中考数学专题讲义 动点最值基本模型
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。
初中数学动点最值基本模型
动点最值根本模型一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短〔或三角形三边关系〕得到结果.2.小垂型：即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果.3.穿心型：即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果.4.转换型：即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心.5.三边型：即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大〔小〕值.6.结合型：即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等※二、分类例析、饮马型例1：如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1,点P在AC上,贝U PE+PD 的最小值是.解析：如图例2：如下图,正方形ABCD的面积为12, A ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,那么这个最小值为一.换型图,P 四、转例5:如为菱形Z C = 90°, AC = 8, BC = 6,点 P 是 AB 上的任意一点, 作PD X AC 于点D , PE X CB 于点E ,连接DE ,贝U DE 的最小值为解析：如下列图三、穿心型例4：如图,在边长为4的菱形ABCD 中,N ABC=120°, M 是AD 边的中点,N 是AB 边上一动点,SA AMN 沿MN 翻折得到^A ,MN ,连接A ' C ,那么A ’ C 长度的最小值是—.解析：如下列图解析：如下列图、小垂型例3：如图,在Rt A ABC 中,D ADABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,假设N C=60°, CD=4,那么的最小值为解析：由于P到A、B两点的距离相等,所以P在AB的垂直平分线上,又因菱形ABCD 中N C为60°,所以4ABD为等边三角形,AB的垂直平分线经过点D,如下列图由N ADP=30度,可将PD的一半进行转换,即过点P作AD的垂线.如图,即B、P、F三点共线,且BF X AD时最短五、三边型例6：如图,N MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为解析：如下列图由于AB为定长,所以取其中点E,那么OE为定值,在^ODE中,DE为定值,OE为定值,根据三角形三边关系即可得到OD的最大值.例7：如图,△ABC中,N ACB=90°,BC=4, AC=8,点 D 在AC 上,且AD=6,将线段AD绕点A旋转至AD', F为BD’的中点,连结CF,那么线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理,点F的轨迹为圆,一箭穿心便可以求出其取值范围.解法二：如下列图,取AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得CM 为定值,由三角形中位线得FM为定值,所以在4CFM中,三边关系可得到CF的取值范围.r C例8：如图,BA=1,BC=2,以AC为一边做正方形AEDC,使E,B两点落在直线AC的两侧,当N ABC变化时,求BE的最大值.解析：将^AEB以点A中央顺时针旋转90°,得到△ACB,,如下列图所示,连接BB’,所以B' C=BE,在A BB' C中,BB'为定值,BC为定值,三角形三边关系即可得到B' C的最大值,即BE的值.6.结合型例9：如图,正方形ABCD中,AB=4, E为CD边的中点,F、G为AB、AD边上的点,且AF=2GD,连接E、DF相交于点P,当AP为最小值时,DG=解析：由AF=2GD, AD=2DE,得△AFD s^DGE.如下列图A GE X DF,那么线段AP中,A点为定点,P为动点,由N DPE为直角,所以P的轨迹为一以DE 中点为圆心的一段弧.如下列图由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线,而此时,由△DMP s^FAP可得到AP=AF 即可得到结果.AG D A※三、模考分析【庐阳二模第10题】如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),BO8),点C在y轴正半轴上, 点D 在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF 的最大值为如图,在平面直角坐标系中,46,0)1(0,8),点C在y轴正半轴上,点D在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF的最大值为解析：线段EF由于半圆的变化而变化,所以应将其作为弦的变化来看,而弦长又与弦心距存在变量之间的关系,所以首先作出弦心距.如下动图,所以当PQ最小时,EF最大.9方法一：穿心十小垂(P点为以O点圆心,OP为半径的弧上)求出OQ的最值,即PQ 的最小值,再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂〔三角形OPQ〕求出OQ的最值【期山二模第10题】如图,在当面直角坐标系中,觉物线f二一工工+2后工的顶点为A点,且与戈轴的正半轴交于点以P点为该抛物线对称轴上一点.那么.尸+—WP的最小值为: 2、3+2而口3+2右广3Aa 5 L . □解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为,所以N OAP=30°,如下列图问题是.尸+上/P,转换型最值,2即过P点作PD_L03于点D,1饮马+小垂】【瑶海二模第10题】如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点, 且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点.那么PA+PG的最小值为〔〕A.3B.4C.2J5D.5解析：由于G为EF的中点,EF=2,所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧,【饮马+穿心】即A', P, G, D四点共线时,PA+PG最小〔PA+PG=PA' +PG+DG〕【练习1】如图,圆O的半径为13,弦AB长为24,弦CD长为10,点N为CD的中点,O 到弦AB的距离为OM,那么MN的最小值是【练习2】如图,A,B为圆O上两点,以AB边直角边作等腰直角三角形ABC,假设圆O的半径为5,那么OC的最小值为8。
2022年中考数学几何模型之动点最值之瓜豆模型(讲+练)(解析版)
专题16 动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线问题1：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．理由：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP=2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线AB 上运动，Q 的运动轨迹是？解析：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1 理由：易知△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线. 模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP＝60°，可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】∵∠PAB＝90°，∠APB＝30°，∴可得：AP:AB＝，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON，故B【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝＝1CG的最小值为【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为6．【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，△△ABC是等边三角形，D是BC的中点，△AD△BC，△BAD＝30°，△AB＝6，△AD＝＝3，△△EDM是等边三角形，△AM＝AD＝3，△DAM＝60°，△△NAM＝30°+60°＝90°，△AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，由勾股定理得：MN＝＝＝6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6．