八年级数学几何证明题技巧含答案
初二数学压轴几何证明题(含答案)
1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．解：（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，∴∠ABF=45°-15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE-EF=-1．解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC 上，取DF的中点G，连接EG，CG．(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠BEF=90°，∴EF∥DH，∴∠EFG=∠GDH，而∠EGF=∠DGH，GF=GD，∴△GEF≌△GHD，∴EF=DH，而BE=EF，∴DH=BE；（2）连接DB，如图，∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，∴D，E，B三点共线．而∠BEF=90°，∴△FED为直角三角形，而G为DF的中点，∴EG=GD=GC，∴∠EGC=2∠EDC=90°，∴EG=CG且EG⊥CG；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，∴OG∥BF，GM∥OB，∴四边形OGMB为平行四边形，∴OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，∴EM=OG，MG=OC，∵∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，∴∠EMG=∠GOC，∴△MEG≌△OGC，∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG ⊥CG．（3）首先证明：△BEC ≌△FEH ，即可证得：△ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG 且EG ⊥CG ．已知，正方形ABCD 中，△BEF为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为______；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1）GC=EG ，（1分）理由如下：∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，又G 为斜边DF 的中点， ∴EG=DF ， ∵ABCD 为正方形， ∴∠BCD=90°，又G 为斜边DF 的中点，∴CG= DF ， ∴GC=EG ；（2）成立．如图，延长EG 交CD 于M ，∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF ∥CD ，∴∠EFG=∠MDG ，又∠EGF=∠DGM ，DG=FG ，∴△GEF ≌△GMD ，∴EG=MG ，即G 为EM 的中点．∴CG 为直角△ECM 的斜边上的中线，∴CG=GE= EM ；（3）成立．取BF 的中点H ，连接EH ，GH ，取BD 的中点O ，连接OG ，OC ．∵CB=CD ，∠DCB=90°，∴CO= BD1 2 1 21212 12．∵DG=GF，∴GH∥BD，且GH= BD，OG∥BF，且OG= BF，∴CO=GH．为等腰直角三角形．∵△BEF∴EH= BF∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，1212因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD 的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。
八年级数学几何证明题技巧
八年级数学几何证明题技巧对于八年级的学生来说，几何证明题是一个全新的挑战。
如何更好地理解和解决这些题目，掌握相应的技巧至关重要。
以下，是我为八年级学生整理的一些几何证明题技巧。
一、理解基本概念首先，你需要理解并掌握几何的基本概念，如线段、角、三角形、四边形等。
这些基本元素及其之间的关系是证明题的基础。
理解这些概念，可以帮助你更好地理解题目的要求，从而找到正确的解题方向。
二、熟悉常用证明方法在几何证明中，有许多常用的证明方法，如直证法、间接证法、辅助线法等。
辅助线法尤其重要，它是解决许多复杂问题的关键。
通过添加辅助线，可以将复杂的图形分解成更易于处理的子图形，从而找到解题的突破口。
三、培养观察力和想象力几何证明需要你具备出色的观察力，能够看到题目中的关键信息，以及想象出题目未直接给出的信息。
通过观察和分析，你可以找到解决问题所需的各种条件，并将其转化为证明语句。
四、学会找规律几何证明题有时会有一定的规律可循。
通过观察和分析不同类型的题目，你可以发现一些常见的模式和技巧。
掌握了这些规律，可以大大提高解题速度和准确性。
五、练习是关键几何证明需要大量的练习来提高你的解题能力。
只有通过不断的练习，你才能更好地掌握各种方法和技巧，提高你的解题速度和自信心。
六、学会自我反思和总结在解题过程中，要学会自我反思和总结。
哪些地方做得好？哪些地方需要改进？如何改进？只有不断地反思和总结，才能不断提高你的解题能力。
七、使用几何工具和软件现代科技为几何证明提供了许多便利。
你可以使用几何工具如直尺、圆规等，也可以使用一些数学软件来帮助你绘制图形和进行计算。
这些工具可以帮助你更好地理解题目和图形，提高解题效率。
八、培养逻辑思维能力在几何证明中，逻辑思维能力至关重要。
你需要按照一定的逻辑顺序来思考和证明问题，从已知条件出发，逐步推导出结论。
通过不断地练习和思考，你可以培养出更加严密的逻辑思维能力。
九、注意细节和规范书写在几何证明中，细节决定成败。
做题技巧数学初中几何证明题
做题技巧数学初中几何证明题推荐文章高考数学答题策略技巧有哪些热度：数学学习方法技巧热度：高考数学概率题解题技巧热度：高考数学答题技巧及注意事项热度：2022高考数学答题技巧热度：初中数学的学习是非常重要的，数学成绩也决定了我们中考成绩的好坏，在数学大大小小的考试中，几何证明题是必考知识点，但是很多同学对于这种题型不知道如何下手，几何题型在将来的高中数学中也是基础内容，所有应该引起大家的重视。
下面给大家分享一些关于做题技巧数学初中几何证明题，希望对大家有所帮助。
一.证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二.证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三.证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
八年级数学几何题解题技巧
一、熟练掌握基本概念解决几何问题时，首先要对几何概念有深入的理解。
对于每一个概念，都要明白它的定义、性质和定理。
例如，在三角形中，要理解三角形的边、角、高的概念，以及三角形的基本性质，如三角形的稳定性、两边之和大于第三边等。
二、演绎推理几何证明题是数学几何题中的一类重要题型，对于这种题目，需要使用演绎推理的方法。
演绎推理是一种严格的逻辑推理方法，它从已知的事实出发，通过逻辑推理得出结论。
在演绎推理中，需要注意使用定理、公理等已知事实，以及推理规则的正确性。
三、辅助线在解决一些较难的几何问题时，通常需要添加辅助线。
辅助线可以帮助我们更好地理解问题的本质，以及找到解决问题的方法。
例如，在证明勾股定理时，可以通过添加辅助线将直角三角形转化为矩形。
四、转化思想转化思想是数学中的一种重要思想方法，它通过将复杂问题转化为简单问题，或者将不规则图形转化为规则图形，从而解决问题。
例如，在求多边形的面积时，可以将多边形转化为三角形或矩形来计算。
五、举一反三在学习数学时，要学会举一反三。
对于一个题目，不仅要会做，还要理解其背后的原理和思路，这样才能在遇到类似问题时游刃有余。
例如，在解决几何问题时，可以通过举一反三的方法，将类似的题目进行归纳和总结，从而更好地掌握解题技巧。
六、细心计算在做数学题时，一定要细心计算。
几何问题通常涉及到大量的计算和证明过程，如果粗心大意，很容易出现错误。
因此，在做几何题时，需要耐心细致地进行计算和证明。
七、系统归纳学习数学需要系统归纳的方法。
可以将所学的知识点进行分类和整理，形成系统的知识结构。
例如，对于几何知识点，可以按照平面几何、立体几何等分类进行整理归纳，方便后续学习和复习。
同时也可以将一些难题或者错题进行归纳整理，以便于及时发现自己薄弱环节并加以改进提高。
