中考数学圆的综合综合题汇编附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．

【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8

.

【解析】（1）解：连接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

∴AM＝BM＝PM=QM= 1

2 PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5

∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，

当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x

由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2

∴点Q的坐标为（2，9）

（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）

∴M1M2＝9

2

－3＝

3

2

， Q1Q2＝6－4＝2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

其面积为：1

2

×(

3

2

＋2)×4.5＝

63

8

.

【解析】

【分析】

根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.

【详解】

（1）解：连接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5

∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，

当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x

由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3

∴点Q的坐标为（3 ，9）

（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）

∴M1M2＝－3＝， Q1Q2＝6－4＝2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

其面积为：×( ＋2)×4.5＝.

【点睛】

本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键.

2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．

(1)如图(1),求证:AD∥BC；

(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；

(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3129

【解析】

试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有

AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．

作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．

试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．

（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，

∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF

=1

2

CN，∴AE=2DF．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．

∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=3DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，

∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，

∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43 HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，

∴4x+x=53，解得：x3∴AB3HB3AH=12，EC=DE=AB=3

∴HC=HE+EC383=3Rt△AHC中，

AC2222

12(93)

AH HC

+=+343

作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP

，

∴

343

2129

sin603

2

AC

AP===

︒∴⊙O129．