棱柱、棱锥和棱台
高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲
高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容】棱柱、棱锥和棱台棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 棱柱的有关概念和性质。
（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的几个概念。
这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111（4）棱柱的分类。
棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
正棱柱是特殊的直棱柱。
（5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。
四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2. 棱锥的有关概念。
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的几个概念。
这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。
棱柱、棱锥和棱台
棱柱、棱锥和棱台知识点一 棱柱思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？（１） （２） （3） （4）1、概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．2、元素：底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面．侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．3、性质：（1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行 （2）侧面都是平行四边形．（3）所有侧棱平行且相等。
不具以上条件的多面体便不是棱柱，如图：4、表示：图（１）三棱柱'''C B A ABC -；图（4）六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF -5、分类：（1）按底面的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
即底面是几边形就为几棱柱．（2）按侧面是否与底面垂直分：不垂直的叫做斜棱柱，垂直的叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
例如正方体就是正四棱柱。
（3）特殊棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的棱柱叫做 。
底面是正多边形的直棱柱叫做 。
底面是平行四边形的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做 底面是矩形的直平行六面体是 ，棱长都相等的长方体是 。
例1、下列命题中不正确的是（ B ）A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C ．直棱柱的侧面是矩形D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱例2、设有三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体（2）底面是矩形的平行六面体是长方体 （3）直四棱柱是直平行六面体 以上命题中正确的有 (1)例3、长方体交与同一顶点的三条棱长分别为3，4，5，求长方体的对角线的长。
例4、在棱柱中( )A 只有两个面平行B 所有的棱都相等C 所有的面都是平行四边行D 两底面平行，且各侧棱也平行例5、判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。
空间图形(棱柱,棱锥,棱台)
三. 正棱柱、正棱锥、正棱台
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的 特征为侧面是矩形，侧棱等于高．
直棱柱
如果直棱柱的底 面是矩形，就是 长方体
如果长方体的 所有棱的长都 相等，就是正 方体
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
正棱锥: 底面是正多边形且顶点到底面的垂 足是底面的中心的棱锥
正棱台: 由正棱锥截得的棱台
S下
S上S下
l
(适用于一般棱锥)
斜高l
l : 斜高 h : 高 p : 底面周长
直棱柱、正棱锥和正棱台的面积和体积公式
名称
直棱柱
正棱锥
正棱台
侧面积
S侧 =lp
全面积 S全= lp+2 S底
V= S底h
体积
(适用于一般 棱
柱)
S侧 =12 lp
S侧
1
=2
l(
p上＋p下
)
S全
=
1 2
lp+S底
1
V= 3 S底 h
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
图1
图2
图3
棱柱:由一个平面多边形平移形成的空间几何体叫 做棱柱
棱锥:当棱柱的上面收缩为一点时，可得到棱锥； 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和 平行截面间的部分叫做棱台．
二. 棱柱、棱锥和棱台的基本性质
名 称
棱柱
棱锥
棱台
上底面
图
侧棱
顶点
侧棱
上底面
侧棱
高
解:上底面积S上=64，下底面积S下=144，
V=
1 3
h
(
S上
S下
S上S下
)＝1 （6 64＋144＋ 3
棱柱、棱锥、棱台
A O
B
顶点 侧棱 侧面
D C
S
A
B
D
C
思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类
棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱
锥、五棱锥、……
棱锥的表示方法：
图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示
棱锥的性质:底面是多边形,侧面是有一个 公共点的三角形.
思考：有一个面是多边形其余各面是 三角形，这个多面体是棱锥吗？
平行四边形 平行且相等
⑤平行于底面的截面与底面的关系？ 全等
⑥过不相邻的两侧棱的截面是什么 平行四边形 图形？
6.棱柱的性质
1. 两个底面及平行于底面的截面是全等的多边 形，且对应边互相平行； 2. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
只要有两个面平行,其余各 面都是平行四边形的几何体是 不是棱柱?