总之要想提高八年级数学几何题的解题技巧首先要熟练掌握基本概念并理解每一个概念的性质与定理；其次要学会运用演绎推理方法解决证明题；第三要学会添加辅助线以帮助解决难题；第四要学会转化思想将复杂问题转化为简单问题来解决；第五要学会举一反三总结归纳以掌握解题技巧；第六要细心计算以避免出现错误；最后要将所学的知识点进行系统归纳以便于更好地复习提高学习效率.。
八年级下册数学证明题的技巧
八年级下册数学证明题的技巧八年级下册数学证明题技巧总结在八年级下册数学学习中，遇到证明题是一项非常重要的内容。
掌握证明题的解题技巧，不仅能够提高数学水平，还能培养逻辑思维和推理能力。
本文将详细介绍一些解决八年级下册数学证明题的技巧。
1. 矩形证明法矩形证明法是一种经典的证明思路，通常适用于关于几何形状（如矩形、三角形等）的证明题。
其基本思路是将需要证明的问题转化成一个矩形的性质，再通过对该矩形进行几何推理和计算，最终完成证明。
•确定证明目标•找到合适的矩形•运用几何推理和计算，证明目标得以实现2. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的证明方法，通常适用于需要证明某个特定性质对任意正整数是否成立的问题。
其基本思路是通过证明当某个特定性质对某个正整数成立时，它对于下一个正整数也成立，再通过归纳推理证明该性质对所有正整数都成立。
•确定归纳假设•进行归纳基础的证明•进行归纳步骤的证明3. 逻辑推理法逻辑推理法是一种常用的证明方法，通常适用于需要推理判断的问题。
其基本思路是通过利用已知条件和逻辑关系，进行推理判断，得出需要证明的结论。
•确定已知条件•运用逻辑关系进行推理•得出结论，并进行论证4. 反证法反证法是一种常见的证明方法，通常适用于需要判断某个命题是否正确的问题。
其基本思路是通过假设命题不正确，得出与已知事实或已证明事实相矛盾的结论，从而反证命题的正确性。
•假设命题不正确•推理得出与已知事实或已证明事实相矛盾的结论•得出结论与已知事实或已证明事实相矛盾，证明命题的正确性5. 数学定理法当遇到一些已被证明的数学定理时，可以直接运用这些定理来解决相关的证明题。
熟练掌握常见的数学定理，并能够灵活应用，将会在解决证明题时起到事半功倍的效果。
•确定需要运用的数学定理•运用定理进行推理和计算•完成证明过程以上是一些常用的在八年级下册数学学习中解决证明题的技巧总结。
通过熟练掌握这些技巧，相信能够在数学学习中取得好的成绩，并培养自己的逻辑思维和推理能力。
初中数学几何证明试题技巧
初中数学几何证明题技巧几何证明题入门难，证明题难做，是很多初中生在学习中的共鸣，这里面有好多要素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适合的解题思路则是此中的一个重要原由。
掌握证明题的一般思路、商讨证题过程中的数学思想、总结证题的基本规律是求解几何证明题的重点。
在这里联合自己的教课经验，说说自己的一些方法与大家一同分享。
一要审题。
好多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这特别不行取。
我们应当逐一条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入坐，结论从什么地方下手去找寻，也在图中找到地点。
二要记。
这里的记有两层意思。
第一层意思是要标志，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标志出来。
如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。
第二层意思是要切记，题目给出的条件不单要标志，还要记在脑海中，做到不看题，就能够把题目复述出来。
三要引申。
难度大一点的题目常常把一些条件隐蔽起来，因此我们要会引申，那么这里的引申就需要平常的累积，平常在讲堂上学的基本知识点掌握坚固，平常训练的一些特别图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还能够获得哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始马上弹出对应的菜单），而后在图形旁边标明，固然有些条件在证明时可能用不上，可是这样长久的累积，便于此后难题的学习。
四要剖析综合法。
剖析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。
看看结论是要证明角相等，仍是边相等，等等，如证明角相等的方法有（ 1.对顶角相等 2.平行线里同位角相等、内错角相等 3.余角、补角定理4.角均分线定义 5.等腰三角形 6.全等三角形的对应角等等方法。
而后联合题意选出此中的一种方法，而后再考虑用这类方法证明还缺乏哪些条件，把题目变换成证明其余的结论，往常缺乏的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一同，很条理的写出证明过程。
初中数学几何题解题技巧
初中数学几何题解题技巧一.添辅助线有二种情况1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
初中数学几何题解题技巧
初中数学几何题解题技巧1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明 含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.甲、丙正确，乙错误B.甲正确，乙、丙错误C.三人皆正确 D.甲错误，乙、丙正确2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中有（）A.①②③B.①②③④C.①②D.①3、如图，⊙的直径为10，弦的长为8，且，垂足为，则的长为( )A.1B.2C.3D.44、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.5、如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB= 6 cm，点D′到BC的距离是（）A. B. C. D.6、如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（）A. πB. πC. πD. π7、如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )A. B. C. D.8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于A. B. C. D.9、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A. B. C. D.10、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离均为1，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，∠C=90°，求AB的长是（）A.3B.C.D.11、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（）A. B. C. D.12、如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A. B.4 C. D.813、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC 的延长线于F，若∠F=30°，BE=4，则AD的长是（）A.1B.2C.6D.214、▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为( )A.60 cm 2B.30 cm 2C.20 cm 2D.16 cm 215、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是________17、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是________ 度．18、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．19、如图，矩形中，点，分别在，上，且，连接，，，且平分，，连接交于点，则线段的长为________.20、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .21、如图，在平行四边形ABCD中，，,将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，已知点P是角平分线上的一点，, 于点D,M 是OP的中点，，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为________cm.23、如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=8cm，BC=7cm，则DE=________cm．