2021年新高考北京数学高考真题(含答案)
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考1卷)含详解
2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i +=)A．62i-B．42i-C．62i +D．42i+，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．C．4D．4．下列区间中，函数()7sin(6f x x π=-单调递增的区间是()A．(0,)2πB．(2π，)πC．3(,)2ππD．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为()A．13B．12C．9D．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+)A．65-B．25-C．25D．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则()A．b e a<B．a e b<C．0b a e <<D．0ab e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A．12||||OP OP =B．12||||AP AP =C．312OA OP OP OP ⋅=⋅D．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则()A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA ∠最小时，||PB =D．当PBA ∠最大时，||PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则()A．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年北京市高考数学试题(解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x | -1 <x <1}，B ={x | 0 ≤x ≤ 2}，则A B =（）A.(-1, 2)B.(-1, 2]C.[0,1)D. [0,1]【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：A B ={x | -1 <x ≤ 2}，即A B =(-1, 2].故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1-i)z = 2 ，则z =（）A.2 +iB.2 -iC.1-iD.1+i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.2 2(1+i)2(1+i)【详解】由题意可得：z ====1+i .1-i (1-i)(1+i)2故选：D.3.已知f (x) 是定义在上[0,1] 的函数，那么“函数f (x) 在[0,1] 上单调递增”是“函数f (x) 在[0,1] 上的最大值为f (1) ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数f (x)在[0,1]上单调递增，则f (x)在[0,1]上的最大值为f (1)，若f (x)在[0,1]上的最大值为f (1)，33 ⎛ 1 ⎫2比如 f ( x ) = x - ⎪ ，⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤但 f ( x ) = x - ⎪ 在⎢0, 3⎥ 为减函数，在⎢⎣ 3 ,1⎥ 为增函数，⎝ 3 ⎭⎣ ⎦ ⎦ 故 f (x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) 推不出 f ( x ) 在[0,1]上单调递增， 故“函数 f (x ) 在[0,1]上单调递增”是“ f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的充分不必要条件，故选：A.4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3 + 32B. 4C. 3 +D. 2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O - ABC ，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1，故其表面积为3⨯ 1⨯1⨯1+3⨯( 2 )2=3 + 3 ， 242故选：A.3y 23b5. 双曲线C :x 2-y 2 = 1 过点( 2, 3 ) ，且离心率为2 ，则该双曲线的标准方程为（）a2b22y 2x 2 2A. x - = 13B. - y = 13C. x 2 - = 13D.3- y 2 = 1 【答案】A【解析】【分析】分析可得b = 程.3a ，再将点(2, 3 ) 代入双曲线的方程，求出 a 的值，即可得出双曲线的标准方【详解】 e = c = 2 ，则c = 2a ， b =a= 3a ，则双曲线的方程为 x a 2 2 - = 1，3a 2 将点( 2, 3 ) 的坐标代入双曲线的方程可得 2 - 3 = 1 = 1 ，解得a = 1 ，故b =，2y 2 a 2 3a 2a 2因此，双曲线的方程为 x -= 1.3故选：A.6.{a }和{b }是两个等差数列，其中 a k(1 ≤ k ≤ 5)为常值， a = 288 ， a = 96 ，b = 192 ，则b = （ ）n n 1 51 3 kA. 64B. 128C. 256D. 512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出b 5 的值，利用等差中项的性质可求得b 3 的值.3x 2c 2 - a 2 y 22 cos x 【详解】由已知条件可得a 1=a 5 ，则b =a 5b 1 =96⨯192 = 64 ，因此， b= b + b = 192 + 64 = 128 .b 1b 5a 12881 5 32 2故选：B.7. 函数 f (x ) = cos x - cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A. 奇函数，最大值为 2B. 偶函数，最大值为 2C. 奇函数，最大值为 98D. 偶函数，最大值为 98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意， f (-x ) = cos (-x ) - cos (-2x ) = cos x - cos 2x =f (x ) ，所以该函数为偶函数，又 f (x ) = cos x - cos 2x = -2 cos 2 x + cos x +1 = - ⎛- ⎝1 ⎫29 ⎪ + ，⎭ 8 所以当cos x = 1 时， f (x ) 取最大值 9.4 8故选：D.8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ < 10mm ），中雨（10mm - 25mm ），大雨（ 25mm - 50mm ），暴雨（ 50mm -100mm ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.4 52 3 4 - m 2k 2 +1【 详 解 】 由 题 意 ， 一 个 半 径 为200 = 100(mm ) 2的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为200 ⨯ 150= 50(mm ) ，高为150 (mm ) 的圆锥， 2 3001π ⨯ 502 ⨯150所以积水厚度d = 3= 12.5(mm ) ，属于中雨 π ⨯1002故选：B.9. 已知圆C : x 2 + y 2 = 4 ，直线l : y = kx + m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（ ）A. ±2B. ±C. ±D. ±【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为(0, 0) ，半径为 2，则圆心到直线的距离d = m， k 2+ 1则弦长为2 ，则当k = 0 时，弦长取得最小值为 = 2 ，解得m = ± 3 .故选：C.10. 数列{a n }是递增的整数数列，且a 1 ≥ 3 ， a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a n = 100 ，则n 的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使 n 尽可能的大，则a 1 ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{a n } 是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为 S n ，则a = n + 2 ， S = 3 +13 ⨯11 = 88 < 100 ， S = 3 +14⨯12 = 102 > 100 ，n112 122所以 n 的最大值为 11. 故选：C.54 - m 25 5 4 4 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11.(x 3- 1 )4 展开式中常数项为 ． x【答案】-4【解析】【详解】试题分析： ⎛ x 3 -1 ⎫ 的展开式的通项T = C r (x 3 )4-r ⎛ - 1 ⎫ = (-1)r C r x 12-4r , 令r = 3 得常数 x ⎪ r +1 4x ⎪ 4 ⎝⎭ ⎝ ⎭项为T = (-1)3C 3 = -4 .考点：二项式定理.12. 已知抛物线C : y 2 = 4x ，焦点为 F ，点 M 为抛物线C 上的点，且 FM = 6 ，则 M 的横坐标是 ；作 MN ⊥ x 轴于 N ，则 S FMN = ．【答案】①. 5②. 4【解析】【分析】根据焦半径公式可求 M 的横坐标，求出纵坐标后可求 S FMN . 【详解】因为抛物线的方程为 y 2 = 4x ，故 p = 2 且 F (1, 0).因为 MF = 6 ， x + p= 6 ，解得 x = 5 ，故 y = ±2 ， M 2M M所以 S= 1⨯(5 -1)⨯ 2 = 4 ，FMN2故答案为：5， 4 5 .13. a = (2,1)， ， c = (0,1) ，则(a + b ) ⋅ c =； a ⋅ b = ．【答案】①. 0 ②. 3【解析】【分析】根据坐标求出a + b ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】 a = (2,1), b = (2, -1), c = (0,1) ，∴ a + b = (4, 0) ，∴(a + b ) ⋅ c = 4 ⨯ 0 + 0 ⨯1 = 0 ， ∴a ⋅ b = 2⨯ 2 +1⨯(-1) = 3 .故答案为：0；3.55 b = (2, -1) 4 rπ 14. 若点P (cos θ , s in θ ) 与点Q (cos(θ + π ), s in(θ + π )) 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的θ = ．6 6【答案】5π （满足θ =5π + k π , k ∈ Z 即可）1212【解析】【分析】根据 P , Q 在单位圆上，可得θ ,θ + π 关于 y 轴对称，得出θ +π+ θ = π + 2k π , k ∈ Z 求解. 6 6【详解】P (cos θ , sin θ ) 与Q ⎛cos ⎛θ + π ⎫, sin ⎛θ + π ⎫⎫ 关于 y 轴对称， 6 ⎪ 6 ⎪⎪⎝ 即θ ,θ + π关于 y 轴对称，6⎝⎭ ⎝ ⎭⎭ θ + + θ = π + 2k π , k ∈ Z ，6则θ = k π +5π , k ∈ Z ，12当 k = 0 时，可取θ 的一个值为5π5π .12 5π 故答案为： 12 （满足θ = k π +, k ∈ Z 即可）. 1215. 已知函数 f (x ) = lg x - kx - 2 ，给出下列四个结论：①若k = 0 ，则 f (x ) 有两个零点； ② ∃k < 0 ，使得 f (x ) 有一个零点； ③ ∃k < 0 ，使得 f (x ) 有三个零点； ④ ∃k > 0 ，使得 f (x ) 有三个零点．以上正确结论得序号是 ．【答案】①②④【解析】【分析】由 f (x ) = 0 可得出 lg x = kx + 2 ，考查直线 y = kx + 2 与曲线 g ( x ) = lg x 的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当k = 0 时，由 f (x ) = lg x - 2 = 0 ，可得 x =1100或 x = 100 ，①正确； 对于②，考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 相切于点 P (t , -lg t ) ，⎨ ⎧kt + 2 = - lg t t = e 对函数 y = - lg x 求导得 y ' =- 1⎪ ，由题意可得 ⎪ 1 ，解得 100 ， x ln10⎨k =- ⎨ 100 ⎪⎩ t ln10 ⎪k =- ⎪⎩ elg e 所以，存在k = - 100lg e < 0 ，使得 f ( x ) 只有一个零点，②正确；e对于③，当直线 y = kx + 2 过点(1, 0) 时， k + 2 = 0 ，解得k = -2 ， 所以，当-100lg e < k < -2 时，直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点， e若函数 f (x ) 有三个零点，则直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点， ⎧- 100lg e < k < -2直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x ( x > 1) 有一个交点，所以， ⎪e ，此不等式无解，⎪⎩k + 2 > 0 因此，不存在k < 0 ，使得函数 f (x ) 有三个零点，③错误； 对于④，考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x (x > 1) 相切于点 P (t , lg t ) ，1⎧kt + 2 = lg t ⎧t = 100e 对函数y = lg x 求导得 y ' = ，由题意可得⎪ 1 ，解得⎪ lg e ，x ln10⎨k = ⎩ t ln10 ⎨k = ⎩ 100e 所以，当0 < k <lg e100e时，函数 f (x ) 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1） 转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；⎧3 343 （2） 列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3） 得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在 ABC 中， c = 2b cos B ， C = 2π．