第7讲数学物理方程
《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
数学物理方程_定解问题
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0
f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
数学物理方程的重点
一．无界问题的特征线法求解求解1.一维无界弦振动方程的达朗贝尔公式（特征线法在弦振动方程的应用）求解法 1.1齐次方程两端无界弦振动方程的求解 齐次弦振动方程及初始条件：⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ其方程为+∞<<-∞>=-x t u a u xx tt ,0,02，其特征方程为022=-⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξu u u x +=，ηξu a u a u t ⨯-⨯=，ηηξηξξu u u u xx ++=2，ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x u u u u a u xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x u x x G x F x u t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰ )(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x u -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ（1）此公式为达朗贝尔公式 1.2单侧无界弦振动齐次方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧>=>==>>=-0,0),0(),()0,(),()0,(0,0,02t t u t t x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ先求出对应双侧无界弦振动方程⎩⎨⎧ψ=Φ=+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt 其中要求)(),(x x ψΦ为奇函数又已知其右侧函数表达式可以求出求出左侧表达式⎩⎨⎧<--≥=Φ0),(0),()(x x x x x ϕϕ，⎩⎨⎧<--≥=ψ0),(0),()(x x x x x ψψ 将其带入达朗贝尔公式可求出对应双侧无界弦振动方程的解⎰+-ψ+-Φ++Φ=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),( 只要令0)(21)]()([210),(,0=Φ+Φ-Φ⇒==⎰-db b a at at t x u x atat又令0>x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+---+>+-++=⎰⎰+--+-atx at x atx at x at x db b a at x at a a at x db b a at x at x t x u )(,)(21))](()([21,)(21)]()([21),(ϕϕϕϕϕϕ 此),(t x u 即为单侧无界弦振动齐次方程的解 1.3零初始条件的非齐次弦振动方程的求解⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x u x u t t x f u a u t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x u x u t u a u t xx tt 则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x u 0)()(0),(21),(),(τττττ 1.4有初始条件的非齐次无界弦波动方程的求解⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0),,(2x x u x x u x t t x f u a u t xx tt ψϕ 此方程要使用叠加原理进行求解设),(),(),(t x z t x v t x u +=其中分别满足以下方程⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x v x x v x t v a v t xx tt ψϕ（1）和⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-0)0,(,0)0,(,0),,(2x y x y x t t x f y a y t xx tt （2） 对于方程（1），使用达朗贝尔公式可以求得：其特征方程为022=+⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξv v v x +=，ηξv a v a v t ⨯-⨯=，ηηξηξξv v v v xx ++=2，ηηξηξξv a v a v a v tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x v v v v a v xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x v x x G x F x v t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰)(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x v -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x v )(21)]()([21),(ψϕϕ对于方程2，使用齐次化原理可以求得⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x y x y t t x f y a y t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x y x y t y a y t xx tt 则⎰=td t x w t x y 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x y 0)()(0),(21),(),(τττττ最后，根据叠加原理求得⎰⎰⎰++--+-++-++=+=t t a x t a x at x at x d db b f a db b a at x at x t x y t x v t x u 0)()(),(21)(21)]()([21),(),(),(ττψϕϕττ1.5.