八年级数学几何证明题技巧含答案)
(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E，F分别在边BC，BA 上，OE=3 .若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 ( )A.2B.C.D. －12、下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④3、在平面直角坐标系xOy中有一点P（8,15），那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于( )A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A.m 2B.m 2+1C.2m 2D.（m+1）25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为( )A.2B.2.6C.3D.46、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB= ；②当点E与点B重合时，MH= ；③AF2+BE2=EF2；④MG•MH= ，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.47、如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为( )A.70°B.48°C.45°D.60°8、如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（）A.4B.6C.2D.19、如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（）A.2B.4C.6D.810、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）A.6cmB.8.5cmC. cmD. cm11、如图是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是（）A.6πB.3πC.D.12、已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.13、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A. B. C.1 D.14、若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（)A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定15、如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2， AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S 1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为________．17、若一个直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边的长为________．18、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=________．19、三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是________.20、如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD=________．21、直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是________．22、如图，在中，点为弧的中点，弦，互相垂直，垂足为，分别与，相于点，，连结，.若的半径为2，的度数为，则线段的长是________.23、我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为________．24、如图所示，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB＝2，则正方形ADEF的面积为________．25、如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=130°，则∠ABC=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图,已知, ，与交于, .连接.求证：是等腰三角形.28、如图，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，且∠B=∠FAC=90°，求正方形CDEF的面积．29、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．30、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、A5、D6、C7、B8、C9、C10、D12、A13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
初二数学压轴几何证明题(含答案)
1.四边形ＡBCＤ是正方形，△ＢEF是等腰直角三角形,∠BＥＦ＝９0°,BE＝ＥF,连接DF,G 为DF的中点，连接EG,CG,EC．ﻫ(1)如图1,若点Ｅ在ＣB边的延长线上，直接写出EG与GC 的位置关系及的值；ﻫ(2)将图1中的△BEＦ绕点Ｂ顺时针旋转至图2所示位置，请问(１）中所得的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点Ｂ顺时针旋转α(0°<α<９0°),若BE＝１，AＢ=,当Ｅ，F,Ｄ三点共线时,求DF的长及tan∠ＡBＦ的值．解：（１）ＥＧ⊥CG，=,ﻫ理由是:过G作ＧH⊥ＥC于Ｈ,ﻫ∵∠FEB=∠DＣB=9０°，∴ＥF∥ＧＨ∥DC,ﻫ∵G为DF中点，ﻫ∴H为EＣ中点,ﻫ∴EG=ＧC，GH=(ＥF+DC）＝（ＥB＋ＢC）,ﻫ即ＧH=EH=HC，ﻫ∴∠ＥＧC=9０°，即△ＥＧC是等腰直角三角形，∴=；ﻫ（２）ﻫ解：结论还成立，ﻫ理由是:如图2,延长EG到H,使EG＝GＨ，连接CH、ＥC,过E作BC的垂线ＥM,延长CD,∵在△ＥFG和△ＨＤG中ﻫ∴△EFG≌△HDG（SAＳ）,∴ＤH=EF=BE,∠FEG＝∠DHＧ,∴EF∥ＤH,ﻫ∴∠1=∠2＝90°－∠3=∠4，ﻫ∴∠EBＣ=１80°－∠4=１80°－∠１=∠ＨDＣ，在△EBＣ和△HDC中ﻫ∴△EBC≌△HDC.ﻫ∴CＥ＝ＣH,∠ＢＣE=∠DCH,∴∠ECH＝∠DＣＨ+∠ＥＣD=∠BCE+∠ＥCD=∠ＢＣD=90°，∴△EＣH是等腰直角三角形,ﻫ∵G为ＥH的中点，ﻫ∴EG⊥GC，=,ﻫ即(１）中的结论仍然成立;ﻫﻫ（３）ﻫ解:连接BD，∵AＢ=，正方形AＢCD,ﻫ∴BＤ=２，ﻫ∴coｓ∠DＢE==,∴∠DBE=60°，ﻫ∴∠ABE=∠ＤBE-∠ABＤ=1５°,ﻫ∴∠ＡＢF=45°-１５°=３0°,∴ｔaｎ∠ABF＝，∴DE=BＥ=,∴ＤＦ＝ＤE-EＦ=-1．