3（1） 求 B 的大小；（2） 在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上 中线的长度．① c = 2b ；②周长为4 + 2 ；③面积为S ∆ABC = ； 【答案】（1） π ；（2）答案不唯一，具体见解析． 6【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1） c = 2b cos B ，则由正弦定理可得sin C = 2 sin B cos B ，∴sin 2B = sin2π= 3 ，，∴ B ∈⎛ 0, π ⎫ ， 2B ∈⎛ 0, 2π ⎫，3 ⎪ 3 ⎪ 32∴2B =π，解得 B =π；⎝ ⎭ ⎝ ⎭3 63 （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 c = sin C= 2 = ，与c = b 2b 矛盾，故这样的 ABC 不存在； sin B 1 2若选择②：由（1）可得 A =π，6设 ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a = b = 2R sin π 6= R ，c = 2R sin2π = 33R ，3 C =2π 37 21 则周长a + b + c = 2R + 3R = 4 + 2 3 ，解得 R = 2 ，则a = 2, c = 2 3 ，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：= ；若选择③：由（1）可得 A = π，即a = b ，6则 S = 1 ab s in C = 1 a 2 ⨯ 3 = 3 3 ，解得a = 3 ， ABC2 2 2 4则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：= = . 217. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，点 E 为 A 1D 1 中点，直线 B 1C 1 交平面CDE 于点 F ．（1） 证明：点 F 为 B 1C 1 的中点；（2） 若点 M 为棱 AB 上一点，且二面角 M - C F - E 的余弦值为5 ，求A 1M的值．1 1【答案】（1）证明见解析；（2）A 1M = 1．3A 1B 1【解析】A 1B 12【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 B 1C 1 的交点即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ 的值. 【详解】(1)如图所示，取 B 1C 1 的中点 F ' ，连结 DE , EF ', F 'C ，(2 3)2+ 12 - 2 ⨯ 2 3 ⨯1⨯cos π6 b 2 + ⎪ - 2 ⨯ b ⨯ ⨯cos⎛ a ⎫2a ⎝ 2 ⎭2 2π3 3 + 3 + 3 ⨯4 3 2由于ABCD -A1B1C1D1为正方体，E, F ' 为中点，故EF 'CD ，从而E, F ', C, D 四点共面，即平面CDE 即平面CDEF '，据此可得：直线B1C1 交平面CDE 于点F ' ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点F ' 重合，即点F 为B1C1 中点.(2)以点D 为坐标原点，DA, DC, DD1 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D -xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设A1M=λ(0 ≤λ≤1)，A1B1则：M (2, 2λ, 2), C (0, 2, 0), F (1, 2, 2), E (1, 0, 2)，从而：MC =(-2, 2 - 2λ, -2), CF =(1, 0, 2), FE =(0, -2, 0)，设平面MCF 的法向量为：m =(x1, y1, z1 )，则：⎧⎪m ⋅MC =-2x1 +(2 - 2λ)y1 - 2z1 = 0⎨m ⋅C F =x + 2z = 0，⎪⎩ 1 1令z =-1可得：m =⎛2,1, -1⎫，1 1-λ⎪⎝⎭m, n=m ⋅n=m ⨯n5 +1-λ⎪⨯⎛ 1 ⎫2⎝ ⎭5⎝⎭设平面CFE 的法向量为：n =(x2 , y2 , z2 )，则：⎧⎪n ⋅FE =-2 y2 = 0⎨n ⋅C F =x + 2z= 0，⎪⎩ 2 2令z1 =-1可得：n =(2, 0, -1)，⎛ 1 ⎫2从而：m ⋅n = 5, m =cos则：5 +1-λ⎪, n = 5 ，5=53，整理可得：(λ-1)2 =1，故λ=1（λ=3舍去）.4 2 2【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100 人，已知其中2 人感染病毒．（1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者同一组，求总检测次数；1②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为11检测次数X 的分布列和数学期望E(X)；，定义随机变量X 为总检测次数，求（2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20 次；②分布列见解析；期望为320；（2）见解析．11【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出E (Y )，分类即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；所以总检测次数为20 次；②由题意，X 可以取20，30，P ( X = 20) = 1 ， P ( X = 30) = 1- 1= 10 ，11 则 X 的分布列:11 11所以 E ( X ) = 20⨯ + 30⨯ = ；11 11 11（2）由题意， Y 可以取 25，30，设两名感染者在同一组的概率为 p ，P (Y = 25) = p ， P (Y = 30) = 1- p ，则 E (Y ) = 25 p + 30(1- p ) = 30 - 5 p ， 若 p = 2时， E ( X ) = E (Y ) ；11若 p >若 p <2时， E ( X ) > E (Y ) ；11 2 时， E ( X ) < E (Y ) .1119. 已知函数 f ( x ) = 3 - 2x 2 ．x + a（1）若a = 0 ，求 y = f (x ) 在(1, f (1))处切线方程； （2）若函数 f (x ) 在 x = -1 处取得极值，求 f ( x ) 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1） 4x + y - 5 = 0 ；（2）函数 f ( x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ，单调递减区间为(-1, 4) ，最大值为1，最小值为- 1.4【解析】【分析】（1）求出 f (1) 、 f '(1) 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由 f '(-1) = 0 可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数 f (x ) 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当a = 0 时， f (x ) = 3 - 2x ，则 f '( x ) =2( x - 3) ，∴ f (1) = 1 ， f '(1) = -4 ，x 2x 3此时，曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y -1 = -4 ( x -1) ，即4x + y - 5 = 0 ；（2）因为 f ( x ) = 3 - 2x x 2 + a ，则 f '( x ) = -2 (x 2 + a ) - 2x (3 - 2x ) (x 2 + a )22 (x 2 - 3x - a ) (x 2 + a )2 ， =5 y y由题意可得 f '(-1)= 2(4 - a ) = 0 ，解得a = 4 ， (a +1)2故 f (x ) = 3 - 2x ， x 2 + 4f '( x ) =2 ( x +1)( x - 4) (x 2+ 4)2，列表如下：x(-∞, -1)-1(-1, 4)4(4, +∞)f '( x )+-+f ( x )增极大值减极小值增所以，函数 f (x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ，单调递减区间为(-1, 4) . 当 x < 3 时， f (x ) > 0 ；当 x > 3时， f ( x ) < 0 . 2所以， f ( x )max 2= f (-1) = 1， f ( x )min= f (4) = - 1. 4x 2 y 2 A (0, -2) 20. 已知椭圆 E : + a 2 b2 = 1(a > b > 0) 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为4 5 ．（1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 过点 P (0，-3)的直线 l 斜率为 k ，交椭圆 E 于不同的两点 B ，C ，直线 AB ，AC 交 y =-3 于点 M 、N ，直线 AC 交 y =-3 于点 N ，若|PM |+|PN |≤15，求 k 的取值范围． 【答案】（1） x 2+ = 1；（2）[-3, -1) ⋃ (1, 3]． 54【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a , b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 B (x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ，求出直线 AB , AC 的方程后可得 M , N 的横坐标，从而可得 PM + PN ，联立直线 BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PM + PN ，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过 A (0, -2) ，故b = 2 ，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5 ，故 1⨯ 2a ⨯ 2b = 4 2，即a = ，故椭圆的标准方程为： x2 + = 1.5 45 2 2x 1 y 1 + 2 50k4 + 5k 25k 2 4 + 5k 2 ⎨4x 2 + 5 y 2= 20 M y 2 - （2）设 B ( x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ，因为直线 BC 的斜率存在，故 x 1x 2 ≠ 0 ，故直线 AB : y =y 1 + 2 x - 2 ，令 y = -3 ，则 x=- x 1，同理 x=- x2 . 1 y 1 + 2 N+ 2直线 BC : y = kx - 3 ，由⎧ y = kx - 3⎩可得(4 + 5k 2 ) x 2 - 30kx + 25 = 0 ， 故∆ = 900k 2 -100 (4 + 5k 2 )> 0 ，解得k < -1 或 k > 1 .又 x + x = 30k, x x =25 ，故 x x > 0 ，所以 x x > 0 1 2 4 + 5k 2 1 24 + 5k 21 2 M N又 PM + PN = x + x =+ MN2kx x - ( x + x )30k 2 2 =+ = 1 2 1 2 = 4 + 5k= 5 k k 2 x x - k ( x + x ) +1 - 30k 2 + 1 2 1 2故5 k ≤ 15 即 k ≤ 3 ，4 + 5k 21综上， -3 ≤ k < -1 或1 < k ≤ 321. 定义 R 数列{a }：对实数 p ，满足：① a + p ≥ 0 ， a+ p = 0 ；② ∀n ∈ N * , a< a ；pn124n -14n③ a m + n ∈{a m + a n + p , a m + a n + p + 1} ， m , n ∈ N * ．（1） 对于前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 R 2 数列吗？说明理由；x 2y 2 + 2 x 1 kx 1 -1 x 2 kx 2 -1 xn （2） 若{a n }是 R 0 数列，求a 5值；（3） 是否存在 p ，使得存在 R p 数列{a }，对∀n ∈ N *, S ≥ S 10？若存在，求出所有这样的 p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是 R 2 数列；理由见解析；（2） a 5 = 1 ；（3）存在； p = 2 ．【解析】【分析】(1)由题意考查a 3 的值即可说明数列不是 R 2 数列；(2) 由题意首先确定数列的前 4 项，然后讨论计算即可确定a 5 的值； (3) 构造数列b n = a n + p ，易知数列{b n } 是 R 0 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知0 = a 3 ∈{a 1 + a 2 + 2, a 1 + a 2 + 2 +1} = {2, 3}， 矛盾，故前 4 项2, -2, 0,1的数列，不可能是 R 2 数列.(2) 性质① a 1 ≥ 0, a 2 = 0 ，由性质③ a m +2 ∈{a m , a m +1} ，因此a 3 = a 1 或a 3 = a 1 +1 ， a 4 = 0 或a 4 = 1 ，若 a 4 = 0 ，由性质②可知a 3 < a 4 ，即a 1 < 0 或 a 1 +1 < 0 ，矛盾； 若 a 4 = 1, a 3 = a 1 +1 ，由a 3 < a 4 有a 1 +1 < 1，矛盾.