【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，△DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作△DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF 两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；△AB＝4，△DCA＝30°，△BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，△DAE'＝30°，△ADE'＝60°，△DE'＝，△CDE'＝30°，当F与C重合时，△EDC＝60°，△△EDE'＝90°，△DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．【变式训练4】如图，已知线段AB ＝12，点C 在线段AB 上，且△ACD 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为 .【答案】6【解析】如图所示，∵∠FCB ＝30º，∴F 的路径是定射线DF ，又∵点M 是DF的中点，∴∵D 点为定点，F 点为主动点，M 点为从动点，由瓜豆原理内容可知M 点的路径亦是一条射线，取CD 的中点N ，连接NM 并延长，则射线NM 就是M 点的路径，且NM ∥CF ， 作BG ⊥NM 于点G ，交CF 于点H ，则BG ⊥CF ，故BG ＝BH ＋HG ＝BH ＋CN ＝4＋2＝6， ∴线段BM 的最小值即为BG ，最小值为6. 模型二、运动轨迹为圆问题1.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆QPOM理由：Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，1=2QM AQ PO AP ． 问题2.如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：∵AP △AQ ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM △AO ；又∵AP ：AQ =2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO △△AQM ，且相似比为2． 模型总结： 条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM ； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM ，也等于两圆半径之比．例1.如图，点P （3，4），圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．OPQM A【答案】1.5【解析】由题意可知M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．∵C 是BM 中点，可知C 点轨迹为取BP 中点F ，以F 为圆心，FC 为半径作圆，即为点C 轨迹，如图所示：由题中数据可知OP ＝5，又∵点A 、F 分别是OB 、BP 的中点，∴AF 是△BPO 的中位线，∴AF ＝2.5，当M 运动到如图位置时，AC 的值最小，此时A 、C 、O 三点共线，∴AC ＝2.5－1＝1.5. 例2.如图，A 是⊙B 上任意一点，点C 在⊙B 外，已知AB ＝2，BC ＝4，⊙ACD 是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．4 B ．4 C ．8 D ．6【答案】A【详解】解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，⊙60DCA MCB ∠=∠=︒，⊙DCA ACM MCB ACM ∠-∠=∠-∠，即DCM ACB =∠∠ 在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙()DCM ACB SAS ≅，⊙2DM AB ==，⊙点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆， 要使BCD △面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离， ⊙BCM 是边长为4的等边三角形，⊙点M 到BC的距离是⊙点D 到BC的最大距离是2，⊙BCD △的面积最大值是()14242⨯⨯=．故选：A ．例3.如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2， 故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．考虑DE △DF 且DE =DF ，故作DM △DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF的最小值．答案为【变式训练1】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC＝P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．OABCDE F【答案】π【解析】当点P 位于弧AB 的中点时，M 为AB 的中点，，设分别为AC 、BC 的中点，连接交CP 于点O ，如图所示：∵，当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 ，点M 的运动路径是以O 为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，∴点M 的运动路径长为π.【变式训练2】如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A ．B ．32+C ．2+D ．32【答案】D【详解】如图，连接OQ ，作CH⊙AB 于H ．⊙AQ ＝QP ，⊙OQ⊙PA ，⊙⊙AQO ＝90°，⊙点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,⊙120AOC ∠=︒⊙⊙COH ＝60°在Rt⊙OCH 中，⊙⊙COH ＝60°，OC=12AB=3，⊙OH ＝12OC ＝32，CH在Rt⊙CKH 中，CK =⊙CQ 的最大值为32，故选：D ． 【变式训练3】如图， ABC 中， ,6,AB AC BC AD BC ==⊥ 于点 ,4,D AD P = 是半径为2的A 上一动点， 连结 PC ， 若E 是PC 的中点， 连结DE ， 则DE 长的最大值为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【答案】B【详解】解：如图，可知P 在BA 延长线与A 的交点时此时DE 长的最大，证明如下：连接BP ,⊙,6,AB AC BC AD BC ==⊥,⊙BD =DC , ⊙E 是PC 的中点， ⊙DE //BP , 12DE BP =, 所以当BP 的长最大时，DE 长的最大， 由题意可知P 在BA 延长线与A 的交点时BP 的长最大此时DE 长的最大，⊙BC =6,AD =4,⊙BD =DC =3,BA =5, ⊙A 的半径为2，即AP =2,⊙BP =5+2=7, ⊙13.52DE BP ==. 故选：B. 课后训练1.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠A ＝30º，BC ＝2，D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作等腰Rt △DCE ，使∠CED ＝90º，连接BE ，则线段BE 的最小值为 .【解答】【解析】由题意可知C 为定点，D 点为主动点，路径为线段AB ，点E 为从动点，∵△DCE 是等腰直角三角形，∴∠DCE ＝45º，，结合瓜豆原理内容可知从动点E 的路径为一条线段，可以看成是由线段AB 先绕着定点C 逆时针旋转45º，再以定点C 为位似比缩小来的，如图，将BE 的最小距离转化为点到线的最小距离（点B 到的最短距离），，，中，有，则，∴线段BE 的最小值为.3.如图，6AB =，点O 在线段AB 上，2AO =，O 的半径为1，点P 是O 上一动点，以BP 为一边作等边BPQ ，则AQ 的最小值为_____．