24、如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE= BE，则长AD与宽AB的比值是________．25、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x 轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，x反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB= ，求AB的值．27、如图,直线AE、CE分别被直线EF、AC所截,已知∠1=∠2,AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整.证明：因为∠1=∠2,所以________//________(________),所以∠EAC=∠ACG(________),因为AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,所以________= ,________= ,所以________=________,所以AB//CD( ________).28、一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？29、如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD．求点C到AB的距离．30、如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、C5、C6、C7、D8、A9、B10、B11、D12、C13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
八年级数学上册三角形的几何证明及答案解析
人教版初中数学三角形的相关证明练习1.△ABC中，AD是高，AE 、BF是角平分线，∠BAC=50°，∠C=62°，求：∠DAC和∠BOA的度数。
2.已知△ABC中，一条中线将三角形分成周长分别为9cm和15cm的两部分，求三角形的腰长和底边长。
3.在△ABC中，BD是三角形的高线，求证：∠CBD=1∠A24.如图，AD和AF分别是钝角三角形ABC和ABE的高，若AD=AF,AC=AE,求证：BC=BE.5．如图，将Rt△ABC沿AB边平移得到Rt△DEF，已知BE=5,EF=8,CG=3,求图中四边形ACDG的面积。
6.△ABC中，∠DAC=2x，∠ABC=3x,∠ACB=4x,求：∠BAD的度数。
7.如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC,CD是∠BCA的角平分线，EF∥BC,延长CD到E，连接EF,∠A=∠ECF=20°，求∠CFE。
8.在△ABC中，∠C=2∠CAD=45°，BD=2AC,求∠B的度数。
9.如图，等腰直角△ABC中，AE平分∠BAC，且AE⊥CF,求证：AD=2CE.10.如图，在△ABC中，E是BC边的中点，AB=5,AE=2,AC=3,求BC的长度。
参考答案1.解：∵AD是△ABC的高，∠C=62°，∴∠ADC=90°，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-62°=28°∵∠BAC=50°∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=68°又∵BF平分∠ABC∴∠ABF=12∠ABC=12x68°=34°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=12∠BAC=12x50°=25°∴∠BOA=180°-∠ABF-∠BAE=180°-34°-25°=121°2.解：设腰长为xcm，①腰长与腰长的一半是9cm时，x+1/2x=9，解得x=6，所以，底边=15﹣1/2×6=12，∵6+6=12，∴6cm、6cm、12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的1/2是15cm时，x+1/2x=15，解得x=10，∴底边=9﹣1/2×10=4，∴三角形的腰为10cm，底边长为4cm.3.证明：如图，过A作∠BAC的角平分线AE,∠BAC∴∠CAE=12∵AB=AC,∴AE⊥BC∴∠CAE+∠C=90°∵BD是高，∴∠BDC=90°∴∠BDC+∠C=90°∠BAC∴∠CAE=∠DBC,∠DBC=124.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD=EF．∵AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD=BF．∴BD-CD=BF-EF．即BC=BE.5.解：∵直角△DEF是平移得到的，∴S△DEF=S△ABC∴S△DEF-S△DBG=S△ABC-S△DGBS梯形BEFG=S四边形ADGCBG=EF-CG=5=32.5 ∴S四边形ADGC=S梯形BEFG=(8+5)x5x126.解7.解：已知AB=AC,所以∠B=∠ACB=½（180°-20°）=80°又CE平分∠ACB，∠ECF=20°所以∠BCD=40°，∠ACF=20°又EF∥BC,所以FEC=40°所以∠CFE=180°-20°-40°=120°8.解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥AC于F，BD=2x设AC=x，AE=√2∠CAD=∠DAE=22.5°，可证△ADE≌△ADF(AAS)，得AE=AF=√2则CF=(2−√2)x，CD=(√2-1)x，BC=BD+CD=(√2+1)x2则有BC/AC=AC/CD=√2+1，得△ACD~△BCA，则∠B=∠CAD=22.5°9.证明：如图，延长AB,CE交于F，∵AE平分∠BAC，AE⊥CF,∴∠FAE=∠CAE,∠AEF=∠CAE=90°且AE=AE,则△AEF≌△AEC,CF,∴CE=CF=12在△ABD和△CBF中，∠FAE+∠F=90°，∠F+∠FCB=90°，∴∠FAE=∠FCB，AB=BC,∴△ABD≌△CBF，则CF=AD, AD=2CE10.解：如图，延长AD至E，使DE=AD,∵D是中点,则：BD=DC,∠BDE=∠ADC,AD=DE=2,∴△BDE≌△CAD,BE=AC=3,AE=2AD=4,又∵AB=5,∴△ABE是直角三角形∴在△BED中，BD²=DE²+BE²，解得BD=√22+32=√13∴BC=2BD=2√13。
初二数学压轴几何证明题(含答案)
1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．解：（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，∴∠ABF=45°-15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE-EF=-1．??解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC 上，取DF的中点G，连接EG，CG．(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠BEF=90°，∴EF∥DH，∴∠EFG=∠GDH，而∠EGF=∠DGH，GF=GD，∴△GEF≌△GHD，∴EF=DH，而BE=EF，∴DH=BE；（2）连接DB，如图，∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，∴D，E，B三点共线．而∠BEF=90°，∴△FED为直角三角形，而G为DF的中点，∴EG=GD=GC，∴∠EGC=2∠EDC=90°，∴EG=CG且EG⊥CG；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，∴OG∥BF，GM∥OB，∴四边形OGMB为平行四边形，∴OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，∴EM=OG，MG=OC，∵∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，∴∠EMG=∠GOC，∴△MEG≌△OGC，∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．??解析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．??解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG ⊥CG．