有⼏种不同的选法？（）如果从全班选出三名去参加，有多少种不同的选法呢？以上问题都是计数问题，通过计数原理这⼀章的学习就可以解决以上问题。
这节课，我们先来学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
、分类加法计数原理（）提出问题问题：⽤⼀个⼤写的英⽂字母或⼀个阿拉伯数字给教室⾥的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题：从甲地到⼄地，可以乘⽕车，也可以乘汽车.如果⼀天中不同时刻的⽕车有班，不同时刻的汽车有班.那么⼀天中，乘坐这些交通⼯具从甲地到⼄地共有多少种不同的⾛法？由以上两个问题让学⽣发现，探究，归纳得出分类加法计数原理。
（）发现新知分类加法计数原理完成⼀件事有两类不同⽅案，在第类⽅案中有m 种不同的⽅法，在第类⽅案中有n 种不同的⽅法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的⽅法.结合问题和问题理解此原理（从具体到抽象再到具体），明确完成的“⼀件事”是什么?两类不同⽅案中⽅法互不相同，各种⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都能独⽴完成这件事。
（）知识应⽤例.在填写⾼考志愿表时，⼀名⾼中毕业⽣了解到，两所⼤学各有⼀些⾃⼰感兴趣的强项专业，具体情况如下：⼤学⼤学⽣物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学⼯程学如果这名同学只能选⼀个专业，那么他共有多少种选择呢？学⽣独⽴完成，板书做题步骤。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个互斥的部分，这个事件发生的总次数就等于各部分事件发生次数的和。
公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + + P(An)2. 分步乘法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个相互独立的步骤，这个事件发生的总次数等于各步骤事件发生次数的乘积。
公式：P(A) = P(A1) ×P(A2) ××P(An)三、教学重点与难点1. 教学重点：分类加法计数原理的概念和公式。
分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 教学难点：如何运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 运用案例分析法引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。
五、教学步骤1. 导入新课，介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 讲解分类加法计数原理的公式和应用示例。
3. 讲解分步乘法计数原理的公式和应用示例。
4. 开展案例分析，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
5. 进行小组讨论，让学生分组讨论和解决问题，分享解题心得。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。
2. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的表现，包括问题解决能力和逻辑思维能力。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的参与程度、团队合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、清晰，是否需要调整或补充。
教案(分类计数原理与分步计数原理)
1.分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法.(√)(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)1.(教材改编)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有________种.答案 2解析传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________.答案 5解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.答案48解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，则这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4个四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4个四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法.(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有30＋30＋20＝80种选法.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.答案120解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.题型二分步计数原理的应用例2(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.答案(1)12(2)120解析(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种.引申探究1.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种.2.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种.(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元.(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.答案(1)8 640(2)100解析(1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法，根据分步计数原理，得共有8×9×10×6＝4 320种，所以至少需花4 320×2＝8 640(元).(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法.根据分步计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100. 题型三两个计数原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3＋2＋2＝7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420.思维升华(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.