棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
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4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[方法技巧] 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面 边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应 用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧 面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大 小棱锥侧面积作差得到．
[对点练清] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15， 高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝ 64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
＝
1 2
×VD×BC
＝
1 2
×
13 ×2
3＝
39
，
S
△
ABC
＝
1 2
×(2 3)2× 23＝3 3，
所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3 ＝3( 39＋ 3)．
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误是不能根据正三棱 锥的结构特征，并且根据题目条件求出正三棱锥的侧面三角形的 高．
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.能用公式解决简单的实际问题． 3.通过学习，帮助学生进一步掌握在平面上表示空间图形的
方法与技能，提高学生直观想象、数学运算的核心素养．
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习
《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教案 高一数学人教A版(2019)必修第二册
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导．核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养.1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( )(2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( )(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )(4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )2．做一做(1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( )A．274B．94C．2734D．934(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____.(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____.题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．[跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A．48(3＋3) B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144(2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )A．3＋34a2B．34a2C．3＋32a2D．6＋34a2(3)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为12a，则该正三棱台的侧面积为____，表面积为____.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( )A．14B．12C．36D．34(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．(3)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积．[跟踪训练2] (1)已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )A．2 B．4C．6 D．12(2)若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32题型三组合体的表面积与体积例3 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．54 B．60C．66 D．72(2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?[跟踪训练3] (1)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A．26B．23C．33D．23(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积．1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( )A．2 3 B．4 3C．4 D．62．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A．2 B．4C．6 D．83．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A．26B．36C．23D．224．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于____.5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求△AB1C1的面积．一、选择题1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )A．6 3 B． 3C．2 3 D．22．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A．6a2B．12a2C．18a2D．24a23．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A．1∶1 B．1∶ 2C．1∶ 3 D．1∶24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．5603B．5803C．200 D．2405. 如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为( )A．9 3 B．18 3C．27 3 D．36二、填空题6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是____.7. 如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2(几何体BFECC′B′的体积)的两部分，那么V∶V2＝____.18．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是____ cm.三、解答题9. 如图，正六棱锥P－ABCDEF被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF和较小的棱锥P－A1B1C1D1E1F1.(1)求大棱锥P－ABCDEF、小棱锥P－A1B1C1D1E1F1、棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF 的侧面面积之比；(2)若大棱锥P－ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，求截得的棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积和表面积．10．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．1．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶22．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是____.3. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA＝4 cm.3D打印所用原料密1度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____g.4．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．15．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导．核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养.1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( )(2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( )(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )(4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( )A．274B．94C．2734D．934(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____.(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____.答案(1)D (2)60,94 (3)28题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．[解] (1)如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8. ∴该直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160. ∴该直四棱柱的底面积S 底＝12AC ·BD ＝207.∴该直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×207＝160＋407. (2)∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE ，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12AB ×SE＝2×5×52－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝253，S 表＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)．(3)如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过B 1作B 1F ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，故B 1F ＝82－22＝215，所以S 梯形BB 1C 1C ＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S 侧＝4×1215＝4815，所以四棱台的表面积S 表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815.1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．3．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.[跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A ．48(3＋3)B ．48(3＋23)C ．24(6＋2)D ．144(2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A ．3＋34a 2B ．34a 2C ．3＋32a 2D ．6＋34a 2(3)正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，高为12a ，则该正三棱台的侧面积为____，表面积为____.答案 (1)A (2)A (3)332a 2 1134a 2解析 (1)由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S ＝48(3＋3)．(2)因为底面边长为a ，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为a 2，故S 侧＝3×12a ·a 2＝34a 2，而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2. (3)如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点，过D 1作D 1E ⊥DO ，垂足为E ，在直角梯形ODD 1O 1中，OD ＝13×32×2a ＝33a ，O 1D 1＝13×32a ＝36a ，所以DE ＝OD －O 1D 1＝36a . 在Rt △DED 1中，D 1E ＝a2，则D 1D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ 112a 2＋a 24＝33a ，所以S棱台侧＝3×12(a＋2a)×33a＝332a2.所以S棱台表＝S上底＋S下底＋S棱台侧＝34a2＋34×(2a)2＋332a2＝1134a2.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( )A．14B．12C．36D．34(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．(3)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积．