（3）首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG 且EG⊥CG．已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为______；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1）GC=EG ，（1分）理由如下：∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，又G 为斜边DF 的中点， ∴EG=DF ， ∵ABCD 为正方形， ∴∠BCD=90°，又G 为斜边DF 的中点，∴CG= DF ， ∴GC=EG ；（2）成立．如图，延长EG 交CD 于M ， ∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF ∥CD ，∴∠EFG=∠MDG ，又∠EGF=∠DGM ，DG=FG ，∴△GEF ≌△GMD ，∴EG=MG ，即G 为EM 的中点．∴CG 为直角△ECM 的斜边上的中线，∴CG=GE= EM ；立．（3）成取BF 的中点H ，连接EH ，GH ，取BD 的中点O ，连接OG ，OC ． ∵CB=CD ，∠DCB=90°，∴CO= BD． ∵DG=GF ，∴GH ∥BD ，且GH= BD ，1 2 1 212 121 2OG∥BF，且OG= BF，∴CO=GH．为等腰直角三角形．∵△BEF∴EH= BF∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD 的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．1212。
沪教版 八年级数学 暑假同步讲义 第19讲 证明举例(解析版)
几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．证明举例知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析班假暑级年八2/ 22【例1】 填空：（1）如图，因为1=60∠︒（已知），2=60∠︒(已知)，所以__________//__________（______________________________）． （2）如图，因为//AB CD （已知），所以A D ∠+∠=__________ (______________________________)， 因为//AD BC （已知），所以A ∠+__________=__________ (______________________________)， 所以∠__________=∠__________ (______________________________)．（图1）（图2）【答案】（1）a ，b ，内错角相等，两直线平行；（2）180︒，两直线平行，同旁内角互补；B ∠，两直线平行，同旁内角互补；D ，B ，同角的补角相等．【解析】略【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握．【例2】 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是外角∠CAE 的平分线．求证：AD // BC ． 【答案】略 【解析】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠ CAE ∠是的外角， CAE B C ∴∠=∠+∠12B C CAE ∴∠=∠=∠AD 是CAE ∠的角平分线，12DAE CAD CAE ∴∠=∠=∠例题解析ACDB ab 1 2ABCDEDAE B ∴∠=∠ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质．【例3】 已知：如图，AD BC ⊥于D ，EF BC ⊥于F ，交EF BC ⊥AB 于G ，交CA 延长线于12E ∠∠，=．求证：AD 平分BAC ∠，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD 平分BAC ∠，只要证明__________＝__________，而已知12∠∠＝，所以应联想这两个角分别和12∠∠＝的关系，由已知BC 的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：∵ AD BC EF BC ⊥⊥，（已知）∴__________//__________（______________________________）， ∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等）， __________＝__________（两直线平行，同位角相等）， ∵__________（已知），∴__________即AD 平分BAC ∠（______________________________）． 【答案】BAD ∠，CAD ∠，EF ，AD ；EF ，AD ，垂直于同一直线的两直线平行；BAD ∠，1∠，CAD ∠，2∠；12∠=∠，BAD CAD ∠=∠，角平分线的定义．【解析】略【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质．1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．知识精讲模块二：命题、公理、定理AF CE DB12 G班假暑级年八4/ 222、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．【例4】 判断下列语句是不是命题？ （1） 画AOB 的角平分线； （2） 两条直线相交，有几个交点？ （3） 直角大于锐角； （4） 直角大于钝角； （5） 今天可能要下雨； （6） 几何多有乐趣啊！【答案】（1）（2）（5）（6）不是命题；（3）（4）是命题【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判断正误的句子，即命题．【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题．【例5】 判断下列命题的真假．（1） 平行于同一条直线的两直线平行； （2） 垂直于同一条直线的两直线平行； （3） 同角的余角相等； （4） 异号的两数相加得负数； （5） 乘积为1的两个数互为倒数．【答案】（1）（2）（3）（5）是真命题；（2）（4）是假命题【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）（5），由此可知即为真命题，（2）（4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可成立．【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质等进行判断，正确的命题例题解析即为真命题．【例6】下列描述不属于定义的是（）．A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B．正三角形是特殊的三角形；C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D．含有未知数的等式叫做方程．【答案】B【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形是何种特殊类型的三角形．【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义．【例7】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果____________________，那么______________________________；（2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果____________________，那么______________________________；（3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】（1）一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；（2）一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等；（3）一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【例8】举出下列假命题的反例：（1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形；（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）若22>，则a ba b>；（5）若已知直线a、b、c，若a b⊥．