问题：指出该几何体的底面和侧面；所有棱柱、 棱锥、棱台的底面是唯一确定的吗？
例 4.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长、宽、 高分别是 5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从 A 到 C1 点， 沿着表面爬行的最短距离是多少？
变式训练：四面体 P-ABC 中，PA=PB=PC=2，
APB= BPC= APC=30°，一只蚂蚁从 A
缩为一点 多边形（没变）
三角形 交于一点
棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一 个点时，得到的几何体叫棱锥。
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
与棱柱相仿，棱锥中常用名称的含义
S
侧面：有公共顶点的各三角形面 底面（底）：余下的那个多边形 侧棱：两个相邻侧面的公共边 顶点：所有侧面的公共顶点 底面多边形的顶点:如图中A B C
棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
(2)相关概念：
①面：围成多面体的各个_多__边__形__; 顶点
②棱：相邻两个面的_公__共__边__;
面
③顶点：_棱__与__棱__的公共点.
棱
(3)多面体的分类：按围成多面体
的_面__的个数分为四面体、五面体、六面体等.
2.旋转体
(1)定义：由一个平面图形绕它所在
平面内的一条_定__直__线__旋转所形成的
锥 _顶__点__的三角
棱：相邻侧 面是三角
形,由这些面
面的_公__共__边__. 形)、四
所围成的多 面体叫做棱 锥
如图,棱锥可记 顶点：各侧 棱锥(底
作：棱锥_S_-_A_B_C_D_ 面的_公__共__顶__ 面是四边
_点__
形)……
类别 定义
图形
相关概念
分类
用一个
上底面：原 依据：由
平行于 棱锥底
_余__各__面__. 举例：
侧棱：相 _三__棱__柱__
柱 四边形的公
顶点
邻侧面的 (底面是
共边都互相 _平__行__,由这 些面所围成 的多面体叫
如图,棱柱可记作： 棱柱_A_B_C_D_E_F_-_
__A_′__B_′__C_′__D_′__E_′__F_′_
_公__共__边__. 顶点：_侧__ _面__与底面 的公共顶
(1)一个棱锥至少有
个面;一个N棱锥分别有_____个
底面,
个侧面,
条侧棱,
个顶点.
答案：4 1 N N 1
(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关
系如何?
提示：它们是相似的多边形.
(3)棱锥所有的面可以都是三角形吗?
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计教学设计：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、教学目标：1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义和特点。
2.掌握计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的方法。
3.能够解决与实际生活相关的问题，灵活运用所学知识。
二、教学内容：1.棱柱的表面积和体积-定义：棱柱是底面为多边形，且侧面都是平行于底面的平面多边形的立体图形。
-表面积：底面的面积加上所有侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度。
2.棱锥的表面积和体积-定义：棱锥是底面为多边形，且侧面都是从一个顶点到底面各边的连线的立体图形。
-表面积：底面的面积加上侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度再除以3。
3.棱台的表面积和体积-定义：棱台是上下底面相等且平行，侧面为梯形的立体图形。
-表面积：上下底面的面积加上四个侧面的面积。
-体积：上下底面的面积乘以高度再除以2。
三、教学过程：1.导入（5分钟）引入新内容，通过展示不同形状的棱柱、棱锥、棱台的图示，让学生通过观察和思考，激发他们对这些几何体的好奇心和兴趣。
2.重点讲解（20分钟）a)针对棱柱，让学生了解定义和基本特点，并通过示例计算棱柱的表面积和体积，帮助学生掌握计算方法。
b)类似地，让学生了解棱锥和棱台的定义和特点，并计算其表面积和体积。
c)强调计算表面积和体积的公式，让学生明确计算的步骤和方法。
3.练习与巩固（25分钟）a)分发练习题，让学生自主完成计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题目。
b)鼓励学生在解答问题时灵活运用所学知识，将几何形状和实际生活中的问题相结合，增强学生的综合运用能力。
4.拓展与应用（25分钟）a)给出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，例如：-饮料瓶的形状是棱柱体，求它的表面积和体积。
-蜡烛的形状是棱锥体，求它的表面积和体积。
-塔楼的形状是棱台体，求它的表面积和体积。
b)让学生在小组中合作，分享和比较解决方案，培养他们的思考和合作能力。
5.总结与评价（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结计算棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的公式和方法，并进行简单的评价，了解学生对本节课的掌握情况。
棱柱、棱锥和棱台
一、棱柱、棱锥和棱台温故1.棱柱、棱锥、棱台的概念，它们的形成特点2.棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称典例精析例1判断下列说法是否正确：（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；(2)有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；(3)用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥.（5）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面.（6）棱锥的各侧棱长相等.例2(1)把正方形的一个角截去后,○1若剩下的几何体共有12条棱,画出该几何体图形;②若剩下的几何体共有14条棱,画出该几何体图形.(2)把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有个面.例3(1)如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？CC 1A 1B 1A(2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？