[解析](1)设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC ＝13S△ABCh＝13×34×3＝34.(2)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，∵S△A1D1E＝12EA1·A1D1＝14a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V三棱锥A1－D1EF＝112a3.(3)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．∵S侧＝4×12×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5 cm，OE＝12AB＝10 cm，∴O1O＝132－10－52＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．[答案](1)D (2)见解析(3)见解析求几何体体积的常用方法[跟踪训练2] (1)已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )A．2 B．4C．6 D．12(2)若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32答案(1)B (2)B解析(1)正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为13×4×3＝4.(2)所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.题型三组合体的表面积与体积例3 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．54 B．60C．66 D．72(2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?[解析] (1)根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC －DEF ，其中AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝5，AC ＝3，BE ＝2，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S梯形ABED ＋S梯形CBEF ＋S矩形ACFD＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60. (2)将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S 底＝0.6×1.1－12×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)， V ＝S 底·h ＝0.54×24.8≈13.39(立方米)．故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土． [答案] (1)B (2)见解析求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．[跟踪训练3] (1)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A ．26B ．23C．33D．23(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积．答案(1)B (2)见解析解析(1)如图所示，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×22＝23.(2)由题图可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面积为32a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3×12×a2＋3a2＝3＋92a2.1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( ) A．2 3 B．4 3C．4 D．6答案 B解析S表＝4×34×22＝4 3.故选B.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A．2 B．4C．6 D．8答案 D解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8.3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A．26B．36C．23D．22答案 A解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，作出三棱锥O－ABC的高OD，连接DC，则S△ABC＝12×1×32＝34，OD＝OC2－CD2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63，所以V S－ABC＝2V O－ABC＝2×13×34×63＝26.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于____.答案160 3解析由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝13×16×4＝643，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋643＝1603.5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求△AB1C1的面积．解将三棱台分割成三棱锥A－A1B1C1，B－AB1C1及C1－ABC，设三棱台的高为h，则这三个三棱锥的高都是h.由于V ABC－A1B1C1＝V A－A1B1C1＋V B－AB1C1＋V C1－ABC，即13(a2＋ab＋b2)h＝13a2h＋13S△AB1C1·h＋13b2h，得S△AB1C1＝ab，故△AB1C1的面积为ab.一、选择题1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( ) A ．6 3 B ． 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为5，可知高h ＝2，又因为底面积S ＝332，所以体积V ＝13Sh ＝13×332×2＝ 3.2．将一个棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2 答案 B解析 棱长为a 的正方体的表面积为S 1＝6a 2，由棱长为a 的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S 2＝27×⎣⎢⎡⎦⎥⎤6×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝18a 2，因此表面积增加了12a 2，故选B.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2 答案 C解析 如图，三棱锥D 1－AB 1C 的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥 ＝4×12×(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．5603B．5803C．200 D．240答案 C解析由三视图可作出如图所示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为1，下底长为9，高为4，故底面积S＝1＋9×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.5. 如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为( )A．9 3 B．18 3C．27 3 D．36答案 C解析如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 二、填空题6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是____.答案 8解析 如图(1)为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图(2)所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.7. 如图所示，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，若E ，F 分别为AC ，AB 的中点，平面EC ′B ′F 将三棱柱分成体积为V 1(棱台AEF －A ′C ′B ′的体积)，V 2(几何体BFECC ′B ′的体积)的两部分，那么V 1∶V 2＝____.答案 7∶5解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝14 S，所以V1＝13h⎝⎛⎭⎪⎫S＋14S＋S·S4＝712Sh，V 2＝V－V1＝512Sh.所以V1∶V2＝7∶5.8．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是____ cm. 答案 6解析如图所示，正三棱锥P－ABC的底面边长为6 cm，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.由题意得3×12×AB×PD＝27，所以PD＝3 cm.又OD＝36×6＝ 3 cm，所以它的高PO＝PD2－OD2＝9－3＝ 6 cm.三、解答题9. 如图，正六棱锥P－ABCDEF被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF和较小的棱锥P－A1B1C1D1E1F1.(1)求大棱锥P－ABCDEF、小棱锥P－A1B1C1D1E1F1、棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF 的侧面面积之比；(2)若大棱锥P－ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，求截得的棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积和表面积．解(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)∵小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，∴大棱锥P－ABCDEF的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h′＝62－22＝42(cm)，∴S棱台侧＝6×4＋82×42＝1442(cm2)，∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝1442＋243＋963＝(1442＋1203)(cm2)．10．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．解(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱．将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥．(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，所以其体积V柱＝(2a)2·a＝4a3.又因为正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ＝9a 2－a 2＝22a ， 所以其体积V 锥＝13(2a )2·22a ＝823a 3.因为42－⎝ ⎛⎭⎪⎫8232＝16－1289＝169>0，即4>823，所以4a 3>823a 3，所以V 柱>V 锥， 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．1．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点．则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2答案 C解析 ∵G 为PB 的中点，∴V P －GAC ＝V P －ABC －V G －ABC ＝2V G －ABC －V G －ABC ＝V G －ABC .又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD .∴V D －GAC ＝V G －ACD ＝2V G －ABC .∴V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1.2．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是____.答案 2 3解析 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则有⎩⎨⎧2xy ＋xz ＋yz ＝24，4x ＋y ＋z ＝24⇒⎩⎨⎧xy ＋xz ＋yz ＝12，x ＋y ＋z ＝6，则长方体的体对角线的长为x 2＋y 2＋z 2 ＝x ＋y ＋z2－2xy ＋xz ＋yz ＝36－24＝2 3.3. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____g.答案 118.8解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．4．如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形， 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，则V F －EBA 1＝112a 3，所以V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2VF －EBA 1＝16a 3.5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)． 又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)， 记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 20－OD －O ′D ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
＝
3 4
，
所以 VB1-ABC＝13
·S△ABC·AA1＝13
×
3 4
×3＝
3 4
.