因此只能是a 4 = 1, a 3 = a 1 .又因为a = a + a 或a= a + a+1 ，所以a = 1 或a = 0 . 4 1 3 4 1 3 12 1 若a = 1，则a = a ∈{a + a + 0, a + a + 0 +1} = {2a , 2a +1} = {1, 2} ， 122 1+1 1 1 1 1 1 1不满足a 2 = 0 ，舍去.当 a 1 = 0 ，则{a n }前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a 4n +i = n (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1(n ∈ N ) ： 当 n = 0 时，经验证命题成立，假设当n ≤ k (k ≥ 0) 时命题成立，当 n = k +1 时：若i = 1 ，则a 4(k +1)+1 = a 4k +5 = a j +(4k +5- j ) ，利用性质③：nj4k +5- jj 4k +6- jj4k +7- j4k +7 4k +8 {a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 4} = {k , k +1} ，此时可得： a = k +1；否则，若a 4k +5 = k ，取k = 0 可得： a 5 = 0 ， 而由性质②可得： a 5 = a 1 + a 4 ∈{1, 2} ，与a 5 = 0 矛盾.同理可得：{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 5} = {k , k +1} ，有a = k +1 ；{a + a∣j ∈ N *, 2 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1, k + 2}，有a= k + 2 ；j4k +8- j{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1} ，又因为a 4k +8< a ，有a= k +1.即当n = k +1 时命题成立，证毕. 综上可得： a 1 = 0 ， a 5 = a 4⨯1+1 = 1 .(3) 令b n = a n + p ，由性质③可知：∀m , n ∈ N *, b= a+ p ∈{a + p + a + p , a + p + a + p +1} = {b + b , b + b +1} ，m +nm +nmnmnmnmn由于b 1 = a 1 + p ≥ 0, b 2 = a 2 + p = 0, b 4n -1 = a 4n -1 + p < a 4n + p = b 4n ，因此数列{b n }为 R 0 数列. 由（2）可知:若∀n ∈ N , a 4n +i = n - p (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1- p ；S 11 - S 10 = a 11 = a 4⨯2+3 = 2 - p ≥ 0 ， S 9 - S 10 = -a 10 = -a 4⨯2+2 = -(2 - p ) ≥ 0 ，因此p = 2 ，此时a 1, a 2 ,⋯, a 10 ≤ 0 ， a j ≥ 0 ( j ≥ 11) ，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4k +5 4k +6 4k +7。
2021年高考数学真题试题(北京卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3+√32B. 4C. 3+√3D. 2【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，则SB=SC=BC=√2，则所求表面积为S=3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin60°=3+√32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. x 2−y 23=1 B. x 23−y 2=1 C. x 2−√3y 23=1 D.√3x 23−y 2=1【答案】 A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e =ca =2得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：x 2a 2−y 23a 2=1 ，将点(√2,√3) 代入上式，得(√2)2a 2−(√3)23a 2=1解得a 2=1,b 2=3 故所求方程为： x 2−y 23=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.{a n } 和 {b n } 是两个等差数列，其中 akb k(1≤k ≤5) 为常值， a 1=288 ， a 5=96 ， b 1=192 ，则b 3= （ ）A. 64B. 128C. 256D. 512 【答案】 B【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由题意得a k b k=a 1b 1=288192=32 ， 则a 5b 5=32 ， 则b 5=23a 5=64 ， 所以b 3=b 1+b 52=192+642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.函数 f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 98 D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) ∴f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1 令t=cosx ，则y=-2t 2+t+1，t ∈[-1,1]，则当t =−12×(−2)=14时，y 取得最大值y max =(−2)×(14)2+14+1=98.故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm−25mm），大雨（25mm−50mm），暴雨（50mm−100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，由题意得r100=150300，则r=50则雨水的体积为V=13πr2h=13π×502×150，则降雨的厚度（高度）为H=Vπ×1002=13π×502×150π×1002=12.5(mm)故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±√5【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，则d2=r2−(n2)2=4−n24，则当n取最小值2时，d取得最大值为√3，则d=√1+k2≤√3当k=0时，d取得最大值为√3，则|m|=√3解得m=±√3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+a n=100，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵数列{a n}是递增的整数数列，∴n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=1∵a1=3，d=1∴a n=n+2∴S n=(3+n+2)n2=n2+5n2则S11=88<100，S12=102>100，故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）11.(x3−1x)4展开式中常数项为________．【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C4k(x3)4−k(−1x )k=C4k(−1)k x12−4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=________．【答案】5；4√5【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=2√5，不妨取点M为(5,2√5)则点N为(5,0)则|FN|=5-1=4则S△FMN=12×|FN|×|MN|=12×4×2√5=4√5故答案为：5，4√5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=________．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k∈Z即可）【考点】诱导公式【解析】【解答】解：由题意得{sinθ=sin(θ+π6)cosθ=−cos(θ+π6))，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得θ+π6=π−θ+2kπ，解得θ=5π12+kπ,k∈Z当k=0时，θ=5π12故答案为：5π12【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：①若k=0，则f(x)有两个零点；② ∃k<0，使得f(x)有一个零点；③ ∃k<0，使得f(x)有三个零点；④ ∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是________．【答案】①②④【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， ①当k= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x =1100 ， 所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，∃k <0 ， 使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，∃k >0 ， 使得两函数存在三个交点，故④项正确. 故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.a ⃗=(2,1) ， b ⃗⃗=(2,−1) ， c ⃗=(0,1) ，则 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗= ________； a ⃗⋅b ⃗⃗= ________． 【答案】 0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得a →+b →=(4,0) ， 则(a →+b →)·c →=4×0+0×1=0 ， a →·b →=2×2+1×(−1)=3 故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（共6题；共85分）16.已知在 △ABC 中， c =2bcosB ， C =2π3．（1）求 B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① c =√2b ；②周长为 4+2√3 ；③面积为 S ΔABC =3√34；【答案】 （1）∵c =2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC =2sinBcosB ， ∴sin2B =sin2π3=√32， ∵C =2π3， ∴B ∈(0,π3) ， 2B ∈(0,2π3) ，∴2B =π3 ，解得 B =π6 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 cb =sinCsinB =√3212=√3 ，与 c =√2b 矛盾，故这样的 △ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得 A =π6 ， 设 △ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．（1）证明：点F为B1C1的中点；（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1的值．【答案】（1）如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C，由于 ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体， E,F ′ 为中点，故 EF ′∥CD ， 从而 E,F ′,C,D 四点共面，即平面CDE 即平面 CDEF ′ ， 据此可得：直线 B 1C 1 交平面 CDE 于点 F ′ ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F ′ 重合， 即点 F 为 B 1C 1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA,DC,DD 1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D −xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设 A 1MA1B 1=λ(0≤λ≤1) ，则： M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2−2λ,−2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,0) ， 设平面 MCF 的法向量为： m⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1) ，则： {m ⇀⋅MC⇀=−2x 1+(2−2λ)y 1−2z 1=0m ⇀⋅CF ⇀=x 1+2z 1=0 ， 令 z 1=−1 可得： m ⃗⃗⃗=(2,11−λ,−1) ， 设平面 CFE 的法向量为： n⃗⃗=(x 2,y 2,z 2) ，则： {n ⇀⋅FE⇀=−2y 2=0n ⇀⋅CF ⇀=x 2+2z 2=0， 令 z 1=−1 可得： n⃗⃗=(2,0,−1) ， 从而： m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=5,|m ⃗⃗⃗|=√5+(11−λ)2,|n ⃗⃗|=√5 ，则：cos〈m⃗⃗⃗,n⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√5+(11−λ)2×√5=√53，整理可得：(λ−1)2=14，故λ=12（λ=32舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.