一类特殊三棱锥的性质

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三棱锥和四棱锥的性质

三棱锥和四棱锥的性质三棱锥和四棱锥是立体几何学中常见的多面体形状。

它们有着各自独特的性质和特点。

本文将对三棱锥和四棱锥的性质进行详细的讲解。

一、三棱锥的性质1. 定义：三棱锥是由一个三角形底面和三条共同交于一个点的侧棱所围成的立体。

2. 三角形底面的性质：三棱锥的底面是一个三角形，具有三个顶点和三条边。

三角形可以是等边三角形、等腰三角形或一般三角形。

3. 侧棱的性质：三棱锥的侧棱是由顶点和底面上的点相连形成的棱。

三棱锥的侧棱可以有不同的长度。

4. 高度：三棱锥的高度指的是顶点到底面的垂直距离。

三棱锥的高度可以有不同的长度。

5. 角度：由于三棱锥的底面是一个三角形，因此它具有三个内角和三个外角。

这些角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于底面的形状。

二、四棱锥的性质1. 定义：四棱锥是由一个四边形底面和四条共同交于一个顶点的侧棱所围成的立体。

2. 四边形底面的性质：四棱锥的底面是一个四边形，具有四个顶点和四条边。

四边形可以是正方形、长方形、菱形或一般四边形。

3. 侧棱的性质：四棱锥的侧棱是由顶点和底面上的点相连形成的棱。

四棱锥的侧棱可以有不同的长度。

4. 高度：四棱锥的高度指的是顶点到底面的垂直距离。

四棱锥的高度可以有不同的长度。

5. 角度：由于四棱锥的底面是一个四边形，因此它具有四个内角和四个外角。

这些角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于底面的形状。

三、三棱锥和四棱锥的区别和联系1. 形状差异：三棱锥的底面是一个三角形，而四棱锥的底面是一个四边形。

这是它们最显著的形状差异。

2. 边和角的数量：三棱锥具有四条边和三个顶点的侧棱，而四棱锥具有五条边和四个顶点的侧棱。

因此，四棱锥具有更多的边和角。

3. 底面性质：三棱锥的底面是一个三角形，四棱锥的底面是一个四边形。

因此，它们的底面具有不同的性质。

4. 高度性质：两种锥体都有高度，但由于底面形状的不同，它们的高度具有不同的性质。

5. 应用：三棱锥和四棱锥在几何学、建筑学、物理学等领域有着广泛的应用。

高中数学学考公式大全

高中数学学考公式大全高中数学学考常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示：集合中元素具有确定性、互异性和无序性。

集合可以分为有限集和无限集。

集合可以用列举法、描述法和图示法表示。

2、集合间的关系：若对于任意的x∈A，都有x∈B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作A⊂B。

若A⊆B且B⊆A，则A=B。

3.元素与集合的关系：属于∈，不属于∉，空集为∅。

4、集合的运算：并集由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为A∪B；交集由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为A∩B；补集在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为A'或C。

5．集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2^n个；真子集有2^n–1个；非空子集有2^n–1个。

6.常用数集：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

二、函数的奇偶性1、定义：若对于任意的x∈定义域，有f(–x) =–f(x)，则称函数f为奇函数；若对于任意的x∈定义域，有f(–x) =f(x)，则称函数f为偶函数。

2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．三、函数的单调性1、定义：对于定义域为D的函数f(x)，若任意的x1,x2∈D，且x1f(x2)时，称f(x)为减函数。

2、复合函数的单调性：同增异减。

四、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质1、顶点坐标公式：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a，最大（小）值为f(-b/2a)。

2、二次函数的解析式的三种形式：一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；两根式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

三棱锥的几个重要性质,!资料讲解

三棱锥的几个重要性质,!直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。

循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。

性质2：Rt Δ的两个锐角互余。

性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。

性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。

现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。

如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。

∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。

作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。

同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。

由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。

同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得：性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生

【考点1】空间角，距离的求法【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ；（2）求G 到平面PAC 的距离．【考点2】立体几何综合问题【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起，使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥；（Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ．（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。

