2014最容易学习的 MATLAB

例4：第二章7(3）：
max z=10x1+15x2+12x3 s.t. 5x1＋3x2+x3≤9 －5x1+6x2+15x3≤15 2x1+x2+x3≥15 x1, x2, x3≥0
解：MATLAB求解程序清单：
>> c=－[10 15 12]'; >> A=[5 3 1;－5 6 15;－2 －1 －1];
3、对于线性规划问题： min z=cTx
s.t. A*x ≤ b
D*x=e l ≤ x ≤u 其中，c、x、b、e、l和u为向量，A和D为矩阵 linprog函数的调用格式： [x, z ]=linprog(c, A, b, D, e, l, u)
返回最优解x及最优值 z ；
如果不等式约束条件A*x ≤ b 不存在，则令A＝[ ]、b＝[ ]； 如果等式约束条件D*x ＝e 不存在，则令D＝[ ]、e＝[ ]
解：化为最小二乘问题： min f(x) = f12+ f22+ f32+ f42 MATLAB求解程序清单：
(1) 利用M-file editor定义函数： function f=fun(x) f1=x(1)^2+2*x(2)^2−x(3)^2+x(4)−12; f2=−3*x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+5*x(4)−8; f3=2*x(1)^2+x(2)^2−3*x(3)+5*x(4)^2−10; f4=4*x(1)+3*x(2)^2−2*x(3)+2*x(4)^2−15; f=f1^2+f2^2+f3^2+f4^2; 以文件名myfun_8.m保存在MATLAB目录下的work文件夹中。 (2) 在MATLAB 命令窗口中调用fminsearch函数： >> x0=[1, 1, 1, 1]; >> [x, f]=fminsearch('myfun_8', x0)
the primal appears to be infeasible (and the dual
unbounded). (The dual residual < TolFun=1.00e-008.) x= 1.5000 0.0000 1.5000 z= -33.0000
7(3）大M法：
迭 代 次 数 (0) 价值系数c cB xB -10 x1 0 0 M rT -10 (1) 0 M rT -10 (2) -12 M rT x1 x3 x7 x1 x5 x7 x4 x5 x7 5 -5 2 -10-2M 1 0 0 0 1 0 0 0 -15 x2 3 6 1 -15-M 0.6 9 -0.2 -9+0.2M 0.4875 9/16 -0.5375 -3.375 +0.5375M -12 x3 1 15 1 -12-M 0.2 16 0.6
输出结果： x= −0.6905 2.3203 −0.1825 0.7894 f= 4.1429e-009
(f1=−1.8221e−005; f2=3.6129e−005; f3 =4.9990e−005; f4 =−2.5656e−006)
§4 约束非线性规划的MATLAB实现
调用MATALAB的fmincon函数进行求解。 1、对于仅有线性不等式约束的非线性规划问题：
输出结果：
x=
Байду номын сангаас
0.5000 -1.0000
f= 1.1811e-013
3、fminsearch函数 可求解单变量及多变量函数的最小值。
调用格式如下：
[x, f ]=fminsearch (fun, x0)
fun为目标函数，给定初值x0 ，返回最优解x及最小值 f
例8： 解非线性方程组：
2 2 f1 x12 2 x2 x3 x4 12 0 2 2 2 f 2 3 x1 x2 3 x3 5 x4 8 0 2 2 2 2 f 2 x x 3 x 5 x 1 2 3 4 10 0 3 2 2 f 4 x 3 x 2 x 2 x 1 2 3 4 15 0 4
例 2：
min z=3x1+3x2+x3
s.t. －x1－4x2－2x3≤－8 －3x1－2x2≤－6 3x1＋3x2＋2x3＝10
解：MATLAB求解程序清单： >> c =[3, 3, 1]'; >> A=－[1, 4, 2; 3, 2, 0]; >> b=－[8, 6]; >> D=[3, 3, 2]; >> e=[10]; >> [x, z]=linprog (c, A, b, D, e) Optimization terminated. x= 1.4286 0.8571 1.5714 z= 8.4286
