材料力学-拉压杆的强度条件及其应用
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材料力学-拉、压
6
单位：Pa=N/m2，1Mpa=106Pa，1GPa=109Pa
3、正应力、剪应力
正应力 ：垂直与截面的应力，指向外法线方向为正。 剪应力 ：相切于截面的应力，左上右下为正。 4、拉、压杆横截面上的应力 对于等截面直杆，横截面上的 应力分布均匀，因此有 垂直截面：
0
角的斜截面：
7
5、圣维南原理 如果杆端的外加载荷在静力 学上等效，则端部以外区域的应 力差异甚微。所以不考虑端部加 载方式的影响。
4
2、截面法 因内力是物体内部各部分之间的相互作用力，所以截断 内部的联系，可揭示、研究内力。 这种假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力，并 确定内力的方法，称为截面法。 其步骤：参考：教材112页 （1）截开两部分 内力的方向： 材料力学中从变形的角度规定：拉为正、压为负 与静力学中的力的正、负规定不同。
11
二、正应力、应力--应变关系 从胡克定律可知，杆件的弹性模量 E、横截面面积 A、轴力 N 相同时，杆件的长度 l 越大，变形量 l 越大。因此单单绝对 变形量 l 还不能反映杆件的变形程度。所以引入相对变形量 的概念---正应变 。 则有
l ， 单位长度的变形量，无量纲，伸长为正。 l
1 2 A A A 1 2
(1) (2) (3)
24
未知数4个，方程仅三个，必须补充一个方程：
2l1 l2 S1l1 而 l1 E1 A1
- - - - - - - 变形协调条件 S 2l2 , l2 , 且 l1 l2 E2 A2 (4)
S1 S2 2 - - - - - - - -变形协调方程 E1 A1 E2 A2 2P S1 E2 A2 1 4 E1 A1 4P S2 E1 A1 4 E2 A2 2 4 S1 P ， S 2 P 5 5
单位：Pa=N/m2，1Mpa=106Pa，1GPa=109Pa
3、正应力、剪应力
正应力 ：垂直与截面的应力，指向外法线方向为正。 剪应力 ：相切于截面的应力，左上右下为正。 4、拉、压杆横截面上的应力 对于等截面直杆，横截面上的 应力分布均匀，因此有 垂直截面：
0
角的斜截面：
7
5、圣维南原理 如果杆端的外加载荷在静力 学上等效，则端部以外区域的应 力差异甚微。所以不考虑端部加 载方式的影响。
4
2、截面法 因内力是物体内部各部分之间的相互作用力，所以截断 内部的联系，可揭示、研究内力。 这种假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力，并 确定内力的方法，称为截面法。 其步骤：参考：教材112页 （1）截开两部分 内力的方向： 材料力学中从变形的角度规定：拉为正、压为负 与静力学中的力的正、负规定不同。
11
二、正应力、应力--应变关系 从胡克定律可知，杆件的弹性模量 E、横截面面积 A、轴力 N 相同时，杆件的长度 l 越大，变形量 l 越大。因此单单绝对 变形量 l 还不能反映杆件的变形程度。所以引入相对变形量 的概念---正应变 。 则有
l ， 单位长度的变形量，无量纲，伸长为正。 l
1 2 A A A 1 2
(1) (2) (3)
24
未知数4个，方程仅三个，必须补充一个方程：
2l1 l2 S1l1 而 l1 E1 A1
- - - - - - - 变形协调条件 S 2l2 , l2 , 且 l1 l2 E2 A2 (4)
S1 S2 2 - - - - - - - -变形协调方程 E1 A1 E2 A2 2P S1 E2 A2 1 4 E1 A1 4P S2 E1 A1 4 E2 A2 2 4 S1 P ， S 2 P 5 5
材料力学拉伸压缩剪切扭转名称公式判别及汇总
一、拉（压）杆强度条件：--------（1）二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ --------（2）2.挤压强度条件：--------（3）三、圆轴扭转时的强度和刚度条件资料个人收集整理，勿做商业用途1.扭转强度条件：-----------（4）----------------（5）2.扭转刚度条件：-----------（6）----------------（7）四：弯曲正应力强度条件：------(8)符号释义：1.：正应力2. τ：切应力3.T：扭矩4.：轴力5.：剪切力6.7.A：剪切截面面积8.：抗扭截面系数9.：横截面对圆心的极惯性矩10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变) 三个弹性材料的关系：1.E：弹性模量（GN/m²）2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G：剪切弹性模量（GN/m²）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E：抗拉刚度17.胡可定律：σ=Eεσ=E18.ρ：曲率半径19.：梁弯曲变形后的曲率20.M：弯矩轴力、剪切力、均为内力求内力的方法-截面法：1.假想沿m-m横截面将杆件切开2.留下左半端或右半段3.将弃去部分对留下部分的作用(力)用内力代替4.对留下部分写平衡方程，求出内力的值。
当你选择好研究对象时，建立坐标系，这个对象的所有受力的x方向的代数和，和y方向的代数和为零，这就建立平衡方程，【me=o】，就是你在研究对象上选取一个点作为支点，然后所有力对这个点取矩，顺时针和逆时针方向的代数和为零，这样就分别建立三个平衡方程，可以联立接触其中未知数，这种情况只是用于解决静定结构的。
12.γ：切应变(角应变)21.：外力偶矩13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。
一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。
材料力学-拉压杆的强度条件及其应用
材料力学-拉压杆的强度 条件及其应用
欢迎来到本次演讲！我们将探讨拉压杆的定义、应用和设计方法，以及计算 其强度的要点。让我们一起探索材料力学的世界吧！