高一数学重点知识点总结梳理(最新10篇)

高一数学重点知识点总结梳理（最新10篇）高一数学知识点总结复习篇一(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)高一数学知识点总结复习篇二1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x⊥[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

三棱锥的性质

三棱锥的性质三棱锥是一种几何体，由一个底面和三条斜面组成。

本文将探讨三棱锥的各种性质和特点。

一、基本定义和构造三棱锥是一种具有三个侧面和一个底面的多面体。

它的底面是一个三角形，而侧面是三个以底面三个顶点为顶点的三角形。

二、顶点、棱和面的关系1. 顶点：三棱锥有四个顶点，其中三个顶点位于底面的三个角上，第四个顶点是所有棱的共同顶点，位于顶面上。

2. 棱：三棱锥有六条棱，其中三条棱是底面的边，另外三条棱是从顶点向底面的三个顶点连线。

3. 面：三棱锥有四个面，其中三个面是侧面，一个面是底面。

三、特殊类型的三棱锥除了一般的三棱锥外，还有一些特殊类型的三棱锥，包括：1. 直三棱锥：如果三个侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直三棱锥。

2. 正三棱锥：如果底面是等边三角形，并且侧面都是等边三角形，那么这个三棱锥就是正三棱锥。

3. 直交三棱锥：如果底面是一个直角三角形，并且侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直交三棱锥。

四、1. 顶点角和底角之和：三棱锥的所有顶点角的和等于360度，底面的角之和也等于360度。

2. 侧面和侧边：侧面是由底面的边和顶点连接而成的三角形。

侧边是从顶点到底面的边。

3. 面积和体积：三棱锥的侧面积等于底面积的三倍加上底面周长乘以棱长的一半。

体积等于底面积乘以高度的三分之一。

4. 对称性：三棱锥具有一些对称性质，包括轴对称、面对称和中心对称。

五、应用和扩展三棱锥作为一种几何体，在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如建筑物的设计、物体的体积计算等。

此外，三棱锥的性质也可以扩展到其他多面体的研究中。

总结：三棱锥是一种具有底面和三个侧面的多面体，其顶点、棱和面之间有一些特定的关系。

了解三棱锥的性质对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。

通过研究和理解三棱锥的性质，我们可以更好地理解几何学的基本概念和定理，并应用于实际问题的解决。

人教版高中数学《立体几何之鳖臑(三角锥体)》-2022年学习资料

人教版高中数学《立体几何之鳖膈（三-角锥体》-时间反复无常，鼓着翅膀飞逝
立体几何之鳖臑-三角熊体
《九章算术》-教学目标-1、认知立体几何中的一类特殊几何体-2、能掌握该几何体的有关性质-3、用该几何体的相关性质解题
《九章算术》-若把“原本”比“算术”，此中翘楚是《九章》.这是对代表-东方数学最高成就的巨著《章算术》的赞誉.《九章算术》-是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明-传承的经典作，尊为古代数学群经之首.《九章算术》所创-立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准. -将其扩展到其他领域，其算法体系至今仍推动着计算机的发-展与应用.
《九章算术》-例1、2017年广州一测10变式-《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底垂直的四棱锥称之为阳马，将四-个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膘.若三棱锥P-ABC为鳖膘， AL平面ABC,-PA=AC=4,AB=2,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O 表-面积为-A8π-B12T-C20元-D32
《九章算术》-教材紧接着在随后的例题2中就给出了以鳖儒-为载体的几何命题的证明问题-如图，AB ⊙O的直径，⊙O所在平面为a,PA⊥于A,-C为⊙O上异于A,B的一点。求证：平面PAC⊥平面 BC
《九章算术》-如图5，鳘孺几何体P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,AM⊥PB于M,N⊥PC于N.证明：PB⊥MN,-Me
《九章算术》-该题借助于鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系，让学生来-熟悉垂直中的判定定理以及性质理的应用。下面，让同-学们进一步归纳鳖臑有哪些性质？-A-B
《九章算术》-2017年广州一模10+-《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的棱锥称之为阳马：将四。-个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖嚅.若三棱锥P一ABC为整膈，PA⊥ 面ABC,-PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表积为-A8π-B12π-C20π-D24π