(3)四面体P-ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A 点，蚂蚁经过的最短路程是多少？例4`(1)平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？(2) 用任意一个平面去截正方体，得到的截面可能是几边形？演练提升1. 四棱柱共有_______条棱;四棱锥共有_______条棱;四棱台共有共有_______条棱;四面体共有_______条棱.2. 长方体1111ABCD A B C D -中,作出截面11BCD A ,其截面把长方体分成两部分,则这两部分几何体分别是_________3. 如图,三棱台111ABC A B C -中,沿1A BC 截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分是________4. 下列说法:① 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥; ② 当棱台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥;③ 棱柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台; ④ 棱锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台. 正确的有______.(填上所有正确说法的序号) 5. 给出下列几个命题: ① 棱柱的侧面都是平行四边形;② 棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都是一个共同的公共点; ③ 多面体至少有四个面;④ 棱台的侧棱所在直线均相交于用一点. 其中正确的命题是________.6. 在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是_________.(写出所有正确结论的编号)○1矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三面为等腰直角三角形,有一面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体.7. 已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．8. 有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥9. 如图，多面体的名称是_______________________； 该多面体的各面中，三角形有_______________个， 四边形有_________________________________个．10.如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．11. 观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1） （2）12. 根据下列对几何体结构的描述，说出几何体的名称，并试画出其立体图． （1）由1个梯形沿某一方向平移形成；（2）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形； （3）由4个面围成，且每个面都是三角形．AA 'DD 'BB 'C 'CCA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDEF B 'C 'D 'F 'E '（3）二、圆柱、圆锥、圆台和球温故1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念2.圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系典例精析例1（1）给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中说法正确的是.（2）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.例2（1）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，以AB所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征.（2）给出下列命题：①以直角三角形的一条边为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径.其中正确命题的序号是例3（1）判断图所表示的几何体是不是圆台？为什么？（2）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm.36cm2，则球心与截面圆例4（1）已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是π圆心的距离是.（2）已知球的两个平行截面分别为π5和π8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.例5`（1）如下图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？（2）下图（1）是由图（2）中的哪个平面图旋转得到的（3）如图是一枚公章，这个几何体是由简单的几何体、、组合而成的.演练提升1．将等边三角形绕着它的一边上的中线所在的直线旋转0180,形成的几何体是______. 2．将一个直角三角形绕着它的斜边所在直线旋转一周,形成的几何体是_________.3．下列关于球的叙述:①将圆绕着它的任意一条直径所在的直线旋转0180,形成的几何体是球;②将半圆绕着它的任意一条半径所在的直线旋转一周,形成的几何体是球;③空间中到l l 的点的集合是球.正确的是__________.(填上所有正确的一个定点的距离小于等于(0)说法的序号)4．如果一个球恰好内切于一个棱长为10cm的正方体盒子(球与正方体的六个面都能接触),那么这个球的半径为_______cm.5．下列说法:①当圆柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;②当圆台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;③圆柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台;④圆锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台.其中,不正确的是______.6．下列说法:①用一个平面去截一个球所得的截面是一个圆面;②用一个平面去截一个圆柱所得的截面是一个圆面或矩形;③用一个平面去截一个圆锥所得的截面是一个圆面或等腰三角形;7．