解析: （1)过G作GH⊥EＣ于H，推出EF∥GＨ∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH＝（EF＋ＤC）=(EB＋BC）,推出GH=ＥH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;ﻫ（２)延长EG到H，使EG＝ＧH,连接CH、EC,过E作ＢC的垂线EM，延长ＣD，证△ＥFG≌△ＨDG，推出ＤH=EF=BE,∠ＦEG＝∠DHG,求出∠EBC=∠ＨＤC，证出△ＥBＣ≌△ＨDＣ，推出ＣＥ=CH,∠ＢCＥ=∠DＣH，求出△EＣＨ是等腰直角三角形,即可得出答案；3(ﻫ）连接BD，求出cｏs∠DBE＝＝，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=３０°，解直角三角形求出即可．2．已知正方形ABＣD和等腰直角三角形ＢEＦ，BE=EF，∠ＢEＦ＝9０°,按图１放置,使点E在BC上，取DF的中点Ｇ，连接ＥG，ＣＧ.（1)延长EG交DC于Ｈ，试说明:ＤＨ=BE.ﻫ(２）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DＦ中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=ＣG且EG⊥CＧ．在设法证明时他发现：若连接BD，则D,E，B三点共线.你能写出结论“EＧ=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.ﻫ（３)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α<90°)，再连接DＦ,取DF的中点Ｇ(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．(1）证明:∵∠BＥＦ=9０°，∴EＦ∥DH,ﻫ∴∠EFG=∠GDH,ﻫ而∠ＥGＦ＝∠DGH，ＧF＝GD，ﻫ∴△GEF≌△GＨD，ﻫ∴EF=DH，而BＥ=EF,ﻫ∴DH=BＥ;ﻫ（2）连接DB，如图，ﻫ∵△BＥF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，ﻫ而四边形ＡBCD为正方形，∴∠DBC=45°，ﻫ∴D，E,B三点共线.ﻫ而∠ＢEF＝90°，∴△FED为直角三角形，ﻫ而Ｇ为DF的中点，∴EG=ＧＤ＝GＣ，∴∠ＥGC=2∠EDＣ=９0°，∴EG=CＧ且EG⊥CG;ﻫﻫ（3)第２问中的结论成立.理由如下：连接ＡC、ＢD相交于点O,取BF的中点M，连接OG、ＥM、MG，如图,ﻫ∵Ｇ为DＦ的中点,Ｏ为BD的中点，Ｍ为BF的中点,ﻫ∴OＧ∥BF,ＧM∥OB，ﻫ∴四边形ＯGMＢ为平行四边形,∴OＧ=BM，GM=OB,而EM=BM，ＯC＝OB,∴EM=OG，MＧ=OC,∵∠ＤOG＝∠GMF,而∠DＯC=∠EＭF=9０°,∴∠EMＧ=∠GOC，ﻫ∴△ＭEG≌△ＯGＣ,∴EG=CG，∠EGM=∠OCＧ，ﻫ又∵∠MGF=∠BDF,∠ＦＧC=∠GDC＋∠GＣD，∴∠EGC=∠ＥＧＭ＋∠MGF+∠FGC=∠BDF＋∠ＧＤC+∠ＧＣD+∠OCG=4５°+４５°=90°,ﻫ∴EＧ=ＣG且EG⊥CG.解析：(1）由∠BEF＝90°,得到EF∥ＤH,而GF=GD,易证得△GＥF≌△GHD，得EF=DH,而BE=EF，即可得到结论.ﻫ(2)连接DB，如图2，由△ＢＥF为等腰直角三角形,得∠ＥBＦ=４５°，而四边形ABCD为正方形，得∠DＢC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EＧ=ＧD=GC，于是∠EＧC=2∠EDC=90°，即得到结论.ﻫ（３）连接ＡC、BＤ相交于点O,取BF的中点M，连接OG、EM、ＭG，由G为ＤF的中点，Ｏ为BD的中点,M为ＢＦ的中点,根据三角形中位线的性质得OＧ∥BＦ，GM∥OB，得到OG=BM,GM=OB，而EM＝BM，OC＝OB，得到EM=ＯG,MＧ=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DＯＣ=∠EMF ＝90°，得∠ＥＭG＝∠GOC，则△MEG≌△OＧC，得到ＥG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BD Ｆ,∠FＧC＝∠GDC+∠ＧCD，所以有∠ＥGC＝∠ＥGM+∠MGF＋∠FＧC=∠ＢDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=4５°+４５°=90°.３.已知正方形ABCD和等腰Ｒt△BEF,ＢＥ=EF,∠BEF＝90°，按图①放置,使点F在BC上，取ＤＦ的中点Ｇ，连接EG、CＧ.ﻫ(１）探索EＧ、CG的数量关系和位置关系并证明;ﻫ（2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接ＤF,取DF中点Ｇ（如图②)，问(１)中的结论是否仍然成立．证明你的结论;(３）将图①中△ＢEF绕B点转动任意角度(旋转角在０°到９0°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③）,问(１）中的结论是否仍然成立,证明你的结论.ﻫ解：(1）EＧ=CG且EG⊥CＧ．ﻫ证明如下：如图①,连接BD.∵正方形ABCＤ和等腰Ｒｔ△BＥF,∴∠EＢF＝∠DBＣ＝4５°．∴B、E、D三点共线.ﻫ∵∠DEF=9０°,Ｇ为DF的中点,∠DCB=90°,∴EG=DG＝ＧF＝CG.ﻫ∴∠ＥGＦ=２∠EＤＧ,∠CGＦ＝2∠CＤG．ﻫ∴∠ＥＧＦ＋∠CGF=2∠ED Ｃ=９0°，ﻫ即∠EGC=９0°,∴EG⊥CG．ﻫﻫ（2）仍然成立，证明如下:如图②,延长EG交CD于点H.ﻫ∵BE⊥EF，∴EF∥ＣD,∴∠1=∠2.ﻫ又∵∠3=∠４，ＦG=DＧ，ﻫ∴△FEG≌△DHG，∴EF＝DH，ＥＧ=GＨ．∵△BＥF为等腰直角三角形，∴ＢE=EＦ,∴BE=DH．ﻫ∵CD=BC,∴CＥ=ＣH．∴△EＣＨ为等腰直角三角形．又∵EG=GH,∴EＧ=CG且ＥＧ⊥CG．ﻫ(3）仍然成立.证明如下：如图③，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF交BＣ于Ｍ，连接ＥH、EC．∵GF=GＤ,∠HGＦ＝∠CGD,HG＝CG，ﻫ∴△HFG≌△CDG，ﻫ∴HＦ=CD，∠GHF＝∠ＧCD，∴HＦ∥CD．∵正方形ＡBCD，∴ＨＦ=ＢC，HF⊥BC．∵△ＢEＦ是等腰直角三角形,∴ＢE＝ＥF，∠EBC=∠HFE，∴△BＥC≌△FEH,ﻫ∴HE=EC,∠BEC＝∠FEH，ﻫ∴∠BEF＝∠HEC=90°，ﻫ∴△ECH为等腰直角三角形.又∵CG=GH,∴EG ＝CG 且ＥG ⊥C Ｇ.解析：（１）首先证明B 、Ｅ、Ｄ三点共线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=ＤG=GF=CG,得到∠ＥGF=2∠ＥＤG ，∠CGF=2∠ＣDG,从而证得∠EGC=9０°;ﻫ(2)首先证明△FE Ｇ≌△DHG,然后证明△ＥCH 为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG 且EG ⊥C Ｇ．