高中数学学习知识点公式大全

全部覆盖数学必修 1 至 5 的所有知识点以及相关公式，方便复习和及时总结，数学必修 1-5 常用公式及结论必修 1：一、集合 1、含义与表示：〔1〕集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2〕集合的分类；有限集，无限集〔3〕集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A，都有 x B ，那么称 A 是 B 的子集。

记作A B真子集：假设 A 是 B 的子集，且在 B 中至少存在一个元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，A B记作A B集合相等：假设：A B, B A ,那么3.元素与集合的关系：属于不属于：空集：4、集合的运算：并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 A U B交集：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 A I B补集：在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集，记为 C U A5．集合 { a1, a2 ,L , a n} 的子集个数共有 2n个；真子集有 2n–1 个；非空子集有2n–1个；6. 常用数集：自然数集： N 正整数集： N *整数集：Z有理数集：Q实数集： R二、函数的奇偶性1、定义：奇函数<=> f ( – x ) =– f ( x)，偶函数<=> f ( – x )= f ( x) 〔注意定义域〕2、性质：〔1〕奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（ 2〕偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；（ 3〕如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（ 4〕如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性、定义：对于定义域为 D 的函数 f(x) ，假设任意的12∈ ，且 1 < x 21x , xD x①f ( x 1 ) < f( x2) <=>f ( x 1 ) – f ( x2) < 0 <=>f ( x )是增函数②f ( x 1 ) > f ( x2) <=>f ( x 1 ) – f ( x2) > 0 <=>f ( x )是减函数2、复合函数的单调性 : 同增异减三、二次函数 y = ax 2 + bx + c 〔 a 0〕的性质1、顶点坐标公式：b , 4ac b 2 ，对称轴： xb ，最大〔小〕值：4acb 22a4a2a4a2. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x) ax 2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式 f (x) a( x h)2 k (a 0) ;(3) 两根式 f (x)a( x x 1 )( x x 2 )(a 0) .四、指数与指数函数1、幂的运算法那么：〔 1〕 a m ? a n = am + n，〔2〕 amn= an? b nnn〔 5〕 aan 〔 6〕 a= 1 (b bn1a mma n2、根式的性质〔1〕 ( n a )n a .a nam n，〔〕m )n= a m n 〔4〕( ab )3 ( a1 na ≠ 0) 〔7〕a n〔 8〕 amma n〔〕a n9〔2〕当n奇数，n a n a ；当 n 偶数，n a n| a |a, a0.a, a04、指数函数 y = a x ( a > 0 且 a≠1) 的性：〔 1〕定域： R ；域：( 0 , +∞ )〔2〕象定点〔0，1〕Y Ya > 10 < a < 1110XX5. 指数式与数式的互化：log a N b a b N (a0, a 1,N0) .五、数与数函数1数的运算法：〔 1〕a b= N <=> b = log N〔〕 1 = 0〔〕a= 1〔〕log aa 2 log a 3 log a4ab= b 〔 5〕 a log a N = N〔 6〕 loga (MN) = log a M + log a N〔7〕log a (M) = log aNM -- logaN〔〕N b= b log N〔〕底公式：log N8 loga a9a = logb Nlog b a〔 10〕推log m n nlogb (a0,且a 1, m,n0 ,且m,1,N0 ).a bam 1 n〔 11〕log a N =1〔 12〕常用数： lg N = log10N 〔13〕自然log N a数： ln A = log e A〔其中e =⋯〕 2、数函数 y = log a x ( a > 0且 a ≠ 1) 的性：〔 1〕定义域： ( 0 , + ∞ ) ；值域： R〔 2〕图象过定点〔 1，0〕Ya >1Ya < 1六、幂函数 y = xa0 <的图象 : 〔1〕根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .0 XX1 1a > 10 < a < a < 0211例如： y = xyx x 2yx 1x七 . 图象平移：假设将函数 yf (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y f ( x a) b 的图象；规律：左加右减，上加下减八 . 平均增长率的问题如果原来产值的根底数为 N ，平均增长率为 p ，那么对于时间 x 的总产值 y ，有y N (1 p) x .九、函数的零点： 1. 定义：对于 y f ( x) ，把使 f (x) 0 的 X 叫 yf ( x) 的零点。