【答案】1【详解】解：如图，在AB 上方以OB 为一边作等边OBC ，连接,,OP CQ AC ，OBC 和BPQ 都是等边三角形，,,60OB CB BP BQ OBC PBQ ∴==∠=∠=︒，OBC PBC PBQ PBC ∴∠-∠=∠-∠，即OBP CBQ ∠=∠，在OBP 和CBQ △中，OB CB OBP CBQ BP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBP CBQ SAS ∴≅，1CQ OP ∴==，∴点Q 在以点C 为圆心，CQ 长为半径的圆上，如图，设AC 与C 交于点D ，过点C 作CM AB ⊥于点M ，则1CD =，则当点Q 与点D 重合时，AQ 取得最小值，最小值为AD ， 2,6AO AB ==，4OB AB AO ∴=-=，OBC 是等边三角形，CM AB ⊥，14,22OC OB OM OB ∴====，4CM AM AO OM ∴=+=， 在Rt ACM △中，AC1AD AC CD =-=，即AQ的最小值为1，故答案为：1．4.点A 是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO 并延长交另一交令一分支点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 .【答案】 【解析】连接OC ，作CD ⊥轴于点D ，AE ⊥轴于点E ，如图所示：设点A 的坐标为，∵A 、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC ＝OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC ＋∠AOE ＝90º，∵∠DOC ＋∠DCO ＝90º，∴∠DCO ＝∠AOE ，在△COD 与△OAE 中，，∴△COD ≌△OAE （AAS ），，∴点C 在反比例函数的图像上.7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝2，⊙AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为____________．【详解】解：如图，连接OQ ，作CH⊙AB 于H ．⊙AQ=QP ，⊙OQ⊙PA ，⊙⊙AQO=90°⊙点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，在Rt OCH 中，⊙⊙COH=60°，OC=1，⊙OH=1122OC =，CH =在Rt CKH 中，CK =，⊙CQ ． 8.如图，已知点M （0，4），N （4，0），开始时，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别与点M 、N 、O 重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4．【解答】解：过点C'作C'D△x轴，C'E△y轴△点M（0，4），N（4，0），△OM＝ON，△△CA'C'+45°＝△EAB+△MGB＝45°+△MGB，△△EA'C'＝△B'GB，△△B'GB+△GB'B＝45°，△GB'B+△DB'C'＝45°，△△EA'C'＝△DB'C'，又△A'C'＝B'C'，△Rt△A'C'E△Rt△B'C'D（HL），△EC'＝DC'，△C'在第四象限的角平分线上，△C的运动轨迹是线段AC，△C的运动路径长为4；故答案为4；9.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º，∵∠FDB＝45º∠FHB，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º，∴∠CHB＝120º，∴∴点D。
模型39 数轴上动点问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=X B-X A(即：右端点减左端点）✮（5）数轴上中点数公式：=+2(即：中点等于两端点相加除以2）例题精讲【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.解：∵PA+PB＝5，∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，变式训练【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，当t≤15时，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，当t＞15时，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5．【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P 从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．解：（1）设运动时间为t秒，由题意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分别为4s，s．【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A 落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．故答案为：点D．变式训练【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，（1）当O为PQ中点时，根据题意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）当P是OQ的中点时，根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）当Q是OP的中点时，根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案为：或或．【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（）A．5B．6C．7D．8解：根据数轴可知：﹣3+8＝5，故选：A．2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（）A．对应的数是2019B．对应的数是2020C．对应的数是2021D．不对应任何数解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，∵2022÷3＝674，∴最后一个点为C，∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，∴点C表示的数为2021，∴点B表示的数为2020，故选：B．3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（）①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．A．1B．2C．3D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．故选：C．4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是﹣5．解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．故答案为：﹣5．5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t＝4.4时，M、N两点相遇（结果化为小数）．解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案为：4.4．6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．（1）原点在第②部分（填序号）；（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原点在点A和点B之间，又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，∴原点在第②部分；故答案为：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴点B表示的数为1．7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A 以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B 的右侧，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．①则点D表示的数为﹣2．②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF 运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴点C对应的数字为4，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝6，设点D表示的数为x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴点D表示的数为﹣2．