棱柱,棱锥,棱台学案
学案1：1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其形成过程，会画棱柱、棱锥、棱台的图形．3．掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质，并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算．基础知识1．多面体与截面(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的公共边叫做多面体的______；棱和棱的公共点叫做多面体的______；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的________．按围成多面体的面的个数分为：四面体、五面体、六面体……多面体至少有______个面．(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做________．(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的______．做一做1 长方体有__________条对角线，一个多面体至少有__________个面．2．棱柱(1)棱柱的概念．有两个互相平行的面，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，这些面围成的几何体称为棱柱．棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的________；其余各面叫做棱柱的________；两侧面的公共边称为棱柱的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的________．棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______．(2)棱柱的表示法．用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．(3)棱柱的分类．按底面多边形的________分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做________棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做______棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做__________．底面是平行四边形的棱柱叫做___________．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做__________，底面是矩形的直平行六面体是________，棱长都相等的长方体是_______．归纳总结在四棱柱中，应掌握好以下关系：用图示表示如下：做一做2－1 四棱柱有()A．4条侧棱，4个顶点B．8条侧棱，4个顶点C．4条侧棱，8个顶点D．6条侧棱，8个顶点做一做2－2 下列三种说法中，正确的个数是()①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③棱柱的侧面都是平行四边形．A．0 B．1 C．2 D．33．棱锥(1)棱锥的概念．有一面为________，其余各面是___________，这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的________；各侧面的公共顶点叫做棱锥的________；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的________；多边形叫做棱锥的________．顶点到底面的距离，叫做棱锥的______．(2)棱锥的表示法．用表示顶点和底面各顶点的字母或用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．(3)棱锥的分类．按底面多边形的________分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……(4)正棱锥的概念．如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面________的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的__________，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的________．知识拓展(1)只有正棱锥才有斜高，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长．(2)正棱锥中有几个重要的特征直角三角形，利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决．如图所示，正棱锥中，点O为底面中心，M是CD的中点，则△SOM，△SOC 均是直角三角形，常把一些量归结到这些直角三角形中去计算．很明显，△SMC，△OMC也是直角三角形．做一做3－1 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个做一做3－2 正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，如图所示，则截面的面积为()A ．32a 2 B ．a 2C ．12a 2D ．13a 24．棱台 (1)棱台的概念．棱锥被________于底面的平面所截，________和______间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的________和________；其他各面称为棱台的________；相邻两侧面的公共边称为棱台的________；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的________；两底面间的距离叫做棱台的______． (2)棱台的表示法．用表示上下底面各顶点的字母表示棱台． (3)棱台的分类．按底面多边形的________分为：三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念．由________截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________． 知识拓展在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，常转化为这几个直角梯形的计算问题．做一做4 棱台不具有的性质是( ) A ．两底面相似 B ．侧面都是梯形 C ．侧棱都平行D ．侧棱延长后都交于一点 重点难点1．棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析：名师点拨(1)有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，反例如下图．(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，反例如下图．2．教材中的“思考与讨论” 如何判断一个多面体是棱台？剖析：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．典型例题题型一识别简单的空间几何体例1 下列几何体是棱柱的有()A．5个B．4个C．3个D．2个反思：本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图形，看到图形就想到文字叙述．题型二概念的理解和应用例2 一个棱柱是正四棱柱的条件是()A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的两条棱互相垂直D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形反思：在本题的解答过程中易出现选B的情况，导致此种错误的原因是两个侧面垂直于底面，并不能保证侧棱一定垂直于底面，只有是两个相邻的侧面才可以．题型三有关柱、锥、台的计算问题例3 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．反思：本题由正四棱台的性质可知：上，下底面都是正方形，侧面是全等的等腰梯形，即可得出上、下底边及斜高的长；再由两个直角梯形便可计算出侧棱、斜高、高．故解题时应注意优先分析几何图形的关系，减少盲目性．例4 如图所示，直平行六面体AC1的侧棱长为100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比为2∶3，求它的两个对角面的面积(过相对侧棱的截面叫对角面)．题型四立体图形的展开与平面图形的折叠问题例5 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求点P的位置．反思：解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想．题型五易错辨析例6 下列说法中正确的有()①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥；③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个错解：B(或C或D)错因分析：没有正确地理解棱柱、棱锥、棱台的定义． 随堂练习1.下图所示的几何体是棱台的是( )2.下列命题中正确的是( )A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形3.如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ．3C ． 5D ．74.棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形．5.正三棱锥底面面积为943，侧棱长为4，求此三棱锥的斜高和高．参考答案基础知识1．(1)面棱顶点对角线4(2)凸多面体(3)截面做一做1 442．(1)四边形平行底面侧面侧棱顶点高(3)边数斜直正棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体做一做2－1 C做一做2－2 C【解析】由直棱柱的定义，知①正确；由正棱柱的定义，知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形，故③正确．3．(1)多边形有一个公共顶点的三角形侧面顶点侧棱底面高(3)边数(4)正多边形垂直等腰三角形斜高做一做3－1 D做一做3－2 C【解析】由正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝2a.在等腰△SAC中，SA＝SC＝a，AC＝2a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝1 2a2.∴选C.4．(1)平行截面底面下底面上底面侧面侧棱顶点高(3)边数(4)正棱锥等腰梯形斜高做一做4C典型例题例1 D【解析】棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．例2 D【解析】对于选项A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形．对于选项B，有两个侧面垂直于底面，不能保证侧棱垂直于底面．对于选项C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直．对于选项D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．例3 解：如图，设O′，O分别为上下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，∴EF⊥BC，EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四边形BCC ′B ′的面积为12，∴12×(2＋4)·EF ＝12， ∴EF ＝4.过B ′作B ′H ⊥BC 交BC 于H ，则BH ＝BF －B ′E ＝2－1＝1，B ′H ＝EF ＝4.在Rt △B ′BH 中，BB ′＝BH 2＋B ′H 2＝12＋42＝17.同理，在直角梯形O ′OFE 中，计算出O ′O ＝15.综上，该正四棱台的侧棱长为17，斜高为4，高为15.例4 解：∵棱柱AC 1是直平行六面体，∴两对角面都是矩形，其侧棱AA 1就是矩形的高． 由题意，得AB ＝23 cm ，AD ＝11 cm ，AA 1＝100 cm ，BD ∶AC ＝2∶3，设BD ＝2x cm ，则AC ＝3x cm.在平行四边形ABCD 中，BD 2＋AC 2＝2(AB 2＋AD 2)，即(2x )2＋(3x )2＝2×(232＋112)，解得x ＝10.∴BD ＝20 cm ，AC ＝30 cm.∴两个对角面的面积分别为S 矩形BDD 1B 1＝BD ·BB 1＝2 000(cm 2)，S 矩形ACC 1A 1＝AC ·AA 1＝3 000(cm 2)．例5 解：把该三棱柱展开后如图所示．设CP ＝x ，则AP ＝3＋x .根据已知可得方程22＋(3＋x )2＝29.解得x ＝2.所以点P 的位置在距离点C 为2的地方．例6 A正解：对于说法①，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图(1)．对于说法②，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图(2)所示．对于说法③，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台，如图(3)所示．故说法①②③都是错误的，因此选A.随堂练习1．D【解析】选项A中的几何体四条侧棱延长后不相交于一点；选项B和选项C中的几何体的截面不平行于底面；只有选项D中的几何体符合棱台的定义与特征．2．A【解析】由棱柱的结构特征进行判断．3．C【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则易得FG＝2，EG＝1，故EF＝ 5.4．平行四边 三角 梯5．解：如图，设正三棱锥为S －ABC ，O 为底面△ABC 的中心，D 为BC 边的中点，连接OC ，OD ，SO ，SD ，则斜高为SD ，高为SO ，正△ABC 的面积为943，所以BC ＝3，所以CD ＝32，OC ＝3，OD ＝32.在Rt △SOC 和Rt △SOD 中，得高SO ＝SC 2－OC 2＝42－(3)2＝13，斜高SD ＝SO 2＋OD 2＝13＋34＝552，即此正三棱锥的斜高为552，高为13.。