已知函数f(x)=3−2xx2+a．（1）若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程；（2）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）当a=0时，f(x)=3−2xx2，则f′(x)=2(x−3)x3，∴f(1)=1，f′(1)=−4，此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0；（2）因为f(x)=3−2xx2+a ，则f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2(x2−3x−a)(x2+a)2，由题意可得f′(−1)=2(4−a)(a+1)2=0，解得a=4，故f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(4,+∞)，单调递减区间为(−1,4).当x<32时，f(x)>0；当x>32时，f(x)<0.所以，f(x)max=f(−1)=1，f(x)min=f(4)=−14.【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.定义R p数列{a n}：对实数p，满足：① a1+p≥0，a2+p=0；② ∀n∈N∗,a4n−1<a4n；③ a m+n∈{a m+a n+p,a m+a n+p+1}，m,n∈N∗．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；（3）是否存在p，使得存在R p数列{a n}，对∀n∈N∗,S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．【答案】（1）由性质③结合题意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，矛盾，故前4项2,−2,0,1的数列，不可能是R2数列.（2）性质① a1≥0,a2=0，由性质③ a m+2∈{a m,a m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，若a4=0，由性质②可知a3<a4，即a1<0或a1+1<0，矛盾；若a4=1,a3=a1+1，由a3<a4有a1+1<1，矛盾.因此只能是a4=1,a3=a1.或a1=0.又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1，所以a1=12若a1=1，则a2=a1+1∈{a1+a1+0,a1+a1+0+1}={2a1,2a1+1}={1,2}，2不满足a2=0，舍去.当a1=0，则{a n}前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n≤k(k≥0)时命题成立，当n=k+1时：若i=1，则a4(k+1)+1=a4k+5=a j+(4k+5−j)，利用性质③：{a j+a4k+5−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此时可得：a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0，而由性质②可得：a5=a1+a4∈{1,2}，与a5=0矛盾.同理可得：{a j+a4k+6−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；{a j+a4k+8−j∣j∈N∗,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；{a j+a4k+7−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，有a4k+7=k+1.即当n=k+1时命题成立，证毕.综上可得：a1=0，a5=a4×1+1=1.（3）令b n=a n+p，由性质③可知：∀m,n∈N∗,b m+n=a m+n+p∈{a m+p+a n+p,a m+p+a n+p+1}={b m+b n,b m+b n+1}，由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n−1=a4n−1+p<a4n+p=b4n，因此数列{b n}为R0数列.由（2）可知:若∀n∈N,a4n+i=n−p(i=1,2,3),a4n+4=n+1−p；S11−S10=a11=a4×2+3=2−p≥0，S9−S10=−a10=−a4×2+2=−(2−p)≥0，因此p=2，此时a1,a2,…,a10≤0，a j≥0(j≥11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列R p数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列R p数列的定义，结合a n与s n的关系进行判断即可.。
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共8题；共40分）1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A∩(\complement_U B)=（）$A。
$\{3\}$ B。
$\{1,6\}$ C。
$\{5,6\}$ D。
$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（）A。
1 B。
2 C。
$2\sqrt{2}$ D。
44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。
在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。
将地球看作是一个球心为O，半径$r$ 为6400km的球，其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$（单位：$km^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（）A。
26% B。
34% C。
42% D。
50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A。
$20+12\sqrt{3}$ B。
$28\sqrt{2}$ C。
$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。
$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$，下列结论中不正确的是（）A。
2021年高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(解析卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}2 B. {}2,3 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B I .【详解】由题设有{}2,3A B Ç=，故选：B .2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i - B. 42i- C. 62i+ D. 42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i+=-+=+3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l p p =l =.故选：B.4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（ ）A. 0,2p æöç÷èøB. ,2ππæöç÷èøC. 3,2p p æöç÷èøD. 3,22p p æöç÷èø【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z pppp p -<-<+Î，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø，对于函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø，由()22262k x k k Z p p p p p -<-<+Î，解得()22233k x k k Z ppp p -<<+Î，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33p pæö-ç÷èø，则20,,233p p pæöæöÍ-ç÷ç÷èøèø，2,,233p p p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33p p æöç÷èø，32,,233pp p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø且358,,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，358,2,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，CD 选项均不满足条件.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x w j +看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把w 化为正数．5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A. 13 B. 12C. 9D. 6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF æ+ö×≤ç÷èø即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF æ+ö×≤=ç÷èø（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6. 若tan 2q =-，则()sin 1sin 2sin cos q q q q+=+（ ）A. 65-B. 25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2q =-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos q q q q q q q q q q q q q q+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145q q q q q q q q ++-====+++．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2q =-，求出sin ,cos q q 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7. 若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y ¢=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()t ty e ex t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e ¢=-.当t a <时，()0f t ¢>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t ¢<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =¹==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =¹=¹乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P a a ，()2cos ,sin P b b -，()()()3cos ,sin P a b a b ++，()1,0A ，则（ ）A 12OP OP =uuu r uuur B. 12AP AP =uuu r uuurC. 312OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuu r uuur D. 123OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuur uuur 【答案】AC 【解析】.【分析】A 、B 写出1OP uuu r ，2OP uuur 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP a a =uuu r ，2(cos ,sin )OP b b =-uuur ，所以1||1OP ==uuu r ，2||1OP ==uuur ，故12||||OP OP =uuu r uuur ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP a a =-uuu ，2(cos 1,sin )AP b b =--，所以1||2|sin |2AP a =====uuu r，同理2||2|sin |2AP b ==uuur ，故12||,||AP AP uuu r uuur 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP a b a b a b ×=´++´+=+uuu r uuur ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP a b a b a b ×=×+×-=+uuu r uuur ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP a a a ×=´+´=uuu r uuu r ，23cos cos()(sin )sin()OP OP b a b b a b ×=´++-´+uuur uuur22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin a b a b b a b b a b=---cos cos 2sin sin 2cos(2)a b a b a b =-=+，错误；故选：AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA Ð最小时，PB =D. 