已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,∞)上解读
广东省2021-2022学年高一上学期数学10月月考试卷A卷
广东省2021-2022学年高一上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分） (2020高三上·南昌月考) 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·天河模拟) 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A . 2B . 4C . 8D . 163. （2分） (2019高一上·九台期中) 幂函数的图象经过点，则（）A . 是偶函数，且在上单调递增B . 是偶函数，且在上单调递减C . 是奇函数，且在上单调递减D . 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增4. （2分） (2018高一上·遵义月考) 已知函数，则的解析式为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·安徽期中) 设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A . 函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”B . 函数f（x）=2x（x∈R）存在“和谐区间”C . 函数f（x）= （x＞0）不存在“和谐区间”D . 函数f（x）=log2x（x＞0）存在“和谐区间”6. （2分） (2018高三上·河北月考) 对任意的，总有，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·滑县期末) 设f（x）是定义域为R，最小正周期为3π的函数，且在区间（﹣π，2π]上的表达式为f（x）= ，则f（﹣）+f（）=（）A .B . ﹣C . 1D . ﹣18. （2分）函数在区间上是增函数,则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·深圳月考) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）．A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·温州期中) 函数f（x）=x2-2x+t（t为常数，且t∈R）在[-2，3]上的最大值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·武威期末) 若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（）A . 6个B . 4个C . 3个D . 2个12. （2分）下列函数是偶函数又在（0，+∞）上递减的是（）A . y=x2+1B . y=|x|C . y=﹣x2+1D .13. （2分）若函数是幂函数，则m的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 2二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2018高一上·鹤岗期中) 若定义在区间上的函数为偶函数，则a=________.15. （1分） (2020高二下·宁波期末) 已知函数 .若的定义域为R，则实数a 的取值范围是________；若的值域为R，则实数a的取值范围是________.16. （1分） (2020高一上·湖南期中) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，若f(a+1)≥f(-3)，则a的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高一上·汉中期中) 已知集合S={x|log0.5（x+2）＞log0.2549}，P={x|a+1＜x＜2a+15}．（1）求集合S；（2）若S⊆P，求实数a的取值范围．18. （5分） (2019高一上·蚌埠期中) 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.19. （10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）x ．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在所给坐标系中画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间．20. （15分） (2018高一上·扬州期中) 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的均值点.（1）是否是上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，请说明理由；（2）现有函数是上的平均值函数，则求实数的取值范围.21. （10分） (2017高二上·临淄期末) 某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？22. （15分）(2018·邵东月考) 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（1）求的解析式及单调递减区间；（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共13题；共26分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2021-2022学年山西省名校高一上学期期末考试数学试题(解析版)
山西省名校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的值是（）A．B．C．D．2．简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，则这个简谐运动的初相为（）A．B．C．D．8x3．终边在直线上的角的集合为（）A．B．C．D．4．“x＝0”是“sin x＝0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a＞0，b＞0，a+b＝2，则lg a+lg b的最大值为（）A．0B．C．D．16．若点P（7，m）在角α的终边上，且，则m＝（）A．25B．±25C．24D．±247．下列计算结果正确的是（）A．B．若x+x﹣1＝3，x4+x﹣4＝49C．cos2α＝cos4α﹣sin4αD．若，则8．满足不等式2cos x+1＞0成立的x的取值集合为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）不是周期函数B．函数f（x）的值域为〖﹣1，1〗C．函数f（x）的图象不关于任何点对称D．函数f（x）图象的对称轴方程为，k∈Z10．定义在〖﹣7，7〗上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（2，7〗B．（﹣2，0）∪（2，7〗C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．〖﹣7，﹣2）∪（2，7〗11．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f （x）+g（x）＝x2+ax，记，若对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1〗D．（0，2〗12．＝（）A．B．2C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣4）＝．14．函数f（x）＝，x∈〖2，6〗的最大值为．15．当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则b﹣a的最大值为．16．若函数（其中ω≠0）在区间上不单调，则ω的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．（1）若A＝{1}，求a，b的值；（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．18．（12分）化简求值：（1）已知cos，求的值；（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°．19．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间〖，〗上的值域．20．（12分）（1）已知α，β都是锐角，，，求cosβ的值；（2）已知θ为锐角，φ为钝角，，tanφ＝﹣3，求θ+φ．21．（12分）已知f（x）是二次函数，且满足f（1﹣x）＝f（3+x），f（0）＝1，f（1）＝0．（1）求函数f（x）的〖解析〗式：（2）当x∈〖t，t+1〗时，表示出函数f（x）的最小值g（t），并求出g（t）的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝|2x﹣m|+n，若函数y＝f（x）有零点，且与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同．（1）证明：n＝﹣|1﹣m|；（2）求实数m的取值范围．（附：当x＜1时，2x﹣1＜2x﹣1．）▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A〖解析〗＝﹣sin＝﹣sin＝﹣．故选：A．2．B〖解析〗简谐运动可用函数，x∈〖0，+∞）表示，当x＝0时，8×0﹣＝﹣，则这个简谐运动的初相为﹣．故选：B．3．B〖解析〗由直线y＝x的斜率为，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y＝x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，终边落在射线y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}，∴终边落在直线y＝x上的角的集合是：S＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+2kπ，k∈Z}＝{α|α＝+2kπ，k∈Z}∪{α|α＝+（2k+1）•π，k∈Z}＝{α|α＝+kπ，k∈Z}．