教学设计1：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征.教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出柱体、锥体、台体的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣.教学目标与核心素养A.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；B.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；C.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；D.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类.教学重难点1.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2.教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.课前准备多媒体.教学过程一、复习回顾，温故知新1.通过生活中的图片引入，初步感受空间几何体.二、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？【答案】纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.面ABE，面BAF，棱AE，棱EC，顶点E，顶点C2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.思考2：观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？【答案】它的每个面是平行四边形，不同的面之间位置关系有平行、相交，相对面平行.（一）棱柱1.棱柱定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出下面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？2棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E13.（1）棱柱的分类1：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、…… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……（2）棱柱的分类2：一般地，把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体.练习：说出下列那些图是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体？解：直棱柱：（1）、（3）;斜棱柱：（2）、（4）;正棱柱：（2）; 平行六面体（4）.4.棱柱的性质：（1）侧棱都互相平行且相等，各侧面都是平行四边形；直棱柱的每条侧棱及每个侧面都垂直于底面.（2）两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行；（3）过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形.练习：下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱【答案】D（二）棱锥思考3：上图中的物体具有什么样的共同的结构特征？【答案】一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.1.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.2.棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.通过练习题进一步巩固棱柱的定义，提高学生解决问题的能力.通过思考，观察图形的特征，概括出棱锥的定义，提高学生分析问题的能力、概括能力.3.棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.练习：下面几何体是棱锥吗？【答案】不是，各侧面没有公共点.（三）棱台1.棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.思考4：请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在棱台中标出.2.棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示：如棱台ABCDE-A1B1C1D1E1.3.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…练习：判断:下列几何体是不是棱台,为什么?【答案】（1）不是，侧棱不交于一点；（2）不是，没有两面平行.思考5.棱台的结构特征是什么？【答案】①各侧棱的延长线相交于一点；②截面平行于原棱锥的底面.例1.将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.解：如图所示三、达标检测1．判断正误(1)棱柱的侧面都是平行四边形．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()(3)用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥【答案】D【解析】根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D. 4．一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱．【答案】53【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.教学反思通过本节授课有一些心得.如在引导学生进行归纳总结的时候,教师应该不着急于给出正确的答案.学生初始的回答可能只是其中的一两点,而且不完整,甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给予肯定和鼓励.通过教师的鼓励,能大幅度地调动其他学生的积极性和增加其他学生回答问题的勇气.这样其他学生就能自主地给予修正补充.充分发挥协作学习,达到事半功倍的效果.。
学案4：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【知识梳理】空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．8＋4 2 B．10πC．11π D．12π【考点探究】考点一空间几何体的表面积|[题组训练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．152．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2 C．4 D．83．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．[规律方法]1.由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.2.根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏. [演练冲关]一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3考点二 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变． 探究一 四面体的外接球问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．32π C ．64πD.643π 探究三 四面体的内切球问题3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.[规律方法]求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【课堂检测】1.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43πD ．23π2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．12πC ．16πD ．32π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【参考答案】【知识梳理】2． 2πr (l ＋r ) πrlπ(r 1＋r 2)l4πR 2[自测练习]1．解析：正六棱柱的侧面积S 侧＝6×6×4＝144，底面面积S 底＝2×6×34×42＝483， S 表＝144＋483＝48(3＋3)． 答案：A2．A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D. 答案：D【考点探究】考点一 空间几何体的表面积| [题组训练]1．解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2. 答案：B3．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916[演练冲关]解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点二 与球有关的切、接问题| 探究一 四面体的外接球问题1．解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6， 连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形， 故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 四面体的内切球问题3．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π【课堂检测】1. 解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A2．解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C. 答案：C3．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π4．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.。
01棱柱、棱锥和棱台(学案)
第1课时棱柱、棱锥和棱台教学目标:（1）感知并认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，初步形成空间观念；（2）了解棱柱、棱锥和棱台的概念，能画出棱柱、棱锥和棱台的示意图；（3）能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的辨证关系．教学重点、难点:（1）棱柱、棱锥和棱台的结构特征和有关概念．（2）棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学过程:一．问题情境1．把一支粉笔贴在黑板上，沿垂直于粉笔的方向平移，留下怎样的痕迹？如何把一张矩形纸片放在课桌上，向上平移，形成怎样的图形？2．请仔细观察这些几何体，说说他们的共同特点．这些特点可以归纳为：_________________________________________________。
二、建构数学1．棱柱及其相关概念（1）棱柱定义：________________（2）棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、体对角线和面对角线（3）棱柱的分类及其表示方法______________（4）棱柱的特点______________________2.棱锥及其相关概念观察右边的图形，它们前后发生了什么变化？（1）棱锥定义________________（2）棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点（3）棱锥分类及其表示方法__________（4）棱锥的特点：___________________________3.棱台及其相关概念如右图，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到怎样的两个几何体？（1）棱台定义________________（2）棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点（3）棱台的分类：棱台的表示方法___________________________________4.多面体的概念(1)多面体定义：_______________(2)多面体的表示:____________________________________________________________三、数学运用例1．画一个四棱柱和三棱台。