ﻫ（3）首先证明：△BEC ≌△ＦEH,即可证得:△ECH 为等腰直角三角形，从而得到:ＥG=C Ｇ且EG ⊥CG.已知，正方形A ＢCD 中，△BEF 为等腰直角三角形,且BF 为底,取DF 的中点G,连接EG 、C Ｇ．ﻫ（1）如图1，若△B ＥF 的底边B Ｆ在BC 上,猜想E Ｇ和ＣG 的数量关系为＿___＿＿;ﻫ（2)如图2，若△B ＥF 的直角边BE 在ＢC 上,则(１）中的结论是否还成立？请说明理由；（３）如图3，若△B ＥF 的直角边BE 在∠DB Ｃ内,则(1）中的结论是否还成立?说明理由． 解：（１)GC=EG,（1分)理由如下：ﻫ∵△ＢＥF 为等腰直角三角形,ﻫ∴∠DEF=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点, ∴EG= ＤF,∵A ＢCD 为正方形,ﻫ∴∠BCD=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点，∴CG= ＤF,ﻫ∴G Ｃ=EG;ﻫ（２)成立.如图，延长ＥG 交CD 于Ｍ,Ｄ,∵∠BEF ＝∠FEC=∠BCD=90°,∴EF ∥Ｃ1 2 1 ２∴∠EFG=∠MD Ｇ,ﻫ又∠E ＧF=∠DGM ，D Ｇ=ＦG ，∴△G ＥF ≌△ＧMD,ﻫ∴EG=MG,即G 为EM 的中点．∴ＣＧ为直角△EC Ｍ的斜边上的中线，ﻫ∴ＣG=G Ｅ= EM;（3)成立．ﻫ取BF 的中点H,连接ＥH ，GH ，取BD 的中点O,连接O Ｇ,OC ． ∵CB=CD,∠DCB=９0°，∴C Ｏ= BD .ﻫ∵DG=G Ｆ，ﻫ∴GH ∥ＢD ，且GH= BD ，ﻫＯG ∥ＢF,且OG= B Ｆ,ﻫ∴CO ＝ＧH ．∵△ＢEF 为等腰直角三角形． B Ｆ∴EH=∴EH=OG ． ∵四边形O ＢHG 为平行四边形, ∴∠BOG ＝∠BH Ｇ．∵∠B ＯC=∠BH Ｅ＝9０°. ∴∠GOC=∠ＥHG ．ﻫ∴△GOC ≌△E ＨG ．ﻫ∴EG=GC ．此题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质,熟练运用全等知识是解本题的关键．解析:(1)E Ｇ=ＣG,理由为：根据三角形BEF 为等腰直角三角形，得到∠DEF 为直角，又G 为ＤF 中点，根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半，得到ＥG 为ＤF 的一半,同理在直角三角形DC Ｆ中,得到CG 也等于ＤF 的一半,利用等量代换得证;ﻫ(２）成立．理由为:延长ＥG 交CD 于M,如图所示,根据“A ＳA ”得到三角形E ＦG 与三角形ＧDM 全等,由全等三角形的对应边相等得到EG 与ＭG 相等，即G 为EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到E Ｇ与ＣＧ相等都１２１2 １ 2 １ 2。
初中数学几何证明题思路方法和技巧
初中数学几何证明题思路方法和技巧
1.利用定义和性质：几何证明题通常需要用到几何图形的定义和性质，因此在做题前需要熟悉相关概念。
2. 运用相似三角形：相似三角形有着相同的角度和比例关系，
因此可以通过相似三角形来证明几何关系。
3. 利用角度和：三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，因此可以通过计算角度和来证明几何关系。
4. 利用垂直和平行关系：垂直和平行线有着明显的几何特征，
因此可以通过垂直和平行关系来证明几何关系。
5. 利用勾股定理和正弦定理等定理：勾股定理和正弦定理等定
理是几何证明中常用的工具，可以通过运用这些定理来证明几何关系。
6. 利用反证法：反证法是数学证明中常见的方法，可以通过排
除其他可能性来证明几何关系。
7. 利用矛盾法：矛盾法也是数学证明中常见的方法，可以通过
假设相反的情况来证明几何关系。
在做几何证明题时，还需要注意以下一些技巧：
1. 画图：画图可以帮助我们更好地理解几何关系，同时也可以
在证明中提供一些线索。
2. 标记线段和角度：标记线段和角度可以使证明过程更加清晰，方便读者理解。
3. 步骤清晰：证明过程需要步骤清晰、逻辑性强，不能出现漏
洞或矛盾。
4. 注意细节：几何证明中有时需要注意一些细节问题，例如判
断角度是否是锐角或钝角，判断线段是否相等等。
综上所述，初中数学几何证明题需要掌握一定的思路方法和技巧，并且需要认真、仔细地推导证明。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
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D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。
求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。
从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 A N FE CDMB · A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：P A ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，P A ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACBPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
(完整版)初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题 经典题（一）1 已知：如图， 0是半圆的圆心， C 、E 是圆上的两点， CD 丄AB , EF 丄AB , EG 丄CO . 求证：CD = GF .（初二）2、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内点，/ PAD =Z PDA = 150.的延长线交MN 于E 、F . 求证：/ DEN =Z F .求证：△ PBC 是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形 ABCD 、A i B i C i D i 都是正方形, CC i 、DD i的中点.求证：四边形 A 2B 2C 2D 2是正方形.（初二）A 2、B 2、C 2、D 2 分别是 AA i 、BB i 、4、已知：如图，在四边形 ABCD 中, AD = BC , M 、N 分别是 AB 、CD 的中点, AD 、BCD经典题（二）及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证：AP = AQ .（初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆0的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE , 于 P 、Q .