无界弦振动方程的决定区域与影响区域 决定区域：对于特定u(x,t)依赖的(x,t)的取值范围对于（x,t ）的取值能影响u(x,t)的取值范围为影响区域2.只含二阶导的2阶偏微分方程的特征线法求解 2.1只含二阶导的二阶偏微分方程的初步化简⎩⎨⎧===++)(),0(),(),0(0y y u y y u Cu Bu Au x yy xy xx ψϕ其特征方程为00,0222=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒-=⇒=+==++C dx dy B dx dy A dx dy dy dx d C B A y x y x y y x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ根据特征方程解的三种不同情况将其进行进一步的化简 2.2特征方程存在两个不同实根时的化简 先用公式法求出特征方程两个不同的实根A ACB B dx dy 242-±=，g A AC B B dx dy =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2421，e A AC B B dx dy =--=⎪⎭⎫⎝⎛24221c gx y +=2c ex y +=可以用换元法对此偏微分方程进行化简x A AC B B y 242-+-=ξxAACB B y 242---=η将其带入=++yy xy xx Cu Bu Au=ξηu例1.化简下列方程并求解⎩⎨⎧===-+σφ)0,(,)0,(032t u t u u u u x xx tx tt3/2)/(032032222=-+⇒=-+⇒=-+x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ03/2)/(03)/(2)/(22=--⇒=--+dt dx dt dx dt dx dt dx,0,0,3,10,0,0,1,13)2(,)2(22121242===-=======-=+-=+=--=+±=⇒±=+±=tt xt xx t x tt tx xx t x tx t t x t x t t x c t t x dt dx ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηξηξηξξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u xt xt x x tx xx xx x x xx tt tt tt tt x x x t t t 32)3()3(2)()(96)3(3)3(1,3--=++-+-=++=+++++=+-=++---=+=+=-=+=)()(),(00)369()646()321(32ηξξηηηξηξξg f t x u u u u u u u u xx tx tt +==⇒=--+---+-+=-+2.3当特征方程存在2个相等实根A B dx dy 2)(2,1=12c x AB y =-),0(,2≠=-=B y x A By ηξ 0,0·,0,00====⇒=xx yy u C u A B 或如例1化简下列方程44=++xx tx tt u u u4/4)/(044044222=++⇒=++⇒=++x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ2/,04/4)/(04)/(4)/(22==+-⇒=+-+dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx,0,10,2,1,,2========-===-=xt xx tt t x tt xt xx t x x t x ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηξηξξηηξηξξηξηηξηξξξξηξηηξηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηηξξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u tx tx x t t x x t x t tx xx xx x x x x xx tt tt t t t t tt 222)(22422222---=+++++=++=++++==++++=0)480()880()4244(=⇒=+-++-+⨯-+ηηηηξηξξu u u u)2()2()()()(t x g t x xf g f u f u -+-=+=⇒=ξξηξη2.4当特征方程存在一对共轭复根时二．积分变换法求解无界一维波动方程、1维热传导方程和二维Laplace 方程 1.傅立叶变换的定义与性质 1.1傅立叶变换的定义)()())((w F dx e x f x f F iwx ==⎰+∞∞-1.2傅立叶变换的位移性质)()()()]([)(c x d ee c xf dx e c x f c x f F iwcRRc x iw iwx --=-=-----⎰⎰)()]([)()()]([)(w F e x f F e c x d e c x f e c x f F iwc Riwc c x iw iwc -----==--=-⎰1.3.傅立叶变换的相似性质dcx e cx f c dcx c ecx f dx ecx f cx f F Rcx c wi Rcx cw i Riwx⎰⎰⎰---===)(11)()()]([)(1)(1)]([1c wF c du e u f c cx f F u c wR ==-⎰1.3傅立叶变换的微分性质⎰⎰⎰-+∞∞-----===RiwxRiwx iwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )(|)()()('))('( )())(()())((0))('(w iwF x f iwF dx e x f iw dx e iw x f x f F Riwx iwx R===--=⎰⎰--⎰⎰⎰-+∞∞-----===Riwx iwx Riwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )('|)(')(')(''))(''( )()())(()())('())(''(22w F iw x f F iw x f iwF x f F ===dx e x f iw e x f x df e dx e x f x f F iwx Rn iwx n n Riwx Riwx n n -------⎰⎰⎰+===)()()()())(()1()1()1()()()()())(()())(())((1)(w F iw x f F iw x f iwF x f F n n n n ===-1.3.