当PBA Ð最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4=>，所以，点P 到直线AB42-<410+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ^，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB l m =+uuu r uuu r uuur，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，则（ ）A. 当1l =时，1AB P △的周长为定值B. 当1m =时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12l =时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ^D. 当12m =时，有且仅有一个点P ，使得1AB ^平面1AB P 【答案】BD的【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1l =时，11=BP BC BB BC CC m m =++uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r，即此时P Î线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A错误；对于B ，当1m =时，1111=BP BC BB BB B C l l =++uuu r uuu r uuur uuur uuuu r，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12l =时，112BP BC BB m =+uuu r uuur uuur ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH m =+uuu r uuu r uuur ，所以P 点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ö÷÷ø，()0,0P m ,，10,,02B æöç÷èø，则11A P m æö=-ç÷ç÷èøuuur ，10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，()10m m -=，所以0m =或1m =．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12m =时，112BP BC BB l =+uuu r uuu r uuur ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN l =+uuu r uuuu r uuuu r ，所以P 点的轨迹为线段MN ．设010,,2P y æöç÷èø，因为0,0A ö÷÷ø，所以01,2AP y æö=ç÷ç÷èøuuu r，11,12A B æö=-ç÷ç÷èøuuur ，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx x a f x -=×-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=×-，故()()322x x f x x a --=-×-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --×-=-×-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ^，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p \+=-u u u r 因为PQ OP ^，所以260032p p p p ´-=>\=\Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+¥，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+¥，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ´的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ´，20dm 6dm ´两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ´，10dm 6dm ´，20dm 3dm ´三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==å______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ´，562dm dm ´，53dm dm ´，3102dm dm ´，3204dm dm ´，共5种；（2）由题意可得12120S =´，2360S =´，3430S =´，4515S =´，L ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+´´´=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+´´=++++L ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --æö-ç÷++æöèø=++++-=+-ç÷èø-L ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +ìüíýîþ结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ¹，则111111n n n n a a d a a ++æö=-ç÷èø，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.的【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-L ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-´=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++L ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-L ，所以()20241820210S a a a a =++++-L ()1291091021021023103002b b b b ´æö=++++-=´´+´-=ç÷èøL .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以X 的分布列为X20100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =´+´+´=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =´+´+´=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19. 记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABCÐ【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC Ð=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB Ð、cos CDB Ð，又ADB CDB p Ð=-Ð，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC Ð..【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =Ð，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =Ð，即sin sin C cABC b=Ð，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b bc c ADB b b b +--Ð==×，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--Ð==×，∵ADB CDB p Ð=-Ð，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-Ð==-，当2213a b =时，7cos 16ABC Ð=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC Ð=；综上，7cos 12ABC Ð=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB p Ð=-Ð得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC Ð.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ^；（2）若OCD V 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45°，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD I 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO Ì平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD Ì平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D Ç=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF Ð为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF pÐ=因为BO OD =,OCD V 为正三角形,所以OCD V 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF \==+=从而EF=FM=213AO \=AO ^Q 平面BCD,所以11111332BCD V AO S D =×=´´´=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ×=×，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t æöç÷èø，设直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ×的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ×的表达式，由TA TB TP TQ ×=×化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t æöç÷èø，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ì=+-ïíï-=î，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k æö-+-+-+=ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k æö-+ç÷èø=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++æö×=+×-×-=+×-+=ç÷-èø，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++×=-，因为TA TB TP TQ ×=×，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -¹，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+¥上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,¥+，又()1ln 1ln f x x x ¢=--=-，当()0,1x Î时，()0f x ¢>，当()1,+x Î¥时，()0f x ¢<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b æöæö=ç÷ç÷èøèø，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x Î时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e Î+¥时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x ¢¢¢=+-=---()ln 2x x =--éùëû，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x ¢>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -æö¢=++--=+-ç÷++èø，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -¢=-=++，当10x -<<时，()0u x ¢>；当0x >时，()0u x ¢<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+¥上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t æö+≤<ç÷+èø，故()0S t ¢<恒成立，故()S t 在()1,+¥上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。
2021新高考数学卷2(含答案)
（2）求二面角 平面角的余弦值．
20. 已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%
【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【解析】：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.故选：C.