求证：AP = AQ .（初二）4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点.求证：点P 到边AB 的距离等于1已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）（1） 求证：AH = 2OM ;（2） 若/ BAC = 600,求证：AH = AO .（初二）,O 为外心，且0M 丄BC 于M .2、设MN 是圆0外一直线，过0作0A 丄MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于AB 的一半.（初二）HEBCM DG N BF经典题（二）1 如图，四边形 ABCD 为正方形，DE // AC , AE = AC , AE 与CD 相交于F .求证：CE = CF .（初二）4、如图，PC 切圆0于C , AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .求证：AB = DC , BC = AD .（初三）F .E2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE // AC ,且CE = CA ，直线EC 交DA 延长线于 求证：AE = AF .（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB • CD + AD • BC = AC • BD .（初三）4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ,且AE = CF .求证：/ DPA =Z DPC .（初二）经典题（四）1已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点 求：/ APB的度数.（初二）2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且/求证：/ PAB = Z PCB .（初二）C经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点,求证：一：＜L V 2.B C2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA + PB + PC的最小值.3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.4、如图，△ ABC 中，/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是AB、AC 上的点，/ DCA = 30°, / EBA = 20°,求/ BED 的度数.经典题（一）1•如下图做GH丄AB,连接E0。
(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18，c=8，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=5B.a=7，b=24，c=25C.a=4，b=5，c=6 D.a=6，b=8，c=103、如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝45°，以BC为弦作⊙O，交AC 于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD＝90°；②DO∥AB；③CD＝AD；④△BDE∽△BCD；⑤正确的有（）A.①②B.①④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤4、已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△ 绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.5、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（）A.2B.3C.4D.56、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，则的长为（）A.8B.4C.3D.57、在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A.a＝4，b＝5，c＝6B.a＝12，b＝5，c＝13C.a＝6，b＝8，c＝10D.a＝7，b＝24，c＝258、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m9、有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 ( )A.△ABC三条角平分线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条中线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点10、下列各组数中，不是勾股数的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.6，8，10D.7，13，1811、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则折痕EF的长为( )A.5cmB. cmC. cmD. cm12、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm13、如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，且点F在长方形ABCD内．将AF延长交边BC于点G．若BG=3CG，则=（）A. B.1 C. D.14、如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（）A.28B.28.5C.32D.3615、下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A.2，3，3B.2，3，4C.2，3，5D.3，4，5二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为________17、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________ cm2．18、如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，的平分线交⊙O于D，且，则的长为________．19、在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为________ cm．20、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．21、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=4cm，则⊙O半径为________cm．