如果不等式约束条件A*x ≤ b 不存在，则令A＝[ ]、b＝[ ]
3、对于仅有线性约束且给定了变量上下限的非线性规划问题：
min f (x)
s.t. A*x ≤ b
D*x=e l ≤x ≤u 其中，x、b、e、l 和 u 为向量，A和D为矩阵 fmincon函数的调用格式：
[x, f ]=fmincon (fun, x0, A, b, D, e, l, u )
(3) 扩充能力强，交互性好；
(4) 程序可移植性和开放性好； (5) 强大的图形图像处理功能。
MATLAB有30多个工具箱，其中Optimization Toolbox应用 最为广泛。该工具箱常用函数及功能如下表：
函数 fgoalattain 功能 求解多目标规划的优化问题
fminbnd
fmincon fminmax fminsearch fminunc
M x7 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
b
比 值 1.8 7.5 9 1.5 19
9 15 15 1.8 24 11.4 1.5 1.5 10.5
-15M＝-z’
18-11.4M＝-z’
0 1 0 0
33-10.5M=-z’
人工变量不为零，原问题无解
§3 无约束非线性规划的MATLAB实现
>> b=[9 15 －15];
>> l=zeros(3, 1);
>> [x, z]=linprog(c, A, b, [ ], [ ], l)
Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has stalled:
2、 对于线性规划问题： min z=cTx
s.t. A*x ≤ b
D*x=e 其中，c、x、b和e为向量，A和D为矩阵 linprog函数的调用格式：
[x, z ]=linprog(c, A, b, D, e)
返回最优解x及最优值 z 如果不等式约束条件A*x ≤ b 不存在，则令A＝[ ]、b＝[ ]
求解边界约束条件的非线性最小化问题
求解有约束的非线性最小化问题 求解最小最大化问题 求解无约束的非线性最小化问题 求解多变量函数的最小化问题
linprog
quadprog
求解线性规划问题
求解二次规划问题
§2 线性规划的MATLAB实现
1、对于线性规划问题：
min z=cTx
s.t. A*x ≤ b
给定初值x0，返回最优解x及最优值 f 。 如果不等式约束条件A*x ≤ b 不存在，则令A＝[ ]、b＝[ ]; 如果等式约束条件D*x ＝e 不存在，则令D＝[ ]、e＝[ ]
例10：求平面x+y−4z=1到平面x+y−4z=8的最短距离。 解：数学模型为 min f (x)=[ (x1 − x4)2+ (x2 − x5)2+ (x3 − x6)2]1/2 s.t. x1+x2 −4x3=1 x4+x5 −4x6=8 MATLAB求解程序清单： >> D=[1, 1, −4, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 1, −4]; >> e=[1, 8]; >> x0=zeros(6,1); >>[x, f]=fmincon('sqrt((x(1)−x(4))^2+(x(2)−x(5))^2 +(x(3)−x(6))^2)', x0, [ ], [ ], D, e) 输出结果： f = 1.6499 ( x = −1.0556 −1.0556 −0.7778 −0.6667 −0.6667 −2.3333)
输出结果：
x= 1 0 f= 0.6667
2、对于仅有线性约束条件的非线性规划问题：
min f (x)
s.t. A*x ≤ b
D*x=e 其中，x、b和e为向量，A和D为矩阵
fmincon函数的调用格式：
[x, f ]=fmincon (fun, x0, A, b, D, e ) 给定初值x0，返回最优解x及最优值 f 。
2、fminunc函数 可求解单变量及多变量函数的最小值。
调用格式如下：
[x, f ]=fminunc (fun, x0)
fun为目标函数，给定初值x0 ，返回最优解x及最小值 f
例6： 求 min f= e−x+x2 , x0＝−10。 解：MATLAB求解程序清单： >> x0=−10;
>> [ x, f ]=fminunc('exp(-x)+x^2', x0) 输出结果： x= 0.3517 f= 0.8272