傅立叶变换的乘多项式性质⎰⎰⎰---=-==R Riwx iwx iwx Rdx e x f dw di dx e x f dw d i dx e x xf x xf F ))(())((1)())(( ))(())((())(())((w F dwdi x f F dw d i dx e x f dw d ix xf F R iwx ===⎰- ⎰⎰⎰---===R Riwx iwx Riwxdx e x f dw d i dx e x xf dw d i dx ex xxf x f x F ))(())(()())((2222)())(())(())((2222222222w F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F R iwx iwx R===⎰⎰-- dx e x f x dwd idx e x f xx dx e x f x x f x F iwx n RRiwx n Riwx n n ))(()()())((11-----⎰⎰⎰=== ⎰⎰====--Rn nn n n n R iwx n n n iwx n n nnw F dw d i x f F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F ))(()))((())(())(())((1.4傅立叶变换积分性质由傅立叶变换的微分性质)())((x f dt t f dx dx=⎰∞- ⎰∞-=xdt t f iw x f F )())(()(1))((1))((w F iwx f F iw dt t f F x==⎰∞- 1.5傅立叶变换的卷积性质卷积定义式⎰-=*Rdt t x g t f x g f )()()(卷积公式1)()()(w G w F g f F =*先做卷积再变换系数不变 证明：⎰⎰⎰⎰-----=-=*R iwt t x iw Riwx R Rdx e e dt t x g t f dx dte t x g t f x g f F )()()()()())((⎰⎰⎰⎰-----=-=*RRiwu iwt Rt x iw Riwt dt du e u g e t f dt dx e t x g e t f x g f F )()()()())(()()()())(())(())(()()(w G w F t f F u g F dt u g F e t f g f F Riwt ===*⎰-卷积公式2))()((2)()(x g x f F w G w F π=*先傅立叶变换再做卷积系数要乘系数2π 1.6 主要函数的傅立叶变换)(0,00,)(指数信号⎩⎨⎧<>=-x x e x f x β iw e iw dx e dx eex f F iw x iw x iwxx +=+-===∞++-+∞+-+∞--⎰⎰βββββ1|1))((0)(0)(02)(x ex f -=2.傅立叶变换法求解一维波动方程 2.1无界齐次波动方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧==>∈=-)3)(()0,()2)(()0,()1(0,,02x x u x x u t R x u a u txx tt ψϕ 分别对（1）、（2）、（3）式进行傅立叶变换)4(0),()()),((0),()()),((22=+⇒=-t w F aw t w u F t w F iaw t w u F tt tt)5))((())0,((x F w u F ϕ=)6))((())0,((x F w u F t ψ=)7()()()),((21iawt iawt e w C e w C t w u F -+=将(5)、（6）代入（7）式⎩⎨⎧-=+=--iawtawt t iawtiawt e awiC e w awiC t w u F e w C e w C t w u F 2121)()),(()()()),(( ⎩⎨⎧=-=+))(()()())(()()(2121x F w awiC w awiC x F w C w C ψϕ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)))((1))(((21)()))((1))(((21)(21x F iaw x F w C x F iaw x F w C ψϕψϕ iawt iawt e x F iawx F e x F iaw x F t w u F --++=)))((1))(((21)))((1))(((21)),((ψϕψϕ又由傅立叶变换的位移性质))(()())((x f F e dx e c x f c x f F iwc Riwx --=-=-⎰左边的项的位移系数可以求出at c iwat iwc -=⇒=-)8))(((21))((21at x F e x F iawt +=ϕϕ iwaw F w G at x G e w G e w G F e x F iwaiawt iawt iawt 2))(()()()())(())((21ψψ=+===用傅立叶变换的积分性质进一步化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞- ))((21))((1212))(()()(⎰+∞-===+=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x G w G ψψψ右边第一项的系数也可以用位移性质求出at c iwat iwc =⇒-=-))((21))((21at x F e x F iwt -=-ϕϕ iwaw F w H at x H e w H e x F iwaiwat iwat 2))(()()()())((21ψψ=-==--继续用傅立叶变换积分性质来化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞-))((21))((1212))(()()(⎰-∞-===-=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x H w H ψψψ 四项全部求和 )))((21))(((21)))((21))(((21)),((⎰⎰-∞-+∞---+++=atx at x dy y F a at x F dy y F a at x F t w u F ψϕψϕ ))((21))(()(((21)),((⎰+-+-++=atx atx dy y F a at x F at x F t w u F ψϕϕ 对此式施加傅立叶逆变换 ⎰+-+-++=at a at x dy y a at x at x t x u )(21))()((21),(ψϕϕ 2.2非齐次方程的无界波动方程（不用齐次化原理）2.3半无界波动方程的求解3.傅立叶变换法求解一维热传导方程4.傅立叶变换法求解2维Laplace 方程place 变换的定义与性质place 变换求解一维波动方程place 变换求解一维热传导方程place 变换求解2维Laplace 方程二．有限边界的分离变量法求解（正弦初始条件以及二次初始条件）1.第一类边界条件和第二类边界条件第三类边界条件的特征值问题2.齐次化方程（可以用傅里叶级数展开或用齐次化原理）3.齐次化边界条件4.齐次方程，齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子5.齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子6.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子7.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子8.圆域LAPLACE 问题求解9.矩形域Laplace 方程。