22、如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，点C均落在格点上，点B 为中点．（Ⅰ）计算AB的长等于________；（Ⅱ）若点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，且BP=CQ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出当PQ最短时，点P，Q的位置，并简要说明画图方法（不要求证明）________．23、如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为________.24、已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC 的距离为4，则点A'的坐标可能为________．25、如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE 交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．28、如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.29、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）30、由于大风，山坡上的一颗树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、C4、A5、B6、B7、A8、D9、A10、D11、B12、C14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点,CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证:CD＝GF．(初二).如下图做GH⊥AB，连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE ，可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
2、已知：如图,P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．(初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB，连接EO.由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO,所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中,AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题(二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心且OM ⊥BC 于M ． (1）求证:AH ＝2OM ； (2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 A N FE CDMB · A HEOF 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．(初二）4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证:CE ＝CF ．（初二）2、如图,四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题1、已知：△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点，PA ＝3,PB ＝4，PC 求：∠APB 的度数．(初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证:∠PAB ＝∠PCB ．(初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证:∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a,PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图,△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800,D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1。
[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/ec3edfe7fc0a79563c1ec5da50e2524de418d008.png)
[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在△ABC中，若AB=AC，点D是BC的中点，则下列结论正确的是（）A. AD垂直于BCB. BD=DCC. ∠BAC=90°D. ∠ABC=∠ACB2. 下列关于平行线的性质，错误的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 两直线平行，则它们的任意一对对应角相等3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列关于全等三角形的判定，错误的是（）A. SASC. AASD. SSD5. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=70°，则边BC与边AC的长度关系是（）A. BC > ACB. BC = ACC. BC < ACD. 无法确定6. 下列关于相似三角形的性质，正确的是（）A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 对应角互补D. 对应边相等7. 若等腰三角形的底角为45°，则其顶角的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°8. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，AD=8cm，则对角线AC的长度可能是（）A. 4cmB. 10cmC. 12cm9. 下列关于圆的性质，错误的是（）A. 圆的半径都相等B. 圆的直径是半径的两倍C. 圆的周长与半径成正比D. 圆的面积与半径成正比10. 在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（）2. 平行线的同旁内角互补。
（）3. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。