学案6：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【学习目标】1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法.2.了解球的表面积公式．3.掌握棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式的应用.【学习重点】理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的计算方法．【基础梳理】柱体、锥体、台体的表面积公式【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122π B．12πC．82π D．10π(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋2 5 B．6＋42＋45C．6＋22＋2 5 D．8＋22＋25[规律方法]空间几何体表面积的求法1 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.[跟踪训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．1＋22C．2＋ 3 D．22【课堂小结】（1）理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式；（2）正确运用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式求解相关问题. 【课堂检测】1.长方体各面面积总和为28cm 2，所有棱总长度是32cm ，则对角线长度是( ) A.27cm B.30cmC.42cmD.6cm2.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则这个三棱锥的全面积为( ) A.433+a 2B.43a 2C.233+a 2D.436+a 23.棱台的上下底面积为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截得的两棱台的高的比为( )A.1∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶44.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为 ( ) A.23B.14C.5D.65.长方体的高等于h ，底面积等于Q ，垂直于底的对角面的面积等于M ，则此长方体的侧面积等于( )A.2Q h M 22+B.2Q h M 222+C.2Q h M 222+D.Q h M 222+6.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；参考答案【基础梳理】 各个面展开图πr22πrl2πrl＋2πr2πr2πrlπrl＋πrπr′2πr2π(r′＋r)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)【例题精析】考点几何体的表面积[典例](1)【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. (2)【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.[跟踪训练] 1.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．【答案】C【解析】由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝ 2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝32，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋ 3.故选C 【课堂检测】1、D2、A3、C4、C5、C6、，4π3。
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征》导学案
第一章空间几何体1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标1、能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
2、会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
3、会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
【重点、难点】重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。
难点：柱、锥、台的结构特征的概括。
二、学习过程【知识链接】:（使用说明：先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
要求小班、提高班学生完成全部问题，重点班学生完成问题1、2、3。
教师质疑答辩，排难解惑）问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？（1）棱柱（2）棱锥（3）棱台问题4；有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）问题5：棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？【典型例题】例1：（几何体的概念）设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台． 以上命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【变式拓展1】：下列说法正确的是( )A ．棱柱的面中，至少有两个互相平行B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．棱柱中各条棱长都相等D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形例2：（几何体的几何特征）如图所示，长方体1111D C B A ABCD 中（1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．【变式拓展2】：判断如图①②③所示的多面体是不是棱台？例3：（空间几何体的展开图）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？画出相应的图形。
学案3：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台【知识导学】知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念1．空间几何体的定义2．空间几何体的分类及相关概念知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的定义、图形及相关概念2．棱柱的分类及特殊棱柱(1)按，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)直棱柱：．(3)斜棱柱：．(4)正棱柱：．(5)平行六面体：．知识点三棱锥的结构特征1．棱锥的定义、图形及相关概念2.棱锥的分类及特殊的棱锥(1)按，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……(2)正棱锥：．知识点四棱台的结构特征1．棱台的定义、图形及相关概念2．棱台的分类(1)依据：．(2)举例：(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……【新知拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．()(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．()(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．()2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．【题型探究】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．【规律方法】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练1】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[条件探究]若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？【规律方法】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练2】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？题型三空间几何体的展开图问题例3如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【规律方法】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练3】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．【随堂达标】1．下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形2．下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？【参考答案】【知识导学】知识点二棱柱的结构特征2．(1)底面多边形的边数(2)侧棱垂直于底面的棱柱(3)侧棱不垂直于底面的棱柱(4)底面是正多边形的直棱柱(5)底面是平行四边形的四棱柱知识点三棱锥的结构特征2. (1)底面多边形的边数(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥知识点四棱台的结构特征2．(1)由几棱锥截得(2)三棱台【基础自测】1．答案(1)×(2)×(3)√2．答案(1)B(2)4(3)4(4)8612【题型探究】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1[解析]棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案]①②④⑤【跟踪训练1】答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2[解](1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABF A1－DCED1.[条件探究]解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【跟踪训练2】解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【跟踪训练3】解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【随堂达标】1．答案D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．答案A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．答案C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是13 cm.。
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计教学设计：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、教学目标：1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义和特点。
2.掌握计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的方法。
3.能够解决与实际生活相关的问题，灵活运用所学知识。
二、教学内容：1.棱柱的表面积和体积-定义：棱柱是底面为多边形，且侧面都是平行于底面的平面多边形的立体图形。
-表面积：底面的面积加上所有侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度。
2.棱锥的表面积和体积-定义：棱锥是底面为多边形，且侧面都是从一个顶点到底面各边的连线的立体图形。
-表面积：底面的面积加上侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度再除以3。
3.棱台的表面积和体积-定义：棱台是上下底面相等且平行，侧面为梯形的立体图形。
-表面积：上下底面的面积加上四个侧面的面积。
-体积：上下底面的面积乘以高度再除以2。
三、教学过程：1.导入（5分钟）引入新内容，通过展示不同形状的棱柱、棱锥、棱台的图示，让学生通过观察和思考，激发他们对这些几何体的好奇心和兴趣。
2.重点讲解（20分钟）a)针对棱柱，让学生了解定义和基本特点，并通过示例计算棱柱的表面积和体积，帮助学生掌握计算方法。
b)类似地，让学生了解棱锥和棱台的定义和特点，并计算其表面积和体积。
c)强调计算表面积和体积的公式，让学生明确计算的步骤和方法。
3.练习与巩固（25分钟）a)分发练习题，让学生自主完成计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题目。
b)鼓励学生在解答问题时灵活运用所学知识，将几何形状和实际生活中的问题相结合，增强学生的综合运用能力。
4.拓展与应用（25分钟）a)给出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，例如：-饮料瓶的形状是棱柱体，求它的表面积和体积。
-蜡烛的形状是棱锥体，求它的表面积和体积。
-塔楼的形状是棱台体，求它的表面积和体积。
b)让学生在小组中合作，分享和比较解决方案，培养他们的思考和合作能力。