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第八章 立体几何初步
28
3．若一个正六棱柱的底面边长为 a，侧面对角线的长为 2a，则它的表面
积为________． 解析：正六棱柱的底面边长为 a，所以正六棱柱的底面面积为 S 底＝
3
3a2 2
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第八章 立体几何初步
5
1．等底、等高的两个棱柱的体积有何关系？ 提示：等底、等高的两个棱柱的体积相等． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系？ 提示：棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为：
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第八章 立体几何初步
6
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．( × )
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第八章 立体几何初步
30
解：由图可知△A1BD 是边长为
2
a
的等边三角形，其面积为
3 2
a2，故
所求几何体 A1B1C1D1-DBC 的表面积 S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S 正方形
A1B1C1D1＝
3 2
a2＋3×12
×a2＋3a2＝
3＋9 2
a2.
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第八章 立体几何初步
数学-棱柱棱锥棱台的表面积和体积
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高中数学 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．导语 在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题 我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？提示 知识梳理 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．例1 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高为 cm ，求此正三棱台的表面积．32解 如图所示，画出正三棱台ABC －A 1B 1C 1，其中O 1，O 为正三棱台上、下底面的中心，D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点，则OO 1为正三棱台的高，DD 1为侧面梯形BCC 1B 1的高，四边形ODD 1O 1为直角梯形，所以DD 1＝＝＝，所OO 21＋(OD －O 1D 1)2(32)2＋(3－32)23以此三棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm 2)．12334349934反思感悟 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．解 ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE (图略)，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×AB ×SE ＝2×5×＝25，S表＝S 侧＋S 底1252－(52)23＝25＋25＝25(＋1)．33二、棱柱、棱锥、棱台的体积知识梳理 几何体体积说明棱柱V 棱柱＝ShS 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝Sh 13S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝(S ′＋＋S )h13S ′S S ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A. B.1412C. D.3634答案 D解析 设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则＝S △ABC h ＝××3＝.1B ABCV 锥－△△13133434(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积．解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形．∵S 侧＝4××(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，12∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝A 1B 1＝5 cm ，OE ＝AB ＝10 cm ，1212∴O 1O ＝＝12(cm)．132－(10－5)2故该正四棱台的体积为V ＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．13反思感悟 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．跟踪训练2 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________．答案 13解析 由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为2A 1C 1＝，1222则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝×1××＝.1322213三、简单组合体的表面积与体积例3 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝·A 1B ·PO 1＝×62×2＝24 (m 3)，正四棱柱132113ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288 (m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312 (m 3)，故仓库的容积是312 m 3.反思感悟 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．跟踪训练3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1－ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积和体积．解 由图可知△A 1BD 是边长为a 的等边三角形，其面积为a 2，232故所求几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积S ＝＋3S △1A BDS △DBC ＋3＝a 2＋3××a 2＋3a 2＝a 2.1111A B C D S △△△32123＋92几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的体积V ＝－＝a 3－××a ×a ×a1111ABCD A B C D V －△△△1A ABDV 锥－△△1312＝a 3.561．知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．(3)组合体的表面积与体积．(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．2．方法归纳：等体积法、割补法．3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( )A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3 D ．125 cm 3答案 B解析 V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)．2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.B.1213C. D ．不确定14答案 B解析 令正方体棱长为a ，则V 正方体＝a 3，V S －ABCD ＝×a 2×a ＝a 3，1313∴V 四棱锥S －ABCD ＝V 正方体．133．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为( )41A ．48 B ．64 C ．80 D ．120答案 C4．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________．答案 6＋22解析 V 棱台＝×(2＋4＋)×3132×4＝×3×(6＋2)132＝6＋2.2课时对点练1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．48 B ．64 C ．16 D ．966答案 B2．