故答案为：﹣2；②设EF运动的时间为t秒，则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，∵点M是EC的中点，N是BF的中点，∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵点D是AC的中点，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代数式的值，∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为﹣4.5和 3.5，B，C两点间的距离是8；（2）若点A表示的整数为x，则当x为﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案为：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；故答案为：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t 分钟，则OP ＝t ，OE ＝5t +1，OF ＝20t +3，∴EF ＝OE +OF ＝25t +4，∵M 、N 分别是PE 、OF 的中点，∴EM ＝PM ＝PE ＝（OP +OE ）＝3t +，ON ＝OF ＝10t +，∴OM ＝OE ﹣EM ＝5t +1﹣（3t +）＝2t +，∴MN ＝OM +ON ＝12t +2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．12．如图，在数轴上，点O 表示原点，点A 表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P （不与点A 点O 重合），线段PO 与线段PA 的长度之比记作k （p ），即，我们称k （p ）为点P 的特征值，例如：点P 表示的数为1，因为PO ＝1，PA ＝2，所以．（1）当点P 为AO 的中点时，则k （p ）＝1；（2）若k （p ）＝2，求点P 表示的数；（3）若点P 表示的数为p ，且满足p ＝2n ﹣1，（其中n 为正整数，且1≤n ≤7），求所有满足条件的k （p ）的和．解：（1）由题意可知，当点P 为AO 的中点时点P 表示的数为，，∴，故答案为：1；（2）设点P 表示的数为x ，则PO ＝|x |，PA ＝|x ﹣（﹣1）|＝|x +1|，∵k （p ）＝2，∴，即PO ＝2PA ，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：点P表示的数﹣2或；（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，则所有满足条件的k的值分别为：（p），故所有满足条件的k的和为：＝（p），令，则，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为5cm；我们把这个模型记为“木捧摸型”；（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；故答案为：5cm；（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），答：爷爷现在的年龄是69岁．14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C 是AB的中点，如图画数轴．（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是2，点C表示的数是﹣1；（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O 所表示的数之和等于21，求m；（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，故答案为：2；AB＝6，点C是AB的中点，∴BC＝3，∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）AB＝6，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）设运动时间为t，据题意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，点A，B，E，F表示的数之和为：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数﹣1表示的点重合；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案为：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，故答案为：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．这时5AB﹣BC的值不变．17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝4，b＝2；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为3，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为0；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过122秒点B追上点A；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案为4、2．（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．故答案为1，0；（3）解：设经过x秒点B追上点A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：经过1秒点B追上点A．（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，当点A为PB的中点时，则有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点B为PA的中点时，则有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．故答案为：秒，秒，秒．19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3之间，∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．（1）动点P从点A运动至点C需要19秒，动点Q从点C运动至点A需要23秒；（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B 在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案为：19，23；（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M点表示的数是﹣5＝；（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：∵点A表示﹣10，点B表示10，∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由题意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由题意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，∴此情况不符合题意；④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由题意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由题意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；综上所述：t的值为或．21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是③（填序号）；①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案为：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P点对应的数是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力点”，故①不符合题意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力点”，故②不符合题意；∵||＝10，∴N是M的“努力点”，故③符合题意；∵||＝，∴N是P的“努力点”，故④不符合题意；故答案为：③；（3）∵P为线段MN的中点，∴P点对应的数为，当P是M点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；当P是N点的“努力点”时，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；综上所述：的值为﹣19或﹣．22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为1，下列说法正确的是③④（填序号）．。