5.总结与评价（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结计算棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的公式和方法，并进行简单的评价，了解学生对本节课的掌握情况。
学案5：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)4.组合体的表面积计算.(难点)知识梳理教材整理1棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的.预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.()教材整理2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式2.球的表面积公式S球＝.预习自测2-1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() A.4π B.3πC.2πD.π2-2.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为()A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8合作学习类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积.名师指导1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.跟踪训练1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积例2如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.名师指导1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪训练2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.类型3 球的表面积问题例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.名师指导1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.跟踪训练3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.29πB.28πC.25πD.26π探究共研型探究点与三视图有关的表面积探究1一个几何体的三视图如图所示，请说出该几何体的结构特征.探究2试根据图中数据求该几何体的表面积.探究3已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？例4已知某几何体的三视图如图(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积.名师指导1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用. 跟踪训练4.某几何体的三视图如图所示，它的表面积为( )A.32πB.48πC.33πD.24π 课堂检测1.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A.372B.360C.292D.2802.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.4.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.参考答案知识梳理教材整理1棱柱、棱锥、棱台的表面积面积和预习自测1. 【答案】(1)√(2)×(3)×【解析】(1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的. 教材整理2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积 1.底面半径 侧面母线长 底面半径 侧面母线长上底面半径 下底面半径 侧面母线长 2. 4πR 2 预习自测 2-1. 【答案】C【解析】所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2-2. 【答案】B【解析】S 1S 2＝4πR 214πR 22＝⎝⎛⎭⎫R 1R 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 合作学习类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 【分析】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.解：如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE .∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 跟踪训练 1. 【答案】D【解析】由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D. 类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积例2 解：以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13 (cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2). 跟踪训练2.解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2). 类型3 球的表面积问题例3 【分析】本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径. 解：设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3. 跟踪训练 3. 【答案】A【解析】由三视图得直观图如图，三棱锥O ABC 中OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝3，OC ＝4，OB ＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S 球＝4π⎝⎛⎭⎫2922＝29π.探究共研型探究点 与三视图有关的表面积探究1 【答案】由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形. 探究2 【答案】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2⎝⎛⎭⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.探究3 【答案】首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.例4 解：(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×12×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2).跟踪训练 4. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S ＝2π×32＋π·3·5＝33π. 课堂检测 1. 【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.S ＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B. 2. 【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π. 3. 【答案】2∶1【解析】S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·⎝⎛⎭⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 4. 【答案】100π【解析】设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r . 由母线长为10可知10＝(3r )2＋(4r )2＝5r ， ∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 5.解：如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π2l 2＝S ，πl ＝2πr .解得r ＝S2π，所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2. ∴圆锥的底面面积为S 2.。
学案5：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台[素养目标·定方向]素养目标学法指导1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)1．通过观察和感知实物模型，从整体上认识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.[必备知识·探新知]知识点1空间几何体1．概念：如果只考虑物体的_______和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的_____叫做空间几何体.2．多面体与旋转体(1)多面体：由若干个_____围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____；相邻两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的_____叫做多面体的顶点.(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定_____旋转所形成的_____叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.[归纳总结]对多面体概念的理解，注意以下几个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.(3)围成一个多面体至少要有四个面.(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.知识点2几种常见的多面体1．棱柱定义一般地，有两个面互相________，其余各面都是_________，并且每__________两个四边形的公共边都互相__________，由这些面所围成的__________叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相________的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__________叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__________表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的________分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……[归纳总结]棱柱的简单性质：(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.棱柱概念的推广：(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.2．棱锥定义一般地，有一个面是_______，其余各面都是________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有_______的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_________叫做棱锥的顶点；相邻侧面的________叫做棱锥的侧棱图形表示法用表示顶点和底面各顶点的______表示，如上图中的棱锥可记为棱锥______分类按底面多边形的_______分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫_______[归纳总结]棱锥的性质：(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.3．棱台定义用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，__________之间的部分叫做棱台有关概念原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的________和_________；其余各面叫做棱台的__________；相邻侧面的__________叫做棱台的侧棱；底面与________的公共顶点叫做棱台的顶点图形表示法用表示底面各顶点的_________表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.[关键能力·攻重难]题型探究题型一棱柱的结构特征典例1下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_______.[归纳提升]棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个底面互相平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.【对点练习1】下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的侧棱总与底面垂直题型二棱锥、棱台的结构特征典例2(1)下列说法正确的有______个.①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.