三棱锥的性质

三棱锥的性质
三棱锥，又称为一般锥体，是几何学中的一种常见物体。

它是由一个有三个面的几何体组成的，其中包括三个棱面，以及两个平行棱上的平面。

三棱锥是四边形和三角形的结合体，它有许多特别的性质。

三棱锥的形状很重要，它的三个棱是不相等的，它的棱面的角度也不相等。

因此，在三棱锥的角度计算中，必须明确对应的三个棱角以及它们之间的角度。

另外，三棱锥也可以从视觉上分类，取决于它的棱面和平面之间的夹角。

例如如果它们之间的夹角为90度，那么它就是直角三棱锥；如果夹角小于90度，则可称为钝角三棱锥；如果角度大于90度，则可以称为锐角三棱锥。

三棱锥也可以分为正三棱锥和反三棱锥。

正三棱锥的三个棱和三个平面的夹角都是锐角，反三棱锥的三个棱和三个平面的夹角都是钝角。

此外，正三棱锥的锥体部分和平面部分的的夹角是相同的，而反三棱锥的锥体部分和平面部分的夹角是相反的。

三棱锥也有其他特殊的性质，例如面积和体积。

三棱锥的面积是指它所有三个棱面和底面的总面积，而体积则是棱锥体内部的总空间。

需要注意的是，三棱锥的体积并不是所有棱锥体上的面积相加的结果，而是取决于它面上的所有角度和棱锥体高度的大小。

最后，三棱锥可以用于分析各种问题，例如分析盛水的容器的大小，分析抛物线的运动规律，以及解释复杂的几何图形等。

三棱锥是几何学中的重要物体，对于理解更多的几何性质是非常有用的。

总之，三棱锥是几何学中非常常见的物体，它具有多种特殊的性质，从形状，夹角，面积和体积，以及抛物线运动分析等。

由于它拥有这么多独特的性质，它在许多领域里都有着重要的应用，因此对于深入研究几何学是非常有用的。

一类特殊椎体和柱体外接球半径的秒杀方法

一类特殊的椎体和柱体外接球半径的求法超级结论：有一条侧棱垂直于底面底面是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=+=+=+=.)b 4141.5;41906030.4;411203030.3;2141.2;3141.122222000220002222a h R a h R a h R a h R a h R （矩形的四棱锥（柱），）的三棱锥（柱），，，直角三角形（）的三棱锥（柱），，，等腰三角形（锥（柱），等腰直角三角形的三棱柱），等边三角形的三棱锥（其中h 为高，1—4中a 为底边中的最小值，5中a ，b 为长和宽.延伸：1.侧棱两两垂直的三棱锥：2222h b a R ++=. 2.对棱两两相等的三棱锥，⇒2对棱的平方和222h b a ++例 1.已知三棱锥S ABC -底面ABC 是边长为1的正三角形，且SA ABC ⊥平面，2SA =，则该三棱锥的外接球半径为解析：SA ABC ⊥平面，且ABC ∆为等边三角形R ∴===，完！例 2.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==,90BAC ∠=,12AA =,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是().4A π .8B π .16C π .12D π解析：此题就像是为我们的结论量身定做的一样，底面等腰三角形，侧棱垂直底面，所以：221121342R =⨯+⨯= 244312S R πππ∴==⨯=，选D ，快吧！例3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为解析：由题可知原图为：底面为矩形，由结论知()22211222344R =⨯+⨯+= ()334434333V R πππ∴===例4.已知三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面,AB AC ⊥,2AB AC ==,且三棱锥外接球的表面积为36π，则PA =解析：23643R R ππ=⇒=， 221242h R =+⨯， 229228274h h h =+⇒=⇒= 例5.四面体A BCD -中，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====,则此四面体外接球的表面积为解析：如图四面体A BCD -的对棱相等，根据上面的结论：对棱的平方为：22245564++=， 2222642222==++=h b a R CA B PDCB A 正侧俯222.32)22(42ππ==∴S。