故选：B．4．A〖解析〗∵“x＝0”能推出“sin x＝0”，即充分性成立；反过来，“sin x＝0”不能推出“x＝0”，例如sinπ＝0，但π≠0，即必要性不成立；若“x＝y”，一定有“sin x＝sin y”，即必要性成立；故“x＝0”是“sin x＝0”的充分不必要条件．故选：A．5．A〖解析〗∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴lg a+lg b＝lg ab≤lg1＝0，∴lg a+lg b的最大值为0．故选：A．6．D〖解析〗因为点P（7，m）在角α的终边上，且＝，则m＝±24，故选：D．7．C〖解析〗对于A，＝|e﹣3|＝3﹣e，故A错误，对于B，若x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2+2＝9，则x2+x﹣2＝7，则x4+x﹣4＝49﹣2＝47，故B错误，对于C，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cos2α+sin2α）（cos2α﹣sin2α）＝cos4α﹣sin4α，故C正确，对于D，若，则tan（α+）＝＝＝3，故D错误，故选：C．8．A〖解析〗由2cos x+1＞0可得cos x＞﹣，所以根据单位圆的性质可得x的范围为﹣，故选：A．9．C〖解析〗作出函数f（x）的图象如图，∵f（x+2π）＝f（x），即f（x）是周期函数，故A错误，由图象知函数的值域为〖，1〗，故B错误，由图象知函数不是中心对称图象，不关于任何点对称，故C正确，由图象知函数关于x＝kπ+，k∈Z对称，故D错误，故选：C．10．B〖解析〗∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7〗上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在〖﹣7，7〗上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7〗．故选：B．11．C〖解析〗由题设有：，即，解得，∴h（x）＝ax2+2x，对于任意的1＜x1＜x2＜2，都有，即函数h（x）＝ax2+2x在（1，2）上单调递减，∴或，解得a≤﹣1．故选：C．12．D〖解析〗sin20°（）＝sin20°×＝sin20°×＝sin20°×＝＝＝1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖解析〗根据题意，当x＞0时，，则f（4）＝2+＝，又由f（x）为奇函数，则f（﹣4）＝﹣f（4）＝；故〖答案〗为：．14．3〖解析〗在〖2，6〗上单调递减，∴f（x）max＝f（2）＝3．故〖答案〗为：3．15．6〖解析〗因为，定义域为R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），故f（x）是R上的偶函数，又根据复合函数的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，由＝0得x＝0，由＝得x＝±3，当x∈〖a，b〗时，函数的值域为，则0∈〖a，b〗，且a＝﹣3或b＝3，故b＝3，a＝﹣3时，b﹣a取最大值6．故〖答案〗为：6．16．（，+∞）〖解析〗∵函数＝sinωx（其中ω≠0）在区间上不单调，|﹣|＞||，∴﹣＜﹣，求得ω＞，即ω的取值范围为（，+∞），故〖答案〗为：（，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．若A＝{1}，则，解得a＝2，b＝1；（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，∴，解得a＝﹣3，b＝2．18．解：（1）＝＝sinαtanα＝，因为cos，所以sinα＝＝±，所以原式＝＝．（2）tan210°sin330°﹣cos150°sin120°+sin240°cos315°sin135°＝tan30°（﹣sin30°）﹣（﹣cos30°）sin60°+（﹣sin60°）cos45°sin45°＝×（﹣）﹣×（﹣）×+（﹣）××＝﹣+﹣＝0．19．解：（1）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调增区间为〖﹣+kπ，+kπ〗，k∈Z，单调减区间为〖+kπ，+kπ〗，k∈Z；（2）由x∈〖，〗，可得2x﹣∈〖﹣，〗，可得sin（2x﹣）∈〖﹣，1〗，可得函数f（x）在区间〖，〗上的值域为〖﹣，〗．20．解：（1）∵α，β都是锐角，，∴sinα＝，﹣＜α﹣β＜，∵，∴α﹣β∈（0，），∴cos（α﹣β）＝，∴cosβ＝cos〖（α﹣β）﹣α〗＝cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα＝×+×＝；（2）∵θ为锐角，φ为钝角，∴0＜θ＜，＜φ＜π，∴＜θ+φ＜，∵，tanφ＝﹣3，∴tan（θ+φ）＝＝﹣1，∴θ+φ＝．21．解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），因为f（1﹣x）＝f（3+x），所以函数f（x）关于x＝2对称，所以﹣＝2，又f（0）＝1，f（1）＝0，所以，解得，所以f（x）＝x2﹣x+1．（2）由（1）得，函数f（x）关于x＝2对称，当t≥2时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（t）＝t2﹣t+1＝（t﹣2）2﹣≥﹣；所以当t≥2时，g（t）＝t2﹣t+1，g（t）min＝﹣，当t+1≤2，即t≤1时，函数f（x）在x∈〖t，t+1〗上递减，所以f（x）min＝f（1+1）＝（t+1）2﹣（t+1）+1＝（t﹣1）2﹣≥﹣，所以当t≤1时，g（t）＝t2﹣t，g（t）min＝﹣，当1＜1＜2时，函数f（x）在〖t，2）上递减，在（2，t+1〗上递增，所以f（x）min＝f（2）＝﹣，所以当1＜1＜2时，g（t）＝﹣，综上所述，g（t）＝，g（t）min＝﹣．22．（1）证明：设y＝f（x）的零点为x＝a，由题意得f（a）＝0且f〖f（a）〗＝0，即f（0）＝0，∴|20﹣m|+n＝0，∴n＝﹣|1﹣m|；（2）解：由（1）知，n＝﹣|1﹣m|，∴f（x）＝|2x﹣m|+n＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|，∵函数y＝f（x）有零点，∴|2x﹣m|﹣|1﹣m|＝0有解，即|2x﹣m|＝|1﹣m|，等式两边同时平方并整理得：2021-2022学年期末考试试题（2x）2﹣2m•2x+2m﹣1＝0，即（2x+1﹣2m）（2x﹣1）＝0，又∵函数y＝f（x）与函数y＝f〖f（x）〗的零点完全相同，所以（2f（x）+1﹣2m）（2f（x）﹣1）＝0，①当1﹣2m＝﹣1，即m＝1时，f（x）＝0，符合题意；②当2f（x）+1﹣2m＝0无解时，f（x）＝|2x﹣m|﹣|1﹣m|≥﹣|1﹣m|，所以2f（x）≥2﹣|1﹣m|，所以2f（x）＝2m﹣1无解，则2m﹣1＜2﹣|1﹣m|，由题知，当m＜1时，2﹣|1﹣m|＝2m﹣1，即2m﹣1＜2m﹣1，符合题意，当m＞1时，2﹣|1﹣m|＝21﹣m，2m﹣1＞21﹣m，不符合题意，综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，1〗．11。
2020年高考数学专题训练——第03讲 函数性质选择填空压轴题专练
第三讲函数的性质选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．（2016年山东卷）已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=-，则f (6)=（ ） A ．−2 B ．−1C ．0D ．2【答案】D【解析】当11x -≤≤时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．2． 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2] 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤， 所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤， 即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C.3．（2017年山东卷理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.4．已知函数()()sin f x x x x R =+∈，且()()2223410f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ） A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,323⎡⎤-⎣⎦D ．1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由于()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，()'1cos 0fx x =-≥为增函数.由()()2223410f y y f x x -++-+≤得到()()()2222341fyyf -+≤-，根据函数的单调性，有222341y y x x -+≤-+-，即()()22211x y -+-≤，由于1y ≥故点(),x y 表示的是圆心为()2,1半径为1的圆的上半部分，包括圆内.1yx +的几何意义是()(),,1,0x y -两点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为14AD k =，斜率的最大值为AC k ，由于1,23AB k CAx BAx =∠=∠，利用二倍角的正切值得21223311419AB AC AB k k k ⋅===--.5．已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m为常数），则()ln5f -的值为（ ） A.4 B.-4 C.6 D.