数学物理方程
数学物理⽅程《数学物理⽅程》课程教学⼤纲课程英⽂名称：Equations of Mathematical Physics课程号：0312013002课程计划学时：48学分：3课程简介：本⼤纲适⽤于材料物理学类本科。
数学物理⽅法是材料物理专业基础理论课，通过本课程的教学，帮助学⽣掌握并能运⽤数学物理⽅程等理论物理的基本数学⼯具。
本课程的重点是数学物理⽅程的⾏波法, 分离变数法,⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。
难点是⽅程的级数解法, 本征值问题, 球函数, 柱函数等。
本课程必须在⾼等数学，线性代数，复变函数，⼒学，电磁学，光学，原⼦物理学，理论⼒学等课程基础上开设。
后续课程是量⼦⼒学，电动⼒学，热⼒学，固体物理。
通过本课程的学习，培养学⽣严谨的逻辑和推演等理性思维能⼒，提⾼抽象思维能⼒，逻辑推演能⼒和符号运算及数值运算能⼒。
特别是，⽤分离变数法解偏微分⽅程等。
为学习材料物理专业基础理论课量⼦⼒学、统计物理和电动⼒学等打好数学基础。
⼀、课程教学内容及教学基本要求第七章定解问题本章重点：定解条件，⼆阶线性偏微分⽅程的分类，⾏波法难点：数学物理⽅程的导出7.1数学物理⽅程的导出本节要求了解各种数学物理⽅程的导出（考核概率10%）7.2定解条件本节要求理解定解条件初始条件、边界条件、衔接条件的基本概念，并会结合具体问题导出定解条件（考核概率80%）7.3数学物理⽅程的分类本节要求掌握各类⽅程的分类⽅法，并能掌握⽤适当的变换将其化为标准型（考核概率90%）7.4 达朗贝尔公式本节要求了解达朗贝尔公式的推导，理解其物理意义，掌握达朗贝尔公式（⾏波法）求解定解问题（考核概率60%）第⼋章分离变数法本章重点：分离变数法，⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理，泊松⽅程的特解法难点：⾮齐次振动⽅程和输运⽅程及⾮齐次边界条件的处理8.1 齐次⽅程的分离变数法本节要求理解分离变数法的含义，掌握齐次⽅程的分离变数法（考核概率90%）8.2 ⾮齐次振动⽅程和输运⽅程本节要求掌握应⽤齐次⽅程的分离变数法处理⾮齐次振动⽅程和输运⽅程（考核概率70%）8.3 ⾮齐次边界条件的处理本节要求了解⼀般⾮齐次边界条件的处理⽅法，掌握⾮齐次边界条件的特殊处理⽅法（考核概率70%）8.4 泊松⽅程本节要求理解泊松⽅程特解法的原理，掌握泊松⽅程的特解法（考核概率70%）第九章⼆阶常微分⽅程级数解法本征值问题本章重点：勒让德⽅程及贝塞尔⽅程的级数解法，施图姆－刘维本征值问题⼀般理论难点：常点领域上的级数解法，正则奇点领域上的级数解法9.1特殊函数常微分⽅程本节要求了解拉普拉斯⽅程在球坐标系及柱坐标系下、亥姆霍兹⽅程在球坐标系及柱坐标系下利⽤分离变数法导出的⼏类特殊常微分⽅程（考核概率10%）9.2常点领域上的级数解法本节要求掌握勒让德⽅程的级数解法，掌握勒让德⽅程的通解结构（考核概率70%）9.3正则奇点领域上的级数解法本节要求掌握贝塞尔⽅程的级数解法，掌握贝塞尔⽅程的通解结构（考核概率70%）9.4施图姆－刘维本征值问题本节要求了解施图姆－刘维本征值问题的⼀般理论（考核概率50%）第⼗章球函数本章重点：勒让德多项式表达式、模及主要递推公式，轴对称函数的求解难点：⼀般球函数的求解10.1轴对称球函数本节要求了解轴对称球函数的基本概念，掌握勒让德多项式的表达式、模及主要递推公式，了解⼴义傅⽴叶-勒让德级数、母函数与递推关系，掌握求解轴对称函数的⽅法（考核概率80%）10.2连带勒让德函数本节要求了解连带的勒让德多项式的表达式、模及递推公式（考核概率20%）10.3⼀般的球函数本节要求了解⼀般的球函数求解及其应⽤（考核概率10%）第⼗⼀章柱函数本章重点：贝赛尔函数递推公式、正交关系及傅⽴叶－贝赛尔级数，贝赛尔函数的应⽤难点：柱函数的求解11.1 三类柱函数本节要求了解三类柱函数的基本概念，掌握贝赛尔函数的递推公式（考核概率50%）11.2贝赛尔⽅程本节要求了解贝赛尔函数零点的⼀般结论及贝塞尔函数的正交关系，掌握贝赛尔函数模的求法，贝赛尔函数的应⽤（考核概率80%）11.3柱函数的渐进公式本节要求了解柱函数的渐进公式（考核概率10%）11.4虚宗量贝塞尔⽅程本节要求了解虚宗量贝塞尔⽅程的求解（考核概率10%）11.5球贝赛尔⽅程本节要求了解球贝塞尔函数的基本概念，了解球贝赛尔函数的应⽤（考核概率20%）三、⼤纲附录1、建议教材：《数学物理⽅法》(第三版)，⾼等教育出版社出版，1998年，梁昆淼编。
数学物理方法课件第七章-----行波法
变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x
数学物理方程(很好的学习教材)
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
数学物理方程举例和基本概念讲解
① 弦振动方程和定解条件
物理模型（弦的微小横振动问题）
设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其长为l，线密度为，且在单位长度上受到
垂直于弦向上的力F初始小扰动后，在平衡位置附近作微小横振动.
试确定该弦上各点的运动规律.
分析. 如图选择坐标系，设u x,t 表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移.
利用微元法建立方程.
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定解问题的适定性
1923年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出
定解问题是否能够反映实际， 或者，定解问题的提法是否适合？ 从数学的 角度看主要从下面三个方面来验证：
解的存在性： 即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?
解的唯一性： 即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若 能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。
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㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描绘振动和波振动波，电磁波动特征的波动方程:
utt a2uxx f .