有一类特殊的三棱锥【精选】

有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。

循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。

性质2：RtΔ的两个锐角互余。

性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以RtΔ的外接圆半径R ＝c ＝)。

性质7：RtΔ的内切圆半径r ＝＝(a ＋b －c)。

现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。

如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。

∵PA、PB 、PC 两两垂直，　∴PA⊥面PBC ，PB⊥面PCA ，PC⊥面PAB ，　∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。

作PH⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC ；而PC⊥面PABPC⊥AB，所以AB⊥面PCD ，∴AB⊥PD，AB⊥CH。

同理，AH⊥BC，BH⊥CA。

　由AB⊥面PCD 知CD⊥AB，而PD⊥AB 且∠APB＝90°，∴∠ABC、∠CAB 为锐角。

同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得：性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

在RtΔPAB 中，PD·AB ＝PA·PBPD ＝；在RtΔPCD 中，CD ＝PD ＋PC＝()＋c ＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PH PH ＝＝＝，∴＝＝＋＋。

【数学文化】一类特殊三棱锥的性质

一类特殊三棱锥的性质
在立体几何中，有一类特殊的三棱锥——三条侧棱两两垂直的三棱锥，它们具有一些特殊的性质，掌握这些特性，便于在学习过程中更好地理解图形，增强空间想象力，加快解题速度．
如图，三棱锥三条侧棱两两垂直，顶点在底面上的射影为，且，，，，则有
性质1：△为锐角三角形．
证明：∵，
∴，，．
根据锐角三角形三边间的关系，有，，
．
∴△为锐角三角形．
性质2：点为△的垂心．
证明：连结延长交于，连结延长交于，连结延长交于．
∵，，
∴面，∴．
又∵面，
∴，即．
同理，．
∴点为△的垂心．
由性质1，性质2可知点在底面上的射影必在△的内部．
性质3：，
，
；
．
证明：连结、、，由三垂线定理知，，，．
∴，，．△中，，
∴．
同理，
．
由此可得，．
性质4：．
证明：由三棱锥的体积公式
，∴．
而，，，
由，得，
∴．
性质5：若三棱锥三个侧面与底面所成角分别为、、，则
．
证明：由题、、分别为、、，
则，，
．
∴．。