⊥，b c⊥，则a c【答案】答案不唯一，以下是几个例子【解析】（1）任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30︒，40︒，则第三个内角为110︒，该三角形是钝角三角形；（2）对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，可知这对同位角相等，不为对顶角；（3）取一角大小为110︒，则这个角补角180********︒-︒=︒<︒； （4）取1a =-，2b =-，此时22a b <； （5）同一平面内，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ．【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知识点的理解，即可进行举例．【例9】 下列说法中，正确的是（）．A ．命题一定是正确的；B ．不正确的判断就不是命题；C ．公理都是真命题；D ．真命题都是定理． 【答案】C【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判断错误的是假命题，由此可知AB 错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题，可知C 正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知D 错误． 【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不一定是定理或公理．【例10】下列命题是假命题的是（）．A ．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B ．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C ．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 【答案】C【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上的高或角平分线可确定三角形，可知AB 正确；“倍长中线法”可证明D 选项图形唯一确定，对于C 选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种图形，可知C 错误．【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可．【例11】已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB FC =． 【答案】略【解析】证明：EF AC CD AB ⊥⊥，9090F FCE A FCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，A F ∴∠=∠90ACB CEF CE BC ∠=∠=︒=， ABC FCE ∴∆≅∆ AB FC ∴=【总结】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等．【例12】如图，已知Rt ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于D AE ，为A ∠的角平分线，交CD 于E ，过E 作BC 的平行线，交AB 于点F ． 求证：AF AC =． 【答案】略【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90B BCD ∠+∠=︒ ACD B ∴∠=∠ //EF BCDFE B ∴∠=∠ ACD DFE ∴∠=∠例题解析模块三：证明举例ACEBFDCABFDEAE 是A ∠的角平分线，CAE DAE ∴∠=∠ AE AE = CAE FAE ∴∆≅∆ AF AC ∴=【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可．【例13】已知：如图，AB CD AD BC AE CF ===，，．求证：=E F ∠∠．【答案】略【解析】证明：连结AC ，AB CD AD BC AC AC ===，， ABC CDA ∴∆≅∆B D ∴∠=∠AB CD AE CF ==，AB AE CD CF ∴+=+，即BE DF = AD BC = BCE DAF ∴∆≅∆E F ∴∠=∠【总结】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明．【例14】如图，四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交AB 于点E ， BGC GBC ∠=∠，BG 平行ED 交AD 延长线于点P ．求证：//AD BC ．【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，2ADC EDC ∴∠=∠ //BG ED EDC BGC ∴∠=∠BGC GBC ∠=∠，2ADC BGC BGC GBC ∴∠=∠=∠+∠ 180BGC GBC C ∠+∠+∠=︒BACEDBF180ADC C ∴∠+∠=︒ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和180︒结合起来．【例15】如图，已知ABC 中，D 是边BC 的中点，E F 、分别在边AB AC ，上，且//EF BC ，ED FD =．求证：AEF AFE ∠=∠．【答案】略 【解析】证明：ED FD =，FED EFD ∴∠=∠ //EF BCFED EDB EFD FDC ∴∠=∠∠=∠， AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， EDB FDC ∴∠=∠ ED FD BD DC ==， EDB FDC ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠∴AEF AFE ∠=∠【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系．【例16】如图，点C 是AB 上的一点，在AB 的同旁做等边ACD 和等边BCE AE ，与CD 交于点M BD ，与CE 相交于点N ．求证：CM CN =． 【答案】略【解析】证明：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，60AC CD BC CE ACD BCE ∴==∠=∠=︒，，60120DCE ACE DCB ∴∠=︒∠=∠=︒， ACE DCB ∴∆≅∆ CAE CDB ∴∠=∠结合60ACM DCE ∠=∠=︒，AD CD =ACM DCN ∴∆≅∆ CM CN ∴=【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生全等三角形，先判定再应用相关性质．ACDBFEABCDNEM【例17】如图，已知在ABC 中，AD 平分//BAC BE AD ∠，，交CA 延长线于点E F，是BE 的中点．求证：AF BE ⊥．【答案】略 【解析】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠ //BE ADBAD FBA CAD E ∴∠=∠∠=∠，FBA E ∴∠=∠ AE AB ∴=F 是BE 的中点， AF BE ∴⊥【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形，注意对基本图形的分离和等腰三角形性质的应用．【例18】如图，已知BE CF 、是ABC 的高，且．.求证：AP AQ ⊥． 【答案】略【解析】证明：BE CF 、是ABC 的高，90AFC AEB ∴∠==︒9090FAC ACF FAC ABE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，ACF ABE ∴∠=∠BP AC CQ AB ==， AQC PAB ∴∆≅∆ BAP Q ∴∠=∠ 90QAF Q ∠+∠=︒90QAF BAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，得证AP AQ ⊥．【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形．