2024年中考数学几何模型之动点最值之费马点模型(讲+练)(原卷版[001]
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专题12 动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。
△AGC=△AGB=△BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 26求正方形的边长．【变式训练1】已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点。
已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点。
若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝ .【变式训练2】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【变式训练3】如图，P 是锐角△ABC 所在平面上一点，如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，则点P 就叫做△ABC 费马点。
2023年中考数学几何模型之动点最值之将军饮马模型(讲+练)(解析版)
专题11动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型例题1.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P 到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵SPAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，△∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故答案为：2．【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF 外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（）A. B. C.12 D.【答案】B【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90º－60º＝30º，BC＝2，∴CG＝1，，，，即这个最小值的平方为.【变式训练2】如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝PA+PB≥AB，∴当P与E重合时，PA+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．【变式训练3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【答案】∠ECF＝30º【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.模型二、一定两动例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N与M′、N′重合时，△PMN周长最小＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，选B．【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【变式训练2】如图，在菱形ABCD中，AB，∠A＝120º，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为.【解答】【解析】过点C作CE⊥AB，如图所示：∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120º，∴∠ABC＝60º，BC＝2，BD平分∠ABD，∴BE＝，CE＝BE＝，∵BD平分∠ABD，∴在AB上作点P关于BD的对称点P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，当P',K,Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK＋QK有最小值，即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.【变式训练3】如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB＋NM＋BM＝6，故选C.【变式训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．模型三、两段之差模型例.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（）A.12B.8C.6D.2【解答】B【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B.【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N 在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为.【解答】2【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，当P,M,N'三点共线时，取“＝”,∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º，∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.【变式训练2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN 的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于10．【答案】10【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．模型四、特殊型例1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．【变式训练】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四边形APQA'是平行四边形，∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝，∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴Q点坐标（，），故选：A．∴x＝﹣x+1，即x＝，课后训练1.如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D．2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是()A.12B.15C.16D.18【答案】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE，∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.3.如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x 轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，，则PC＋PD的最小值为.【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM ＝，∵四边形ABC都是矩形，AB//CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，，∴＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC，∴PD＋PC.6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D 作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90º，∴∠ACE＋∠BCE＝90º＝∠CAE＋∠B＝90º，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE；（2）连接PA,PB,PC，如图所示：∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90º，∵∠DAC＝60º，∴∠CAB＝30º，∴∠B＝60º，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB＋PA，∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P,B,A共线时最小，∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.