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( )A ．8 B ．16 2C ．8＋12 D ．8＋1622答案 D3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )A. B ．2 C. D ．31213答案 B解析 设棱柱的高为h ，底面积为S ，则棱锥的高为h ，底面积为S ，故二者的体积之比为32＝＝＝2.V 1V 2Sh13×32Sh214.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A. B.1312C. D.2334答案 C解析 ∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝，1313∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－＝.13235．正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长为，则这个棱柱的表面积是( )43A ．15 B ．60 2C ．78 D ．602答案 C解析 如图所示，正四棱柱的侧棱长为AA 1＝5，对角线长为BD 1＝，则(AB )4322＋52＝43，解得AB ＝3，所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.6．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是( )A ．侧面积之比为1∶4 B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27 D ．体积之比为1∶26答案 BD解析 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥3A －B 1DC 1的体积为______．答案 1解析 ∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，3∴底面B 1DC 1的面积为×2×＝.1233三棱锥A －B 1DC 1的高就是底面正三角形的高.3三棱锥A －B 1DC 1的体积为××＝1.13338．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则其表面积为______ cm 2.答案 1 012解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积132－52S ＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm 2)．129．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．解 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝2＋2＝＝＝64，(AC 2)(BD 2)a 2＋b 24200＋564∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160.直四棱柱的底面积S 底＝AC ·BD ＝20.127直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×20＝160＋40.7710.如图，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12 cm ，小棱锥的底面边长为4 cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积．解 (1)由题意知S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，则S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm ，∴大棱锥的底面边长为8 cm ，又PA ＝12 cm ，∴A 1A ＝6 cm.又梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝4(cm)，2∴S 棱台侧＝6××4＝144(cm 2)，4＋8222∴S 棱台表＝S 棱台侧＋S 上底＋S 下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm 2)．2332311.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m 2，互相平行的两个侧面的距离为1 m ，则这个六棱柱的体积为( )A. m 3B. m 333434C ．1 m 3D. m 312答案 B解析 设正六棱柱的底面边长为am ，高为hm ，则2ah ＝1，a ＝1，解得3a ＝，h ＝，所以六棱柱的体积V ＝×2×6×＝(m 3)．333234(33)323412．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 23＋34343＋326＋34答案 A解析 如图，PA ，PB ，PC两两垂直且PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为等边三角形，AB ＝a ，∴PA ＝PB ＝PC ＝a ，22∴表面积为×a 2＋×2×3＝a 2＋a 2＝a 2.3412(22a)34343＋3413．如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶1∶1C ．4∶2∶1D ．4∶1∶2答案 D解析 设三棱台的高为h ，则由题可知三棱锥A 1－ABC 的体积V 1＝×h ×S △ABC ，三棱锥13A 1－B 1C 1B 的体积V 2＝×h ×＝×h ××S △ABC ，三棱锥A 1－C 1BC 的体积13111A B C S △1314V 3＝2V 2，所以三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为4∶1∶2.14.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案 112解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC (图略)，∵E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，∴EH ∥AC ，EH ＝AC .12∵F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，12∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，∴四边形EHGF 为正方形．又四棱锥M －EFGH 的高为，12∴四棱锥M －EFGH 的体积为×2×＝.13(22)1211215.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，2∴S 表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.2∴该几何体的表面积为36.16．在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2，连接MD ，因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝V ，所以V E －MBC ＝V －V E －MDC .1212而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ，所以＝＝.VE －MBC VE －MDC VB －EMC VD －EMC h 1h 2因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以＝.h 1h 232所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝V .310。
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
（原创版）
目录
1.教学目标
2.教学内容
3.教学方法
4.教学步骤
5.教学评价
正文
一、教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法，并能熟练运用这些知识解决实际问题。
同时，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容
1.棱柱的表面积和体积
2.棱锥的表面积和体积
3.棱台的表面积和体积
三、教学方法
1.讲授法：讲解相关概念和公式
2.案例分析法：通过具体例子讲解计算方法
3.练习法：布置课后习题，让学生自主练习
四、教学步骤
1.引入：通过简单立体图形的表面积和体积计算，引导学生思考如何
计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积。
2.讲解：分别讲解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，结合具体例子进行讲解。
3.案例分析：选取典型例题进行分析，让学生掌握如何运用公式进行计算。
4.练习：布置课后习题，让学生自主练习，巩固所学知识。