C【例19】 如图所示，问1234∠∠∠∠、、、要满足什么条件可以证明?AB CD【答案】2314∠+∠=∠+∠【解析】过点E 作射线//EM AB ，过点F 作射线//FN CD则有1BEM ∠=∠，4NFC ∠=∠，2134∠-∠=∠-∠ MEF EFN ∴∠=∠ //EM FN ∴ //AB CD ∴【总结】考查平行线的基本性质，在“Z ”字型平行线间角的等量关系．【例20】已知：如图所示，90AB AC A AE CF BD DC ∠=︒==＝，，，．求证：FD ED ⊥． 【答案】略【解析】证明：连结AD ，90AB AC BAC =∠=︒， 45B C ∴∠=∠=︒ BD CD =AD BC ∴⊥，即90ADC ∠=︒1452BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴= AE CF = AED CFD ∴∆≅∆ ADE CDF ∴∠=∠90ADE ADF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 即FD ED ⊥【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．ACE DBF【例21】如图，已知锐角ABC ，分别以BC BA 、为一直角边，皆以B 为直角顶点，向ABC 内侧作等腰BCD 和BAE ，延长DA EC 、，交于点F ． 求证：DF EF ⊥．【答案】略【解析】证明：90DBC ABE ∠=∠=︒DBC ABC ABE ABC ∴∠-∠=∠-∠，即DBA CBE ∠=∠ AB BE DB BC ==， DBA CBE ∴∆≅∆ DAB CEB ∴∠=∠180CEB BAF DAB BAF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90ABE ∠=︒36090F CEB BAF ABE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒即DF EF ⊥【总结】考查等腰直角三角形的旋转变形，两个等腰直角三角形叠加会产生全等三角形，先全等判定再应用性质． 【例22】如图，已知D E 、两点分别在AB AC 、上，AD AE BD CE BE CD ==，，、交于点F ． 求证：FB FC =． 【答案】略 【解析】证明：AD AE BD CE ==，，AD DB AE CE ∴+=+，即AB AC = AD AE A A =∠=∠， ABE ACD ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠BD CE DFB EFC =∠=∠， DFB EFC ∴∆≅∆ FB FC ∴=【总结】考查全等三角形的判定和性质，结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对．FACEDFB【例23】 如图所示，在ABC 中，2AB AC =， D 是AB 的中点，E 是AD 的中点．求证：2BC CE =．【答案】略【解析】证明：延长EF 到F ，使EF CF =，连结DF ，AE DE AEC DEF =∠=∠， AEC DEF ∴∆≅∆ A FDE AC DF ∴∠=∠=， 2AB AC AD DB ==， BD AD AC DF ∴=== ADC ACD ∴∠=∠BDC A ACD FDE ADC FDC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ CD CD =CFD CBD ∴∆≅∆ 2BC FC CE ∴==【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中．【习题1】 命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真【解析】根据互余的定义，两个角和为90︒即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小都在0︒到90︒之间，即为锐角．【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义．【习题2】 下列命题中，是真命题的有（）．A ．两锐角之和是锐角B ．钝角减去锐角得锐角C ．钝角大于它的补角D ．锐角小于它的余角【答案】C【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C 正确，为真命题，ABD 选取合适的角度均可找到反例，都为假命题．【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反例则为假命题．随堂检测FAE DB班假暑级年八14/ 22【习题3】 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）同角的余角相等； （2）直角都相等； （3）对顶角相等；（4）在一个三角形中，等角对等边．【答案】（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （2）如果有一些角是直角，那么它们都相等； （3）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（4）在一个三角形中，如果有两个相等的角，那么这两个角所对的边相等． 【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【习题4】 求证“三角形内角和等于180°”，并说明其中的因果关系． 【答案】略【解析】证明：如图，延长BC 到点D ，过点C 作射线//CE AB ，//CE AB （已知）B ECD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等） A ACE ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 180ACB ACE ECD ∠+∠+∠=︒（平角定义） 180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒（等量代换）【总结】三角形内角和的证明过程需进行记忆，充分利用平行线的相关性质即可进行证明和理解应用．【习题5】 已知：四边形ABCD 中，AD BC ，E 是线段DC 的中点，AE 是BAD ∠的平分线．求证：BE 是ABC ∠的平分线．【答案】略【解析】证明：延长AE 与BC 的延长线交于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠AEDCBDE CE AED CEF =∠=∠， ADE FCE ∴∆≅∆AE EF ∴=AE 是BAD ∠的角平分线， BAE DAE F ∴∠=∠=∠ AB BF ∴= AE EF =BE ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【习题6】 如图，已知：在ABC 中，AD 平分BAC BD CD ∠=，．求证： AB AC =． 【答案】略【解析】证明：延长AD 到E ，使DE AD =，连结CE ，BD CD ADB CDE =∠=∠， ABD ECD ∴∆≅∆ BAD E AB CE ∴∠=∠=，AD 平分BAC ∠ CAD BAD E ∴∠=∠=∠ AC CE ∴= AB AC ∴=【总结】注意，边边角不能用来证明全等，在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等三角形即可．【习题7】 如图，已知，AD 是ABC 的角平分线，2C B ∠=∠， 将ABC 沿直线AD 翻折，点C 落在AB 的E 处．试判断EBD 的形状，并加以证明． 【答案】EBD 等腰三角形【解析】证明：AED ∆是ACD ∆翻折形成，即得ACD AED ∆≅∆FACEDBAED C ∴∠=∠2C B ∠=∠，2AED B EDB B ∴∠=∠=∠+∠ B EDB ∴∠=∠ BE DE ∴=即证EBD 是等腰三角形．【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变．【习题8】 如图，已知CA AB ⊥，E 为AB 上一点，CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠，90CED ∠=︒．求证：AB DB ⊥． 【答案】略【解析】证明：90CED ∠=︒，90ECD EDC ∴∠+∠=︒CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠， 22180ACD CDB ECD EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒ //AC BD ∴ CA AB ⊥AB DB ∴⊥【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可，根据角平分线即可快速得出结论．