（1）求证：PE＝EM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.【答案】（1）见解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）【解析】（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；③证明：连接BE、CE，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90º，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC ＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，在△EPN和△EMN中，∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；（3）连接PM，如图所示：由（2），可得PN＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，D＝90º，，由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，即当ME ＝DE ＝6时，DK ＋GK ＋PG 有最小值，最小值为.。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
最值模型-瓜豆原理(解析版)--中考数学常见几何模型全归纳之模型解读
最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
精编中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解
中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解
初中数学动点最值问题19⼤模型+例题详解
动点最值问题是中考最难的压轴类题⽬，很多同学都反应不知道该怎么下⼿。
其实这类题⽬的题型有限，总结归纳有19种，希望同学们对每⼀种都能掌握技巧。
1、对称点模型
2、利⽤三⾓形两边差求最值
3、⼿拉⼿全等取最值
4、⼿拉⼿相似取最值
5、平移构造平⾏四边形求最⼩
6、两点对称勺⼦型连接两端求最⼩
7、两点对称折线连两端求最⼩
8、时钟模型，中点两定边求最⼩值
9、时钟模型，相似两定边求最⼩值
10、转化构造两定边求最值
11、⾯积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化⼀法求最值
14、三⾓函数化⼀求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三⾓形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定⾓动弦
19、隐圆最值-动⾓定弦。
专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。
2022年中考数学几何模型之动点最值之阿氏圆模型(讲+练)(解析版)
专题15 动点最值之阿氏圆模型背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P 在一个以O 为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP ∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A 、B 点，则需【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB②计算出这两条线段的长度比OPk OB = ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例1.如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C ．4D ．【答案】B【详解】如图，在CA 上截取CM ，使得CM ＝1，连接PM ，PC ，BM ． △PC ＝3，CM ＝1，CA ＝9，△PC 2＝CM •CA ，△PC CMCA CP=， △△PCM ＝△ACP ，△△PCM △△ACP ，△13PM PC PA AC ==，△PM 13=PA ，△13AP +BP ＝PM +PB ，△PM +PB ≥BM ，在Rt△BCM 中，△△BCM ＝90°，CM ＝1，BC ＝7，△BM =，△13AP +BP △13AP +BP 的最小值为B ． 例2.在ABC 中，AB =9，BC =8，△ABC =60°，△A 的半径为6，P 是A 上一动点，连接PB ，PC ，则32PC PB+的最小值_____________+PB 的最小值_______【答案】21【详解】①连接AP ，在AB 上取点Q ，使AQ =4，连接CQ ， △△A 的半径为6，即AP =6，△23AB AP =，又6923AP AB ==，且PAQ BAP ∠=∠， △APQ ABP ∆∆∽，△23PQ AP P AB B ==，△23PQ BP =，△()232333PC PB PC BP PC PQ ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当P C Q 、、三点共线时，PC PQ +的值最小，最小值为CQ 的长，过C 作CI △AB 于I ，△90CIB CIQ ∠∠==︒，在Rt △CIB 中，△60CBI ∠=︒，BC =8，sin CI CBI BC ∠==，△CI =△4BI ，9441QI AB AQ BI =--=--=，在Rt △CIQ 中，7CQ ==，△32PC PB +的最小值为()321PC PQ +=；故答案为：21；②连接AP ，由①得：在Rt △CIA 中，AC在AC 上取点G ，使AG PG ，BG ，△736AG AP ==，△AP AC ==△P P AC A AG A =，且GAP PAC ∠=∠，△AGP APC ∆∆∽，△GP AG A P P C ==△GP =，△PB PB GP =+， 当G P B 、、三点共线时，PB GP +的值最小，最小值为BG 的长， 过G 作GH △AB 于H ，△90GHA GHB ∠∠==︒，在Rt △CIA 中，sin C CI AI AC ∠==Rt △GAH 中，sin GH GAH AG ∠==△GH =，△18073AH ，18047797373BH AB AH =-=-=，在Rt △GHB 中，BG =△PB例题3. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM=DM 为最大值152．【变式训练1】如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则12PD PC +的最小值_______．+PC 的最小值_______【详解】①如图，在BC 上取一点G ，使得BG =1，连接PB 、PG 、GD ，作DF △BC 交BC 延长线于F ．AB CDP△221PB BG ==，422BC PB ==，△PB BCBG PB=， △PBG PBC ∠=∠，△PBG CBP ∆∆，△12PG BG PC PB ==，△12PG PC =，△12PD PC DP PG +=+，△DP PG DG +≥，△当D 、P 、G 共线时，PD +12PC 的值最小，最小值为DG ，在Rt △CDF 中，△DCF =60°，CD =4，△DF =CD •sin CF =2，在Rt △GDF 中，DG =②如图，连接BD ，在BD 上取一点M ，使得BM PB 、PM 、MC ，过M 作MN △BC 于N ．△四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒， △AC △BD ，△AOB =90︒，△ABO =△CBO =12△ABC =30︒，△AO =12AB =2，BO △BD =2 BO =△32BM PB ==PB BD =△BM PB PB BD ==△MBP =△PBD ，△△MBP ~△PBD ，△PM PB PD BD ==△PM =，△PC PC PM MC =+≥，△当M 、P 、C 共线时，PC 的值最小，最小值为CM ，在Rt △BMN 中，△CBO =30︒，BM △MN =12BM BN 12=，△CN =4-1722=，△MC 3=，△PC ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上一动点，则最小值为 ，的最大值为 .