拉压杆的定义和应用
定义
拉压杆是一种将力沿轴线方向作用于其两端的结 构元件。
应用
拉压杆广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，传 递拉力或压力以支撑和稳定结构。
拉压杆的设计方法
1
快速设计方法
根据经验公式和规范，快速确定拉压杆的尺寸和材料。
2
优化设计方法
使用数值分析和优化算法，找到最优的拉压杆设计，以提高强度和降低成本。
拉压杆的典型应用案例
桥梁结构
使用拉压杆支撑桥梁的跨度，确 保结构的稳定性和安全性。
建筑施工
在建筑施工中使用拉压杆以支持 和加固结构，如屋顶和悬挑。
机械元件
作为机械元件的一部分，使用拉 压杆传递力，以实现运动和控制。
总结和要点
了解拉压杆的定义和应用
熟悉拉压杆在桥梁、建筑和机械中的常见应用。
理解拉压杆的强度条件
掌握拉压杆的强度计算方法和相关失效形式。
掌握拉压杆的设计方法
了解快速设计和优化设计两种不同的拉压杆设计方法。
拉压杆的强度条件
பைடு நூலகம்
1 杨氏模量和截面面积
拉压杆的强度取决于材料的弹性特性（杨氏 模量）和截面的几何形状和尺寸。
2 失效形式
拉压杆在强力作用下可能会发生失效，如屈 曲、稳定失效或破坏。
计算拉压杆的强度
静力分析
通过应力和变形分析，计算拉压杆在静力加载下的 强度。
动态分析
考虑拉压杆在动态加载下的惯性和震荡效应，计算 其强度。
欢迎来到本次演讲！我们将探讨拉压杆的定义、应用和设计方法，以及计算 其强度的要点。让我们一起探索材料力学的世界吧！
拉压杆的定义和应用
定义
拉压杆是一种将力沿轴线方向作用于其两端的结 构元件。
应用
拉压杆广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，传 递拉力或压力以支撑和稳定结构。
拉压杆的设计方法
1
快速设计方法
根据经验公式和规范，快速确定拉压杆的尺寸和材料。
2
优化设计方法
使用数值分析和优化算法，找到最优的拉压杆设计，以提高强度和降低成本。
拉压杆的典型应用案例
桥梁结构
使用拉压杆支撑桥梁的跨度，确 保结构的稳定性和安全性。
建筑施工
在建筑施工中使用拉压杆以支持 和加固结构，如屋顶和悬挑。
机械元件
作为机械元件的一部分，使用拉 压杆传递力，以实现运动和控制。
总结和要点
了解拉压杆的定义和应用
熟悉拉压杆在桥梁、建筑和机械中的常见应用。
理解拉压杆的强度条件
掌握拉压杆的强度计算方法和相关失效形式。
掌握拉压杆的设计方法
了解快速设计和优化设计两种不同的拉压杆设计方法。
拉压杆的强度条件
பைடு நூலகம்
1 杨氏模量和截面面积
拉压杆的强度取决于材料的弹性特性（杨氏 模量）和截面的几何形状和尺寸。
2 失效形式
拉压杆在强力作用下可能会发生失效，如屈 曲、稳定失效或破坏。
计算拉压杆的强度
静力分析
通过应力和变形分析，计算拉压杆在静力加载下的 强度。
动态分析
考虑拉压杆在动态加载下的惯性和震荡效应，计算 其强度。
材料力学第2章-1拉压
6 9 2
平方米） （牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯 牛顿 平方米 记作： 记为： 记为：Mpa 记为： 记为：Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定： 、正应力的符号规定： 与轴力相同，拉伸（ ） 与轴力相同，拉伸（+） 压缩（ 压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线： 压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点： 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同， 特点：极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同，但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点： 铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。 ）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高 ）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成 ）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。 塑性材料： 破坏前变形大，有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。 均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。 脆性材料： 破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。 抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
平方米） （牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯 牛顿 平方米 记作： 记为： 记为：Mpa 记为： 记为：Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定： 、正应力的符号规定： 与轴力相同，拉伸（ ） 与轴力相同，拉伸（+） 压缩（ 压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线： 压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点： 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同， 特点：极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同，但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点： 铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。 ）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高 ）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成 ）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。 塑性材料： 破坏前变形大，有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。 均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。 脆性材料： 破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。 抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
工程力学(材料力学)6拉压杆件的强度与变形问题
机械制造中的拉压杆件
机械制造中的拉压杆件主要用于 实现运动传递、力的传递和变形 等，如连杆、活塞杆、传动轴等。
这些杆件需要在高速、高温、重 载等极端条件下工作，因此需要 具备优异的力学性能和耐久性。
在机械制造中，拉压杆件的设计 和制造需要精确控制尺寸、形状 和材料，以确保其工作性能和可
靠பைடு நூலகம்。
其他工程领域中的拉压杆件
总结词
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有高强度、轻质等优点，在拉压杆件中得到广 泛应用。
详细描述
随着科技的不断发展，新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等逐渐应用于拉压杆件的制 作。这些新型材料具有高强度、轻质、耐腐蚀等优点，能够提高杆件的力学性能和使用
寿命。
高性能的拉压杆件设计
总结词
通过优化设计，可以显著提高拉压杆件的性能。
刚度分析
对杆件的刚度进行分析， 可以确定其变形程度和承 载能力，为结构设计提供 依据。
拉压杆件的稳定性问题
稳定性定义
01
稳定性是指杆件在受到载荷作用时，保持其平衡状态的能力。
稳定性分析
02
通过稳定性分析，可以确定杆件在受到载荷作用时是否会发生
失稳现象，以及失稳的临界载荷。
稳定性要求
03
在工程应用中，杆件的稳定性需要满足一定的要求，以保证结
强度失效准则
当拉压杆件内部的应力达到或超过材料的屈服极限时，杆件会发生屈服失效， 丧失承载能力。
拉压杆件的强度计算
静力分析
根据外力的大小和方向，以及杆件的几何尺寸和材料属性，计算杆件内部的应力 分布。
动力分析
考虑动载荷的影响，分析杆件在振动、冲击等动态过程中的应力变化。
拉压杆件的强度校核
【教学能力比赛】轴向拉、压杆的强度计算-教学设计
轴向拉、压杆的强度计算教学设计基于中职、中专类学生的特点，我选用的是高教出版社《土木工程力学基础》，该书在内容上对原有的冗杂部分进行了删减，在满足教学需要的同时，符合中专生以就业为导向的培养思想。
力学课是一门技术基础课，本课的学习主要是为学生学习专业课做铺垫的，所以十分重要。
所以结合教学大纲的要求及学生层次特点，本课的教学重难点为：【教学重难点】教学重点：理解正应力拉压干强度公式含义教学难点：利用拉压杆强度条件公式解决强度效和、截面设计等工程实际问题。
【教学目标】1. 技能目标：使学生能够应用正应力强度条件公式完成轴向拉压构件强度校核、截面设计和确定许用荷载方面的实际任务。
2.能力目标：加强学生解决问题的能力。
3.情感目标：在探究学习中增强学生的自信。
这样多元化的教学目标，把关键的能力培养蕴含于知识技能的学习中专，并培养他们自信的心理态度。
【教学过程】科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。
因为我们所面对的学生的学习基础薄弱，学习方法单一，习惯于被动接受，而非主动思考，而本节课又是理论性极强的一节课，所以我采用的教法是以任务驱动法为主线贯穿整堂课，各部分穿插讲授法、演示教学法、启发教学法。
而学法上，我贯彻的指导思想是以提高和发展学生的能力为本，启发引导学生积极思考探究问题，发现规律，看到本质，纳未知为已知；倡导“自主、合作、探究”的学习方式，具体的学法是自主学习、探究学习、小组合作完成任务法和分组讨论法。
我的教学过程的开展以任务驱动的形式为主要的教学方法贯穿于课程始终。
在完成任务课题探讨阶段分别使用了范例式教学法和启发式教学法，使学生通过自主学习、探究学习、合作学习的学习方式理解新课知识点。
整个过程强调提高和发展学生的能力为本，其中贯穿了引导、启发的思想，充分发挥教师主导的同时，体现学生主体的教学理念，下面我对具体的教学过程进行做一下阐释。
为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，课堂教学我按四个大模块、七个教学环节展开来完成教学过程。
材料力学拉压
二、
工 程 实 例
轴 向 拉 压 的 工 程 实 例
轴向拉压的工程实例
轴向拉压的工程实例
§2–2 拉压时的内力 、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间的相互
作用力。
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。
截面法的基本步骤：① 截开、② 代替、③ 平衡
当a = 90°时，
(s a )min 0
当a = ± 45°时，|a|maxs20 (45 °斜截面上剪应力达到最大)
当a = 0,90°时， |a |min 0
补充：应力状态 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面
上的应力情况总体，称为这点的应力状态
2。、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的
A
斜截面上全应力：pa
s cosa
斜截面上全应力： pa s cosa F
k
分解：
a
sa pa cosas 0cos2a