【习题9】 已知：如图，ABC ∆中， 90C AC BC AD DB AE CF ∠=︒===，，，．求证：DE DF =． 【答案】略【解析】证明：连结CD ，90AC BC BCA =∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒AD DB = CD AB ∴⊥1452ACD BCD BCA ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴=ACEDBFADBEC=AE CF∴∆≅∆AED CFD∴=DE DF【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．课后作业【作业1】下列语句中，正确的是（）．A．相等的角是对顶角；B．三角形的两锐角互余；C．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D．面积相等的两个三角形全等．【答案】C【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相加和为90︒，只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D错误．【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论．（1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同角的余角相等．【答案】（1）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（2）一条直线截另两条直线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线平行；（3）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【作业3】 如图，已知：△ABC 中，∠B = 2∠C ，BC = 2AB ．求证：∠A = 90°．【答案】略【解析】证明：作ABC ∠的角平分线BD 交AC于点D ，作DE BC ⊥交BC 于E ，22ABC DBE C ∠=∠=∠ DBE C ∴∠=∠ BD DC ∴=12BE CE BC ∴==2BC AB =AB BE ∴=ABD EBD BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆ 90A BED ∴∠=∠=︒【总结】考查306090︒︒︒，，角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取BC 中点证明．【作业4】 已知：如图，∠1=∠2，AB ＞AC ．求证：BD ＞DC ． 【答案】略【解析】证明：在AB 上截取AF AC =，连结DF ，12AD AD ∠=∠=， ADF ADC ∴∆≅∆ADC ADF DF DC ∴∠=∠=， 1ADC B ∠=∠+∠121BFD ADF B ∠=∠+∠=∠+∠ BFD B ∴∠>∠ BD DF DC ∴>=A CDACB【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长AD 作AB 平行线也可证，但会应用到相似三角形知识点．【作业5】 已知：如图，//AD BC AE BE ，、分别平分DAB ∠和CBA DC ∠，过点E ．求证：AB AD BC =+．【答案】略【解析】证明：延长AE 交BC 延长线于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠ DAE EAB ∠=∠ EAB F ∴∠=∠ AB BF ∴=BE 是CBA ∠的角平分线， AE EF ∴= AED CEF ∠=∠ADE FCE ∴∆≅∆ AD CF ∴= AB BF BC CF AD BC ∴==+=+【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【作业6】 已知：10812AB AC A =∠=︒∠=∠，，．求证：BC AB CD =+．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BE AB =，连结DE ，12BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆108AB BE BED A ∴=∠=∠=︒， 108A AB AC ∠=︒=， 36ABC C ∴∠=∠=︒由108BED ∠=︒，可得108EDC ∠=︒，故72EDC ∠=︒AC DEBFBCCE CD ∴=BC BE CE AB CD ∴=+=+【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等量关系．【作业7】 如图，已知：在四边形ABCD 中，//AB CD BE ，平分ABC AB CD BC ∠+=，．求证：CE 平分BCD ∠．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BF AB =，连结DF ，ABE CBE BE BE ∠=∠=，ABE FBE ∴∆≅∆ A BFE ∴∠=∠ //AB CD180A EDC ∴∠+∠=︒ 180BFE EFC ∠+∠=︒ EDC EFC ∴∠=∠BC AB CD BF CF AB BF =+=+=， CD CF ∴= CFD CDF ∴∠=∠EFD EDF ∴∠=∠ EF ED ∴= EFC EDC ∴∆≅∆ FCE DCE ∴∠=∠即CE 平分BCD ∠．【总结】注意，本题不能用“倍长中线法”解题，因为条件之间的相互关联性和因果关系不能得出相应的答案，只能用“截长补短法”，注意证明全等时不能通过边边角进行证明，而是进行相应转化再得出结果．CA【作业8】 到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图若AD 平分CAB ∠，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心．应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且12PD AB =，则 ∠BPC 的度数为_____________度． （2）如图已知直角ABC 中，斜边53AB BC ==，，准内心P 在边BC 上，求CP 的长．【答案】（1）90；（2）43【解析】（1）AD 是等边三角形ABC 的高，1302BAC BAC ∴∠=∠=︒ 12BD AB PD ∴=- 45BPD PBD ∴∠=∠=︒290BPC BPD ∴∠=∠=︒（2）作PD AB ⊥交AB 于点D ，依题意可知AP 是BAC ∠的角平分线，90AP AP C ADP =∠=∠=，ADP ACP ∴∆≅∆AC AD PC PD ∴==，5390AB BC C ==∠=︒，，2222534AC AB BC ∴=-=-=4AD AC ∴==541BD AB AD ∴=-=-=设CP x =，则3BP x =-，DP x =，在Rt BDP ∆中，根据勾股定理可得222BD DP BP +=，即()22213x x +=-，解得43x =，即43CP =． A B C E A C B P D【总结】考查对新定义题型的理解，本题中即对角平分线性质的运用和理解，最后把长度转化到直角三角形中应用勾股定理即可解题．【作业9】 如图，已知：点D 为等边ABC 内一点，DA DB P =，为等边ABC 外一点，BP AB DBP DBC =∠=∠，． 求证：12P C ∠=∠． 【答案】略【解析】证明：连结CD ，ABC ∆是等边三角形， AB BC AC BP ∴===DBP DBC BD BD ∠=∠=，BDP BDC ∴∆≅∆P BCD ∴∠=∠DA DB CD CD ==，ACD BCD ∴∆≅∆12BCD ACD ACB ∴∠=∠=∠ 即得12P BCD ACB ∠=∠=∠ 【总结】考查等边三角形中的全等三角形，结合题目条件先猜想再验证．C A B PD。
初二数学几何题解题技巧
初二数学几何题解题技巧1. 嘿，初二的同学们！想知道怎么快速解决几何题吗？比如遇到那种要求证明两个三角形全等的题，不要慌呀！你就仔细找对应的边和角呀，看看是不是都能一一对应相等呢，这不就好办啦！就好像拼图一样，把那些条件都对上号，答案不就出来啦！2. 哎呀呀，大家可得记住咯！碰到那种求角度的几何题，别发懵呀！可以找找有没有平行线呀，利用平行线的性质来解题呀。