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
线性偏微分方 程可分为
数学物理方程总结
试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ其中h 为圆锥的高。
并求通解及它的初值问题：0:(),()ut u x x tϕψ∂===∂的解。
（1）证明：在圆锥形枢轴内取出],[x x x ∆+一小段来研究。
端面丛向位移为),(t x u [,][(,),(,)]x x x u x t u x x t +∆→+∆ 在时刻t，端面的相对延伸为),(t x u 与),(t x x u ∆+根据胡克定律为),(t x ESux-及),(t x x ESu x ∆+由牛顿第二定律有合力为：),(t x x ESu x ∆+),(t x ESu x -x Su tt ∆=ρ又因为 2222[()t a n ]()()S r h x h x t a nππαπα==-=- 2[()tan ](,)x E h x x u x x t πα--∆+∆),(]tan )[(2t x u x h E x απ--x u x h tt∆-=2]tan )[(αρπttx u x h xu x h E 22)()(-=∂-∂ρππ tt x u x h x u x h E 22)()(-=∂-∂ρ 即：2222222222[(1)](1)1[(1)](1)E ()x u x uE x h x h t x u x u x h x a h t a ρρ∂∂∂-=-∂∂∂∂∂∂-=-∂∂∂=令。
（5分）（2）设(,)()(,)v x t h x u x t =-（5分） 2()()x x v h x v u h x -+=-2222222[(1)]()1[(1)](1)()x x ux h x v h x v x x ux h h x a h t ∂∂-∂∂-+∂∂=-=-∂-∂ 2222221()()v u h x h x x a t ∂∂-=-∂∂ ∴ 2222221[()][()]h x u h x u x a t∂∂-=-∂∂ （5分） 即：222221v v x a t∂∂=∂∂， 或22222v v a t x ∂∂=∂∂则其通解为：()()()h x u v F x at G x at -==-++ （5分）2．利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(x ϕ-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。
数学物理方程
x x0 时，对 y(x,x0,y0)， 有 y 0 ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
设 yg(x,y)为方程 的平凡解， 00,x0, 0,y0
若 y0 ，当 x1 x时0 ，
，
有 y(x1,x0,y0)
，则 y(x)bk(x,t)y(t)dt a
y
(
x0
)
y0
称为SturmLiouville方程。
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
f(x, y, y, y)0, t(, ) a1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
y 0
定义10:
设为 yg(x,y) 方程 0,x0 I,(,x0)0, y0的平凡解，
一、散度与通量
设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量
为 A(x, y, z)，则向量场 AdSAn0dS沿曲面S的第二类曲
面积分
S
S
AdS An0dS
S
S
p(x, y, z)dydzq(x, y, z)dzdxr(x, y, z)dxdy S
(px qy rz)dxdydz V
称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。
求导算子D：
梯度算子
与Laplace算子x,
, y
z
是两个最基本的算符：
x22 y22 z22
uu(x, y, z)
设为向量场，graduu为数值函数，则有
以下公式：
divA A
rot A A
2u u gradu u
( u v ) u v u v
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
数学物理方程(谷超豪)课后习题完整解答
G x
1 h x x 1 h d c 2 2a x 2
o
x
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x u v u u 2v [(h x) 2 (u ) (h x) (h x) 2 (h x)(u 2 ) x x x x x x
其相对伸长等于 令
[ x x u ( x x, t )] [ x u ( x, t )] x u x ( x x, t ) x
E
u ∣ x l k[u (l , t ) v(t )] x u u ) ∣ x l f (t ) x
1 F x Gx hx 1 x aF / x aG / x hx
x
(1)
(2)
所以
F x Gx
1 h d c ax 0
x
的通解可以写成
u
F x at G x at hx u x . t
即为初值问题的解散。 ２．问初始条件 ( x) 与 ( x) 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波
3
组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始条件 ( x) 与 ( x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何 x,
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d x 2 2a 0 2a
x 2 ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在 x 轴区间[ x1 , x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1 , x 2 ]的决定区 域中解的数值。 证： （1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= [ ( x at ) ( x at )]
数学物理方程
27
2 2 2 u u u u u a 2 a a b b c u0 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 x x y y x y （1）
5.
2u 2u 2 0 2 x y
不易找出其通解，但还 是可以找出一些特解
任意解析函数 f ( z ) 的实部和虚部均满足方程。
1 ln r
也是解
r x2 y2
KDV方程 特解都不易找到
浙江大学数学系 9
3 u u u 6. 6 u 3 0 t x x
1 ,0
第一边值问题（Dirichlet） 第二边值问题（Neumann）
浙江大学数学系
0 , 1
0 , 0
第三边值问题（Robin）
15
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
2 u u 2 f (x ,t), t 0 ,0xL a 2 t x u(x ,t)t0 (x) u(x ,t) x0 g(t), u(x ,t) xL h (t)
浙江大学数学系
16
何为适定性？
存在性
唯一性 连续依赖性（稳定性） 稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相 应的定解问题解的偏差也将非常小． 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为 稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。
浙江大学数学系 17
2 2
浙江大学数学系 13
经典的定解问题举例
热传导方程的初值问题（一维）
u 2 u ,t), t 0 ,x R a 2 f(x t x u ( x , t ) ( x ) t 0
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
数学物理方法第七章2013
4
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等
7.1 数学物理方程的导出
导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。