k
k
pa
F
a
pa
s
ina
s
0
c
osas
ina
s 0
2
sin2a
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
F
sa
a pa
a
当a = 0°时， (sa )maxs 0 (横截面上存在最大正应力)
FN2 A
BC
PB
PC
FN3
C
PC FN4
BC
FN PA
2P +
PB 5P PC
+
P
– 3P
材料力学第02章b(拉压)--2
[例9] 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。求各杆的内力。 解:(1)平衡方程:
F x 0 , F N 1 sin F N 2 sin 0
B
3 1
D
C
2 FN3
(1)
横向变形：
μ ——泊松比，材料的常数 Poisson ratio; Poisson's ratio
l l
a , a
a a a
[例5] 圆截面杆，d=10mm，l=1m，Q235钢，E=210GPa， σs=235MPa，F=10kN，求：Δl，ε，σ
(4)
L1
L2Βιβλιοθήκη (4)补充方程:(4)代入(3)得:
L3
A1
FN1 L1 FN 3 L3 cos E1 A E3 A3 1
(5)
(5)由平衡方程(1)、(2)和补充方程(5)组成的方程组，得:
FN1 FN 2 E1 A1 F cos2 2 E1 A1 cos3 E3 A3 ; FN 3 E3 A3 F 2 E1 A1 cos3 E3 A3
FN max ≤ max 安全! A 若 max [ ] ，但不超过5%，不安全，但可以使用。
（2）设计截面尺寸： 已知荷载大小和材料，确定杆子截面面积。
FN max max ≤ A
Amin
FN max [ ]
（3）确定许可载荷： 已知材料和杆子截面面积，确定许可荷载大小
3、解超静定问题的一般步骤：
(1)平衡方程；
(2)几何方程——变形协调方程； (3)物理方程——弹性定律； (4)补充方程：由几何方程和物理方程得； (5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
材料力学02拉压
d h
2、试验仪器：万能材料试验机。
2、试验仪器：万能材料试验机工作原理图。
1上横梁 2立柱 3传感器 4移动横梁 5滚珠丝杠 变形测量 载荷测量
15光栅编码器
6上夹头
7试样 8下夹头 9工作平台 14引伸计 计算机
位移测量
12变压器
2、试验仪器：万能材料试验机工作原理图。
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
a c
b d
受载后
F
a´ c´
b´ d´
F
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
s
FN
FN s A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。 3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的截面或截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
A
A 简图
F
截开：
F
F
代替： 平衡：
F
FN
A
x
F
0 FN F 0
FN F
轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN FN FN FN FN >0 FN <0
FN 与外法线反向,为负轴力(压力)
轴力图—— FN (x) 的图象表示。
Fx 0 Fy 0
解得 : FAC
FAC sin 45o FBC sin 30o FAC cos 45o FBC cos30o P
2P 2 6 FBC 2 2P 2 6
FAC
AC : s AC
FAC 103MPa A1
第十章轴向拉压杆的应力与强度条件
10.3 轴向拉伸与压缩时材料的力学性能
10.3 轴向拉伸与压缩时材料的力学性能
力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。
10.3.1 试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。
d
h
10.3 轴向拉伸与压缩时材料的力学性能
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
10.1 轴向拉压杆截面上的应力 10.2 轴向拉压时的变形 10.3 拉伸与压缩时的力学性能 10.4 轴向拉压时的强度条件 10.5 应力集中及其利弊
10.1 轴向拉压杆的应力
10.1 轴向拉（压）杆的应力
问题提出：
FPLeabharlann FPFPFP
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度 (1)内力在截面分布集度应力；
FN
A
式中 A—拉（压）杆横截面的面积； FN—轴力。
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
10.1 轴向拉压杆的应力
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。
长度量纲
10.2 轴向拉压时的变形
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 l
l
横向线应变 d
d
FP
a1
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
a
FP
l l1
10.2 轴向拉压时的变形
材料力学第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计
解：首先分析钢杆和铝筒的受力：钢杆BC承受拉伸，铝筒承受 压缩。C点的位移等于钢杆的伸长量与铝筒的压缩量之和：
Rigid plate
F´P B
FP AsB Ea
Aa Es
Fixed rigid plate
A
FP
l l
C F´P
第2类习题 变形计算