②正棱锥的侧面是等边三角形.③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_______.[归纳提升](1)棱柱、棱台、棱锥关系图(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：①举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.②直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【对点练习2】下列说法正确的有()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个B．1个C．2个D．3个题型三空间想象能力与几何体的侧面展开典例3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[归纳提升]多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.【对点练习3】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下参考答案[必备知识·探新知]知识点1空间几何体1．形状大小空间图形2．(1)平面多边形面公共边公共点(2)直线封闭几何体知识点2几种常见的多面体1．平行四边形相邻平行多面体平行公共边公共顶点字母边数2．多边形有一个公共顶点公共顶点公共顶点公共边字母S－ABCD 边数四面体3．平行于底面与截面下底面上底面侧面公共边侧面ABCD－A′B′C′D′ 边数[关键能力·攻重难]题型探究题型一棱柱的结构特征典例1【答案】(3)(4)【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).【对点练习1】【答案】B【解析】由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.题型二棱锥、棱台的结构特征典例2【答案】(1) 0 (2)①②③【解析】(1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE 和△BCF无公共顶点.②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等.(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.【对点练习2】【答案】A【解析】由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.题型三空间想象能力与几何体的侧面展开典例3解：①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.【对点练习3】【答案】B【解析】将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.。
学案1：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？【新知初探】1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′续表记作棱锥SABCD记作棱台ABCDA′B′C′D′■名师点拨(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系【基础自测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( ) (3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( ) 下面多面体中，是棱柱的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个下面四个几何体中，是棱台的是( )在三棱锥A BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4下列说法正确的有________．(填序号)①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．【探究互动】探究点一棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【规律方法】棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．【跟踪训练】1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形2．如图所示的三棱柱ABCA1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．探究点二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【规律方法】判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法1．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点2．下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④探究点三空间几何体的平面展开图【例3】(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．【跟踪训练】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为()2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．【达标反馈】1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．③④C．①②④D．①②3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为() A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm. 5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．【参考答案】【新知初探】1．(1)形状大小空间图形2．平面多边形多边形公共边棱与棱定直线曲面封闭定直线3. 平行四边形平行多边形公共顶点【基础自测】答案：(1)√(2)×(3)√解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足.解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.答案：①③【探究互动】探究点一棱柱的结构特征【例1】【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④【跟踪训练】1．解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.2．解：截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.探究点二棱锥、棱台的结构特征【例2】【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④【跟踪训练】1．解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．2．解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．探究点三空间几何体的平面展开图【例3】【解】(1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【跟踪训练】1.解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．2．解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．【达标反馈】1．解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C. 2．解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12(cm)．答案：125．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.。
学案5：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1．了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，加深对几种几何体的概念及性质的理解．2．了解凸多面体和平行六面体等的概念．3．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．自学导引1．棱柱(1)棱柱的主要特征性质：①________________________；②其余每相邻两个面的交线都互相平行．(2)棱柱的______________叫做棱柱的底面，__________叫做棱柱的侧面，______________________叫做棱柱的侧棱，________________________叫做棱柱的高．(3)棱柱的分类：①棱柱按底面分是三角形、四边形、五边形…分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱….②棱柱又分为斜棱柱和直棱柱：侧棱与底面__________的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面________的棱柱叫做直棱柱，底面是______________的直棱柱叫做正棱柱．(4)特殊四棱柱：底面是______________的棱柱叫做平行六面体，__________________的平行六面体叫做直平行六面体，底面是______________的直平行六面体是长方体，________________的长方体是正方体．2．棱锥(1)棱锥的主要结构特征：①有一个面是______________；②其余各面都是__________________的三角形．(2)棱锥中________________________，叫做棱锥的侧面；______________________叫做棱锥的顶点；________________________叫做棱锥的侧棱；__________叫做棱锥的底面；______________________叫做棱锥的高．(3)如果棱锥的底面是__________，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的__________，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是____________________，它们底边上的高叫做棱锥的斜高．3．棱台(1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．________分别叫做棱台的上下底面；其他各面叫做棱台的________；________________________叫做棱台的侧棱；__________________叫做棱台的高．(2)由__________截得的棱台叫做正棱台．(3)正棱台各侧面都是__________________，这些等腰梯形的高叫做棱台的________．对点讲练知识点一理解棱柱、棱锥、棱台定义和性质例1下列概念判断不正确的有________．(填序号)①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱．②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台．点评对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．变式训练1下列命题正确的是()A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面B．正棱柱的高可以与侧棱不相等C．六个面都是矩形的六面体是长方体D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱知识点二几何体的结构特征例2如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？点评解此类问题应结合常见的几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手，制作表面展开图进行实践．变式训练2如图所示，小明设计了某个产品的包装盒，他少设计了其中的一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．你有几种弥补的办法？任意画出一种成功的设计图．知识点三多面体中有关元素的计算例3如图所示，正四棱台AC′的高为17 cm，两底面的边长分别为4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱和斜高．点评关于正棱台的计算问题．解决问题的关键是：(1)棱台的高．尽管棱台的高是上、下两底面之间的距离，但正棱台的上、下两底面中心的连线就是棱台的高；(2)正棱台的斜高就是侧面(等腰梯形)的高．要明白该梯形的上、下中点的连线就是斜高．(3)解题时要注意两个直角梯形，即：直角梯形OBB′O′和OEE′O′，计算问题都可以在这两个梯形中进行，我们以后要熟练掌握．变式训练3正四棱锥P—ABCD的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱P A的长和斜高PE.课堂小结一、知识结构梳理二、几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表)1.长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即l2＝a2＋b2＋c2.其中l是长方体的对角线长，a，b，c是长方体的三边长．2．