如图,将直角梯形ABCD绕腰CD边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？CDCBA8．用一个平面截一个几何体，不管怎样截，得到的都是圆面，则这个几何体是__________ 9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积是3，则这个圆锥的母线长为______________ 10．圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________11．矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 12.圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________13.矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__________(5)(4)(3)(2)(1)15.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 ．A ．B ．C ．D ．16.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从点A 到点C 的最短距离为___________17.在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10m处，同一时刻一根长3m的木棒垂直于地面，且影子长1m，求此球的半径.2，∠C=90°，以直线AC为轴将△ABC旋18.在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=3转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值. 19.一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱.（1）用x表示圆柱的轴截面面积S （2）当x为何值时，S最大？。
空间几何体及棱柱、棱锥、棱台的结构特征
连续性
空间几何体的表面是连续 的，即表面上的任意两点 可以通过曲面上的曲线连 接。
有限性
空间几何体的大小是有限 的，其体积和表面积都是 有限的数值。
02
棱柱的结构特征
棱柱的定义
总结词
棱柱是由两个平行的多边形底面和与 底面平行的棱组成的几何体。
详细描述
棱柱是一种常见的空间几何体，其底 面可以是任意多边形，如三角形、四 边形等。棱柱的侧棱都与底面平行， 并且侧棱长度相等。
棱柱的分类
总结词
根据底面的多边形类型，棱柱可以分为直三棱柱、直四棱柱 等。
详细描述
根据底面的多边形类型，棱柱可以分为不同种类的直棱柱。 例如，当底面为三角形时，称为直三棱柱；当底面为四边形 时，称为直四棱柱。此外，还有斜棱柱等其他类型的棱柱。
棱柱的性质
总结词
棱柱具有平行性、对称性和稳定性等性质。
THANKS
感谢观看
详细描述
棱柱的性质包括平行性、对称性和稳定性。平行性是指棱柱的侧棱与底面平行，且侧棱长度相等；对称性是指当 底面为轴对称图形时，棱柱也具有轴对称性；稳定性是指棱柱在受力情况下不易发生形变。此外，不同种类的棱 柱还具有各自独特的性质。
03
棱锥的结构特征
棱锥的定义
总结词
棱锥是由一个多边形与其内部一点所确定的几何体。
详细描述
棱锥的定义包括一个多边形作为底面，一个点作为顶点，以及连接顶点和底面 各顶点的线段。
棱锥的分类
总结词
棱锥可以根据底面的形状和顶点的位置进行分类。
详细描述
根据底面的形状，棱锥可以分为三角形棱锥、四边形棱锥等。根据顶点的位置， 棱锥可以分为正棱锥、斜棱锥等。
棱锥的性质
总结词
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥和棱台是一些常见的几何形体，它们都具有棱和面的特点。
对于这些几何形体，我们可以用体积来描述它们的大小。
下面分别介绍棱柱、棱锥和棱台的体积公式。
棱柱的体积公式：
棱柱的体积可以通过底面积与高度相乘来计算。
假设棱柱的底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V为：
V = Ah
例如，一个正六棱柱的底面积为4平方米，高度为3米，则它的体积为：
V = 4 × 3 = 12
因此，该正六棱柱的体积为12立方米。
棱锥的体积公式：
棱锥的体积可以通过底面积与高度相乘再除以3来计算。
假设棱锥的底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V为：
V = 1/3Ah
例如，一个正五棱锥的底面积为6平方米，高度为4米，则它的体积为：
V = 1/3 × 6 × 4 = 8
因此，该正五棱锥的体积为8立方米。
棱台的体积公式：
棱台的体积可以通过上底面积与下底面积的平均值与高度相乘
来计算。
假设棱台的上底面积为A1，下底面积为A2，高度为h，则棱台的体积V为：
V = 1/3h(A1 + A2 + √(A1A2))
例如，一个上底面积为6平方米，下底面积为4平方米，高度为3米的棱台，则它的体积为：
V = 1/3 × 3 × (6 + 4 + √(6 × 4)) = 18
因此，该棱台的体积为18立方米。
总之，对于棱柱、棱锥和棱台这些常见的几何形体，我们可以用相应的体积公式来计算它们的大小。
这些公式是在数学研究中得出的定理，可以帮助我们更好地理解这些几何形体的特点和性质。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
∴B1F＝ 82－22＝2 15，
∴h′＝B1F＝2 15，
图（1）
∴S 四棱台侧＝12×(8＋4)×4×2 15＝48 15 (cm2)．
方法二 如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点 P，过 P 作
PE⊥BC 交 BC 于 E，交 B1C1 于 E1，则 PE1⊥B1C1. 设 PB1＝x，则x＋x 8＝48，
10．如图所示是一个建筑物的三视图，现需要将其外壁 用油漆刷一遍，已知每平方米用油漆 0.2 kg，问共需 要油漆多少 kg？(尺寸如图所示，单位：m，π 取 3.14， 结果精确到 0.01 kg)
解 由图知建筑物为自上到下分别是圆锥和四棱柱的组 合体．并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，四棱 柱的高为 4 m，底面是边长为 3 m 的正方形．圆锥的表 面积为 πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝ 75.36 m2；四棱柱的一个底面积为 32＝9 m2.所以建筑物 的外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36 m2，所以需要油漆 114.36×0.2＝22.872≈22.87 kg.
棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
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1．棱柱、棱锥、棱台侧面积
(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧 面积计算公式：S ＝ 直棱柱侧 ch,即直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积． (2)设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S ＝ 正棱锥侧 12nah′
棱柱棱锥和棱台
• 练习6 五棱锥有（
•A 3 •C 5 B 4 D 6
）个侧面。 C
• 练习7 • A 6 • C 8
六棱台有（ ）个面。 B 7 D 9
• 练习8 棱台不一定具有的性质是（
• A两底面相似
） C
• B侧面都是梯形
• C侧棱都相等 • D侧棱延长后交于一点
例1 画一个四棱柱和一个三棱台。
第一步 第二步 第三步 画上底面——画一个四边形 画侧棱——从四边形的每一个顶点画 平行且相等的线段 画下底面——顺次连结这些线段的另 一个端点
•
•
下面的几何体有什么共同特点？与图1-1-1 相比有什么变化？
S 顶点 侧 棱 底面 A D B 侧 面 底面 C
2.棱锥的相关概念
• 棱锥的概念： 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何 体叫做棱锥 • 棱锥的分类： 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱 锥等 • 棱锥的特点： 底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形
• 练习2: • （1）棱柱的侧面都是长方形； • （2）棱柱的侧面都是平行四边形； • （3）棱台的各侧面都是梯形。 • 其中正确的是 2 3 。
• 练习3
• 棱锥最少有
4
个面，棱柱最少
有
5
个面。
• 练习4
• 棱柱的侧面是
平行四边
形，棱
锥的侧面是
是
三角形，棱台的侧面
梯 形。
• 练习5 平行于棱柱、棱锥、棱台的底 面的截面，分别和棱柱、棱锥、棱台 的底面的关系是 。
特点
1、两个底面是全等的多边 形，且对应边相互平行。 2、侧面都是平行四边形。
1、底面是多边形。 2、侧面且相似。 棱 面的平面截棱锥，得 2、侧面是梯形。 台 到的截面与底面之间 3、侧棱延长交于一点。 的部分。
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱台
用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥，底面与 截面之间的部分， 这样的多面体叫 做棱台
定义
底面
两底面是全等 的多边形 平行四边形 平行且相等 与两底面是全等的 多边形 平行四边形
多边形
三角形 相交于顶点 与底面是相似的 多边形 三角形
两底面是相似 的多边形 梯形 延长线交于一点 与两底面是相似的 多边形 梯形
B’ C’ 用表示底面各顶点的字母表示棱柱 : B’
C’
A’
D’
B’
E’
C’
D’
A 棱柱ABCDE A ' B ' C 'A D'E '
B C B
D
A
B C
C D
E
问题1：长方体ABCD-A’B’C’D’中，你能说出它 的底面吗?互相平行的平面有几对?
D’ A’ B’ C’
D
C B
A
长方体有三对平行平面； 这三对都可以作为棱柱 的底面．
侧面
侧棱 平行于底面的 截面 过不相邻两侧棱 的截面
课堂小结
1、多面体的定义
2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3、棱柱、棱锥、棱台三者的联系
A
A1
D’
D
D1
C1 C’ B1
上底面
A’
B’
C侧面
侧棱
下底面 顶点
B
例1 下列图形中为棱锥的是（ ①② ）
①
②
③
例2 判断:下列几何体是不是棱台,为什么?