答案30解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30种.13.对两个基本计数原理认识不清致误典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种.(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有43种方法，即64种.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种.答案(1)64(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.[方法与技巧]1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.分类标准要明确，做到不重复不遗漏.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.[失误与防范]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.答案18解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇.对于(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.2.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.答案 5解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法.3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个.故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个.4.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.答案14解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点.5.从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为________.答案 6解析分三步：第一步c＝0只有1种方法；第二步确定a，a从－2、－1中选一个，有2种不同方法；第三步确定b，b从1、2、3中选一个，有3种不同的方法.根据分步计数原理得1×2×3＝6种不同的方法.6.2015北京世界田径锦标赛上，8名女运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 答案 2 880解析分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2＝24种.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种.所以安排这8人的方式有24×120＝2 880种.7.如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，则三条线段一共至少需要移动________格.答案9解析如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超过9格，∴至少需要移动9格.8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种.答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法.于是由分类计数原理，得共有3＋3＋3＝9种不同的填法.9.有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种.(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42种.(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种.由分步计数原理知总方法数为3×6×8＝144种.10.为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种.答案 12解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法.由分步计数原理，不同选派方案共有2×6＝12种.12.已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种.答案 12解析 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2).当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2、1、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2、3、1，有三种情况.因而满足条件的函数f (x )有12种.13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理，知有9×10n种填法.14.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法.15.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同涂色方法？解方法一本题利用了分步计数原理求涂色问题.给出区域标记号A，B，C，D，E(如图)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有1种.因此应先分类后分步.①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种.故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.方法二按用3种或用4种颜色分两类，第一类用3种，此时A与E，B与D分别同色，于是涂法种数为A34＝24；第二类用4种，此时A与E，B与D有且只有一组同色，涂法种数为2A44＝48.由分类计数原理知涂法总数为24＋48＝72种.。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、教学目标：1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。
2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的解题方法。
3.培养学生的分类、归纳和逻辑思维能力。
二、教学准备：1.教学用具：黑板、粉笔、教学课件、教学实例。
2.学生学具：纸笔。
三、教学过程：步骤一：导入新知识1.教师简要介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内容和应用。
2.引导学生思考：在日常生活中，是否经常遇到需要进行分类和计数的问题？举例说明。
步骤二：分类加法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的部分，计算每个部分的数量然后求和。
2.通过教学实例，讲解分类加法计数原理的解题方法。
（1）例1：班有3个男生和4个女生，问这个班一共有几个人？（2）例2：有红、黄、绿三种颜色的苹果，已知红色有5个，黄色有3个，绿色有2个，问一共有几个苹果？（3）例3：一件衣服原价100元，店铺打8折，现在卖多少钱？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。
步骤三：分步乘法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的步骤，计算每个步骤的数量然后相乘。
2.通过教学实例，讲解分步乘法计数原理的解题方法。
（1）例1：从1到4，选出一个数字作为个位数，选出一个数字作为十位数，选出一个数字作为百位数，一共有多少种不同的三位数？（2）例2：现有4个不同的数字，从中选取2个数字，可以组成多少个不同的两位数？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。
步骤四：小结与巩固1.简要总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用和解题方法。
2.设计综合练习题，要求学生灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答问题。
步骤五：拓展应用1.鼓励学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际生活中的问题。
（1）例1：在次抽奖活动中，每个人有5张彩票，每张彩票都有4个数字，已知每个数字的范围是1到10，那么这次抽奖一共有多少个可能的中奖号码？（2）例2：一个班级有4个男生和3个女生，学校要选出一个代表队，其中队长必须是男生，队员可以是男生或女生，那么一共有多少种可能的代表队组合？2.扩大学生的思维视野，培养他们的综合运用能力。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、分类加法计数原理教案主旨: 学习分类加法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明有3个红色球和4个蓝色球，他想穿一双颜色相同的球，有多少种可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分类加法计数原理的概念: 分类加法计数原理是指在一个问题中，通过将问题进行分类，然后对每个分类进行计数，最后将各个分类的计数结果相加，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个篮球队有5个队员，一个足球队有6个队员，现在要选出两个队员进行混合比赛，有多少种可能性？三、讲解 (15分钟)1. 分类: 将问题分为篮球队员和足球队员两类。
2. 计数: 分别计算篮球队员和足球队员的可能性，篮球队员有C(5,2)种组合方式，足球队员有C(6,2)种组合方式。
3. 合并: 将篮球队员和足球队员的组合数相加得到最终的解。
四、练习 (15分钟)1. 分发练习册，让学生完成相关练习。
2. 教师巡视督促学生的练习过程，提供必要的帮助和指导。
五、总结 (5分钟)1. 总结分类加法计数原理的步骤：分类、计数、合并。
2. 强调分类加法计数原理在解决实际问题中的应用。
3. 回顾学生在课堂练习中的解题思路和结果。
二、分步乘法计数原理教案主旨: 学习分步乘法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明喜欢穿不同颜色的T恤和裤子，他有3种不同颜色的T恤和4种不同颜色的裤子，他有多少种穿搭可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分步乘法计数原理的概念: 分步乘法计数原理是指在一个问题中，将问题分为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的可能性，并将各个步骤的可能性相乘，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个密码锁有3个拨轮，每个拨轮上分别有0-9的数字，求密码锁的可能组合数。
分类计数原理和分步计数原理.pdf
《分类计数原理和分步计数原理》教案执教人：孙文教学目标（一）教学知识点 1.分类计数原理.2.分步计数原理.（二）能力训练要求 1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.教学重点分类计数原理与分步计数原理.教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.教学方法启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解。
授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体内容分析：两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．在开头课中，使学生对所学的知识有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是首先提出几个简单的实际例子，同时也引入了课题正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处汽车1汽车2汽车3火车1火车2汽车1汽车2汽车3图示：火车1火车2N =3×2=6所有走法汽车1──火车1；汽车1──火车2；汽车2──火车1；汽车2──火车2；汽车3──火车1；汽车3──火车2 教学过程：一：提出问题问题一：某人从松滋到武汉，可以乘火车，也可以乘汽车。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1.掌握分类加法计数原理的基本概念与计算方法；2.理解分步乘法计数原理的基本概念与计算方法；3.能够灵活运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。
二、教学重难点1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解与运用；2.引导学生学会灵活运用计数原理解决实际问题。
三、教学准备多媒体教学设备、教学课件、题目练习资料。
四、教学过程1.情境导入（5分钟）教师通过引入生活中的实际问题，比如：小明有两张红色的贴纸和三张绿色的贴纸，他把这些贴纸都收集在一个盒子里，请问他一共有多少张贴纸？引导学生思考该问题。
2.引入分类加法计数原理（10分钟）老师引导学生将红色的贴纸和绿色的贴纸分别进行分类，并进行计数，然后通过分类加法计数原理，将两个分类中的数量相加，得到总数。
师生共同完成示例题目。
3.分类加法计数原理的运用（10分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分类加法计数原理解决。
同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。
4.引入分步乘法计数原理（10分钟）教师通过引导学生思考生活中实际问题，如不重复的选择一件上衣和一条裤子，共有几种搭配方式。
引导学生发现选择上衣和选择裤子的方式是分步的，然后通过分步乘法计数原理，计算有多少种搭配方式。
5.分步乘法计数原理的运用（15分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分步乘法计数原理解决。
同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。
6.计数原理的综合运用（20分钟）教师给出综合性应用题，要求学生结合分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行综合运用，解决实际问题。
7.总结与扩展（10分钟）教师梳理本节课的重点知识，对分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行总结。
然后教师布置课后作业，拓展学生的思维。
五、教学延伸1.老师可以引导学生思考计数原理在日常生活中的应用，如超市货物的分类与计数、人物影视剧中演员的选择等。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理（一）教学设计一、教材分析：“排列和组合”是组合数学的最初步知识，它既是学习概率的预备知识，也是高等数学中的数理统计、近世代数、运筹学等学科的必备的基础知识.这种以计数问题为特征的内容，运算虽然不复杂，但思想方法较为独特、灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.正因为如此，“排列、组合和概率”是历年高考重点考查的内容之一，这部分知识占了高二（下）教材一个很大的章节，在高中数学教学占有重要的地位，这一大节最后介绍的组合数性质为基础的“二项式定理”，既是初中代数有关乘法公式的推广，又是学习后面概率的必要基础.分类计数原理和分步计数原理是本章重点基础知识，它们是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，不仅是推导排列组合数计算公式的依据，而且其思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，事实上，从思想的方法的角度看一个是将问题进行“分类”思考；一个是将问题进行“分步”思考，从而达到分解问题、解决问题的目的，因此学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章内容的关键.二、教学目标：1．认知目标：使学生初步掌握分类计数原理和分步计数原理，并能够运用这两个原理解决简单的应用问题.2．能力目标：通过正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题，提高分析问题、解决问题的能力.3．德育渗透目标：要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.三、重点、难点分析：1．教学重点：分类计数原理与分步计数原理.2．教学难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理.四、课型及课时安排：高二（下）新课 , 课时：1课时.教具：课件（Powpoint制作）五、教学方法：启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.运用这两个原理的关键在于区分完成一件事是用分类完成的办法还是用分步完成的办法.通过以教师为主导，学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性.六、学生情况分析：“排列、组合”问题对高二学生来说，在以前所学知识未曾接触过，课上的内容比较简单，但在实际应用时，不会应用，对问题的思考方法不太习惯和适应.七、教学设想：本节课是后面学习排列、组合的重要基础，学生对此类问题的思考方法不适应，在教学时应循序渐进，对概念的讲解，突出其实际意义。
公开课教案】分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
公开课教案】分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计二是要注重培养学生的思维能力，引导学生在解决问题时能够灵活运用两个计数原理，并能将其应用于实际问题中，这是提高学生数学素养的关键．3．教学目标1）知识目标：①掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用方法；②初步掌握运用两个计数原理解决实际问题的方法；③了解两个计数原理在排列、组合和二项式定理中的应用．2）能力目标：①培养学生的分类思维和分步思维；②提高学生的问题解决能力；③提高学生的数学抽象概括能力．3）情感目标：①激发学生研究数学的兴趣和热情；②培养学生的数学思维和创新精神；③提高学生的自信心和自主研究能力．二、教学过程设计1．教学方法本课程采用讲授、示范、演练和讨论相结合的教学方法．2．教学内容及时间安排1）引入（5分钟）：通过引入一道简单的计数问题，让学生对两个计数原理有一个初步的认识．2）概念讲解（10分钟）：通过PPT展示，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用方法．3）实例讲解（20分钟）：通过多个实例，讲解如何运用两个计数原理解决实际问题．4）练（15分钟）：提供一些简单的计数问题，让学生在小组内讨论解决方法，并在班内汇报．5）拓展（10分钟）：介绍两个计数原理在排列、组合和二项式定理中的应用．6）总结（5分钟）：对本节课的研究内容进行总结，强调掌握两个计数原理对于数学研究的重要性．三、教学评价1．评价方式本节课采用自评、互评和教师评价相结合的方式进行评价．2．评价内容1）知识掌握情况；2）解决问题的能力；3）数学思维和创新精神；4）自主研究能力．本节课的重点是教授两个计数原理，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征。
教学目标是通过具体实例，让学生体会到从特殊到一般的思维过程，并能正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题。
本节课采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，让学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案教案：分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。
2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
教学重点：1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的具体应用。
2.提高学生的问题解决能力。
教学难点：能够正确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，并能运用到实际问题中。
教学准备：1.板书：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义和示例。
2.教学课件：包含丰富的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的例题。
教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）导入新知识：让学生思考以下问题：1.如果我有两种不同的衣服和三种不同的裤子，我可以有多少种不同的搭配方式？2.如果我有三个家具店，每个店铺里有四种不同的椅子和五种不同的桌子，我可以有多少种不同的搭配方式？引导学生思考和讨论问题，引出分类加法计数原理的概念。
Step 2：分类加法计数原理（20分钟）1.板书：分类加法计数原理的定义。
2.板书：示例题目，并与学生一起解答。
例题1：小明有五个红苹果和三个绿苹果，请问他有多少个苹果？解答过程：将问题分为红苹果和绿苹果两个部分，根据分类加法计数原理，总数为红苹果的个数加上绿苹果的个数，即5+3=8例题2：甲班有四个男生和五个女生，乙班有三个男生和六个女生，请问两个班级一共有多少学生？解答过程：将问题分为甲班和乙班两个部分，根据分类加法计数原理，总数为甲班学生的个数加上乙班学生的个数，即4+5+3+6=183.布置练习题：让学生自己尝试解决几个分类加法计数原理的练习题。
Step 3：分步乘法计数原理（20分钟）1.板书：分步乘法计数原理的定义。
分步乘法计数原理：当一个问题可以分为多个独立的步骤时，总数为每个步骤的选择数相乘。
2.板书：示例题目，并与学生一起解答。
例题1：小明有五种不同的上衣和三种不同的裤子，请问他有多少种不同的穿搭方式？解答过程：将问题分为选择上衣和选择裤子两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为上衣的种类数乘以裤子的种类数，即5×3=15例题2：家餐厅有四道不同的主菜和五种不同的甜点，请问用餐顾客有多少种不同的品尝方式？解答过程：将问题分为选择主菜和选择甜点两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为主菜的种类数乘以甜点的种类数，即4×5=20。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用方法。
1.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
1.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
1.4 教学步骤引入分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第二章：分类加法计数原理2.1 教学目标让学生掌握分类加法计数原理的概念和运用方法。
2.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
2.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
2.4 教学步骤复习分类加法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第三章：分步乘法计数原理3.1 教学目标让学生掌握分步乘法计数原理的概念和运用方法。
3.2 教学内容分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
3.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
3.4 教学步骤复习分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第四章：应用举例4.1 教学目标让学生能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
分类计数原理和分步计数原理教案.doc
«§4.1分类计数原理和分步计数原理>> 教案
坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
__ ___ 火车
中地
三尹乙地
轮船2
（三）比较
概念:
2、 这两个原理应该怎样区别和使用？（学生冋顾，教师提 示、补
充）
3、 应用两个原理的注意点： （1） 加法原理屮的“分类”要全面，不能遗漏；但也不能 重复；
“类”与“类” Z 间是并列的、互斥的、独立的。
（2） 乘法原理中的“分步”程序要正确。
“步”与“步” 之间
是连续的，不间断的，缺…不可；但也不能重复、交 Xo 描述分类计数原理和分步计数原理的诗：
两大原理妙无穷，解题应用各不同； 多思慎密最重要，茫茫数理此中求。
1、 习题册69、70页。
2、 课后拓展（选做题）：如图，一蚂蚁沿着长方体的棱，从它 的
一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？
（五） 总结反思,
加深理解: （六）
布置作业, 分层练习：。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理优质课教案
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理民权高中教材分析:（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：两课时，本节为第一课时实物投影仪教学过程：引入课题从狐假虎威的故事引入。
1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：狐狸从草地到小岛有几种逃生方法？问题1.2：你能举出类似的例子吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：狐狸从草地到房子共有几种逃生方法？用列举法可以列出所有可能的路径。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用；2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1.分类加法计数原理的基本概念和应用；2.分步乘法计数原理的基本概念和应用；三、教学过程第一节：分类加法计数原理1.导入（5分钟）-引入生活中的例子，例如：一把铲子可以分为“红色”和“蓝色”两类，一双筷子可以分为“金属”和“木质”两类等。
-引出问题：如果有一个包里有3只红色的铲子和2只蓝色的铲子，这个包里一共有几只铲子？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分类加法计数原理的概念：当一个集合可以分为若干互不相交的类别时，集合的元素个数等于各个类别元素的个数的和。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分类加法计数原理的基本公式写出来，即：总数=类别1数目+类别2数目+类别3数目+...+类别n数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
4.练习应用（15分钟）-给学生发放习题册，让学生结合自己的实际情况完成其中的练习题。
-教师巡回指导，解答学生提出的问题。
第二节：分步乘法计数原理1.复习（5分钟）-复习分类加法计数原理的概念和应用，让学生回答一些与分类加法计数原理相关的问题。