波动方程的导出
5
（一）均匀弦的微小横振动
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附 近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律 弦的横振动 u( x, t )
x
x dx
相对伸长量：
u( x dx , t ) u( x , t ) u dx x
10
u( x , t )
u( x dx, t )
胡克定律：
dL
f YS
dL L
Y：杨氏模量，
u 杆的dx一段相对伸长 x u f YS YSux x
f
L
S
运动方程： 杆dx两端的相对伸长不同，应力也不同
T （u x
x dx
ux
x
） F ( x , t )dx ( dx )utt
单位质量所受 外力，力密度
9
受迫振动方程
utt a 2 uxx f ( x, t )
（二）均匀杆的纵振动
设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动 u(x,t): 平衡时坐标为x 的点在t 时刻沿x 方向的位移。 求：细杆上各点的运动规律 研究对象：取一不包含端点的小段（x, x+dx）,并设杆的 横截面积为S，密度为 ，杨氏模量为Y，该小段在t时刻 的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t)
扩散现象：系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出 现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。
数学物理方程
一章：偏微分方程1.基本概念作用：描述物理规律，过程和状态。
函数：1.()()()()x t f u x t c xu x t b xu x t a t u ,,,,22+⨯+∂∂⨯+∂∂⨯=∂∂2.拉普拉斯方程：02222223=∂∂+∂∂+∂∂=∇zu yu xu u3.波动方程：()z y x t f u a tu ,,,3222+∇⨯=∂∂4.冲击波方程：0=⨯+x t u u u5.Kdv 方程：0=+⨯⨯+xxx x t u u u u σ其中：1.2.3方程都是二阶线性方程；4.是一阶非线性方程；5. 是三阶非线性方程。
拉普拉斯方程的一个解是： ()()()()2020201,,z z y y x x z y x u -+-+-=例 1.当a,b 满足怎样的条件时，二维拉普拉斯方程022222=∂∂+∂∂=∇yu xu u ,有指数解byax e u +=，并把解求出。
解：把by ax e u +=代入所给的方程，得()022=++by ax e b a ，因为()0≠+by ax e ，所以022=+b a ，即ia ib 或b a ±=±=，方程解是()()ay i ay ax bxi bx by e及u eu sin cos sin cos ±±==,其中a,b 是任意实数。
1.4 定解条件和定解问题泛定方程：描写一个物理过程的方程。
定解条件：为确定一个过程的进展情况，需知道发生的具体条件。
定解问题：泛定方程带上定解条件。
1.4.1 初始条件和初始问题如一条无限长弦的自由振动方程：()0,;2>∞<<∞-=t x u a u xx tt 即泛定方程；定解条件：()()()()x x u x x u t φϕ==,0,0，即初始条件，其中t=0。
1.4.2 边界条件和边值问题边界条件：在空间某一区域V 研究物理过程，在V 的边界面S 上有约束状态。
数学物理方程
⎧y ⎪
t=0
=d
= v0
⎨
⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt
⇒
y
=
v0t
−
1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛：
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律： ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒
y
=
v0
sin θ
t
−
1 2
gt 2
5
结论：不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为
数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程
第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.7．1 贝塞尔方程的引出下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.这个问题可以归结为求解下述定解问题22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)t x y R u u ut x y u x y u ϕ=+=⎧∂∂∂=+⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)(),u x y t V x y T t =代入方程(7.1)得2222,V V VT T xy ⎛⎫∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭或2222(0).V VT x y T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此我们得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程()()0,T t T t λ'+= (7.4) 22220.V VV x yλ∂∂++=∂∂ (7.5)从(7.4)得().t T t Ae λ-=方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz ）方程，为了求出这个方程满足条件2220x y R V+== （7.6）的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得22222110,;(7.7)0.(7.8)R V V VV R V ρλρρρρρθ=⎧∂∂∂+++=<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩再令 (,)()V R ρθρ=Θ(θ)， 代入(7.7)并分离变量可得()()0θμθ'Θ+Θ= （7.9）22''()'()()()0.R R R ρρρρλρμρ++-= (7.10)由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值的，因此()θΘ应该是以π2为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,3,.对应于这些数2,n n μ=有0()θΘ=2a （为常数）， ()n θΘ=cos sin n n a nb n θθ+ (1,2,3,n =).以2n n μ=代入方程(7.10)，并作代换r =，则得222()()()()0.r F r rF r r n F r '''+--= (7.11)其中().F r R =这是一个变系数的线性常微分方程，称为n 阶贝塞尔（Bessel ）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论.7．2 勒让德方程的引出现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.12)令 (,,)()u r R r θϕ=()()θϕΘΦ， 代入(5.12)得2222222111sin 0.sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫ΘΦ+Φ+Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111sin 0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭ 或2222111sin ,sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭上式左端只与r 有关，右端只与,θϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21(1),d dR r n n R dr dr ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(7.13) 22211sin (1).sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+=-+ ⎪ΘΦ⎝⎭(7.14)将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有2222(1)0.d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，这的通解为(1)12(),n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数.