-6 【答案】B 【解析】由题意()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，即函数()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()000,1f e m m =+=∴=-则当0x ≥时，()1xf x e =-，ln50>故()()()ln5ln5ln514f f e -=-=--=-，选B6．已知函数()()5sin f x x x x R =+∈，且()()22430f x x f y -++≤，则当0y >时，y xx y+的取值范围是（ ） A ．430,3⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．43,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．[)2,+∞ 【答案】C【解析】 由函数()()5sin f x x x x R =+∈，则()5s in ()[5f x x x x x f-=-+-=-+，所以函数为奇函数，所以不等式可转化为()()22243[(3)]f x x f y f y -≤-+=-+，又因为()5cos 0f x x '=+>，所以函数()f x 为单调递增函数，所以可得224(3)x x y -≤-+22430x y x ⇒+-+≤，又0y >，所以表示圆心在(2,0)，半径为1的上半圆．设yt x=，则可得3[0,]3y t x =∈，则1y x y t x y t =+=+在区间3[0,]3t ∈上为单调递减函数，则当33t =时，433y =，所以y x x y +的取值范围是43,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选C ． 7．设函数()()32ln 1f x x x x =+++且()233ln2113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．()33,+∞C ．()33,3 D ．()()30,33,+∞【答案】C 【解析】 由函数()()32ln1f x x x x=+++，令1x =-，则()31(1)ln (21)l n (21)f -=-+-=--，所以()233ln 2113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，即()233l n 2113a a f a ⎛⎫-<--⎪-⎝⎭，即233(1)3a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，又函数()()32ln1f x x x x =+++为单调递增函数，所以23313a a a -<--，解得333a <<，故选C ．8．已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,]8-∞-B ．1(,][1,)8-∞-+∞ C ．[1,)+∞ D ．1[,1]8- 【答案】B【解析】对于函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，当1x ≤时，2111()()244f x x =--+≤；当1x >时，13()log 0f x x =<，则函数()f x 的最大值为14，则要使不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则271244m m -≥，解得1(,][1,)8m ∈-∞-+∞，故选B ． 9．已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，若动点()P x y ，满足等式()()22222830f x x f y y +++++=，则x y +的最大值为（ ）A ．63+B ．3-C ．63-D ．3 【答案】C【解析】因为对任意的x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，∴()()()000f f f =+，∴()00f =．令y x =-，∴()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，该函数为奇函数．∵()()22222830f x x f y y +++++=．∴()()()22222283283f x x f y y f y y ++=-++=---．∵()f x 是定义在R 上的单调函数．∴2222283x x y y ++=---，即22222830x x y y +++++=．整理，得()()2212142x y +++=．令2c o s 12s i nx y θθ=-=-，，∴2c o s 12sin 2x y θθ+=-+- ()6sin 3θϕ=+-，∴()min 63x y +=-，故选C ．10．已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8-- C ．17[1,)16D ．17(1,)16【答案】D【解析】当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确．当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确．当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确．故应选D ．11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件 ①对任意的x R ∈都有()()4f x f x +=；②对任意的1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <；③()2y f x =+的图象关于y 轴对称，则()()()4.5, 6.5,7f f f 的大小关系为（ ） A ．()()()7 4.5 6.5f f f << B ．()()()4.5 6.57f f f << C ．()()()6.57 4.5f f f << D ．()()()4.57 6.5f f f << 【答案】D【解析】由题意可知函数是周期为4的周期函数,且关于直线2=x 对称,因为)5.1()5.2()5.6(),1()3()7(),5.0()5.4(f f f f f f f f =====,且在区间上单调递增,所以()()()4.57 6.5f f f <<,应选D.12．函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，若当35 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（ ）A ．14-B ．14 C.4- D ．4【答案】A 【解析】因为函数()f x 对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，函数()f x 是周期为6的函数，()()()2017336611f f f =⨯+=，由()()3f x f x +=-可得()()()2321f f f -+=--=，因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，()()2112224f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以()2017f =()1f =()2f --=14-，故选A.13．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】由)(x f 是有理数⇒(())1f f x = ，故命题①正确；易得)()()(x f x f x f ⇒=-是偶函数，故②正确；易得()()f x T f x +=是偶函数，故③正确；取33(1,0),(1,1),(1,0)33A B C -+，可得ABC ∆为等边三角形 ，故④正确，综上真命题的个数有4个.二、填空题14．（2018北京高考）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】sin y x =（答案不唯一）【解析】令()(]00402x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．15．函数()3123f x x x =-+，()3xg x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是 ．【答案】14【解析】()()33631222--=+-=x x x x f ，对称轴6=x ，在区间[]51-，递减，∴()()325min -==f x f ，()()161max =-=f x f ，()m x g x -=3是增函数，∴()m x g -=1max ，()m x g -=9min ，∴只需()()min min x g x f >即可，解得：41>m ，故答案为：41．16．已知函数()2sin 1x x xe x f x x e ++=++,则 ()()()()()()()()()432101234f f f f f f f f f -+-+-+-+++++的值是 ． 【答案】9 【解析】 因xxx e e x x x f e x x x f ++--=-+++=12sin )(,12sin )(,故21212)()(=+++=-+xxx ee e xf x f ,所以()()()()()()()()()43210f f f f f -+-+-+9142=+⨯=,应填9.17．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()()1x yf x f y f xy--=-，当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，且1()12f -=．设2111()()()2,*5111m f f f n n n n =+++∈+-N ≥，则实数m 与－1的大小关系是 ．【答案】1m >- 【解析】∵函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，令0x y ==得()0=0f ；令0x =得()()f y f y -=-．∴()f x 在(1,1)-为奇函数，单调减函数且在(1,0)-时，()0f x >，则在()0,1时()0f x <．