对于正棱锥和正棱台，要注意准确理解概念，把握图形的特征，尤其是图中的一些重要的直角三角形和直角梯形．3．棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质，“还台为锥”是常用的解题方法和策略.课时作业1．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱不全相等C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D．棱柱的几何体中至少有两个面平行2．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是() A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．设有四个命题甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体．其中，真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．34．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．(把你认为正确的序号都填上)7．如图，请设计辅助线，沿辅助线翻折，使正三角形折成(1)正四面体；(2)正三棱柱．8．如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)设三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长．参考答案自学导引1．(1)①有两个互相平行的面(2)互相平行的面其余各面两侧面的公共边两底面之间的距离(3)②不垂直垂直正多边形(4)平行四边形侧棱与底面垂直矩形棱长都相等2．(1)①多边形②有一个公共顶点(2)有公共顶点的各三角形各侧面的公共顶点相邻两侧面的公共边多边形顶点到底面的距离(3)正多边形直线上全等的等腰三角形3．(1)原棱锥的底面和截面侧面相邻两侧面的公共边两底面间的距离(2)正棱锥(3)全等的等腰梯形斜高对点讲练例1【答案】①③【解析】理由：(1)有两个面平行，其余各面是平行四边形，但不一定是棱柱，如图①. (2)在四棱锥P—ABCD中，若PD⊥平面ABCD，而四边形ABCD为矩形，则可证明其四边侧面都是直角三角形，如图②.(3)存在满足有两个面平行，其余各面是梯形，但不是棱台的图形，如图③.变式训练1【答案】C【解析】四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体，故正确答案为C.例2解①五棱柱②五棱锥③三棱台如图所示．变式训练2解共有4种，设计如图(画出其中一种即可)．例3解设棱台两底面的中心分别为O′和O，B′C′和BC 的中点分别为E ′和E .连接O ′O 、E ′E 、O ′B ′、OB 、O ′E ′、OE ，则OBB ′O ′和OEE ′O ′都是直角梯形．因为A ′B ′＝4 cm ，AB ＝16 cm ，所以O ′E ′＝2 cm ，OE ＝8 cm ，O ′B ′＝2 2 cm ，OB ＝8 2 cm. 因此B ′B ＝OO ′2＋(OB －O ′B ′)2＝172＋(82－22)2＝19 cm ， EE ′＝OO ′2＋(OE －O ′E ′)2＝172＋(8－2)2＝513 cm. 即这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm. 变式训练3 解 ∵正四棱锥的底面边长为a ，∴AO ＝22a ，∴在Rt △P AO 中， P A ＝PO 2＋AO 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a 2＋2h 2. ∵OE ＝12a ，∴在Rt △POE 中，斜高PE ＝PO 2＋OE 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝12a 2＋4h 2. 即此正四棱锥的侧棱长为22a 2＋2h 2， 斜高为12a 2＋4h 2.课时作业 1.【答案】D 2.【答案】D如图所示，正六边形ABCDEF 中，OA ＝OB ＝…＝AB ，那么正六棱锥S －ABCDEF 中，SA ＞OA ＝AB ，即侧棱长大于底面边长．3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】126.【答案】①②7.解 (1)如图①，取各边中点可折成正四面体．(2)如图②，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边为三角形边长的14.有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形，恰可拼成这个正三棱柱的上底．8.解 (1)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图所示，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连结MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29，求得x ＝2. ∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45.。
棱柱、棱锥、棱台学习教案
棱柱、棱锥、棱台学习教案。
引入教导棱柱、棱锥、棱台时，我们要以多样的引入方式使学生进入主题，在学生的思维安排中启发对于这些几何形体的认知。
例如，当引入棱柱的时候，我们可以给学生展示一个装有不同颜色饼干的长方体（棱柱），让学生用立体图像帮助他们描述长方体。
我们可以要求学生想象自己是小农民，在采摘苹果的时候发现了一个长方形的饮料瓶，他们怎么描述它的形状和特征。
展示在展示棱柱、棱锥、棱台的时候，我们需要提供给学生充足的时间来观察这些几何形体。
例如，当展示棱锥的形状时，我们可以用类比的方法来让学生理解这种形状。
“蒲公英”其实也是一种棱锥形状，学生们可以用“蒲公英”的形状来帮助他们描述棱锥。
我们可以要求学生拿出一些不同形状的模型块，用这些模型块造出不同形状的棱锥，并让他们能够用具体实际的操作来理解这种形状。
探究在探讨几何形体的性质时，我们可以利用多种方式来帮助学生看到形状的不同侧面。
例如，在展示棱柱的时候，我们可以给学生们一份棱柱表，带他们了解这些棱柱相互之间的不同点。
我们也可以让学生在实际生活中寻找具有棱柱形状的物品，如蜡烛、笔筒、水杯等，并让他们发现这些物体的共同特征。
评估我们需要评估学生是否实现彻底的理解和熟练的技能，这可以通过多种方式达到。
例如，我们可以通过布置棱柱、棱锥、棱台的习题，来检验学生的掌握情况，也可以通过让学生用棱柱、棱锥、棱台作为材料制作一些实用的东西，来考察他们的实践能力。
总结在教学中，我们需要引导学生理解几何形体的本质，并寻找与学生的生活和经验相关的例子。
当学生理解了这些几何形体的概念和性质时，我们需要让他们在实际中将所掌握的知识转化成技能。
在这个过程中，我们需要提供充足的练习和评估，以确保学生能够顺利掌握这些知识和技能。
学案1：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？【新知初探】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝；(2)V棱锥＝；V棱台＝，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积■名师点拨1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh . (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h . 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl .3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 【基础自测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( )(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( )(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( )(4)在三棱锥P ABC 中，V P ABC ＝V A PBC ＝V B P AC ＝V C P AB .( )棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( )A.3 B ．23 C ．33 D ．43若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为()A．27 cm3B．60 cm3C．64 cm3D．125 cm3圆台的上、下底面半径分别为3 和4，母线长为6，则其表面积等于()A．72 B．42πC．67π D．72π【探究互动】探究点一柱、锥、台的表面积【例1】(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍(2)已知正方体的8 个顶点中，有4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶3C．2∶ 2 D．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5 D．3【规律方法】空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【跟踪训练】已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．探究点二柱、锥、台的体积【例2】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的体积及高．【规律方法】求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．【跟踪训练】1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 162π，则圆锥的体积是( )A.64π3B.128π3C ．64πD ．1282π2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3B.192π cm 3C.288π cm 3或192πcm 3 D ．192π cm 3 3．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.探究点三 组合体的表面积和体积【例3】如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[互动探究]1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值．【规律方法】求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．【跟踪训练】1．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．2．如图，一个底面半径为2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2 和3，求该几何体的体积．【达标反馈】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )A ．22B ．20C ．10D ．112．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( )A.274B.94C.2734D.9343．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．4.如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．【参考答案】【新知初探】1．围成多面体各个面围成它们的各个面 2．(1) Sh(2) 13Sh 13h (S ′＋SS ′＋S ) 3．πr 22πrl 2πrl ＋2πr 2 πr 2l πr 2πrl πrl ＋πr 2 13πr 2h πr ′2 πr 2 πl (r ＋r ′)π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2) 【基础自测】答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√解析：选 A ．S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 解析：选 B ．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm 3)． 解析：选 C ．S 表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.【探究互动】探究点一 柱、锥、台的表面积【例1】【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23， 又正方体的表面积 S 正＝6.因此 S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为 r ，则另一底面的半径为 3r .由 S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得 r ＝7.【答案】 (1)C (2)B (3)A【跟踪训练】解：法一：设正四棱台为ABCD -A 1B 1C 1D 1，如图①.设B 1F 为斜高．在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，所以B 1F ＝ 82－22＝215，所以S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×215＝4815.①法二：设正四棱台为ABCD -A 1B 1C 1D 1，延长正四棱台的侧棱交于点P ，作面PBC 上的斜高PE ，交B 1C 1于E 1，如图②.