以2sin θ乘方程(7.14)的两端得22211sin sin (1)sin 0,d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+++= ⎪ΘΦ⎝⎭即22211sin sin (1)sin .d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫++=- ⎪ΘΦ⎝⎭此式的左端只与θ有关，而右端只与ϕ有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于2(1,2,3,)m m =，从而得221sin sin (1)sin ,d d n n m d d θθθθθΘ⎛⎫++= ⎪Θ⎝⎭（7.15） 2221.d m d ϕΦ=-Φ (7.16) 由方程(7.16)得12()cos sin .B m B m φϕϕΦ=+至于()θΘ所满足的微分方程可写为221sin (1)0.sin sin d d m n n d d θθθθθΘ⎛⎫-++Θ= ⎪⎝⎭ 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得2222(1)0,sin d d m ctg n n d d θθθθ⎡⎤ΘΘ+++-Θ=⎢⎥⎣⎦(7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程.如果引用cos x θ=为自变量(11),x -≤≤并将()θΘ改记成()P x ，则(7.17)变成22222(1)2(1)0.1d P dP m x x n n P dx dx x ⎡⎤--++-=⎢⎥-⎣⎦(7.18)若(,,)u r θϕ与ϕ无关，则从(7.16)可知0m =，这时(7.18)简化成222(1)2(1)0.d P dP x x n n P dx dx--++= (7.19)方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论.7．3 施特姆-刘维尔理论简述前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程()()()0(),d dy k x q x y x y a x b dx dx λρ⎡⎤-+=<<⎢⎥⎣⎦(7.20)阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.事实上，若取2(),(),(),0,,n k x x q x x x a b R xρ=====则(7.20)就变成贝塞尔方程 20;d dy n x y xy dx dx x λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦若取2()1,()0,()1,1,1,k x x q x x a b ρ=-===-=则方程(7.20)就成为勒让德方程2(1)0;d dy x y dx dx λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 若取222()1,(),()1,1,1,1m k x x q x x a b x ρ=-===-=-则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程222(1)0.1d dy m x y y dx dx x λ⎡⎤--+=⎢⎥-⎣⎦方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville ）型方程（任一个二阶线性常微分方程012'''p y p y p y ly ++=乘以适当函数后总可以化成这种形式）.本节所要叙述的施特姆-刘维尔理论，就是有关方程(7.20)的固有值问题的一些结论.为了论述方程(7.20)的固有值问题，我们对方程(7.20)中函数()k x 及()q x 作一些假定.设函数()k x 及其导数在闭区间[,]a b 上均连续，当a x b <≤时()0k x >，而()0;()k a q x =或者在闭区间[,]a b 上连续，或者在开区间(,)a b 内连续而在区间的端点处有一阶极点（贝塞尔方程、勒让德方程及连带的勒让德方程中的系数都满足这些条件），在这些条件下，方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件()0;()y b y a =<∞*）*）这样的边界条件称为自然边界条件，在§2.3中已经遇到过这样的条件，如果k(b)=0，则在这点亦应将条件y(b)=0换成自然边界条件y(b)＜0换成自然边界条件y(b)＜∞，如果在a,b 两点k(x)都为零，则在这的非零解（固有函数）及对应于非零解的λ值（固有值）.关于这个固有值问题有以下几点结论：1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，即1231n n λλλλλ+≤≤≤≤≤对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数123(),(),(),y x y x yx2、当()0q x ≥时，所有固有值均不为负，即(1,2,3,)n n λ≥=3、设m n λλ≠是任意两个不相同的固有值，对应于这两个固有值的固有函数记为()m y x 与()n y x ，则()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰这个结论可以表述为：对应于不同固有值的固有函数在区间[,]a b 上以权函数()x ρ互相正交.4、固有函数123(),(),(),,(),n y x y x y x y x 在区间[,]a b 上构成一个完备系.即任意一个具有一阶连续导数及分段连续二阶导数的函数()f x ，只要它满足固有值问题中的边界条件，则它一定可以按固有函数系}{()n y x 展开为绝对一致收敛的级数1()(),n n n f x f y x ∞==∑其中2()()()()()bn anbnax f x y x dxf x y x dxρρ=⎰⎰结论1与4的证明超出了本书的范围，需要用到积分方程的理论，结论2与3的证明并不困难，下面我们仅给出结论3的证明，这个证明的方法具有启发性，凡是要证明某一特定的固有函数系的正交性都可采用这个方法.下面我们就来证明当m n λλ≠时，下列关系()()()0bm n ax y x y x dx ρ=⎰(7.21)成立.证 因为固有函数()m y x 与()n y x 分别是方程(7.20)当m λλ=与n λλ=时的非零解，两点均应提自然边界条件.所以有()()()()()()0,m m m m dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ (7.22) ()()()()()()0.n n n n dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦(7.23) 以()n y x 乘（7 .22）减去()m y x 乘（7.23）得()()()()()()m n n m dy x dy x d d y x k x y x k x dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()0.m n m n x y x y x λλρ+-=对这个等式从a 到b 对x 积分得()()0()()()()bb m n n m aa dy x dy x d d y x k x dx y x k x dx dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()()bm nn m ady x dy x k x y x k x y x dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()()bb m n n m a a dy x dy x dy x dy x k x dx k x dxdx dx dx dx-+⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()m m n m dy x dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()()()(),bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰ (7,24)此处符号()n dy a dx 表示()n dy x dx在x a =处的值，其余类似.