5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
A. B. C. D.
【思路分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
参考答案与试题解析
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【思路分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【解析】： ，所以该复数对应的点为 ，
A.1B.2C. D.4
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（）
2021年高考数学真题试卷(北京卷)295带答案解析
2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（共10题；共40分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=（）．A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】【解答】A∩B={−1,0,1,2}∩(0,3)={1,2}，故答案为：D.【分析】根据交集定义直接得结果.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.3.在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A. -5B. 5C. -10D. 10【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】(√x−2)5展开式的通项公式为：T=C5r(√x)5−r(−2)r=(−2)r C5r x5−r2，r+1=2可得：r=1，则x2的系数为：(−2)1C51=(−2)×5=−10.令5−r2故答案为：C.【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√3【答案】 D【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，×2×2×sin60°)=12+2√3.则其表面积为：S=3×(2×2)+2×(12故答案为：D.【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【考点】两点间距离公式的应用，圆的标准方程【解析】【解答】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故答案为：A.【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.6.已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)【答案】 D【考点】函数的图象，其他不等式的解法【解析】【解答】因为f(x)=2x−x−1，所以f(x)>0等价于2x>x+1，在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞).故答案为：D.【分析】作出函数y=2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果.7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】【解答】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故答案为：B.【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.8.在等差数列{a n}中，a1=−9，a3=−1．记T n=a1a2…a n(n=1,2,…)，则数列{T n}（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差d=a5−a15−1=−1+95−1=2，则其通项公式为：a n=a1+(n−1)d=−9+(n−1)×2=2n−11，注意到a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<⋯，且由T5<0可知T i<0(i≥6,i∈N)，由T iT i−1=a i>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n}不存在最小项，由于a1=−9,a2=−7,a3=−5,a4=−3,a5=−1,a6=1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2=63，T4=63×15=945.故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故答案为：B.【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.9.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，诱导公式【解析】【解答】(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ时，若k为偶数，则sinα=sin(kπ+β)=sinβ；若k为奇数，则sinα=sin(kπ−β)=sin[(k−1)π+π−β]=sin(π−β)=sinβ；(2)当sinα=sinβ时，α=β+2mπ或α+β=π+2mπ，m∈Z，即α=kπ+(−1)kβ(k=2m)或α=kπ+(−1)kβ(k=2m+1)，亦即存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ．所以，“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“ sinα=sinβ”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.10.2021年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故答案为：A.【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.二、填空题共5题，每小题5分，共25分（共5题；共25分）11.函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是________．【答案】(0,+∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得{x>0x+1≠0，∴x>0故答案为：(0,+∞)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.12.若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．【答案】π2（2kπ+π2,k∈Z均可）【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的积化和差公式【解析】【解答】因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【考点】斜率的计算公式，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果14.已知双曲线C:x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．【答案】(3,0)；√3【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】在双曲线C中，a=√6，b=√3，则c=√a2+b2=3，则双曲线C的右焦点坐标为(3,0)，双曲线C的渐近线方程为y=±√22x，即x±√2y=0，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为√12+2=√3.故答案为： (3,0) ； √3 .【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.15.已知正方形 ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ，则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ________； PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ________． 【答案】 √5；-1【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】【解答】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点 A(0,0) 、 B(2,0) 、 C(2,2) 、 D(0,2) ， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1) ， 则点 P(2,1) ， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1) ， 因此， |PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2)2+12=√5 ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(−2)+1×(−1)=−1 . 故答案为： √5 ；-1.【分析】以点A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 |PD⃗⃗⃗⃗⃗ | 以及 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（共6题；共85分）16.如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为 BB 1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//A1B1且AB=A1B1，A1B1//C1D1且A1B1=C1D1，∴AB//C1D1且AB=C1D1，所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，∵BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1//平面AD1E；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系A−xyz，设正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为2，则 A(0,0,0) 、 A 1(0,0,2) 、 D 1(2,0,2) 、 E(0,2,1) ， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2) ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) ， 设平面 AD 1E 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ，由 {n ⇀⋅AD1⇀=0n ⇀⋅AE ⇀=0 ，得 {2x +2z =02y +z =0 ， 令 z =−2 ，则 x =2 ， y =1 ，则 n⃗ =(2,1,−2) . cos <n ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |⋅|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−43×2=−23. 因此，直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 23 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，可得出 BC 1//AD 1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 A −xyz ，利用空间向量法可计算出直线 AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值. 17.在 △ABC 中， a +b =11 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ） sinC 和 △ABC 的面积． 条件①： c =7,cosA =−17 ； 条件②： cosA =18,cosB =916 ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】 解：选择条件①（Ⅰ） ∵c =7,cosA =−17， a +b =11 ∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ） ∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得： a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ） ∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π) ∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得： asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ） sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sinA ,再根据正弦定理求 sinC ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 sinA,sinB ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 sinC ，再根据三角形面积公式求结果.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p 0 ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p 1 ，试比较 p 0 与 p 1 的大小．（结论不要求证明） 【答案】 解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 200200+400=13 ， 该校女生支持方案一的概率为 300300+100=34；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为： (13)2(1−34)+C 21(13)(1−13)34=1336 ; （Ⅲ） p 1<p 0【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 19.已知函数 f(x)=12−x 2 ．（Ⅰ）求曲线 y =f(x) 的斜率等于 −2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线 y =f(x) 在点 (t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t) ，求 S(t) 的最小值．