长为1.2m、横截面面积为1.10×10－3m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径 为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作 用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ea = 70GPa， FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。
50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
steel aluminum
Rigid plate
FNs
Es As Es As Ea Aa
FP
FNa
Ea Aa Es As Ea Aa
FP
TSINGHUA UNIVERSITY
1．复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式
图示由铝板和钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加 在其上。试：
1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式； 2．已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h =
50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
铝板
a
FNa EaFP
Aa
b0hsE2b1haE
钢板
s A F s N sE sb 0 h E sE F P a2 b 1 hb 0 hs E E sF 2 P b 1 haE
工程力学-(材料力学)-6-拉压杆件的强度与变形问题
拉伸与压缩杆件的强度设计
三类强度计算问题
尺寸设计
已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计准则， 计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横 截面尺寸。
max
FN F A N A
式中FN和A分别为产生最大正应力的横截面上的轴力和面积。
2018/11/27
教学配套课件
33
拉伸与压缩杆件的强度设计
三类强度计算问题
确定许可载荷 根据设计准则 ， 确定杆件或结构所能承受的最 大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。
max
FN FN A FP A
式中为FP许用载荷。
max
＝ AD＝ BC ＝ 120MPa
2018/11/27
教学配套课件
21
拉伸与压缩杆件的应力与变形
例题- 1
3．计算直杆的总变形量
FNi li Δ l ＝l AD l DE l EB l BC i EAi
FNADl AD FNDE lDE FNEBlEB FNBClBC ＝ ＋ ＋ ＋ Ec AAD Ec ADE Es AEB Es ABC ＝ 1.2 10 6 m 0.6 10 6 m 0.285 10 6 m 0.428 10 6 m ＝－1.657 10－6 m＝－1.657 10－3 mm
教学配套课件
31
拉伸与压缩杆件的强度设计
三类强度计算问题
强度核核 已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力， 校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证设计准
则是否满足。如果满足，则杆件或结构的强度是安全
的；否则，是不安全的。
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
拉压杆的强度计算
的许用应力［σ］，其他横截面上的应力都比［σ］小，显然造 成了材料的浪费。
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
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我们可以解决--------强度条件的三大应用：
Mechanic of Materials
1、强度校核 (判断构件是否破坏)
s 工,max
FN max A
[s ]
2、设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小)
A FN工,max
[s ]
3、许可载荷的确定 (构件最大承载能力的确定)
FN工,max A[s ] [FN ]
从而：
d 4A 4 0.667 10 4 / 0.92 10 2 m 9.2mm
取：d=9.2mm
注意：考虑到实际便于加工，圆杆的最小直径为10mm， 故可选用d=10mm。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
4m 4m
a
Mechanic of Materials
例3：正方形截面阶梯形混凝土柱的容重为 20kN / m3 , P 100kN
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
低碳钢压缩应力
s (MPa)
s (MPa)
400
—应变曲线
sby
600
sb
低碳钢拉伸——
200
应力应变曲线
ss
400
灰铸铁的
压缩曲线
s20b0L
O
e
0.1
0.2
O
灰铸铁的 拉伸曲线
e
一、基本概念
1、三种应力
（1）极限应力σu：构件在外力作用下，当内力达到一定数 值时，材料就会发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应 力就称为危险应力或极限应力。
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
例2、如图所示，钢木组合桁架的尺寸及计算简图如图a所
示。已知P=16KN，钢的许用应力 [s] =120MPa,试选择
钢拉杆D I的直径d
m
FN'
FN
FN''
Байду номын сангаас