踞数学思想高地，促学科素养提升

踞数学思想高地，促学科素养提升作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第10期[摘要] 文章以“简单几何体外接球”为例，借助数学转换思想，通过图形转换、思维转换等方式，培养学生的模式化思维和载体化意识，培养学生的直观想象素养，促进学生实现深度学习，深化学生对知识的理解，提升学生的迁移能力.[关键词] 数学思想;核心素养;直观想象素养;简单几何体;外接球引言数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]. 对此，部分教师在教学中进行了尝试，并取得了一定的成果. 比如培养学生的直观想象素养，朱贤良通过特殊几何体的结构特征来确定外接球球心的位置，梳理了部分规则几何体的解题思路[2];李健通过一节课堂实例，呈现了如何借助一个立体几何问题，提升学生的数学思维品质的具体范例[3];符强如在高三复习中，尝试通过将多面体外接球问题“模式化”，助力学生深度学习[4]. 这些尝试，在解决简单几何体外接球问题的技巧上提供了很好的借鉴方案，也为提升学生的直观想象素养提供了很好的范例.在这些优秀同行的研究基础上，文章尝试从数学思想统领整个教学过程的角度出发，以“简单几何体外接球”教学为例，谈谈如何在转换思想[5]的引领下，培养学生的模式化思维和载体化意识，为提升学生的数学直观想象素养展示一条实施路径.教学设计1. 以圆柱为载体的外接球教学中，引导学生分别从题4-1、题4-2的几何体棱长和底面垂直的特征中“萃取”线面垂直模型，从题4-3的几何体一个底面与其中一个侧面垂直的特征中“萃取”面面垂直模型，培养学生对知识的概括能力. 通过“问题链”的方式，引导学生寻求这两个特殊模型的解决方案，并通过类比推理，搭建起空间与平面思维的通道，实现思维的转换. 在教学过程中，教师启发学生思考并提出问题：“平面几何中，确定圆心的位置是解决圆的问题的关键，我们是如何确定圆心的？”“找圆心的方法可以类比到找球心的方法吗？”“圆中的弦该类比到球中的哪个几何元素呢？”通过一系列“问题链”的引导，类比新旧知识，进行思维转换的训练，构建获得新知的科学路径，引导学生注重知识之间的联系，渗透转换思想;通过新旧知识的类比，将解决平面几何问题的方法迁移至立体几何问题上，实现从空间到平面的转换，有助于学生对球问题的深度理解. 将条件特殊化后的两个模型的外接球问题（面面垂直、线面垂直）与平面中圆的两条垂直弦的模型进行类比，加深学生对前一次类比的理解. 通过数学思想的引领，提升学生的知识理解能力和迁移能力.教学思考1. 由图形转换提升学生的直观想象素养学生直观想象素养的提升落实到“简单几何体外接球”的教学环节中，教师需要有意识地引导学生认识并理解图形之间的关系，借助图形的特性，将复杂图形的问题转换为简单图形的問题，将陌生的图形转换为熟悉的图形，帮助学生进行深度理解，培养学生的模式化思维和载体化意识.在“以圆柱、圆锥为载体的外接球”的教学中，整个教学围绕“如何进行转换”展开，目的是让学生充分体会两次转换（见图5）的意义，引导学生借助图形的对称性及图形之间的转换，实现将特殊棱柱、棱锥问题转换为圆柱、圆锥问题，提升直观想象素养.在“以长方体为载体的外接球”的教学中，以转换思想引领学生观察特殊三棱锥的特性，联想到长方体的棱垂直多、对角线相等的几何特性，将特殊三棱锥还原为长方体，实现特殊三棱锥模型与长方体模型的转换（见图6）. 一方面，教师应该培养学生关注几何体特殊性质的习惯，培养学生能从一般几何体中“萃取”某一类特殊几何体的能力，并能用直观形象的名称表达出有类别的特殊性质，这实际上就是学生直观想象素养在“能用数学的眼光看世界”“能用数学的语言表达世界”的一种具体表现形式. 另一方面，教师不仅要引导学生从多个视角去看待同一个几何体，而且还要引导学生用联系的眼光去看待多个几何体，从几何体之间的联系这个角度去直观感知几何体，掌握研究几何图形的基本方法，提升直观想象的素养[6].2. 由思维转换提升学生的直观想象素养史宁中认为：“几何教学，更好的教学过程应当是先讨论二维空间的情况，然后类比到三维空间的情况，最后抽象出一般n维空间.”[7]球作为圆在三维空间中的拓展，是提升学生直观想象素养很好的一个素材. 但是，由于学生原有的几何储备知识大部分属于二维平面知识，因此在实际的教学中，教师需要引导学生进行思维转换，将三维空间问题降维到他们熟悉的二维平面问题，然后调用二维平面中相应的知识进行类比并解决三维空间问题.上述教学设计，目的是引导学生站在思想高度去看问题，培养学生高观点下思考问题的能力，通过图形转换和思维转换将简单几何体分别转化为圆柱模型、圆锥模型、长方体模型、垂直模型等四种模型，让学生参与并经历这些转化过程，促使学生更加关注图形特征、图形之间的联系，从而提升学生的直观想象素养. 另一方面，通过数学思想的引领，让学生感悟从整体的视角关注知识之间的联系，感悟从模型的视角去整合知识，有利于促进学生进行深度学习，深化学生对知识的理解，培养学生的模式化思维和载体化意识，提升学生的迁移能力.结束语张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质. 只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂.”素养的培养不可能一蹴而就，学生从理解到感悟需要一个过程，需要教师进行有意识的引导. 因此，教学活动需要数学思想作为引领，借助具体的知识作为载体，提升学生的数学核心素养，培养学生的知识理解、迁移、应用的能力.参考文献：[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.[2] 朱贤良. 众里寻“心”千百度繁华落尽识真颜——确定多面体外接球球心位置的一般途径与四个特殊模型[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2019（21）.[3] 李健. 直观把握数学本质动态提升思维品质——从教材中一个立体几何问题例谈变式教学[J]. 数学通报，2019（10）.[4] 符强如. 巧建数学模型助力深度学习——以模式化思想求解多面体外接球问题为例[J]. 高中数学教与学，2019（17）.[5] 吴炯圻，林培榕. 数学思想方法：创新与应用能力的培养[M]. 厦门：厦门大学出版社，2009.[6] 宋建辉. 基于学科核心素养的2019高考全国卷立体试题分析[J]. 数学通报，2020（01）.[7] 史宁中. 数学思想概论（第4辑）——数学中的归纳推理[M]. 长春：东北师范大学出版社，2010.。