【答案】 解：（Ⅰ）因为 f(x)=12−x 2 ，所以 f ′(x)=−2x ， 设切点为 (x 0,12−x 0) ，则 −2x 0=−2 ，即 x 0=1 ，所以切点为 (1,11) ， 由点斜式可得切线方程为： y −11=−2(x −1) ，即 2x +y −13=0 . （Ⅱ）显然 t ≠0 ，因为 y =f(x) 在点 (t,12−t 2) 处的切线方程为： y −(12−t 2)=−2t(x −t) ， 令 x =0 ，得 y =t 2+12 ，令 y =0 ，得 x =t 2+122t，所以S(t)=12×(t2+12)⋅t2+122|t|，不妨设t>0(t<0时，结果一样)，则S(t)=t4+24t2+1444t =14(t3+24t+144t)，所以S′(t)=14(3t2+24−144t2)=3(t4+8t2−48)4t2=3(t2−4)(t2+12)4t2=3(t−2)(t+2)(t2+12)4t2，由S′(t)>0，得t>2，由S′(t)<0，得0<t<2，所以S(t)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以t=2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)=16×168=32.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4于点P,Q．求|PB||BQ|的值．【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：{4a2+1b2=1a=2b，解得：{a2=8b2=2，故椭圆方程为：x28+y22=1.（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程x28+y22=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则：x1+x2=−32k24k2+1,x1x2=64k2−84k2+1.直线MA的方程为：y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4可得：y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得：y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显 y P y Q <0 ，且： |PB||PQ|=|yPy Q| ，注意到：y P +y Q =−(2k +1)(x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2)=−(2k +1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)，而： (x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8] =2[64k 2−84k 2+1+3×(−32k 24k 2+1)+8]=2×(64k 2−8)+3×(−32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0 ，故 y P +y Q =0,y P =−y Q .从而 |PB||PQ|=|yPy Q|=1 .【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA 的方程确定点P,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P +y Q =0 ，从而可得两线段长度的比值. 21.已知 {a n } 是无穷数列．给出两个性质：①对于 {a n } 中任意两项 a i ,a j (i >j) ，在 {a n } 中都存在一项 a m ，使a i2a j=a m ；②对于 {a n } 中任意项 a n (n ⩾3) ，在 {a n } 中都存在两项 a k ,a l (k >l) ．使得 a n =a k2a l．(Ⅰ)若 a n =n(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若 a n =2n−1(n =1,2,⋯) ，判断数列 {a n } 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 {a n } 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {a n } 为等比数列. 【答案】 解：(Ⅰ) ∵a 2=2,a 3=3,a 32a 2=92∉Z ∴{a n } 不具有性质①；(Ⅱ) ∵∀i,j ∈N ∗,i >j,a i 2a j=2(2i−j)−1,2i −j ∈N ∗∴a i 2a j=a 2i−j ∴{a n } 具有性质①；∵∀n ∈N ∗,n ≥3,∃k =n −1,l =n −2,a k 2a l=2(2k−l)−1=2n−1=a n ,∴{a n } 具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然 a n ≠0(n ∉N ∗) ，假设数列中存在负项，设 N 0=max{n|a n <0} ， 第一种情况：若 N 0=1 ，即 a 0<0<a 1<a 2<a 3<⋯ ，由①可知：存在 m 1 ，满足 a m 1=a 22a 1<0 ，存在 m 2 ，满足 a m 2=a 32a 1<0 ，由 N 0=1 可知 a 22a 1=a 32a 1，从而 a 2=a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若 N 0≥2 ，由①知存在实数 m ，满足 a m =a N2a 1<0 ，由 N 0 的定义可知： m ≤N 0 ，另一方面， a m =a N2a 1>a N02aN 0=a N 0 ，由数列的单调性可知： m >N 0 ，这与N0的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a3=a22a1：利用性质②：取n=3，此时a3=a k2a l(k>l)，由数列的单调性可知a k>a l>0，而a3=a k⋅a k al>a k，故k<3，此时必有k=2,l=1，即a3=a22a1，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n}的前k(k≥3)项成等比数列，不妨设a s=a1q s−1(1≤s≤k)，其中a1>0,q>1，（a1<0,0<q<1的情况类似）由①可得：存在整数m，满足a m=a k2a k−1=a1q k>a k，且a m=a1q k≥a k+1（*）由②得：存在s>t，满足：a k+1=a s2a t =a s⋅a sa t>a s，由数列的单调性可知：t<s≤k+1，由a s=a1q s−1(1≤s≤k)可得：a k+1=a s2a t=a1q2s−t−1>a k=a1q k−1（**）由（**）和（*）式可得：a1q k≥a1q2s−t−1>a1q k−1，结合数列的单调性有：k≥2s−t−1>k−1，注意到s,t,k均为整数，故k=2s−t−1，代入（**）式，从而a k+1=a1q k.总上可得，数列{a n}的通项公式为：a n=a1q n−1.即数列{a n}为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取n=3，此时a3=a k2a l(k>l)，由数列的单调性可知a k>a l>0，而a3=a k⋅a k al>a k，故k<3，此时必有k=2,l=1，即a3=a22a1，即a1,a2,a3成等比数列，不妨设a2=a1q,a3=a1q2(q>1)，然后利用性质①：取i=3,j=2，则a m=a32a2=a12q4a1q=a1q3，即数列中必然存在一项的值为a1q3，下面我们来证明a4=a1q3，否则，由数列的单调性可知a4<a1q3，在性质②中，取n=4，则a4=a k2a l =a k a ka l>a k，从而k<4，与前面类似的可知则存在{k,l}⊆{1,2,3}(k>l)，满足a4=a k2，a l=a1q3，与假设矛盾；若k=3,l=2，则：a4=a k2a l=a1q4>a1q3，与假设矛盾；若k=3,l=1，则：a4=a k2a l=a1q2=a3，与数列的单调性矛盾；若k=2,l=1，则：a4=a k2a l即不存在满足题意的正整数k,l，可见a4<a1q3不成立，从而a4=a1q3，同理可得：a5=a1q4,a6=a1q5,⋯，从而数列{a n}为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【考点】数列递推式，分析法的思考过程、特点及应用，反证法【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首证明数列中的项数同号，然后证明a3=a22a1先假设数列中的项数均为正数，然后证得a1,a2,a3成等比数列，之后证得a1,a2,a3,a4成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.。
2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。
回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。
{2} B。
{2,3} C。
{3,4} D。
{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。
6-2i B。
4-2i C。
6+2i D。
4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2 B。
4 C。
4√2 D。
2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。
(0,π/2) B。
(π/2,π) C。
(π,3π/2) D。
(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。
13 B。
12 C。
9 D。
66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。
-3/5 B。
-4/5 C。
-24/25 D。
-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。
ea<b C。
0<a<eb D。
0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。
2/3 B。
5/9 C。
7/9 D。
2021年新高考北京数学高考真题变式题1-5题-(解析版)
2021年新高考北京数学高考真题变式题1-5题原题11．已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤变式题1基础2．若{0A x x =<<,{}12B x x =≤<,则A B ⋃=（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}2x x ≥C ．{1x x ≤D ．{}02x x <<变式题2基础3．设集合{1,3,5}A =,{3,4,5}B =,则A B ⋃=（ ）A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}变式题3巩固4．已知集合{}2log 2M x x =<∣,{}25N x x =<<∣,则M N ⋃=（ ）A ．{}45x x <<∣B ．{}04xx <<∣C ．{}05xx <<∣D ．{}24xx <<∣变式题4巩固5．已知集合112162x A x N -⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭,{}240B x x x m =-+=．若1A B ∈ ,则A B ⋃=（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}变式题5巩固6．已知集合{}13A x x =-<≤,集合{}2B x x =≤,则下面关系式正确地是（ ）A ．A B =∅B ．{}23A B x x ⋃=-<≤C ．{R 1A B x x ⋃=≤-ð或}2x >D ．{}R 23A B x x ⋂=<≤ð变式题6巩固7．设集合{}2|1log 3A x x =≤≤,{}2|340B x x x =--<,则A B ⋃=（ ）变式题7提升8．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭,1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]原题29．在复平面内,复数z 满足(1)2i z -=,则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+变式题1基础10．若复数z 满足(12i)5z +=,则z =（ ）A ．1i +B ．1i-C ．12i+D ．12i-变式题2基础11．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）,则1=z（ ）．A ．12i55+B ．12i55-C ．12i-D ．12i+变式题3巩固12．已知复数z 满足ii 1z z -=+,则复数z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i-+变式题4巩固13．已知i 是虚数单位,复数z =（1+b i ）（2+i ）地虚部为3,则复数z 地共轭复数为（ ）A ．-1+3i B ．1-3iC ．-3+3iD ．3-3i变式题5巩固14．已知复数z 满足：()12i i 2z +=-,则z =（ ）A ．14B C ．12D 变式题6巩固15．已知复数53i1iz +=-,则下面表达正确地是（ ）A ．z 地虚部为4i B ．z 地共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应地点在第二象限变式题7提升16．复数21iz =+（i 是虚数单位）地共轭复数在复平面内对应地点是A ．()1,1B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--变式题8提升17．已知复数z 对应地点在第二象限,z 为z 地共轭复数,有下面有关z 地四个命题：甲：2z z +=-。
2021年全国高考新高考1卷数学试题及答案解析
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A A．{2}B．{2,3}B=D．{2,3,4}C．{3,4}2．已知z=2-i，则z(z+i)=A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i 3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A．2B．22C．4D．42π4．下列区间中，函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是6πA．(0,)2πB．(,π)2C．(π,3π)2D．(3π,2π)2x2y25．已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最94大值为A．136．若tanθ=-2，则B．12C．9D．6 sinθ(1+sin2θ)=sinθ+cosθ2B．-5C．6 A．-525D．657．若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A ．甲与丙相互独立C ．乙与丙相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考数学新高考1卷(附参考答案)
故平均数不相同错误"项若第一组中位数为+7则第二组的
中位数为*7 $+7 '6显然不相同错误%项8*$ 8+'