(1)
(2)
探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在 结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如 何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
• 【题后总结】根据形成几何体的结构特征的描 述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断， 注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时 做几何模型，通过演示进行准确判断．
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
• 【纠错心得】上述错误答案都是根据相应概念 的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充 分，应该按照几何体的定义去判断，或按照与 定义等价的条件去判断.
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
_公__共___顶__点___
立体几何-棱柱、棱锥、棱台结构特性
多面体
定义
用一个
平行于棱锥 底面
的平面去截 棱台
棱锥，底面 与截面之间 的部分叫做 棱台
图形及表示
相关概念
上底面：原棱锥的 截面 ；下底面： 原棱锥的 底面 ；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的 如图可记作： 公共边； 棱台 ABCD－ 顶点：侧面与上(下
各面都是
四边形 ，并且
棱
柱
每相邻两个四 边形的公共边
都互相 平行，
由这些面所围
成的多面体叫
做棱柱
图形及表示
如图可记作：棱 柱 ABCDEF－
A′B′C′D′ E′F′
相关概念
底面(底)：两个互 相 平行 的面；侧 面：其余 各面 ； 侧棱：相邻侧面 的 公共边 ； 顶点：侧面与 底面的_公__共__顶__点_
• 2．棱锥的本质结构特征：①有一个面是多边 形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角 形．
• 3．棱台的本质结构特征：①底面平行且相似； ②侧面都是梯形；③侧棱延长交于一点．
高中数学知识点精讲精析 棱柱、棱锥、棱台
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台1.棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.侧棱.顶点.（2）本质特征：①有两个面相互平行；②其余各面的两面的公共边相互平行.（3）结构特征：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面相互平行；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（4）分类：棱柱的分类方法有两种：①按底面多边形的边数可分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等；②按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱.斜棱柱.2.棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.侧棱.顶点.（2）结构特征：①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共点的三角形.（3）分类：①棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．②按底面多边形的边数分为三棱锥.四棱锥.五棱锥等.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.轴.母线.（2）结构特征：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰三角形.（3）表示方法：用表示轴的字母表示.3.棱台与多面体：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面.侧棱.顶点.棱台主要从下面几点把握：（1）组成元素：上.下底面.侧面.侧棱.顶点.（2）结构特征：各侧棱延长后相交于一点，两底面是平行的相似多边形.（3）分类：棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，故其分类和棱锥的分类方法一样.多面体的结构特征由平面多边形（包括它们内部的平面部分）围成的几何体称为多面体.其中，各个额多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.把多面体的任一个平面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.一个多面体至少四个面.多面体按照它的面数分别叫做四面体.五面体.六面体等.几种常凸多面体间的关系几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分例1 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台答案：D。
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
三棱台的画法：
首先画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在 各个侧面内画出与底面的对应边平行的线段，将多余的线段擦去。
有一个公共顶点的 ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等） ②侧面是 三角形
概念辨析
1.一个棱锥至少有___4___个面.
n n 2.一个 棱锥分别有 ___1___个底面，______个侧面， n 有______条侧棱，有 _n____1_ 个顶点。
：有一个面是多边形其余各面是三角形，这个几何体 一定是棱锥吗？
注：被遮挡的线要画成虚线
整合归类
想一想：这些几何体可以分成几类?每一类各有哪些图形?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
棱柱：1，2，5,9
(7)
(8)
棱锥：4，6，10
(9)
(10)
棱台3，7，8
棱柱，棱锥和棱台都是由一些平面多边形 围成的几何体，由若干个平面多边形围成的几何 体称为多面体。
在现实生活中，存在着形形色色的多面体， 如食盐，明矾，石膏等晶体都呈多面体形状。
不一定
新知探究
如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 想象一下,那截得的两部分几何体会是什么样的几何体?
概念构建
棱锥
1.棱台的定义
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍 然是棱锥，另一个我们称之为棱台.
棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部 分.
2.棱台的元素
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C
F
E
A
D
B
F
C
E D
A B
C
A
B
C
棱柱 ABC ABC
棱柱 ABCDEF ABC DE F
4.棱柱的分类
它们的底面 分别是什么平面图形? 三角形 三棱柱 四边形 四棱柱 五边形 五棱柱 六边形 六棱柱
分类标准：底面多边形的边数
5.棱柱的性质
观察下列几何体，回答
一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移 形成的空间几何体叫做棱柱(prism).