设PB 1＝x ，则x x ＋8＝48，解得x ＝8. 所以PB 1＝B 1B ＝8，所以E 1为PE 的中点，又PE 1＝PB 21－B 1E 21＝ 82－22＝215，所以PE ＝2PE 1＝415.所以S 正棱台侧＝S 大正棱锥侧－S 小正棱锥侧＝4×12×8×PE －4×12×4×PE 1 ＝4×12×8×415－4×12×4×215＝4815.②探究点二 柱、锥、台的体积【例2】【解】 (1)V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A ＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. (2)V 三棱锥A A 1BD ＝V 三棱锥A 1ABD ＝16a 3. 设三棱锥A A 1BD 的高为h ，则V 三棱锥A A 1BD ＝13·S △A 1BD ·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a .【跟踪训练】1．解析：选 A ．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB .设圆锥的高为 h ，底面半径为 r ，则 h ＝r ，PB ＝2r .由 S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π.所以 r ＝4.则 h ＝4.故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr 2h ＝643π. 2．解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3)． 3．解析：由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8探究点三 组合体的表面积和体积【例3】【解】 设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，表面积为 S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以 r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.[互动探究]1．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π. 3．解：设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即23－h 23＝r 2，所以 h ＝23－3r ， S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r )＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.【跟踪训练】 1．解：如图，连接 EB ，EC .四棱锥 E ABCD 的体积V 四棱锥 E ABCD ＝13×42×3＝16. 因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V 三棱锥 F EBC ＝V 三棱锥 C EFB ＝12V 三棱锥 C ABE ＝12V 三棱锥 E ABC ＝12×12V 四棱锥 E ABCD ＝4. 所以多面体的体积 V ＝V 四棱锥 E ABCD ＋V 三棱锥 F EBC ＝16＋4＝20.2．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.【达标反馈】1．解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D. 3．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π(3x ＋4x )l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π(4x ＋5x )l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶94. 解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .所以VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， 所以VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.。
棱柱棱锥棱台表面积体积学案高一下学期数学人教A版
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【学习目标】1、知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式2、能利用计算公式求多面体的表面积和体积3、能用计算公式解决与多面体相关的实际问题【重难点】重点：用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式解决问题难点：用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式解决问题一、情景引入胡夫金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.二、问题导学【问题1】如何计算金字塔的体积？【问题2】为了防止风化腐蚀，需要在金字塔的表面涂上一层保护液，怎样计算金字塔的侧面积？【问题3】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式分别是什么？三、合作探究探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？【小结】棱柱的侧面展开图是由组成的平面图形.棱锥的侧面展开图是由组成的平面图形.棱台的侧面展开图是由组成的平面图形.求棱柱、棱锥、棱台的侧面积可转化为求的面积.多面体的表面积是围成多面体各个面的面积之和；棱柱、棱锥、棱台的表面积是围成它们各个面的面积之和.练习18.3.1.-如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积P ABC a练习2 已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )A.80B.240C.320D.640探究2：棱柱、棱锥、棱台的体积.设有底面积都等于，高都等于的任意棱柱和一个长方体它们的底面在同一个平面内S h结论：棱柱的体积为2.棱锥的体积3.棱台的体积结论：棱锥的体积为结论：棱台的体积为例2现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D-，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D-（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的4倍.若6mAB=，12mPO=，求仓库的容积.2.若棱台的上，下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( ) A.26B.28C.30D.32四、体系建构1、多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的____．2、棱柱的体积公式3、棱锥的体积公式4、棱台的体积公式 . 五、拓展体验1.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A.48(33)+ B.48(323)+C.24(62)+D.1442.已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.45，8B.45，83C.4(5)1+，83 D.8，83.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD 的体积是( )A ．16 B. 13 C. 12D ．1 4．如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则三棱锥P ABC 的体积V ＝________．5.将两个棱长为10 cm 的正方体熔化后铸成一个底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该正四棱柱的高为( )A.8 cmB.80 cmC.40 cmD.16cm 56. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上的点，且113CE CC =，过B ，D ，E 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -分成两个部分，记多面体1111ABEDD A B C 的体积为1V ，三棱锥E BCD -的体积为2V ，则12V V =( )A.14B.15C.16D.17。
学案5：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[学习目标]1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积．[学习重点] 求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积．[学习难点] 棱台的体积．|要点整合夯基础|知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积[填一填]1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝．①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝；②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝；③棱长为a的正方体的表面积：S表＝.2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝.3．棱台的表面积棱台的表面积：S表＝．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．[答一答]1．几何体的侧面积与表面积有何区别？知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积[填一填]1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝.2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，与(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝.3．棱台的体积(1)棱台的高是指 之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V ＝ ．[答一答]2．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？|典例讲练破题型|类型一 多面体的表面积[例1] 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长是 6 cm ，则该三棱台的表面积为________．[通法提炼]在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.[变式训练1] 如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要 m 2铁板(精确到0.1 m 2)．类型二 多面体的体积[例2] 如图所示，在多面体ABCDE F 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，E F ∥AB ，E F ＝32，E F 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A ．92B ．5C ．6D ．152[通法提炼]求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.[变式训练2] 三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ：A 1B 1＝1：2，则三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积之比为( )A ．1：1：1B ．1：1：2C ．1：2：4D ．1：4：4|课堂达标练经典|1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，体对角线的长是214，则这个长方体的体积是( )A ．6B ．12C ．24D ．482．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.343．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________.4．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______.5．建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．|课堂小结|——本课须掌握的三大问题1．空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．2．求几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．参考答案|要点整合夯基础|知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积[填一填]1．S 侧＋2S 底 ①Ch②2(ab ＋ac ＋bc ) ③6a 22．S 底 12Ch ′3．S 侧＋S 上底＋S 下底[答一答]1．提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分． 