,!0!解析在曲线*$6+ 上任取一点2 363对函数* 86$8+故方差相同正确0项由极差的定义知若第一
$6+ 求导得*4$6+所以曲线*$6+ 在点2 处的切线方程为 组的极差为+758&+7&+则第二组的极差为*758&*7&+ $ +758'
#&&#'#&$''#&故选 %! $!"!解析设圆锥的母线长为(由于圆锥底面圆的周长
等于扇形的弧长则($#)槡#解得($#槡#!故选 "! (!)!解 析因 为 函 数 * $ *&++ 的 单 调 递 增 区 间 为
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对 于 函 数 -+$
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某学校组织'一带一路(知识竞赛#有"#$ 两类问题#每 位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随 机抽取一个问题回答#若回答错误则该同学比赛结束& 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回 答#无论回答正确与否#该同学比赛结束!" 类问题中 的每个问题回答正确得$#分#否则得#分&$ 类问题中 的每个问题回答正确得%#分#否则得#分#己知小明能 正确回答" 类问题的概率为#>%#能正确回答 $ 类问 题的概率为#>0#且能正确回答问题的概率与回答次序 无关! $!%若小明先回答" 类问题#记 8 为小明的累计得分# 求8 的分布列$$%为使累计得分的期望最大#小明应选择先回答哪类 问题. 并说明理由!
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。
请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{2,3\}$。
C。
$\varnothing$。
D。
$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。
$6-2i$。
B。
$4-2i$。
C。
$6+2i$。
D。
$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2.B。
2$\sqrt{2}$。
C。
4.D。
4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。
$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
B。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
C。
$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。
D。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）及答案一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =( ）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T =( )A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++5.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A.2π3C.4πD.6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.60种 B.120种 C.240种 D.480种7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（ ）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(2)12x π-D.sin(2)12x π+8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ） A.79 B.2332 C.93299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”.GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（ ）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差 D.⨯-表高表距表距表目距的差10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A.2[,1)22C.2(0,]2D.1(0,]212.设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-，则（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b << 综上，a c b >>. 二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为30x my +=，则C 的焦距为 .14.已知向量(1,3)a =，(3,4)b =，若()a b b λ-⊥，则λ= . 15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3， 60B =︒，223a c ac +=，则b = .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y， 样本方差分别己为21s 和22S . （1）求x ，y ，21s ，22s ： （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果2212210s s y x +-≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否 则不认为有显著提高 ) 。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题及答案详细解析
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10.已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
14.已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
2021年全国高考(新高考I卷)数学试题及答案
x 轴上一点，且 PQ OP .若 | FQ | 6 ，则 C 的准线方程为
.
15.函数 f (x) | 2x 1 | 2 ln x 的最小值为
.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 20dm 12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ， 20dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和
2021 年全国高考（新高考 I 卷）数学试卷及答案
一、单选题
1.设集合 A {x | 2 x 4} ， B {2,3, 4,5}，则 A B （ ）
A.{2} B.{2,3} C.{3, 4} D.{2,3, 4}
2.已知 z 2 i ，则 z(z i) （ ）
A. 6 2i
a1
1，
an1
an an
1, n为奇数 2, n为偶数
.
（1）记 bn a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
（2）求{an}的前 20 项和.
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ， B 两类问题.每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛
A.两组样本数据的样本平均数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同
B.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知 O 为坐标原点，点 P1(cos,sin ) ， P2 (cos , sin ) ， P3(cos( ),sin( )) ， A(1, 0) ，
6
C.
D.
5
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2021年普通高等学校招生全国统一考试
北京卷·数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A
B =（ ） A.{|01}x x ≤< B.{|12}x x -<≤ C.{|12}x x <≤ D.{|01}x x <<
2. 在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）
A. 1
B.i
C. 1i -
D. 1i +
3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A. 33+
B.12
C. 13+
D. 35. 双曲线22
221x y a b
-=过点2,3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. 2
213x y -= B. 2
213y x -= C. 22123x y -= D. 22132
x y -= 6.已知{}n a 和{}n b 是两个等差数列，且()15k k
a k
b ≤≤是常值，若1288a =，596=a ，1192b =，则3b 的值
为（ ）
A. 64
B. 100
C. 128
D. 132
7.已知函数()cos cos 2f x x x =-，则该函数（ ）
A. 奇函数，最大值为2
B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为98
D. 偶函数，最大值为98
8.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
9. 已知圆22:4C x y +=，直线:L y kx m =+，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为1，则m 的取值为（ ）
A. 2±
B. 2±
C. 3±
D. 3±
10. 数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，123100n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11. 341
()x x
-的展开式中常数项为__________．
12. 已知抛物线2:4C y x =，C 焦点为F ，点M 在C 上，且6FM =，则M 的横坐标是_______
；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S =_______．
13. (2,1)a =，(2,1)b =-，(0,1)c =，则()a b c +⋅=_______；a b ⋅=_______．
14. 若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66
Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值___． 15. 已知()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：
①若0k =，则()f x 有两个零点；
②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；
③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；
④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．
以上正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知在ABC 中，2cos c b B =，23
C π=
． （1）求B 的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度． ①2c b =；②周长为423+；③面积为33ABC S ∆=； 17. 已知正方体1111ABCD A BC D -，点E 为11A D 中点，直线11B
C 交平面CDE 于点F ．
（1）求证：点F 为11B C 中点；
（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --5111A M A B 的值．
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为
111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)． 19. 已知函数()232x f x x a
-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．
20. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．
21. 定义p R 数列{}n a ：对p ∈R ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③,m n N *∀∈，{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++．
（1）对前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；
（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；
（3）是否存在p ∈R ，使得存在p R 数列{}n a ，对任意,n N *∈满足10n S S ≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.D
8.B
9.C 10.C
二、填空题
11.-4
12. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 3
14. 512
π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 15. ①②④
三、解答题
16. （1）6
π； （2）答案不唯一
由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
=
则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2==. 17. （1）证明见解析；（2）11112A M A B =． 18. （1）①20次；②分布列见解析；期望为
32011 （2）若211p =
时，()()E X E Y =； 若211
p >时，()()E X E Y >； 若211
p <时，()()E X E Y <. 19. （1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14
-. 20.（1）22
154
x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 21.（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．。