电磁场电磁波第三章静态场及其边值问题解
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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。
表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与波课件教学PPT-第三章 静态场及其边值问题的解共154页PPT资料
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章 静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡
介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0
常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章 静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例 均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。 无限长直均匀线电荷产生的电位， 任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点 例 点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2
0
第三章 静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解3.1 基本内容概述静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。
本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件，位函数，能量和力，电容、电阻和电感，最后介绍静态场边值问题的几种解法（镜像法、分离变量法和有限差分法）。
3.1.1静电场1.基本方程和边界条件基本方程的微分形式(3.1)(3.2)ρ∇=∇⨯=D E基本方程的积分形式(3.3)(3.4)d d d 0S VCVρ==⎰⎰⎰D SE l边界条件()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.5） ()120n ⨯-=e E E 或 120t t E E -= （3.6）2.电位函数（1）电位函数及其微分方程根据电场的无旋性（0∇⨯=E ），引入电位函数ϕ，使E ϕ=-∇ （3.7） 电位函数ϕ与电场强度E 的积分关系是d ϕ=⎰E l （3.8）在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数点电荷()14'ii q ϕπε=-∑r r r （3.9） 体密度分布电荷 ()()'1d '4'VV ρϕπε=-⎰r r r r （3.10） 面密度分布电荷()()'1d '4'S SS ρϕπε=-⎰r r r r （3.11）线密度分布电荷 ()()'1d '4'l ll ρϕπε=-⎰r r r r （3.12）在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程()()2ρϕε∇=-r r （3.13） 或拉普拉斯方程（0ρ=时）()20ϕ∇=r （3.14）（2）电位的边界条件12ϕϕ= （3.15a ） 1212S n nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ （3.15b ） 3. 电场能量和电场力 （1）能量及能量密度分布电荷的电场能量 1d 2e V W V ρϕ=⎰ （3.16） 多导体系统电场能量 112Ne i i i W q ϕ==∑ （3.17）能量密度为 12e w =D E （3.18）（2）电场力 用虚位移法求电场力e i iq W F g =∂=-∂常数（3.19a ）e i iW F g ϕ=∂=∂常数（3.19b ）4.电容及部分电容在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为qC U=多导体系统，每个导体的电位不仅与本身所带的带有关，还与其它导体所带电荷有关。
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
2r ρr
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷. l
第3 章
若令镜像线电荷 产 生的电位也取相同的 l
作r0为参考点，则
及l
在 圆柱面上 P 点共同产生的电位为
R
l
h
R′
x
-h
l ln x2 (z h)2 ， z 0
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
3、对于均匀分布在球面上的-q'电荷，可用另一个镜像电荷q"= q' 代替，但必须位于球心。
第3 章
结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：
镜像电荷1： 电量：q ' a q
位置： d ' a2
d
镜像电荷2： d
电量： q '' q ' a q
d
r r'
q O
'' d'
q' d
q
4 0 r
0
q q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了
导体上的感应电荷。
在z>0区域内，P点的电位为
电磁场与波第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
电磁场电磁波第三章 静态场及其边值问题的解.
荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生 的电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电 流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。
21
2. 恒定电场的边界条件 • 场矢量的边界条件 en ( J1 J 2 ) 0 即 J dS 0
S
J1n J 2n
E1
en ( E1 E 2 ) 0 即 E1t E2t C en 场矢量的折射关系
E dl 0
2 0
q
q
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
12
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
或
Dn S Et 0
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
3.1.2 电位函数 1. 电位函数的定义
由 E 0
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静 电场的标量电位或简称电位。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值续的体分布电荷，由 1 (r ) R 1 E (r ) dV 3 V 4π R 4π 1 1 )( )dV ] [ ( r 4π V R 故得
21
2. 恒定电场的边界条件 • 场矢量的边界条件 en ( J1 J 2 ) 0 即 J dS 0
S
J1n J 2n
E1
en ( E1 E 2 ) 0 即 E1t E2t C en 场矢量的折射关系
E dl 0
2 0
q
q
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
12
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
或
Dn S Et 0
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
3.1.2 电位函数 1. 电位函数的定义
由 E 0
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静 电场的标量电位或简称电位。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值续的体分布电荷，由 1 (r ) R 1 E (r ) dV 3 V 4π R 4π 1 1 )( )dV ] [ ( r 4π V R 故得
电磁场电磁波静态场及其边值问题的解
Cq
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
电动力学 第三章 静态电磁场及其边值问题的解
最后得
所以
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷
能力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
两点间电位差有定值
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
电磁矢论 第三章、静态电磁场及其边值问题的解
q C 单位：F/法拉 U
统的几何尺寸及周围电介质的特性参数有关。
3.1 静电场分析
4. 静电场的能量 （1）静电场的能量
在静电场中，电场对电荷有作用力，电荷在电场力作用下沿
电场方向发生运动，意味着电场力对电荷作功了，表明静电 场是有能量的。
电场能量的来源：建立电荷系统过程中外界提供的能量。
1 P1 2 Δl
P2
3.1 静电场分析
3. 导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷 能力的物理量。 孤立导体的电容：孤立导体所带电荷量q与其电位φ之比。
C
U之比。
q
单位：F/法拉
导体系统的电容：任一导体上的总电荷量q与导体间的电位差
电容的大小与电荷量、电位差无关，只与孤立导体或导体系
求对应的电场强度。
1 r 1 1 r [ 2 e ( )e ]e r 4 0 r r q 1 1 r ( 2 )e e r 4 0 r r q
3.1 静电场分析
(3)电位差（电压） 电位差:电场空间中不同位置处电位的变化量，也称电压，可 用U表示。 注:空间中某点的电位无物理意义，只有两点间的电位差才有 意义。
3.1 静电场分析
在均匀介质中
2
泊松方程
在无源区域中 0 ： 2 0
拉普拉斯方程
解上述的微分方程，结合给定的边界条件，就可得出电位的
定解。
1 2 边界条件 2 1 2 1 S n n
媒质1 媒质2
1
2
电位差有确定值，其取值只与首尾两点的位置有关，与积分
路径无关。
3.1 静电场分析
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
3.1.2 电位函数
1. 电位函数的定义
由
E
0
E
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电
场的标量电位或简称电位。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
2. 电位的表达式
对于连续的体分布电荷，由
R r r
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
12
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服 电荷之间的相互作用力而做功。
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能 量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
3.
电位差
将 E 两端点乘 dl，则有
E
dl
dl
(
dx
dy
dz)
d
x y y
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
d
1
q
0
2
根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电
场能量We ，即
We
1 2
q
对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具
有的电场能量为
dWe
1 2
dV
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
14
故体分布电荷的电场能量为 对于面分布电荷，电场能量为
We
1 2
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
C q
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
dV
V
We
1 2
S SdS
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
在均匀介质中，有
D
E
E
标量泊松方程
2
在无源区域， 0
2 0
拉普拉斯方程
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
6. 静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为1和2。当两点间距离Δl→0时
1
2
lim
Δl 0
P2
E
dl
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
1. 静电场的能量
设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。
充电过程中某一时刻的电荷量为αq 、电位为α 。(0≤α≤1)
当α增加为(α+ dα)时，外电源做功为:α (q dα)。
对α从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为
1
q
电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
8
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C)
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考
点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确
定值，所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则
两点间电位差有定值
应使电位表达式有意义。
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无
限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
5. 电位的微分方程
4
场矢量的折射关系
tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
导体表面的边界条件
介质1
en 1
E1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
界条件为
en
D
S
en E 0
或
Dn S
Et 0
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
微分形式：
D
E 0
本构关系： D E
0
P1
由
en
(D1
1
D和2 )
2
S
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
积分形式：S
D dS
q
C E dl 0
2. 边界条件
en
( D1
D2
)
S
en (E1 E2 ) 0
或
D1n D2n S
E1t E2t 0
若分界面上不存在面电荷，即
een (E1 E2 ) 0
S
或
，0则 ED11tn
D2 E2t
n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
E(r )
1
4π
V
(r ) R3
RdV
1
4π
V
(r )(
1
)dV
R
[ 1
4π
V
(r)( 1 )dV
R
故得
(r )
1
4π
V
(r)dV C
R
同理得，面电荷的电位：
(r)
1
4π
]
S
( 1 ) R
S (r R3
)dS
C
R R3
线电荷的电位： (r ) 1 l (r)dl C
4π C R
点电荷的电位： (r ) q C 4π R