又1()12f =-，∵21111111()()()()()111(1)1111n n f f f f f n n n n n n n n -+===-+-+-+-⋅+， 2111111111111()()()[()()][()()][()()]()()1()1511123341211m f f f f f f f f f f f f n n n n n n =+++=-+-++-=-=-->-+-+++18．已知函数)(x f 是周期为2的奇函数，当01≤≤-x 时，x x x f +=2)(，则=)22017(f . 【答案】14【解析】 因为函数)(x f 是周期为2的奇函数，所以22017111111()(5042)()()()()2222224f f f f ⎡⎤=⨯+==--=--+-=⎢⎥⎣⎦，即应填14. 三、解答题19．已知函数82)(2--=x x x f ，1642)(2--=x x x g （1）求不等式0)(<x g 的解集；（2）若对一切2>x ，均有15)2()(--+≥m x m x f 成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）224160g x x x <（）＝－－， ∴（2x ＋4）（x －4）<0，∴－2<x<4，∴不等式g （x ）<0的解集为{x|－2<x<4}．（2）∵f （x ）＝x 2－2x －8． 当x>2时，f （x ）≥（m ＋2）x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥（m ＋2）x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m（x －1）．∴对一切x>2，均有不等式2471x x x -+-≥m 成立．而2471x x x -+-＝（x －1）＋41x -－2≥2()411x x -⨯-－2＝2（当x ＝3时等号成立）． ∴实数m 的取值范围是（－∞，2].B 组一、选择题1．（2017年天津卷理）已知函数设，若关于x 的不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】不等式()2xf x a ≥+为()()2x f x a f x -≤+≤(*)，当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x --≤≤+，又3232()2322x x x x --=-+≤-（当233x =时取等号），222222x x x x +≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ．2．（2016全国卷Ⅱ）已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1miii x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】由()()2f x f x -=-得()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+， ∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．3．若不等式2222x x a y y ++≥--对任意实数x ，y 都成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．3a ≥ 【答案】C 【解析】因为2222x x a y y ++≥-- 所以，()()22x +112y a ++≥-，要对任意实数x ，y 都成立，只需 20a -≤，即2a ≥，故选C .4．已知函数()()220162016log 120162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 【答案】A【解析】()()31220f x f x +-+->，设()()()22016220162016log 1x x F x f x x x -=-=-+++，()()F x F x -=-，所以()F x 为奇函数，图像关于原点对称，要()()310F x F x ++>，只需1310,4x x x ++>>-.5．已知函数()()x x x x x f ++++=1lnsin 22，若不等式()()3393-⋅+-xxxm f f <0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为（ ） A.()132,-∞- B.()132,+-∞-C.()132,132-+- D.()∞++-，132 【答案】A【解析】 因为()()0f x f x +-=，且(2s i n )2c o s 0,x x x '+=+>()2l n1x x++单调递增，所以函数()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而()()39330x x x f f m -+⋅-<()()339333933313x x x x x x x x f f m m m ⇔-<-⋅+⇔-<-⋅+⇔<-+又333123123133x xx x -+≥⋅-=-，当且仅当333x x =时取等号，所以m 的取值范围为()132,-∞-，选A. 6．已知()()()22ln 3ln 5ln11,,,22135x f x x x a f b f c f π⎛⎫⎛⎫=++-+===-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 下列结论正确的是（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【解析】因函数)()(x f x f -=-,故函数)(x f 是奇函数,且在),0(+∞单调递增,由于55ln 33ln 1,12>>>-π,所以b a c >> ,故应选B. 7．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，若对任意的,x y R ∈，等式2(3)(43)0f y f x x -+--=恒成立，则yx的取值范围是（ ）A ．22[23,23]33-+B ．2[1,23]3+C ．2[23,3]3-D ．[1,3] 【答案】C 【解析】由于“函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称”，故()f x 图象关于原点对称，为奇函数，不妨设()f x x =.根据2(3)(43)0f y f x x -+--=，得223430,343y x x y x x -+--==---，作图象如下图所示，故yx最大值为3.当1,yx y x==时，过()2,2，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.8．定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ） A ．233B ．-3C ．1D ．3 【答案】D设[]n m ,是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,∞-⊆n m 或[]()∞+⊆，0,n m ，故函数()x a a a x f 211-+=在[]n m ,上单调递增，则()()⎩⎨⎧==nn f m m f ，故n m ,是方程x xa a a =-+211的同号的相异实数根，即()01222=++-x a a x a 的同号的相异实数根，∵21a mn =，∴n m ,同号，只需()()0132>-+=∆a a a ，∴1>a 或3-<a ，()343113422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-a mn n m m n ，m n -取最大值为332．此时3=a ，故选：D ．9．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，其图像与函数111x y x x+==+的图像的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.10．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1fb f af x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】322(2)(0)2(2)(2)8222f a f a a a a a a --==-，2'()62f x x x =-，由题意方程22'()6282f x x x a a =-=-即22()340g x x x a a =--+=在[0,2]a 上有两个不等实根．所以222112(4)01026(0)40(2)80a a ag a a g a a a ⎧∆=--+>⎪⎪<<⎪⎨⎪=-+>⎪⎪=->⎩，解得1184a <<．故选B ． 11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足: )1(-=x f y 的图像关于点)0,1(对称，且当0≥x 时恒有)21()23(+=-x f x f ，当)2,0(∈x 时，1)(-=x e x f ，则=-+)2015()2016(f f （ ）A ．e -1B ．1-eC ．e --1D ．1+e【答案】A 【解析】)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，则()f x 关于原点对称，()00f =．当0≥x 时恒有)21()23(+=-x f x f ，则函数周期为2.所以()()(2016)(2015)01011f f f f e e +-=-=-+=-. 12．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（ ）A.－1B.0C.1D.2 【答案】B 【解析】由f(x+2)=－f(x)可知函数具有周期性，周期4T = ()()()6200f f f ∴==-= 二、填空题13．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[]0,2x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①(2)0f =；②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[]8,10单调递增；④若方程()f x m =在[]6,2--上的两根为1x 、2x ，则128x x +=-． 