【答案】最小值为5，最大值为5【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，最小值为；当点P在DG的延长线时，DG，最大值为5.【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，的最小值是.【答案】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP ＝2，OA ＝4，OK ＝1，，∵∠POK ＝∠AOP ，∴△POK ∽△AOP ，在△PBK 中，，的最小值为BK 的长，∵B （4，4），K （1，0），，∴的最小值为5.【变式训练4】如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60︒，A 与BC 相切于点E ，在A 上任取一点P ，则PB 的最小值为___________．【详解】解：在AD 上截取AH =1.5，连接PH 、AE ，过点B 作BF △DA 延长线，垂足为F ，△AB =2，△ABC =60°，△BE =AF =1，AE =BF △AP AD AH AP ==△△PAD =△PAH ，△△ADP △△APH ，△DP AD PH AP ==，△PH ，当B 、P 、H 共线时，PB 的最小，最小值为BH 长，BH =课后训练1.如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A B C D 【答案】C【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ， △2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==，△G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BGBA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPG BAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =， 则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长，DG C ．2.如图，在平面直角坐标系中，A （2，0）、B （0，2）、C （4，0）、D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ＝135º，则2PD ＋PC 的最小值是 .【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，∴的最小值为2DE.3.如图，在Rt ABC中，△C=90°，CA=3，CB=4．C的半径为2，点P是C上一动点，则12AP BP+的最小值______________23+PB PA的最小值_______【详解】①在BC上取点D，使CD=14BC=1，连接AD，PD，PC，由题意知：PC =2，△12DC PC PC BC ==，△PCD =△BCP ，△PDC BPC ∆∆∽，△12PD PB =，且12PA PB PA PD AD +=+≥，△AD =△2PA PB 1+②在AC 上取点E ，使CE =43，连接PE ，BE ，PC ，△42323CE PC ==，23PC AC =，△23CE PC PC AC ==，且△PCE =△ACP ， △PEC APC ∆∆∽，△23PE PC PA AC ==，△23PE PA =，△23PB PA PB PE BE +=+≥，△BE =△23+PB PA ．4.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB 上一动点，求的最小值.【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"PC＋PD的值最小，最小值为.5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1；（2）m＝2；（3【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a＝．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式为．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，，∵NE∥OB，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为，∴PN＝﹣（，，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，，∴M′E BE′，∴AE′＋′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。
动点最值之胡不归模型(解析版)中考数学几何模型专项复习与训练
专题14 动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE ，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H就是我们要找的点，此时DG ＋DB 的最小值为BH ，，综上，所需时间的最小值为2驿道解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【解析】∵tan A =2，∴△ABE三边之比为1:2sin ∠， 故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A→D→C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（ ）A ．（0，B ．（0） C ．（0，）D ．（0）M MABCDEHEDCBA ABCDEH【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以即所以，所以点D的坐标应为.例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E，∴蚂蚁从A爬到Gs），即蚂蚁从A到E的最短时间为【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB的最小值等于________．【解析】已知∠A=60°，且，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH，∴PB=PB+PH．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是.A BCD PMHPD CBA A BCD PHM【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴∴CD＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE△CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH△BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ△BP于点Q，△△ACB＝90°，△ABC＝30°，AB＝4，△AC＝CP＝2，BP＝AB＝4△△ABP是等边三角形，△△FBH＝30°，△Rt△FHB中，FH＝FB△当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值△AE△CD于点G，△△AGC＝90°，△O为AC中点，△OA＝OC＝OG＝AC△A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在△O上运动，△当点G运动到OQ上时，GH取得最小值△Rt△OPQ中，△P＝60°，OP＝3，sin△P＝△OQ＝OP＝，△GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△的度数为120°，△△C＝60°，△AC是直径，△△ABC＝90°，△△A＝30°，作BK△CA，DE△BK于E，OM△BK于M，连接OB．△BK△AC，△△DBE＝△BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，△OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，△△BAO＝△ABO＝30°，△△OBM＝60°，在Rt△OBM中，△OB＝2，△OBM＝60°，△OM＝OB•sin60°＝，△DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO ABO＝30°，∴PH＝PB，∴＋PD＝PH＋PD＝DH，∴此时＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，则OF＝，AB＝2OF＝．