m
解：（1）求拉杆DI的轴力FN
用一假想载面m-m截取桁架的左边部分研究（图b），列平
[s ]
成立,安全拉压强 度足够
不成立,不安全或 拉压强度不够
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小)
已知杆件的受力大小以及许用应力，根据强度条件，
计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横
截面尺寸。
s max
d
F
F
D
解： (1)杆件横截面上的正应力为:
s
4F D2
d 2
4 22 103 283106
0.0182 0.0152
Pa
283MPa
(2)材料的许用应力为:
s s s
ns
235106 Pa 156106 Pa 156MPa 1.5
显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作。
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：
（1）极限应力的差异； （2）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
（5）危险面、危险点
Mechanic of Materials
危险面：轴力绝对值最大、横截面最小、两者居中 危险点：危险横截面上各点正应力最大。 3、强度条件：
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
强度校核 (判断构件是否破坏)
已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校 核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证是否符 合强度条件。如果符合，则杆件或结构的强度是安 全的；否则，是不安全的。
? s max
FN max A
Mechanic of Materials
第四讲内容目录
§2-7 失效、安全因数和强度计算
第四讲的内容、要求、重难点
教学内容： 拉压杆的强度计算。
教学要求：
1、了解危险面、危险点的概念； 2、理解工作应力、极限应力、许用应力的
区别联系； 3、掌握拉压杆的强度条件的三大应用。
重点：拉压杆的强度计算。 难点：拉压杆的强度条件的应用。 学时安排：2学时
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
塑性材料——屈服极限 s s 作为塑性材料的极限应力。
脆性材料——强度极限 s b作为脆性材料的极限应力。
（2）工作应力：构件在外力作用下正常工作时横截面上点
的正应力 s FN
。
A
（3）许用应力：工程实际中材料安全、经济工作所允许的
（1）塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：
s 工,max
FN max A
[s ] s s
ns
（2）脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：
s 工,max
FN max A
[s ] s b
nb
§2-7 失效、安全因数和强度计算
二、强度计算
对于轴向拉压构件，因 s FN / A ，于是根据强度条件，
衡方程
MA
0
6FN
3P
0
FN
P 2
8kN
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算 [s] =120MPa,选
择杆D I的直径d
(2)由拉压强度条件选择钢拉杆D I的直径d
FN 8kN
FN A
s A Fs N 182 010 1000 6 0.667 104 m2
smax s FN s
A
FN s A
式中[N]为许用载荷。
FN =s A
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，承
受轴向荷载F＝22kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安
全因数n=1.5。试校核杆的强度。
理论上的最大值。
（4）安全因素n：材料要有安全储备， n为大于1的系数
n
su
s
1
①塑性材料 s su ，
ns
ns (1.2,1.7)
②脆性材料
s
su
nb
，
nb
(2,3)或更大
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
讨论安全系数： 标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。
s
FN A
s
A
FN
s
式中N和A分别为产生最大正应力的危险横截面上 的轴力和面积。
对于工字钢、角钢、槽钢等型钢可以根据所计算出 的面积A来查表选择型号。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
确定许可载荷(allowable load)
根据强度条件，确定杆件或结构所能承受的最 大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。
Mechanic of Materials
1、强度校核 (判断构件是否破坏)
s 工,max
FN max A
[s ]
2、设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小)
A FN工,max
[s ]
3、许可载荷的确定 (构件最大承载能力的确定)
FN工,max A[s ] [FN ]
从而：
d 4A 4 0.667 10 4 / 0.92 10 2 m 9.2mm
取：d=9.2mm
注意：考虑到实际便于加工，圆杆的最小直径为10mm， 故可选用d=10mm。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
4m 4m
a
Mechanic of Materials
例3：正方形截面阶梯形混凝土柱的容重为 20kN / m3 , P 100kN