以上命题中所有正确命题的序号为 ． 【答案】①②④ 【解析】 ①依题意，()()()42f x f x f +=+,令2x =-,则()()()()()22222f f f f f =-+=+,∴ ()20f =；②()()4f x f x +=,∴函数周期为4,偶函数的对称轴是0x =,∴4x =-是()f x 的对称轴；③()f x 在[]0,2上递减,又函数周期为4，∴函数在[]8,10上递减；④()f x 在[]0,2上递增，且为偶函数,∴()f x 在[]2,0-上递减,∴() f x 在[]6,4--上递减,图象关于4x =-对称,∴ 两个根的和为128x x +=-,故正确的有①②④.14．函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间是________.【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.15．给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x +在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）为真，令21x x x=-=即可；（2）为真，不妨设12x x >，则1212()()()()f x f xg x g x ->-即211212()()()()()()f x f xg x g x f x f x -<-<-即1122()()()()f x g x f x g x +>+．（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉72，加大可得正确答案17,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭（4）为真，方程与函数图象结合，关于t 的方程若一正一负，正大于1，此时有2根；若一零一1，此时有5根；若判别式0=，此时有4根；若两个均为正，则有8个根． 三、解答题16．已知函数21()log 1xf x x x-=-++. （1）求20162016()()20152015f f +-的值； （2）当[,]x a a ∈-（其中(0,1)a ∈，且a 是常数）时，若()xm e f x --≤恒成立，求m 的取值范围.【解析】 （1）由).1,1()(11011-∴<<->+-的定义域为，得x f x xx又)()11log (11log )(22x f xxx x x x x f -=+-+--=-++=-， )(x f ∴为奇函数.)20152016()20152016(-+f f =0 （2）设1121<<<-x x ，则)1)(1()(2111121122211x x x x x x x x ++-=+--+-， 0)1)(1(,0,11211221>++>-∴<<<-x x x x x x ，011112211>+--+-∴x x x x ，即22111111x x x x +->+- 21log (1,1)1xy x-∴=-+函数在上是减函数，21()log (1,1).1xf x x x-=-+-+从而得在上也是减函数 )(x f e m x ≤--恒成立，即x e x f m -+≤)(恒成立令xex f x h -+=)()(，则xex f x h -+=)()(在定义域上是减函数，则a e aa a h x h m -+-+-==≤1log )()(2min17．已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t ，那么该函数在),0(t 上是减函数，在),[+∞t 上是增函数．（1）已知]1,0[,123124)(2∈+--=x x x x x f ，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数a x x g 2)(--=，若对任意1x ∈[0,1]，总存在2x ∈[0,1]，使得)(2x g =)(1x f 成立，求实数a 的值． 【解析】（1）812412123124)(2-+++=+--==x x x x x x f y ， 设],1,0[,12∈+=x x u 则31≤≤u 则84-+=uu y ，]3,1[∈u ． 由已知性质得，当21≤≤u ，即210≤≤x 时，)(x f 单调递减； 所以减区间为]21,0[；当32≤≤u ，即121≤≤x 时，)(x f 单调递增；所以增区间为]1,21[；由311)1(,4)21(,3)0(-=-=-=f f f ，得)(x f 的值域为]3,4[--．a x x g 2)(--=为减函数，故]1,0[],2,21[)(∈--∈x a a x g ．由题意，)(x f 的值域是)(x g 的值域的子集，∴⎩⎨⎧-≥--≤--.32,421a a 23=∴aC 组一、选择题1．()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5 D ．()()2,33,4【答案】D【解析】当03x <<时，不等式()()30x f x ->即为()()22l o g 20fx x =-+<，所以()2log 22,2x 3x +>∴<<；当30x -<<时，03x <-<，所以()()()22log 2,f x f x x -=-=--()()22log 2f x x ∴=-+-，当36x <<时，360x -<-<，由()()33f x f x -=+可得()()()262l o g 80fx f x x =-=-+->，不等式()()30x f x ->可转化为()0f x >即()22log 80x -+->，所以34x <<，综上所述：不等式()()30x f x ->的解集是()()2,33,4，故选D.2．已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-，2()2(0)g x x bx x =+->，b R ∈，若()f x 图象上存在A ，B 两个不同的点与()g x 图象上'A ，'B 两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ）A ．(425,)--+∞B ．(425,)-+∞C ．(425,1)--D ．(425,1)- 【答案】D. 【解析】设()g x 函数图象上任一点2(,2)x x bx +-，其关于y 轴的对称点为2(,2)x x bx -+-， ∴由题意可知方程22242(1)(1)201xx bx x x b x b x x -+-=+-⇒-++-=--在(0,)+∞上有两个不等实根，∴2(1)8(1)0104251102(1)b b b b b b ⎧⎪∆=++->⎪⎪-<⇒-<<⎨⎪+⎪->-⎪⎩，即实数b 的取值范围是(425,1)-，故选D ．3．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 4．设()x f 和()x g 是定义在同一个区间[]b ,a 上的两个函数，若函数()()x g x f y -=在[]b ,a x ∈上有两个不同的零点，则称()x f 和()x g 在[]b ,a 上是“关联函数”，区间[]b ,a 称为“关联区间”．若()432+-=x x x f 与()m x x g +=2在[]30,上是“关联函数”，则m 的取值范围是（ ） A ．]2,49(--B ．[]01,-C ．(]2-∞-,D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,49 【答案】A 【解析】由题意，方程2()()54f x g x x x m -=-+-0=在[0,3]上有两不等实根，设2()54h x x x m =-+-，则254(4)0(0)40(3)205032m h m h m ∆=-->⎧⎪=-≥⎪⎪⎨=--≥⎪⎪<<⎪⎩，解得924m -<≤-．故选A ．5．已知函数()244+=x x x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20152014201532015220151f f f f （ ）【答案】A 【解析】函数()244+=x x x f ，则()()()1111444441424242424x x x x xx x x xx f x f x ----⋅+-=+=+++++⋅ 44142424x x x=+=++⋅，所以12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112014220132014112014100722015201520152015201520152f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 6．设函数1 (2() 1 (02),x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩1()(),[2,2]2g x f x x x =-∈-，若2121(log )(log )2()2g a g a g +≤,则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．[1,2]C ．1[,2]2D ．2[,2]2【答案】D【解析】由题11(212()()=121(2x x g x f x xx x ⎧---≤≤⎪⎪=-⎨⎪-<≤⎪⎩若2121(log )(log )2()2g a g a g +≤即22113(log )(log )21222g a g a ⎛⎫+-≤⋅-=- ⎪⎝⎭当22log 0a -≤≤时20log 2a ≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()222113121l o g l o g 1 l o g 22222a a a a --+--≤-∴≥-∴≥结合22l o g 0a -≤≤即212a ≤≤，可知此时2,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当20log 2a <≤时22log 0a -≤-≤，此时223(log )(log )2g a g a +-≤-即为()()222113l og1222a a a⎡⎤-+---≤-∴≤∴<≤⎢⎥⎣⎦结合20l o g 2a <≤即14a <≤，取交集即为12a <≤，综上 实数a 的取值范围是2[,2]27．