高中数学选修2-2综合测试题与答案

选修 2-2 综合测试题 2

一、选择题

1．在数学归纳法证明“ 1 a

a 2

a n

1 a n 1 (a 1， n N ) ”时，验证当 n 1 时，等式的左

1 a

边为（ ）

Ａ． 1

Ｂ． 1 a

Ｃ． 1 a

Ｄ． 1 a 2

2．已知三次函数 f ( x) 1 x 3 (4 m 1)x 2

(15m 2

2m 7) x 2在 x ( ∞ ， ∞ ) 上是增函数，则 m 的

3

取值范围为（ ）

Ａ． m 2 或 m

4

Ｂ． 4 m

2

Ｃ． 2 m 4 Ｄ．以上皆不正确

3．设 f ( x) ( ax b)sin x (cx d )cos x ，若 f ( x)

x cosx ，则 a ， b ， c ， d 的值分别为（

）

Ａ．1，1，0，0

Ｂ． 1，0，1，0

Ｃ． 0，1，0，1 Ｄ． 1，0，0，1

4．已知抛物线 y ax 2 bx c 通过点 P(11)， ，且在点 Q(2， 1) 处的切线平行于直线 y

x 3 ，则抛

物线方程为（

）

Ａ． y 3x 2

11x 9

Ｂ． y

3x 2 11x

9

Ｃ． y 3x 2

11x 9

Ｄ． y

3x 2

11x

9

，

1，

5．数列 a n

2a n

0≤ a n ≤

2

若 a 1

6

满足 a n 1

，则 a 2004 的值为（

）

1

≤ a n

7

2a n

，

，

1

1

2

Ａ．

6

Ｂ．

5

Ｃ．

3

Ｄ．

1

7

7

7

7

6．已知 a ， b 是不相等的正数， x

a

2

b

， y

a b ，则 x ， y 的关系是（

）

Ａ． x y

Ｂ． y

x

Ｃ． x

2 y

Ｄ．不确定

7．复数 z

m 2i

( m R ) 不可能在（

）

1

2i

Ａ．第一象限

Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

8．定义 A B ， B C ， C D ， D A 的运算分别对应下图中的（ 1），（2），（3），（4），那么，图中

（Ａ），（Ｂ）可能是下列（

）的运算的结果

Ａ．B D ，A

D

Ｂ．B D ，A

C

Ｃ．B C ，A

D

Ｄ．C D ，A

D

9．用反证法证明命题“a， b N ，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）

Ａ． a ， b 都能被5整除Ｂ．a，b都不能被5整除

Ｃ． a 不能被5整除Ｄ．a，b有1个不能被5整除

10．下列说法正确的是（）

Ａ．函数Ｃ．函数y x 有极大值，但无极小值Ｂ．函数

y x 既有极大值又有极小值Ｄ．函数

y x 有极小值，但无极大值

y x 无极值

11．对于两个复数13

i ，1

3

i ，有下列四个结论：①1；② 1 ；③ 1 ；

2222

④331．其中正确的个数为（）

Ａ． 1Ｂ． 2Ｃ． 3Ｄ． 4

12．设f ( x)在[ a，b]上连续，则 f ( x)在[ a，b]上的平均值是（）

Ａ． f ( a) f (b)Ｂ．bＣ．1

b

Ｄ．1

b

f (x)dx f ( x) dx f ( x)dx

2a2a b a a

二、填空题

13．若复数z log2( x23x3) i log 2 ( x3) 为实数，则 x 的值为．

14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有实心圆的个数

为．

15．函数f ( x) ax36ax2b(a0) 在区间 [1，2] 上的最大值为，最小值为29 ，则 a ， b 的值分

3

别为．

16．由y2 4 x 与直线 y 2 x4所围成图形的面积为．

三、解答题

17．设n N 且sin x cos x1n x n1，2，3，4时的值，归纳猜测

，求 sin cos x 的值．（先观察 n

sin n x cos n x 的值．）

18．设关于x的方程x2(tan i ) x (2 i)0 ，

（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；

（2）证明：对任意

π

k π (k Z ) ，方程无纯虚数根．

2

19．设 t 0 ，点 P(t ，0) 是函数 f (x) x 3 ax 与 g( x) bx 2

c 的图象的一个公共点，两函数的图象

在点 P 处有相同的切线．（ 1）用 t 表示 a ， b ， c ；（2）若函数 y f (x) g ( x) 在 ( 1，3) 上单调递减，

求 t 的取值范围．

20．下列命题是真命题， 还是假命题，用分析法证明你的结论． 命题：若 a b c ，且 a b c 0 ，

则 b 2

ac

3 ．

a

21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为

k(k

0) ，且知当利率为 0.012 时，存款量为 1.44 亿；又贷款的利率为 4.8%时，银行吸收的存

款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x ， x (0，0.048) ，则当 x 为多少时，银行可获得最大收

益？

22．已知函数 f ( x)

x ，数列 a n 满足 a 1 f ( x) ， a n 1 f (a n ) ．

( x 0) 1 x 2

（1）求 a 2， a 3，a 4 ；

（2）猜想数列 a n 的通项，并予以证明．

参考答案

一、选择题： CCDAC,BABBBD

二、填空题： 13、4， 14 、61， 15 、 2,3 16 、 9

17、解：当 n 1 时， sin x cosx 1 ；

当 n 2 时，有 sin 2 x cos 2 x 1 ；

当 n 3 时，有 sin 3 x cos 3 x (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin xcos x) ，

而 sin x cos x

1 ，

∴1 2sin x cos x 1 ， sin xcos x 0 ．

∴ sin 3 x cos 3 x

1 ．

当 n 4 时，有 sin 4 x cos 4 x (sin 2 x cos 2 x) 2 2sin 2 xcos 2 x 1．

由以上可以猜测，当 n N

时，可能有 sin n x cos n x ( 1)n 成立．

18、解：（ 1）设实数根为 a ，则 a 2 (tan

i )a (2 i ) 0 ， 即 (a 2 a tan

2) (a

1)i 0 ．

2

， a ，

a

1， 由于 a ， tan

R ，那么 a

a tan tan

2 又 0

π，

得

tan ．

π

a 1 1

1

2

．

4