就好比你找路，平行线就是给你指方向的标记，顺着它就能找到答案啦！比如那道内角和的题，找对了平行线，算角度不是轻而易举嘛！3. 初二的小伙伴们呀！复杂的几何图形不要怕呀！把它拆分成一个个小的部分，逐个击破呀！像那种组合图形的题，难道还能难倒我们吗？就像打游戏过关一样，一道一道来，总会赢的呀！瞧瞧那道求阴影面积的题，拆分一下，是不是就简单多啦！4. 哇塞，大家要注意啦！辅助线可是解决几何题的大功臣呐！做不出来的时候就试着画条辅助线呀。
好比是给题目开了个后门，一下子就让你找到解题的通道啦！像碰到那道不好下手的梯形题，画条辅助线，是不是马上就有思路啦！5. 嘿哟，同学们！证明题可别乱了阵脚呀！按照条件和定理一步步来呀！就像走迷宫有地图一样，定理就是我们的地图呀。
比如要证明一个四边形是平行四边形，对照定理去验证条件呀，难道还搞不定吗？那道题不就是这样做出来的嘛！6. 哇哦，初二的几何题其实也没那么可怕嘛！多观察图形的特点呀，有些隐藏的条件就在那等你发现呢！就如同宝藏藏在角落里，细心就能找到呀！像求长度的题，多看看那些隐含的条件，是不是一下子就茅塞顿开啦！7. 哈哈，相信自己呀！初二的几何题咱们一定能搞定呀！遇到难题别退缩，要大胆去尝试呀。
管它多难，我们都能战胜它呀！就像爬山一样，虽然过程累，但爬到山顶那一刻，一切都值得啦！那一道道几何题，不就是我们要征服的山嘛！我的观点结论：初二数学几何题并不可怕，只要掌握了这些解题技巧，多练习，同学们一定都能顺利解题，加油！。
初中数学几何证明题的答题技巧
初中数学几何证明题的答题技巧一要审题。
很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。
我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。
二要记。
这里的记有两层意思。
第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。
如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。
第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。
三要引申。
难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。
四要分析综合法。
分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。
看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。
)结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。
五要归纳总结。
很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。
以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：(1)正向思维。
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几何证明题的技巧
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；
二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分
解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CFABC?。
求证：已知：如图例1.1所示，DE＝中，DF
图
CD?A4AB?中点，可考虑连结C分析由，易，是等腰直角三角形可知
AB?DCF??DAE?45?DCF?。
从而不难发现证明：连结CD
AC?BC ??A??B?ACB?90?，AD?DB
?CD?BD?AD，?DCB??B??AAE?CF，?A??DCB，AD?CD ??ADE??CDF?DE?DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的1 / 7
?EFG是等腰直角三角形。
有兴趣的同学不妨一试。
DE，连结BG，证中线。
本题亦可延长ED 到G，使DG＝说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角
互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
∠A?90?，AE?BF，BD?DC。
求证：FD，⊥ED
42. 已知：如图所示，AB＝AC 例AEF321CBD图4
证明一：连结AD
AB?AC，BD?DC ?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB∠BAC?90?，BD?DC
?BD?AD?∠B?∠DAB?∠DAE?ADE?BDF中，和在?，∠?∠，
?BDBFDAEAEBAD ??ADE??BDF??3??1
??3??2?90??FD?ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法） ?ABC?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于63. 例已知：如图所示在中，O。
求证：AC＝AE＋CD
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BEDO142356AFC图6
2?1???AFO???AEO?60B??，知。
由AF分析：在AC上截取＝AE。
易知，DCFC?DOC，???3?120??FOC?1?5??6?60?，??60?，?2??604????1?2??3??，得：。
AE
AF＝在AC上截取证明：AO，AOBADCAD? ?????SAS?AFO??AEO?
2???4??60?B?又
?0?66??5???0?6??1?0122??3???
?0?2??3?4?6??1??)AASFOC??DOC(??DC?FC?CD?AC?AE即（二）延长一较短线段，使延长后的线段等于另一较长线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）?45EAF??DF
在BC＝。
求证：EF中，已知：如图例4. 7所示，正方形ABCD
C。
＝DF至此题不易利用正方形这一条件。
不妨延长CBG，使BG 分析：AD?，
90D??ABG???AB证明：延长。
DFBG，使GCB至＝ABCD 在正方形中，3 / 7
??ABG??ADF(SAS)3??1??AG?AF，?EAF?45?又??2??3?45??451???2??即∠GAE＝∠FAE
EF??GE DFBE??EF?【实战模拟】AC?AD?CE?ABC?C?90?中，⊥CD于D，交BC。
，E，
且有于DED11 1. 已知：如图所示，是AB上一点，1CD?DE求证：2CEABD图11
?ABC?A?2?B，CD是∠C的平分线。
求证：已知：如图 2. 12所示，在BC中，＝AC＋AD 图1
?ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和133. 已知：如图所示，过CQ。
设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ
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【试题答案】
1.证明：取CD的中点F，连结AF
C14FE3AB
?ADAC ?AF?CD
??AFC??CDE?90??1??4?90?，?1??3?90?又
??4??3?CEAC ??ACF??CED(ASA)
?CF?ED1CDDE??2 2. 分析：本题采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
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EADCB
CA至E，使CE＝CB，连结ED 证明：延长CEDCBD??和在中，
CE?CB??ECD?BCD?? ??CDCD??CED???CBD?E??B??
B2??BAC? E?BAC???2E??ADE??BAC?又
AE??ADE，???ADE?AD?ACAEACCEBC????? 3. 证明：CQ于交延长PM R
P
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?，?APAP CQBP?BP//CQ
??PBM??RCMBM?CM，?BMP??CMR又
??BPM??CRM RMPM???QM Rt?QPR斜边上的中线是 ?MP?MQ
7 / 7。