(7.24)式右端前两项的值可以分几种情况来讨论：(i)在端点b 加有第一类边界条件()0,y b =这时有()()0,m n y b y b ==从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(ii)在端点b 加有第二类边界条件()0,dy b dx= 这时有()()0,m n dy b dy b dx dx==从而 ()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iii)在端点b 加有第三类边界条件，()()0,dy b y b hdx+= 这时有()()0,()()0.m m nndy b y b h dxdy b y b h dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由这两式可得()()()()0,m n n m dy b dy b y b y b dx dx-= 从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iv) 在端点b 加有自然边界条件(),y b <∞这时必有()0,k b =从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦综合上述，不论在b 点加哪一种边界条件，(7.24)右端第一项总是等于零.同理，对端点a 也有()()()()()0.m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此，最后可得()()()()0.bm n m n ax y x y x dx λλρ-=⎰但m n λλ≠，所以()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰正交性得到了证明.上面四个结论是分离变量法的理论基础，在第二章我们用分离变量法求解定解问题时，已经假定定解问题的解能够展成固有函数的级数，至于为什么能这样展开，当时没有说明，现在利用固有函数系的完备性就足以说明以前的有关运算是允许的.下面两章还要用到这里所讲的结论.习 题 七1、在平面极坐标系中将二维波动方程2222222u u u a t xy ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.2、在球坐标系中，将三维波动方程222222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.3、在柱面坐标系中，将三维拉普拉斯方程进行分离变量，写出各常微分方程.。
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(5)确定常量
( 2 n 1 )a ( 2 n 1 )a ( 2 n 1 )
u ( C n c o s
n 1
2 l
t D n s in 2 l
t) s in x 2 l
初始条件
u(x,0)x22lx, u(x,0)0 t
u(x,0)n 1C nsin(2n2 l1)xx22lx
XTa2XT
X X
1 a2
T T
XX0
u(l,t)X(l)T(t)0 x
X(l) 0
XX0, 0x10
X(0)0,
X(l)0
Ta2T0
(2)求本征值和本征函数
XX0, 0xl
X(0)0,
X(l)0
2 0
X2X0
X(x)AxeB ex
X ( 0 ) A B 0X ( l ) A e l B e l 0
(4)求通解
un XnTn
n (C n c1 on 0 st D ns1 in n 0 t)si1nx 0
u n 1 u n n 1 (C nc1 o n 0 s t D ns1 in n 0 t)sn i 1n x 0
(5)确定常量
un 1(C nco 1n s 0 tD nsi1n n0 t)sin 1 nx 0 u(x,0)n 1Cnsin n1x0x(1 10 0 x0)0 C n1 20 0 1x 0(1 1 0 0x)0 s0 in 1 n 0 xdx5100 1 00 x(0 1 0x)sin 1 n 0 xdx
解：
(1) 分 离 变 量
u(x,t)X(x)T(t)
XT14 0XT
X X
1 104
T T
XX0
T14 0T0
u(0 ,t)X (0 )T (t)0 X(0)0 u (1,t) 0 X (1)T 0 (t) 0 X(10)0
XX0, 0x10
X(0)0,
X(10)0
(2)求本征值和本征函数
XX0, 0x10
二 有限长杆上的热传导
解：令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程：XT'a2XT
X X
1 a2
T' T
XX0
C n2 l 0 l(x22 lx)sin(2n2 l1 )xd x
32l 2
(2n 1)3
3
u ( x t,0 )n 1D n(2 n 2 l1 )asin(2 n 2 l1 ) x 0 Dn 0
u 3 2 l3 2n 1(2 n 1 1 )3c o s(2 n 2 l1 )a ts in (2 n 2 l1 )x
5n233(1cons)
5n403，3 ，
n为偶数 n为奇数
u(x t,0)n 11D 0nnsin 1 n0 x0
Dn 0
u
4 c1 o(2 0 n s 1 )tsi(2 n n 1 )x
n 15 (2 n 1 )3 3
10
例2求下列定解问题
解： (1) 分 离 变 量
u(x,t)X(x)T(t) u(0 ,t)X (0 )T (t)0 X(0)0
Ta2T0
Tn(2n41l)222a2Tn 0
(4)求通解
un XnTn ( C n c o s ( 2 n 2 l 1 )a t D n s i n ( 2 n 2 l 1 )a t) s i n ( 2 n 2 l 1 )x
u n 1 u n n 1 ( C n c o s ( 2 n 2 l 1 )a t D n s i n ( 2 n 2 l 1 )a t ) s i n ( 2 n 2 l 1 )x
X ( 1 0 ) B s i n 1 0 0
n n/1,n 0 1 ,2 ,3 ,n n22/100
Xn(x)s
inn x
10
(3)求另一个微分方程
n n 22/1,0 n 1 0 ,2 ,3 ,
T14 0T0
Xn(x)Bnsinn10x
Tn10n202Tn0
T n C n c1 o n 0 t s D n s1 in n 0 t
X(0)0,
X(10)0
2 0
X2X0
X(x)AxeB ex
X ( 0 ) A B 0X ( l ) A e 1 0 B e 1 0 0
AB0
X(x) 0
0
X0
X(x)A xB
AB0
X(x) 0
2 0 X2X0
X ( 0 ) A 0
X (x )A co x sB six n
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
其中： A nC n 2 D n 2
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
AB0
0
X0
X(x) 0 X(x)A xB
AB0
X(x) 0
2 0 X2X0
X ( 0 ) A 0
X (x )A co x sB six n
X ( l ) B c o sl 0
n ( 2 n 1 )/2 l,n 1 ,2 ,3 ,
n(2n1)22/4l2
(3)求另一个微分方程
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n 1 ,2 ,3 , )
sin n x
l
n
2 n
l
l
fn
n 2
na2l
2l n
a
T
驻波法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为(x)x(10x)1000 ，求弦作微小横向振动时的位移。
故定解问题的解为
其中
Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
▪分离变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst in D Xn ln na (sxt)in n lsa itn)ns lixn lnx ▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx