第二章点与直线的投影

点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
四、特殊点的投影
V
b
V Bb
a c
X
O
b
c
a Cc
a
X
O
c
b
H
Aa H
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其 三个投影都不在投影轴上。
V
a
A
X
ax
O
a H
V
a
X H
z
ax
x
O
y
a
1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa
两点的投影规律
点的V面投影与H面投影之间的连线 a'a垂直于投影轴0X ；点的一个投影到0X 投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相 邻的投影面之间的距离。
a
z
X
ax
xO
y
a
通常不画出投影图的范围
§2-2 三投影面体系中点的投影
一、三投影面体系的建立 二、三投影面体系中点的投影 三、三投影面体系中点的投影规律 四、特殊点的投影
一、三投影面体系的建立
Z V
X
OW
H Y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H V ---- OX Y W ---- OZ H Z ---- OY
两投影面体系及三投影面体系的建立
点的二面投影图是将空间点向二个投 影面作正投影后，将二个投影面展开在同 一个面后得到的。展开时，规定V面不动 ，H面向下旋转90。用投影图来表示空间 点，其实质是在同一平面上用点在二个不 同投影面上的投影来表示点的空间位置。
四、两面投影图的画法
V
a
A
X
ax
O
a H H
V
a
X H
z
ax
x
O
y
a
五、两面投影图的性质
基本要求 1、熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性 及作图方法； 2、熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系； 3、掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别。
基本要求
（1）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法； （2）掌握直线上的点的投影特性及定比关系； （3）掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影特 性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位置。 （4）熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其 对投影面倾角的方法，并能灵活运用直线的实长、投影、直 线与投影面倾角三者之间的关系。 （5）掌握直角的投影定理及其应用。
a
X
b
c
B
C
O
直线上的点具有两个特性：
A cb c
a
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这 一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
X
ab
b
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b
A
a
a
Y
a
YH
|XA-XB|
例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB
b
|zA-zB|
a
AB
|zA-zB|
X
ab
AB
|yA-yB|
a
ab
b ab
§2-8 属于直线的点
A
b
b
a
c
a
c
b
d
c
1、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在 同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
2、平行两线段之比等于其投影之比。
二、相交二直线
d
d b
b k
k
B
a
a c
K
D
c
X c
X
C
b
Ac
b
a
k
d
k a
d
两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线， 则该两直线相交。
az
V
a
y
x
a
X
ax
z
O W X ax
Z
W
az
a
O ay YW
a H
ay
ay
YH a
YH
1. aaz = aay = x
2. aa ox
aaz = aax = y
aa oz
aax =aa y = z
点的投影规律
一点的两投影之间的连线垂直于投影轴； 点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到 与该投影轴相邻的投影面之间的距离。
因此在求作点的'投影时，应保证做到:点 的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴， 即a'a上0X ；点的V面投影与W面投影之间的连 线垂直0Z轴，即a' a"上0Z；点的H面投影到0X 轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相 等，都反映点到V面的距离。
点的投影与直角坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使 BC 的实长等于已知长度L。
b
L
c a
AB zA-zB
X
ab
b
BC
c a
§2-9 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线的可见性
例题5 例题6 例题7
一、平行二直线
b
d
d
b
c
D
a
B
X
a
X
C
H
一、直线的投影仍为直线，特殊情况下唯一点。
§2-6 直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线 1、直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线 2、直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线 3、从属于投影面的直线 （1）从属于投影面的直线 （2）从属于投影面的铅垂线 （3）属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
X
O
b a
a
b
Y
b YH
投影特性：1、ab OX ; ab OYW
2、ab=AB
3、反映、 角的真实大小
（2）正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
b
Z
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
X
O
a
b
a Y
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小
例题1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Z
a
a
X
O
YW
a YH
不注
画：
出因
平为
a
Z
a
面平
边面
框是
。无
限X
O
Y
大
的
，
所
以 一
a
Y
般
例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫 米，求A点的投影。
Z
a
a
9
b
X
8 O
b
YW
5
b
a YH
§2-5 直线的投影
C A
B D
a b c(d)
b
O
b
X a(b)
Y
b
O
YW
YH
(3) 从属于OX轴的直线
Z
Z
a
XA
a
b B O Oab
b
X a
a
Y
b O
YW
b ab
YH
三、一般位置直线
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
Y
X
O
b
b A
a
a
Ya
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 Y 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
点的三面投影图
点的三面投影图是将空间点向三个投 影面作正投影后，将三个投影面展开在同 一个面后得到的。展开时，规定V面不动 ，H面向下旋转90，W面向右旋转90。用 投影图来表示空间点，其实质是在同一平 面上用点在三个不同投影面上的投影来表 示点的空间位置。
三、 三投影面体系中点的投影规律
Z
V a
§2-1 两投影面体系中点的投影
一、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 二、两投影面体系的建立 三 、两投影面体系中点的投影 四、两面投影图的画法 五、两面投影图的性质
一、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
V
a
A
X
O
a H
二、两投影面体系的建立
V
X
O
水平投影面 —— H
H
垂直投影面 —— V
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
例题1
a
X
1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b
B
AB
b
a
X
|YA-YB|
O C
A
b
a
AB
ab
|YA-YB|
a
Z
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
X
O
a
a
bY
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
b YH
（1）从属于V 面的直线
Z
B b b
Z
b
a
a
XA
a
O
a
b
b a
X
O
YW
a
b
Y
YH
（2）从属于V 投影面的铅垂线
Z
Z
a
A
a
a
a
B
b
X a(b)
二、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐 标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个 。
三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度 来作直角边不能搞错。
四、作图
1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
投 影 轴 —— OX
两投影面体系的建立
两投影面体系由V面和H面二个投 影面构成。V面和H面将空间分成四个 分角。处在前、上侧的那个分角称为 第一分角。我们通常把物体放在第一 分角中来研究。
三 、两投影面体系中点的投影
V X
a
A
Z
X
O
Y
a
H
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
点的二面投影图
2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
Z
ab
ab
z a
b
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y b
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
§2-7 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本 问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便．简捷。
一、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直 角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作 直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投 影面的夹角。
基本要求
§2-1 两投影面体系中点的投影
§2-2 三投影面体系中点的投影
§2-3 两点的相对位置
§2-4 判断重影点的可见性
例题1
例题2
§2-5 直线的投影 §2-6 直线对投影面的相对位置 §2-7 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角 §2-8 属于直线的点 §2-9 两直线的相对位置 §2-10 直角投影定理
两点中X 值大的点 ——在左 两点中Y 值大的点 ——在前 两点中Z 值大的点 ——在上
a
b
YW
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对 于投影面的距离远近（或坐标大小） 来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐 标值大的点在前；Z坐标值大的点在 上。
根据一个点相对于另一点上下、 左右、前后坐标差，可以确定该点的 空间位置并作出其三面投影。
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知 点是否在侧平线上。
例题2 例题3 例题4
例题2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的 AB。
b c
a
X
b c
a
例题3 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
a
C
X a
X
A
O
b
a
c c
b H
a
cb ac
b YH
（3）侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z
a
Z
a
a
A
a
b
b
b
X
O
X
O
YW
a
a
b
B
Y
b
b
YH
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH
2、ab =AB
3 、反映 、 角的真实大小
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
Z
a
a
Z
a
b
X
A
O B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
Y
a(b)
YH
投影特性：1、a b 积聚 成一点
§2- 4 判断重影点的可见性
a
c(d)
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射 线上，则这两点在该投影面上的投影重合， 这两点称为该投影面的重影点。
重影点在三对坐标值中，必定有两对相 等。从投影方向观看，重影点必有一个点的 投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断 重影点的可见性时，需要看重影点在另一投 影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反 之不可见，不可见点的投影加括号表示。
三投影面体系由V、H、W三个 投影面构成。 H、V、W面将空间分 成八个分角，处在前、上、左侧的那 个分角称为第一分角。我们通常把物 体放在第一分角中来研究。
二、 三投影面体系中点的投影
Z
V a
V
Z
a
W
a
A
a
X
OWX
O
YW
a
H
Y
a
H
YH
A点的水平投影 ——a
A点的正面投影 ——a
A点的侧面投影 ——a
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个 投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影 轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投 影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。
与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投 影都与原点重合。
§2-3 两点的相对位置
Z
a
Z
a
b
b
A
a X
O
X
O
B
b
b a
b
Y
a
YH