（）4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明 含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.甲、丙正确，乙错误B.甲正确，乙、丙错误C.三人皆正确 D.甲错误，乙、丙正确2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中有（）A.①②③B.①②③④C.①②D.①3、如图，⊙的直径为10，弦的长为8，且，垂足为，则的长为( )A.1B.2C.3D.44、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.5、如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB= 6 cm，点D′到BC的距离是（）A. B. C. D.6、如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（）A. πB. πC. πD. π7、如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )A. B. C. D.8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于A. B. C. D.9、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A. B. C. D.10、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离均为1，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，∠C=90°，求AB的长是（）A.3B.C.D.11、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（）A. B. C. D.12、如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A. B.4 C. D.813、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC 的延长线于F，若∠F=30°，BE=4，则AD的长是（）A.1B.2C.6D.214、▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为( )A.60 cm 2B.30 cm 2C.20 cm 2D.16 cm 215、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是________17、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是________ 度．18、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．19、如图，矩形中，点，分别在，上，且，连接，，，且平分，，连接交于点，则线段的长为________.20、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .21、如图，在平行四边形ABCD中，，,将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，已知点P是角平分线上的一点，, 于点D,M 是OP的中点，，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为________cm.23、如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=8cm，BC=7cm，则DE=________cm．24、如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE= BE，则长AD与宽AB的比值是________．25、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x 轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，x反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB= ，求AB的值．27、如图,直线AE、CE分别被直线EF、AC所截,已知∠1=∠2,AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整.证明：因为∠1=∠2,所以________//________(________),所以∠EAC=∠ACG(________),因为AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,所以________= ,________= ,所以________=________,所以AB//CD( ________).28、一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？29、如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD．求点C到AB的距离．30、如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、C5、C6、C7、D8、A9、B10、B11、D12、C13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
八年级数学上册三角形的几何证明及答案解析
人教版初中数学三角形的相关证明练习1.△ABC中，AD是高，AE 、BF是角平分线，∠BAC=50°，∠C=62°，求：∠DAC和∠BOA的度数。
2.已知△ABC中，一条中线将三角形分成周长分别为9cm和15cm的两部分，求三角形的腰长和底边长。
3.在△ABC中，BD是三角形的高线，求证：∠CBD=1∠A24.如图，AD和AF分别是钝角三角形ABC和ABE的高，若AD=AF,AC=AE,求证：BC=BE.5．如图，将Rt△ABC沿AB边平移得到Rt△DEF，已知BE=5,EF=8,CG=3,求图中四边形ACDG的面积。
6.△ABC中，∠DAC=2x，∠ABC=3x,∠ACB=4x,求：∠BAD的度数。
7.如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC,CD是∠BCA的角平分线，EF∥BC,延长CD到E，连接EF,∠A=∠ECF=20°，求∠CFE。
8.在△ABC中，∠C=2∠CAD=45°，BD=2AC,求∠B的度数。
9.如图，等腰直角△ABC中，AE平分∠BAC，且AE⊥CF,求证：AD=2CE.10.如图，在△ABC中，E是BC边的中点，AB=5,AE=2,AC=3,求BC的长度。