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积[填一填]1．(1)两底面 (2) Sh2．(1)顶点 垂足 (2)13Sh 3．(1)两个底面 (2)13h (S ′＋S ′S ＋S ) [答一答]2．提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面.|典例讲练破题型|类型一 多面体的表面积 [例1] 【答案】(53＋95) cm 2【解析】正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm ，故三棱台的表面积为3×12×(2＋4)×5＋12×2＋3＋12×4×23＝53＋9 5.[变式训练1] 【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ，所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝Ch ＝6×0.46×1.6＝4.416(m 2)． 所以S 表＝S 侧＋2S 底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6(m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 类型二 多面体的体积 [例2] 【答案】D【解析】如图，连接EB ，EC ，AC ，则V E ABCD ＝13×32×2＝6.∵AB ＝2E F ，E F ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BE F .∴V FEBC ＝V C E F B ＝12V C ABE ＝12V E ABC ＝12×12V E ABCD ＝32.∴V ＝V E ABCD ＋V FEBC ＝6＋32＝152.[变式训练2] 【答案】C 【解析】设棱台的高为h ， S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 三棱台ABC A 1B 1C 1＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 三棱台ABC A 1B 1C 1－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh . ∴体积比为1：2：4， ∴应选C.|课堂达标练经典|1．【答案】D【解析】设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x ，又体对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.∴V 长方体＝2×4×6＝48. 2．【答案】C【解析】因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.3．【答案】6＋22【解析】体积V ＝13(2＋2×4＋4)×3＝6＋2 2.4．【答案】26【解析】易知该几何体是正四棱锥．设正四棱锥为P ABCD ，如图，连接BD ， 则PD ＝PB ＝1，BD ＝2，则PD ⊥PB .设底面中心为O ，则正四棱锥高PO ＝22，则其体积是V ＝13Sh ＝13×12×22＝26. 5．解：设长方体的长、宽、高分别为a m ，b m ，h m ，水池的总造价为y 元． ∵V ＝abh ＝16，h ＝2，b ＝2，∴a ＝4.则有S 底＝4×2＝8 (m 2)，S 壁＝2×(2＋4)×2＝24 (m 2)， y ＝S 底×120＋S 壁×80＝120×8＋80×24＝2 880(元)．。
学案4：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[素养目标·定方向]素养目标学法指导1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系； 2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.[必备知识·探新知]知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和. 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明棱柱 V 棱柱＝Sh S 为棱柱的_________，h 为棱柱的_________ 棱锥 V 棱锥＝13ShS 为棱锥的_________，h 为棱锥的_________ 棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的_________，h 为棱台的_________[知识解读]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V ＝13Sh .(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.[关键能力·攻重难]题型探究题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积典例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.[归纳提升]棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.【对点练习1】已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积典例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2．求其体积.【对点练习2】 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为_______.题型三 求体积的等积法与分割法典例3 (1)如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.[归纳提升]求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积11111离d.参考答案[必备知识·探新知]知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 各个面 各个面知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高[关键能力·攻重难]题型探究题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积典例1 解：如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8．∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160．∴直四棱柱的底面积S 底＝12AC ·BD ＝207.∴直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×207＝160＋407. 【对点练习1】 解：∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形.设E 为AB 的中点，连接SE ，则SE ⊥AB ， ∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12AB ×SE ＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝253，S 表＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1).题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 典例2 (1)【答案】 D【解析】设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则V 三棱锥B 1－ABC ＝13S △ABC h ＝13×34×3＝34.(2)解：正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 为斜高.设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形.∵S 侧＝4×12×(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 cm ，OE ＝12AB ＝10 cm ，∴O 1O ＝132－(10－5)2＝12(cm). 故该正四棱台的体积为V ＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3).【对点练习2】 【答案】13【解析】由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和2， 四棱锥的高为12A 1C 1＝22，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝13×1×2×22＝13.题型三 求体积的等积法与分割法典例3 解：(1)由V 三棱锥A 1－D 1EF ＝V 三棱锥F －A 1D 1E ， ∵S △A 1D 1E ＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥F －A 1D 1E ＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴V 三棱锥A 1－D 1EF ＝112a 3．(2)如图，连接EB ，EC ，AC .V 四棱锥E －ABCD ＝13×42×3＝16．∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB ＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC ＝12×12V 四棱锥E －ABCD ＝4． ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20．【对点练习3】 解：在三棱锥A 1－ABD 中，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . 解得d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1课时棱柱、棱锥、棱台
教学目的
掌握棱柱、棱锥、棱台及他们的局部名称和性质
活动一
1．仔细观察下面的几何体，他们有什么共同特点？
(1) (2) (3) （4）
2．棱柱的定义：一般地_________________________________________的几何体叫棱柱； ___________________________叫底面；__________________________叫棱柱的侧面． 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱的特点：_____________________________________________________________； 棱柱的表示：_____________________________________________________________． 3．下面几何体有什么共同特点？
4．棱锥的定义：_____________________________________________________________； 棱锥的特点：_____________________________________________________________； 棱锥的表示图（2）记为三棱锥ABC S ．
5．棱台的定义：_____________________________________________________________； 棱台的特点：_____________________________________________________________ 6．多面体的概念：___________________________________________________________． 思考：多面体至少有几个面
（1） S
A
B
C
活动二例题剖析
例一判断下列说法是否正确
（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 （ ） （2）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 （ ） （3）有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥 （ ） （4）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台 （ ）
例二用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什
么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．
例三 画一个四棱柱，三棱锥和一个三棱台．
活动三课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的有关概念；多面体图形的识别.
A A ' D D '
B B '
C ' C
活动四巩固练习
1．下面几何体中，不是棱柱的是_______
(1) (2) (3) (4)
2．如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？
3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体
4．观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？有多少个顶点，几个面，几个棱？ （1） （2）
C
A '
B A
B '
C '
A
A '
B
C
D
B '
C '
D '
A
A '
B
C
D
E F
B '
C '
D 'F '
E ' （3）。