已知2()22f x x x =-+，在21[,2]4m m -+上任取三个数a ，b ，c ，均存在以(),(),()f a f b f c 为三边的三角形，则m 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．2[0,)2C ．2(0,]2D ．2[,2]2【答案】A 【解析】设2()22f x x x =-+，在21[,2]4m m -+上的最大值为max ，最小值为min ，则题意等价于2min max >，又22172()24m m m -+=-+74≥，所以min (1)1f ==，又131()416f =，311216⨯>成立，()f x 在[1,)+∞上单调递增，(2)2f =，由2(2)122f m m -+<⨯=得222m m -+<，得01m <<，故选A ．8．已知函数()22 03 0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17 116⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．17 28⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.191 16⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．171 16⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】由题意，问题转化为函数()30y x a a x =-++<与()220y x x =-<的图象恰有三个公共点，显然0a ≤时，不满足条件，当0a >时，画出草图如图，方程2234x x a -=+，即23420x x a ++-=有两个小于a -的实数根.结合图形，有()29442020a a aa ∆=-->⎧⎪>-⎨⎪>⎩，∴17116a <<.选D 。
2020年高考【数学真题·母题揭秘】比较大小(天津卷)(教师版).docx
IT高考真题•母题解密」I［分项汇编•逐一击破』专题06 比较大小母题呈现【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设a = 3°\人= ［：］，c = log07 0.8,则的大小关系为( )A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】D母题揭秘【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c的大小关系.【详解】因为a = 3°'> 1 , 人== 3°'8 > 3°'7 = a > c = log。
,? 0.8 < log。
.? 0.7 = 1,所以c< .故选：D.【命题意图】本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现.试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点.考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幕函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对蓦形式的数的大小关系，常用方法：(1)利用指数函数的单调性：y^a x,当。
>1时，函数递增；当0<。
< 1时，函数递减；(2)利用对数函数的单调性：y = log^ X,当a>l时，函数递增；当0<。
< 1时，函数递减；(3)借助于中间值，例如：0或1等.1. [2020-天津九校高三下学期4月联考】设fl = log05 0.8,力=/。
&」0.8, c = l.l08则( ).A. b<a<cB. b<c<aC. a<b<cD. a<c<b【答案】A【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与。
2023-2024学年广东省广州市白云中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2} D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题正确的是（ ） A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝26．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√27．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥328．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3B ．16的4次方根是±2C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a 在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 ．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ ．15．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−1√2)−6= ． 16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）已知函数f （x ）＝ka x （k 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象过点A （0，1）和点B （2，16）． （1）求函数的解析式； （2）g （x ）＝b +1f(x)+1是奇函数，求常数b 的值；（3）对任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，试比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小． 2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：D ． 2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}解：由题意得：{2x −1≥0x 2−1≠0，解得：x ≥12且x ≠1，故函数的定义域是{x |12≤x ＜1或x ＞1}．故选：C ．3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，所以f （0）＝03+1＝1，所以f （f （0））＝f （1）＝1﹣a ＝﹣2，解得a ＝3． 故选：C ．4．下列命题正确的是（ ）A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同解：对于A ：y ＝x 2定义域为R ，由二次函数y ＝x 2的图像可知，y ＝x 2在（0，+∞）是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，故A 错误；对于B ：由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，但在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故B 错误；对于C ：y ＝x 2在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，y ＝|x |，当x ≥0时，y ＝x ，易知为增函数，当x ＜0时，y ＝﹣x ，易知为减函数，所以函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同，故C 正确；对于D ：y =1x 定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，设y =f(x)=x +1x定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−x 2−1x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 1x 1x 2=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−1x 1x 2， 当0＜x 1＜x 2＜1时，f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递减， 当1＜x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x ）在（1，+∞）上单调递增，同理可证，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故D 错误． 故选：C ．5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝2解：A ．y =−1x是奇函数，满足条件．B ．y ＝x 2是偶函数，不满足条件．C ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．y ＝2为偶函数，不满足条件． 故选：A ．6．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√2解：因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以y =2x +3+1x−1=2(x −1)+1x−1+5=2(x −1)+1x−1+5≥2√2(x −1)⋅1x−1+5=5+2√2， 当且仅当2(x −1)=1x−1，即x =1+√22时，等号成立． 故选：B ．7．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥32解：当a ＝0时，不等式化为：﹣3x ≥0，不等式不恒成立，所以a ＝0不符题意， 当a ≠0时，要使不等式恒成立，只需{a ＞0Δ=9−4a 2≤0，解得a ≥32，综上，实数a 的范围为a ≥32．