-引出问题：如果有3件相同的红色上衣和2件相同的蓝色上衣，这些上衣一共有几种穿法？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分步乘法计数原理的概念：当一个事件需要分为若干个步骤进行时，每一步的选择数目乘积等于总方案数。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分步乘法计数原理的基本公式写出来，即：总方案数=第一步选择数目×第二步选择数目×第三步选择数目×...×第n步选择数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 培养学生运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和推理，形成数学概念。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：通过实例让学生理解分类加法计数原理，即在计数时，将事物按照某种特征进行分类，将各类别的事物数量相加。
2. 分步乘法计数原理：通过实例让学生理解分步乘法计数原理，即在计数时，将一个复杂的问题分解成几个简单的步骤，将每一步的数量相乘。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 教学难点：引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，形成数学概念。
2. 利用实例讲解，让学生在实际问题中体验和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示实例及练习题。
2. 教学素材：准备相关实例，如水果、动物等分类计数问题，以及需要分步解决的问题，如制作午餐、完成作业等。
3. 练习题：设计分类加法计数原理和分步乘法计数原理的练习题。
六、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的实例，如计数教室里的学生，引出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
2. 讲解分类加法计数原理：展示实例，让学生观察并分析，引导学生归纳出分类加法计数原理。
3. 讲解分步乘法计数原理：展示实例，让学生观察并分析，引导学生归纳出分步乘法计数原理。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
七、课堂练习a) 班级里有男生20人，女生15人，一共有多少人？b) 水果店里有苹果、香蕉和橙子，苹果有10个，香蕉有5个，橙子有8个，一共有多少个水果？a) 小明做作业，一共需要完成3个任务，每个任务需要1小时，一共需要多少小时？b) 小华准备午餐，需要炒菜、煮饭和洗碗，炒菜需要10分钟，煮饭需要30分钟，洗碗需要15分钟，一共需要多少分钟？八、课后作业a) 学校里有小学生、初中生和高中生，小学生有180人，初中生有200人，高中生有150人，一共有多少人？b) 动物园里有鸟类、哺乳动物和爬行动物，鸟类有100只，哺乳动物有200只，爬行动物有50只，一共有多少只动物？a) 小红要做家务，需要打扫卫生、洗衣服和整理房间，打扫卫生需要30分钟，洗衣服需要1小时，整理房间需要45分钟，一共需要多少分钟？b) 小刚准备参加篮球比赛，一共需要进行3场比赛，每场比赛需要40分钟，一共需要多少分钟？九、教学反思1. 反思本节课的教学内容，是否清晰易懂，学生是否掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
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分类计数原理与分步计数原理《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计柳州地区民族高级中学覃艳莉相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B）一、教学内容解析：１.教学内容：分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。
２.概念解析：分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。
其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。
3.两个计数原理的地位和作用：分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。
这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。
二、教学目标设置：1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。
3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。
让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
三、学生学情分析：1.认知基础分析：学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。
2.可能学习障碍分析：正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。
加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。
更具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。
学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。
因此，把本节课的教学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。
３.突破难点分析：要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，该怎样去完成。
在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有些事需要多个步骤才能完成。
能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。
为此，设计了两个小组活动来让学生体会。
对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。
四、教学策略分析：本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。
为了贴近学生实际生活，激发学生学习兴趣，在创设情境和例题的选用上，选择了学生所熟悉的校园生活事例。
本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法进行教学。
利用多媒体显示问题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。
学生在小组合作交流中，对问题的理解可以得到互补完善。