三棱锥性质

三棱锥的性质三棱锥，是一种几何图形，也称为三角锥，是由一个三角形的底面和三条侧棱组成的多面体。

在数学中，三棱锥具有许多独特的性质，本文将介绍三棱锥的几何特征和相关性质。

1. 三棱锥的定义三棱锥是一种多面体，由一个三角形作为底面，同时有三条从底面顶点引出并相交于一个顶点的棱组成。

这里的三角形称为底面，而相交于同一顶点的三条棱称为侧棱。

2. 三棱锥的特征•底面三角形的性质：三棱锥的底面是一个三角形，其性质与任意三角形相同，例如三角形内角和等于180度等。

•侧棱的性质：三棱锥的侧棱是从底面顶点引出的边，连接到顶点的棱，与底面的三边相交，构成侧面三角形。

•侧面三角形的性质：侧面三角形是三棱锥的侧棱与底面各边所构成的三角形，具有独特的性质，例如侧面三角形的高度等于三棱锥的高度。

3. 三棱锥的体积计算三棱锥的体积计算公式为：$$V = \\frac{1}{3} \\times A_{\\text{底面}} \\times h$$其中， $A_{\text{底面}}$ 为底面的面积， $h$ 为三棱锥的高度。

4. 三棱锥的表面积计算三棱锥的表面积计算公式为：$$S = A_{\\text{底面}} + \\frac{1}{2} \\times P_{\\text{底面}} \\times l$$其中， $P_{\text{底面}}$ 为底面的周长， $l$ 为侧棱的长度， $A_{\text{底面}}$ 为底面的面积。

5. 三棱锥的稳定性与其他多面体相比，三棱锥的稳定性较差，当三棱锥的高度较大时，容易发生摇晃和倾倒现象。

因此，在建筑结构和工程设计中，往往需要通过增加底面的支撑或加固侧棱等方法来提高三棱锥的稳定性。

结语综上所述，三棱锥作为一种特殊的多面体，具有独特的几何特征和性质。

通过了解和掌握三棱锥的性质，我们可以更好地理解和运用它在数学和实际生活中的应用。

希望本文的介绍能够帮助读者对三棱锥有更深入的理解。

三棱锥的字母表达形式

三棱锥的字母表达形式三棱锥是一种几何形体，它有一个底面，底面是一个三角形，连接底面三个顶点的三条线段称为棱，另一个顶点称为顶点。

三棱锥是一类非常有趣的几何形体，它具有许多独特的特征和性质，下面我们将从字母表达形式来认识三棱锥。

一、三棱锥的基本结构三棱锥的底面是一个三角形ABC，顶点是D。

连接顶点D至三角形底边三个顶点A，B，C的连线线段分别为DA，DB，DC，称为棱。

三棱锥的字母表达形式为三棱锥ABCD。

二、三棱锥的表面积三棱锥的表面积指三棱锥的所有面积之和。

三棱锥的底面是一个三角形ABC，底面面积为S，且三棱锥的高为h，那么三棱锥的表面积公式为S+1/2*PA+1/2*PB+1/2*PC，其中PA，PB，PC分别是三条棱的斜高。