故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]解：由f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，得f （a •2x ）≤f （4x +1）， 因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （a •2x ）≤f （4x +1）可化为f （|a •2x |）≤f （|4x +1|）， 因为f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， 所以|a •2x |≤|4x +1|，所以|a |2x ≤4x +1， 所以|a|≤2x +12x ， 因为2x +12x ≥2√2x ⋅12x =2，当且仅当2x =12x ，即x ＝0时取等号， 所以|a |≤2，解得﹣2≤a ≤2， 即a 的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3 B ．16的4次方根是±2 C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|解：负数的3次方根是一个负数，√−273=√(−3)33=−3，故A 错误；16的4次方根有两个，为±2，故B 正确；√814=√344=|3|=3，故C 错误；√(x +y)2是非负数，所以√(x +y)2=|x +y|，故D 正确． 故选：BD ．10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件解：∵中“a ＝b ”⇒“ac ＝bc ”为真命题， 但当c ＝0时，“ac ＝bc ”⇒“a ＝b ”为假命题，故“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 为假命题； ∵中“a +5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题， “a 是无理数”⇒“a +5是无理数”也为真命题，故“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题； ∵中“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题， “a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的即充分也不必要条件，故C 为假命题；∵中{a |a ＜5}⊉{a |a ＜3}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D 为真命题． 故选：BD ．11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以c 2＜cd ，故A 正确；令a ＝2、b ＝1、c ＝﹣1、d ＝﹣2，满足a ＞b ＞0＞c ＞d ，此时a ﹣c ＝b ﹣d ，故B 错误； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以ad ＜bd ，bd ＜bc ，所以ad ＜bc ，故C 正确； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，则c a −d b =cb−adab ，因为cb ﹣ad ＞0，ab ＞0，所以c a −d b =cb−ad ab ＞0，即c a ＞db，故D 正确．故选：ACD ．12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0解：设幂函数f （x ）＝x α，由图像过点A(3，127)可得3α=127可得α＝﹣3，即f （x ）＝x ﹣3，A 正确； 若函数f(x)={x ，x ＜a x 2，x ≥a在R 上单调递增，则{a ≥0a ≤a 2，解得a ≥1或a ＝0，B 错误；若x ＞0，y ＞0，且1x +3y =1，则x +2y ＝（x +2y ）（1x +3y）＝7+2y x +3x y ≥7+2√2y x ⋅3xy =7+2√6，当且仅当2y x =3x y 且1x +3y=1，即x ＝1+√6，y ＝3+√62时取等号，C 正确；因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ）， 当x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）（1﹣x ）＝x （1﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝x （x ﹣1），又f （0）＝0，D 错误． 故选：AC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 存在一个矩形的对角线不相等 ．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“矩形的对角线相等”的否定：存在一个矩形的对角线不相等．故答案为：存在一个矩形的对角线不相等．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ 4 ．解：由x−a x+1≥0，得（x ﹣a ）（x +1≥0，故﹣1，4是方程（x ﹣a ）（x +1）＝0的根，故a ＝4，故答案为：415．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−12)−6= ﹣3 ．解：√(−6)33−(12)0+0.2512×(2)−6=−6﹣1+12×8=−3． 故答案为：﹣3．16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 （0，1） ．解：当x ＜0时，f （x ）＝﹣2x +1单调递减；当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +1＝﹣（x ﹣1）2+2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；故答案为：（0，1）．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集．解：（1）由题设U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，5，6}，A ∩B ＝{4}．（2）由（1）知：∁U A ＝{1，3，5，6}，则（∁U A ）∩B ＝{3，5，6}， 对应子集有∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：（1）函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9， 所以函数f （x ）的对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣9）， 单调递递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）；（2）由（1）可知当x ＝﹣1时，函数的最小值为f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣9， 又f （﹣2）＝﹣8，f （2）＝0，所以函数的最大值为f （x ）max ＝0． 19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．解：（1）f （x ）＝|x ﹣1|﹣2={−x −1，x ≤1x −3，x ＞1；（2）f （x ）的图象如图：（3）由图可知，f （x ）的值域为[﹣2，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．解：（1）单调递增，由题意证明如下， 函数f(x)=x +m x ，且f （1）＝5，有1+m1=5，解得m ＝4， 所以f （x ）的解析式为：f(x)=x +4x．设∀x 1，x 2∈（2，+∞），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2． 由x 1，x 2∈（2，+∞），x 1＜x 2，得x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＜0，则(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．所以f （x ）在区间（2，+∞）上单调递增． （2）由（1）知f （x ）在[52，103]上是增函数，所以f （x ）在区间[52，103]上的最小值为f(52)=52+452=4110，最大值为f(103)=103+4103=6815，所以f （x ）在[52，103]上的值域为[4110，6815]．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g(x)=k2√x，由图知f（2）＝1，即2k1＝1，解得k1=1 2，又g（4）＝4，即2k2＝4，解得k2＝2．从而f(x)=12x(x≥0)，g(x)=2√x(x≥0)．（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元，则y=f(x)+g(10−x)=12x+2√10−x(0≤x≤10)，令t=√10−x，则y=−12(t−2)2+7(0≤t≤√10)，当t＝2时，y max＝7，此时x＝6．所以A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．22．（12分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+1f(x)+1是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小．解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：{k=1k⋅a2=16，解得：{k=1a=4，故f（x）＝4x；（2）由（1）g（x）＝b+14x+1，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）＝b+14−x+1=b+4x4x+1=−b−14x+1，解得：b=−12；（3）∵f（x）的图象是凹函数，∴f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，证明如下：f(x1+x22)=4x1+x22，f(x1)+f(x2)2=4x1+4x22≥2√4x1+x22=4x1+x22，故f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