∴当＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上，∴5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，∴．∴P（x x＋k），代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC ＝∠PAB ，如答图2﹣2所示． 设P （x ，y ），过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y ． tan ∠ABC ＝tan ∠PAB ，即：，∴．∴P （x ，x ），代入抛物线解析式y ＝（x ＋2）（x ﹣4），得（x ＋2）（x ﹣4x ＋x 2﹣4x ﹣12＝0，解得：x ＝6或x ＝﹣2（与点A 重合，舍去），∴P （6，2k ）． ∵△ABC ∽△PAB ，，∴，解得，∵k ＞0，∴，综上所述，．（3）作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，∵∠DBA ＝30°，∴∠BDH ＝30°，∴FH ＝DF ×sin30°，∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF ＋FH 最小，点M ，∵lBD ：，∴F X ＝A X ＝﹣2，∴F （﹣2）．。
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
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动点最值基本模型
原创：向北向北数学 2018-05-14
从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是2018中考第10或14题的热门。
本文以瑶海蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。
一、最值类型
1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。
（本公众号有“【解题模型】将军饮马”）
2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。
3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。
（本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文”）
4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。
5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。
6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等
※二、分类例析
一、饮马型
例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD的最小值是_____ .
解析：如图
例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.
解析：如下图
二、小垂型
例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________.
解析：如下图
三、穿心型
例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____.
解析：如下图
四、转换型
例5:如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C=60°，CD=4，则的最小值为____________
解析：因为P到A、B两点的距离相等，所以P 在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD中∠C为60°，所以△ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点D,如下图
由∠ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。
如图，
即B、P、F三点共线，且BF⊥AD时最短
五、三边
型
例6：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM
上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________
解析：如下图因为AB为定长，所以取其中点E，则OE为定值，在△ODE中，DE为定值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。
例7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，点D在AC上，且AD=6，将线段AD绕点A 旋转至AD’，F为BD’的中点，连结CF，则线段CF的取值范围.
解析：
解法一：瓜豆原理，点F的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。
解法二：如下图，取AB的中点M，连接FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由
三角形中位线
得FM为定值，
所以在△CFM中，
三边关系可得
到CF的取值范围.
例8：如图，BA=1，BC=2，以AC为一边做正方形AEDC，使E，B两点落在直线AC的两侧，当∠ABC 变化时，求BE的最大值.
解析：将△AEB以点A中心顺时针旋转90°，得到△ACB’,如下图所示，连接BB’，所以B’C=BE，
在△BB’C中，BB’为定值，
BC为定值，三角形三边关
系即可得到B’C的最大值，
即BE的值.
6. 结合型
例9：如图，正方形ABCD中，AB=4, E为CD边的中点，F、G为AB、AD边上的点，且AF=2GD, 连接E、DF相交于点P，当AP为最小值时，DG=________
解析：由AF=2GD，AD=2DE，得△AFD∽△DGE.如下图
∴GE⊥DF, 那么线段AP中，A点为定点，P为动点，由∠DPE为直角，所以P的轨迹为一以DE中点为圆心的一段弧。
如下图
由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线，而此时，由△DMP∽△FAP可得到AP=AF即可得
到结果.
※三、模考分析
【庐阳二模第10题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______
解析：线段EF由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当PQ最小时，EF最大。
方法一：穿心＋小垂（P点为以O点圆心，OP为半径的弧上）求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得EF.
方
法二：
三边
+小
垂
（三角形OPQ）求出OQ的最值……
解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为，所以∠OAP=30°，如下图
【瑶海二模第10题】如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点.则PA+PG的最小值为（）
A.3
B.4
C.2√5
D.5
解析：因为G为EF的中点，EF=2，所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧，【饮马+穿心】即A’，P，G，D四点共线时，PA+PG最小（PA+PG=PA’+PG+DG）
【练习1】如图，已知圆O的半径为13，弦AB长为24，弦CD长为10，点N为CD的中点，O到弦AB的距离为OM,则MN的最小值是________
【练习2】如图,A,B为圆O上两点，以AB边直角边作等腰直角三角形ABC，若圆O的半径为5,则OC的最小值为
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。
——富兰克林
8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。
——法国
9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果
10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。
——邓肯
11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。
——印度。