所以，三棱锥的表面积的字母表达形式为S+1/2*PA+1/2*PB+1/2*PC。

三、三棱锥的体积三棱锥的体积指三棱锥所包含的所有空间。

三棱锥的底面是一个三角形ABC，底面面积为S，且三棱锥的高为h，那么三棱锥的体积公式为1/3*S*h，即三角形底面积乘以高再除以3。

所以，三棱锥的体积的字母表达形式为1/3*S*h。

四、三棱锥的形心三棱锥的形心是指三棱锥内各点到三条棱的距离的平均值的交点。

三棱锥形心的横坐标等于三角形重心的横坐标，纵坐标等于三角形重心的纵坐标减去1/4棱高的长度。

所以，三棱锥的形心的字母表达形式为G(x, y-1/4P)，其中P是三角形底边到顶点的距离。

五、三棱锥的重心三棱锥的重心是指三棱锥内各点到三角形ABC三边中点的距离的平均值的交点。

三角形ABC三边中点分别为E，F，G，则三棱锥的重心为M(E+F+G+D)/4，其中D是顶点的坐标。

所以，三棱锥的重心的字母表达形式为M(E+F+G+D)/4。

六、三棱锥的侧面积三棱锥的侧面积指除底面和顶面外，三棱锥所包含的所有侧面面积之和。

三棱锥的侧面积等于三组相邻的面积之和，即S1+S2+S3，其中S1是三棱锥的侧面与底面所组成的三角形面积，S2和S3分别是两个相邻的侧面与三角形的面积。

三棱锥的几个度量公式

三棱锥的几个度量公式
肖辉成
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】1994(000)002
【摘要】本文应用矢量代数的方法,对任意的三棱锥,若已知其从一个顶点出发的三棱棱长及此三棱所成的三个面角的大小,可通过简洁的计算求出三棱锥的体积,表面积、相邻二面所成二面角、任一棱与不过该梭的面所成的角和二异面对棱间的距离的度量公式.
【总页数】3页(P19-21)
【作者】肖辉成
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O182
【相关文献】
1.三棱锥的一个体积公式及应用 [J], 王健发
2.三棱锥的一个体积公式及应用 [J], 王健发
3.一类特殊三棱锥的求高公式 [J], 洪忠基
4.三棱锥体积的一个特殊公式 [J], 韩生亮
5.应用等积公式求三棱锥的体积 [J], 许崇福
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棱锥复习

求证(1)AC⊥平面PDM
(2)求三棱锥P-DMN的体积.
P (3)求二面角M-DN-C的大小. (1)结果为4。
M （2）问二面角正切值 3 5
2
B
向量法
C
三垂线法
N
D
A
二知识运用与解题研究
例1 三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面所成角都是600，求棱锥的高和体积
解：作SI⊥平面ABC，I为垂足，在平面ABC内过点I分别作IE⊥BC
IF⊥AC、 ID⊥AB，垂足分别为E、F、D，则有S：
SD⊥AB SE⊥BC SF⊥AC
又因为E是中点所以 DE PC.综上有DE 面PBC. P
(3)问的关键是找到二面角的平面角上
问知DE 面PBC,所以过E做EF PB ,连接FD,由三垂线定理知 DEF为二
F E
面角平面角.将平面角放在直角
三
A
B
三练习：
1、棱锥底面面积是S，过棱锥的高中点
作平行于底面的截面（中截面），此截
E为PC中点。
（1）求证：PA 面EDB.
（2）求证：平面EDB 平面PBC.
P
（3）求二面角D-PB-C的正切值。 E
证1：连接AC交BD于O
易证PA EO,(1)问得证
D
C
O
A
B
(2)问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线,由于要寻
找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手,突破此问.
因为BC CD所以BC 面PDC 所以 BC DE
面的面积为
。
2、棱锥底面面积是S，若P是棱锥的高上
一点，P到顶点的距离等于高的，则过P

人教版高一下册数学知识点

人教版高一下册数学知识点(实用版)编制人：__审核人：__审批人：__编制单位：__编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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