2023年高考数学课后精练 第3讲 利用导数研究函数的性质(解析版)
第3讲 利用导数研究函数的性质【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==， 若0x >，()202f =，所以2x >； 若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<， 综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（ ）A ．1-B ．1e- C ．ln 2 D ．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21xf x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x x f x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-， 由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-． 故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A ．2k > B ．1k C ．1k > D ．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴'在区间(1,)+∞上恒成立． 1kx ∴， 而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴．选项中只有0k >是1k 的必要不充分条件. 选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件. 故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<， 故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>， 即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log )(log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<． 故选：B ．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10e k -<<，故选：D ．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()xf x xe ax =+．则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，()min 1f x e=-B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C ．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e ≤-【答案】ABD 【详解】解：对于A ：当0a =时，()xf x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令'0f x，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e-≥-=-=-，所以()min 1f x e =-，故A 正确；对于B ：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1xx f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x xx y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C ：由函数()xf x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0xf x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D ：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()xh x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（ ） A ．实数k 的取值范围为()0,1 B ．实数k 的取值范围为()0,e C ．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭D ．123x x x 的取值范围为()e,+∞ 【答案】AC 【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解， 所以16160,k =->解得)1(0k ∈，； 由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设1)0(1lnx t =∈-，，则()24te e g t t⋅=-， 所以()()22421'0t g tt e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增， 又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为f x ，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ） A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD 【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>， 所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==， 故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e +>，()0f x >， 所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->， 令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20xf x f x h x e ''--=>， 所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-， 故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x '>，则（ ）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD 【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>． 构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误； 因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确， 故选：AD. 三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________. 【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃. 故答案为：(1,0)(0,2)-.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立， ∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数； 3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e ah x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立； 30x x xe e a ∴-+-；即3x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数； ()g x g ∴（1）0=； 30a ∴-；3a ∴．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】 令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<， 所以函数()()f xg x x=在(0,)+∞上是减函数， 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=， ∴()()()f x g x g x x--==--， ∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， ∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==， 则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ， 当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立， ∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞． 故答案为：(2,0)(2,)-+∞.16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a -- (],2-∞ 【详解】 （1）()()()223391x x g x x x +-'=-=， 当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-， 故()g x 的值域是[]6,10a a --； （2）()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤， 综上，实数t 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。
【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。