2.棱柱的元素
底面 侧面 侧棱
①底面 ②侧面
平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面（base）. 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面（lateral face）.
③侧棱
相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.
3.棱柱的表示
1.棱台的定义
观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体?
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间 的部分叫做棱台(truncated pyramid).
2பைடு நூலகம்棱台的元素
上底面 底面 侧面 侧棱 底面 下底面
学生活动
概念辨析：下图中的几何体是不是棱台?为什么?
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
回顾小结 •
•
（1）棱柱、棱锥、棱台的定义和性质
（2）运动变化、类比联想的观点
•
（3）将空间问题转化成平面问题的转
化思想
课外作业
请同学们课后找一找生活中具有棱柱、 棱锥和棱台几何结构特征的实物.
方头方脑
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
尖头窄脸
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面
底面
A
C
B
A B
C
侧面
侧面
侧棱
相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体 棱柱
定义：一个平 面多边形沿某 一方向平移形 成的空间几何 体
图形
侧棱 侧面 底面 侧棱 侧面 底面
（多边 侧棱（相 底面（平行起止 侧面 形的边平移所形 邻侧面的公 位置的两个面） 成的面） 共边）
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行
平行四边形
互相平行 且相等
棱锥
课堂练习
1.判断：有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体是棱锥. ( × )
2.如图,四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以 由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 3.将下列几何体按结构特征分类填空 ①集装箱 ②魔方 ③金字塔 ④三棱镜 ⑤一个四棱锥形的建筑物被台风刮走了一个顶， 剩下的上底面与地面平行 （1）棱柱结构特征的有： （2）棱锥结构特征的有： （3）棱台结构特征的有： ① ③ ⑤ ② ④
D A B
C
①画上底面——画一个四边形
②画侧棱——从四边形的每一个顶点 画平行且相等的线段
D
C
B
③画下底面——顺次连结这些线段的 另一个端点
A
注意:被挡住的线要画成虚线.
数学运用
(2)画一个三棱台
S
A B
A B
①画一个三棱锥
C C
②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面 对应边平行的线段
定义：棱柱的 一个底面收缩 为一个点
一底面是多边形, 有一个公共顶 交于一点 另一底面缩为一点 点的三角形
棱台
上底面 定义：棱锥被 侧棱 平行于底面的 侧面 一个平面所截 下底面
后，截面和底 面之间的部分
两个底面是相似 多边形（不全等） 且对应边互相平 行
梯形
侧棱的延长 线交于一点
数学运用
动动手(1)画一个四棱柱
一个数字的世界，我时时需要你． 一个形的世界，我处处离不开你．
一个美丽的世界，我欣赏你的韵律．
一个理想的世界，我探索你的奥秘．
几何学的简洁美却又正是几何学之所以完美的核心所在．
——牛顿
从航空测绘到土木建筑以至家居装潢，——空间图形与 我们的生活息息相关.
空间几何体是由哪些基本几何体组成的？
如何描述和刻画这些几何体的形状和大小？
①两个底面多边形间的关系？ ②上下底面对应边间的关系？ ③侧面是什么平面图形？ ④侧棱之间的关系？
全等 平行
平行四边形
平行
棱柱的性质： 两个底面是全等的多边形， 对应边互相平行，
侧面都是平行四边形.
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
1.棱锥的定义
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
1.棱锥的定义
3.棱锥的性质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？ 在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质：
①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等） ②侧面是 有一个公共顶点的 三角形
思考题:
能否类比棱柱的表示法与分类给出棱锥的表示法与分类?
1.棱台的元素
观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体?
③将多余的线段擦去
数学运用
练一练：以三角形ABC为底面画一个三棱柱.
C
A B
C C
A B
C
A
A
B
B
棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(polyhedron).
食盐晶体
明矾晶体
石膏晶体
思考:多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？ 四 棱锥
构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？
情境引入
学生活动
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
这些几何体可以分成几类? 每一类各有哪些图形?
(6) (12)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
三棱镜
魔方
1.棱柱的定义
这些几何体是否可以看作由什么图形平移运动得到?
1.棱柱的定义
这些几何体是否可以看作由什么图形平移运动得到?