从学生回答问题和学生间的相互评价中，使老师更多地了解学生的理解程度。
五、教学过程：１.创设情境，揭示课题同学们，下学期我们就要搬到第一教学楼去学习了，大家观察过第一教学楼共有多少处楼梯吗？（4个）假设我们班的教室在二楼，那么从一楼到二楼共有多少种不同的走法呢？（请一同学回答）假设我们班的教室在六楼，那么从一楼到六楼共有多少种不同的走法呢？（让学生充分讨论，在解决问题的过程中产生困惑，从而激发学生的求知欲。
）这些问题实际上都是一些计数问题，都是计算完成一件事共有多少种不同的方法数。
我们今天将要学习的分类计数原理和分步计数原理就是为了解决这类问题的。
计算完成一件事共有多少种不同方法，我们应该怎样做呢？（启发学生思考）这就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？（这是一件什么事？）然后想到的又是什么呢？（怎样去完成？）在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事，其次才是计算完成它的所有方法数。
今天，我们的学习将从这两方面去展开。
设计目的:选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。
２.逐层探索，构建新知在刚才的第一问中，我们要完成什么事？要怎样去完成？从一楼到二楼：（任选一个楼梯口上）一步到位，直接完成。
在第二问中呢，我们要完成什么事？又怎样去完成？（先到二楼，再到三楼，……）从一楼到六楼：不能直接完成，需要分步完成。
第一步：从一楼到二楼；第二步：从二楼到三楼；第三步：从三楼到四楼；第四步：从四楼到五楼；第五步：从五楼到六楼。
比较两件事的完成过程，你能发现它们的不同之处吗？完成一件事：一步到位，直接完成；不能直接完成，需要分步完成。
学习小组活动一：议一议，如何完成以下这些事情。
（学生在各自的学习小组内讨论之后，由小组代表发言。
）设计目的:让学生感知完成一件事，可以分类去解决，或者分步去解决。
情境１、节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，（１）若从中任选一人主持节目；（可以选一名男同学或选一名女同学，都直接完成。
在你的选法中，从同学的性别来分，可分为两类，一类是选男同学，一类是选女同学，不管选男还是选女，它们都可以独立地完成这件事。
）（２）若从中任选一个男同学和一个女同学共同主持节目。
（不能直接完成，需分两步。
第一步选一个男同学，第二步选一个女同学。
不管选男同学还是选女同学，若少一步则不能完成这件事，这两步的关系是相互依存的。
）情境２、书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，（１）从书架上任取一本书；（２）从中任选三本不同科目的书。
在完成的过程中，我们还发现，能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成；不能直接完成的则需要分步去完成。
什么时候可分类完成，什么时候需分步完成呢？能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。
学习小组活动二：算一算，完成以下这些事情分别有多少种不同的方法。
设计目的:让学生用已有的知识去计算，在与同学的交流中完善其方法，找到其中的规律。
分类完成：（１）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一人主持节目，共有多少种不同的选法？第一类：选一男有4种选法；第二类：选一女有8种选法，共４＋８＝１２种（２）书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，从书架上任取一本书，共有多少种不同的选法？第一类：选一语有40种选法；第二类：选一数有30种选法；第三类：选一英有20种选法，共４０＋３０＋２０＝９０种分步完成：（１）节目主持候选人中有４名男同学，８名女同学，若从中选一个男同学和一个女同学共同主持节目，共有多少种不同的选法？男1配一女有8种选法，共4个男；女1配一男有4种选法，共8个女；（树状图）第一步：选一男有4种选法；第二步：选一女有8种选法。
（８＋８＋８＋８＝４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＝＝３２）（２）书架上有４０本不同的语文书，３０本不同的数学书，２０本不同的英语书，从中任选三本不同科目的书，共有多少种不同的选法？分析：完成第一步和第二步（选定一本语文书和一本数学书）共有１２００种方法，再选英语书时，前面的每一种方法都对应２０种选法，所以共有２４０００种选法。
３.比较归纳，深化概念学习小组活动三：想一想：分类完成的计数问题如何计算？分步完成的计数问题如何计算？设计目的:学生通过具体事例的分析、计算，找到规律，用自己的语言表述出来，锻炼了学生的概括能力。
分类解决：完成这件事的所有方法数为各类办法的方法数之和。
分步解决：完成这件事的所有方法数为各步方法数之积。
（由两位同学作总结发言）这也就是我们今天要学习的分类计数原理和分步计数原理的内容。
（电脑显示，学生朗读）分类计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第１类办法中有种不同的方法，在第２类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第１步有种不同的方法，做第２步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
分类计数原理又称加法原理，分步计数原理又称乘法原理，你能说说它们命名的理由吗？（一个结果用各类方法数相加，一个结果用各步方法数相乘）什么时候用加法原理，什么时候用乘法原理呢？再次强调加法原理中的每一种方法都能独立完成这件事，而乘法原理中的各步中的方法不能独立完成这件事。
４.学以致用，培养能力我们学习了两个计数原理，我们又该如何运用它们去解决一开始提出的爬楼梯问题呢？从一楼到二楼：分类完成，共四类，每类１种走法，所以共4种不同的走法。
从一楼到六楼：分步完成，共五步，每１步都有４种走法，所以共有种不同的走法。
设计目的:前后呼应，用已学知识解决提出的问题，达到学以致用的目的。
５.总结反思，提高认识通过这节课的学习，同学们在知识方面有什么样的收获？（1）知识积累：分类计数原理、分步计数原理。
同学们再回想一下，我们是怎样得到这两个计数原理的？（2）思维体验：通过了一些具体的问题分别归纳出了分类计数原理和分步计数计数原理，由特殊到一般是重要思维方式之一。
师：完成什么事，怎样算完成？分类或分步？一定要分清！独立就分类，分类则相加。
分步必相依，分步则相乘。
分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。
这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。
６.布置作业，拓展知识练习：一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。
（1）从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？希望大家课后通过练习再进一步巩固今天所学内容。