参考答案1.解：∵AD是△ABC的高，∠C=62°，∴∠ADC=90°，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-62°=28°∵∠BAC=50°∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=68°又∵BF平分∠ABC∴∠ABF=12∠ABC=12x68°=34°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=12∠BAC=12x50°=25°∴∠BOA=180°-∠ABF-∠BAE=180°-34°-25°=121°2.解：设腰长为xcm，①腰长与腰长的一半是9cm时，x+1/2x=9，解得x=6，所以，底边=15﹣1/2×6=12，∵6+6=12，∴6cm、6cm、12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的1/2是15cm时，x+1/2x=15，解得x=10，∴底边=9﹣1/2×10=4，∴三角形的腰为10cm，底边长为4cm.3.证明：如图，过A作∠BAC的角平分线AE,∠BAC∴∠CAE=12∵AB=AC,∴AE⊥BC∴∠CAE+∠C=90°∵BD是高，∴∠BDC=90°∴∠BDC+∠C=90°∠BAC∴∠CAE=∠DBC,∠DBC=124.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD=EF．∵AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD=BF．∴BD-CD=BF-EF．即BC=BE.5.解：∵直角△DEF是平移得到的，∴S△DEF=S△ABC∴S△DEF-S△DBG=S△ABC-S△DGBS梯形BEFG=S四边形ADGCBG=EF-CG=5=32.5 ∴S四边形ADGC=S梯形BEFG=(8+5)x5x126.解7.解：已知AB=AC,所以∠B=∠ACB=½（180°-20°）=80°又CE平分∠ACB，∠ECF=20°所以∠BCD=40°，∠ACF=20°又EF∥BC,所以FEC=40°所以∠CFE=180°-20°-40°=120°8.解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥AC于F，BD=2x设AC=x，AE=√2∠CAD=∠DAE=22.5°，可证△ADE≌△ADF(AAS)，得AE=AF=√2则CF=(2−√2)x，CD=(√2-1)x，BC=BD+CD=(√2+1)x2则有BC/AC=AC/CD=√2+1，得△ACD~△BCA，则∠B=∠CAD=22.5°9.证明：如图，延长AB,CE交于F，∵AE平分∠BAC，AE⊥CF,∴∠FAE=∠CAE,∠AEF=∠CAE=90°且AE=AE,则△AEF≌△AEC,CF,∴CE=CF=12在△ABD和△CBF中，∠FAE+∠F=90°，∠F+∠FCB=90°，∴∠FAE=∠FCB，AB=BC,∴△ABD≌△CBF，则CF=AD, AD=2CE10.解：如图，延长AD至E，使DE=AD,∵D是中点,则：BD=DC,∠BDE=∠ADC,AD=DE=2,∴△BDE≌△CAD,BE=AC=3,AE=2AD=4,又∵AB=5,∴△ABE是直角三角形∴在△BED中，BD²=DE²+BE²，解得BD=√22+32=√13∴BC=2BD=2√13。
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几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1所示，∆ABC中，∠=︒===
90，，，。
求
C AC BC A
D DB A
E CF
证：DE＝DF
分析：由∆ABC是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒
A B45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD AD
=，∠=︒
≅
DCF DAE
DCF45。
从而不难发现∆∆证明：连结CD
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。
本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证∆EFG是等腰直角三角形。
有兴趣的同学不妨一试。
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例2. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，
90。
求证：FD
=︒==
A AE BF BD DC
⊥ED
证明一：连结AD
在∆ADE和∆BDF中，
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法）
例3. 已知：如图6所示在∆ABC中，∠=︒
B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
分析：在AC上截取AF＝AE。
易知∆∆
AEO AFO
B60，知
12。
由∠=︒
≅，∴∠=∠
，，。
∴∠=∠=∠=∠=︒
∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒
566016023120
123460，得：≅∴=
，
FOC DOC FC DC
∆∆
证明：在AC上截取AF＝AE
又∠=︒
B60
即AC AE CD
=+
（二）延长一较短线段，使延长后的线段等于另一较长线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）
例4. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，∠=︒
EAF45。
求证：EF＝BE＋DF
分析：此题不易利用正方形这一条件。
不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF。
在正方形ABCD中，90，
∠=∠=︒=
ABG D AB AD
又∠=︒
EAF45
即∠GAE ＝∠FAE
【实战模拟】
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。
求证：DE CD =12
2. 已知：如图12所示，在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是∠C 的平分线。
求证：BC ＝AC ＋AD
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。
设M 为BC 的中点。
求证：MP ＝MQ
【试题答案】
1. 证明：取CD 的中点F ，连结AF
又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，
2. 分析：本题采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
证明：延长CA 至E ，使CE ＝CB ，连结ED
在∆CBD和∆CED中，
又∠=∠+∠
BAC ADE E
3. 证明：延长PM交CQ于R
又BM CM BMP CMR
=∠=∠
，
∴QM是Rt QPR
∆斜边上的中线。