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
低碳钢压缩应力
s (MPa)
s (MPa)
400
—应变曲线
sby
600
sb
低碳钢拉伸——
200
应力应变曲线
ss
400
灰铸铁的
压缩曲线
s20b0L
O
e
0.1
0.2
O
灰铸铁的 拉伸曲线
e
一、基本概念
1、三种应力
（1）极限应力σu：构件在外力作用下，当内力达到一定数 值时，材料就会发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应 力就称为危险应力或极限应力。
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
例2、如图所示，钢木组合桁架的尺寸及计算简图如图a所
示。已知P=16KN，钢的许用应力 [s] =120MPa,试选择
钢拉杆D I的直径d
m
FN'
FN
FN''
Байду номын сангаас
m
解：（1）求拉杆DI的轴力FN
用一假想载面m-m截取桁架的左边部分研究（图b），列平
[s ]
成立,安全拉压强 度足够
不成立,不安全或 拉压强度不够
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小)
已知杆件的受力大小以及许用应力，根据强度条件，
计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横
截面尺寸。
s max
d
F
F
D
解： (1)杆件横截面上的正应力为:
s
4F D2
d 2
4 22 103 283106
0.0182 0.0152
Pa
283MPa
(2)材料的许用应力为:
s s s
ns
235106 Pa 156106 Pa 156MPa 1.5
显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作。
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面：
（1）极限应力的差异； （2）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
（5）危险面、危险点
Mechanic of Materials
危险面：轴力绝对值最大、横截面最小、两者居中 危险点：危险横截面上各点正应力最大。 3、强度条件：
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
强度校核 (判断构件是否破坏)
已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校 核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证是否符 合强度条件。如果符合，则杆件或结构的强度是安 全的；否则，是不安全的。
? s max
FN max A
Mechanic of Materials
第四讲内容目录
§2-7 失效、安全因数和强度计算
第四讲的内容、要求、重难点
教学内容： 拉压杆的强度计算。
教学要求：
1、了解危险面、危险点的概念； 2、理解工作应力、极限应力、许用应力的
区别联系； 3、掌握拉压杆的强度条件的三大应用。
重点：拉压杆的强度计算。 难点：拉压杆的强度条件的应用。 学时安排：2学时
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
塑性材料——屈服极限 s s 作为塑性材料的极限应力。
脆性材料——强度极限 s b作为脆性材料的极限应力。
（2）工作应力：构件在外力作用下正常工作时横截面上点
的正应力 s FN
。
A
（3）许用应力：工程实际中材料安全、经济工作所允许的
（1）塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：
s 工,max
FN max A
[s ] s s
ns
（2）脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：
s 工,max
FN max A
[s ] s b
nb
§2-7 失效、安全因数和强度计算
二、强度计算
对于轴向拉压构件，因 s FN / A ，于是根据强度条件，
衡方程
MA
0
6FN
3P
0
FN
P 2
8kN
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算 [s] =120MPa,选
择杆D I的直径d
(2)由拉压强度条件选择钢拉杆D I的直径d
FN 8kN
FN A
s A Fs N 182 010 1000 6 0.667 104 m2
smax s FN s
A
FN s A
式中[N]为许用载荷。
FN =s A
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
例1、图示空心圆截面杆，外径D＝18mm，内径d＝15mm，承
受轴向荷载F＝22kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安
全因数n=1.5。试校核杆的强度。
理论上的最大值。
（4）安全因素n：材料要有安全储备， n为大于1的系数
n
su
s
1
①塑性材料 s su ，
ns
ns (1.2,1.7)
②脆性材料
s
su
nb
，
nb
(2,3)或更大
Mechanic of Materials
§2-7 失效、安全因数和强度计算
讨论安全系数： 标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。
s
FN A
s
A
FN
s
式中N和A分别为产生最大正应力的危险横截面上 的轴力和面积。
对于工字钢、角钢、槽钢等型钢可以根据所计算出 的面积A来查表选择型号。
§2-7 失效、安全因数和强度计算
Mechanic of Materials
确定许可载荷(allowable load)
根据强度条件，确定杆件或结构所能承受的最 大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。