哲学家Strongart自学数学的非常故事的真实经历

女士们先生们，我是Strongart。

记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。

现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。

其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。

到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。

在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。

此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。

记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。

那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。

后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。

幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。

刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。

特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。

直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。

记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。

第一年没考上大学，又买不到合适的数学书，就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理方法、离散数学之类的东西，然后就是给工科研究生看的近现代数学基础，结果就完全不知所云了（所以又买了一本类似的，还是不行）。

最后的一本这样的东西是在上大学之前的暑假里看的，是给工科用的《模糊数学及其应用》（实在很烦最后这四个字），就前几章还有点意思；同时还看了一本《天才引导的历程》，是讲数学家故事的，深受感动！在那段日子里，我有了一些收获，至少给我后面学习专业的理论打下了一定的基础。

可是直到我在图书馆里找到了正规的书籍，自学的生涯才算是真正开始。

最早是一拿到书，先看前面是不是数学专业的，如果不是一般就不看；然后就去翻后面，看有没有习题解答。

就这样看了不少土著的书：大多是八十年代的自学丛书，现在看来是叙述罗嗦观点陈旧，实在不是什么好东西。

下面我就按照学科的顺序来具体谈谈那时的情况，可能专业的东西要多一些了。

先从分析谈起，虽然看了两本《数学分析》，但当时有许多地方都不是太明白。

进大学之前有幸买到一本相关习题集（只有单变量的情形），把它完成之后果然收获不少。

而多变量的情形，我后来看了弗列明的《多元函数》，不过到反函数定理部分没看明白，而切映射和外微分形式知道后来看《微分流形初步》的时候才算弄清楚。

而实变函数则是用的那本蓝色的自学书，后来当时没什么感觉，在《多元函数》里也有一点Lebesgue积分，才算是稍微明白一些。

后来还看了H-S的《实分析与抽象分析》，可能稍微早了一点，只看了前四大段，却用了一个学期。

复变函数因为高中时浏览过那本自学丛书（放暑假的时候赖在手里没还给图书馆），所以就换了一本叫解析函数什么的，接着又看了本选论，但到讲亚纯函数的时候就完全糊涂了。

此后，翻过Ahlfors的那本，是为了练习看原版书，不过后来还是直接看中文的了；又看了一点李忠的《复分析导引》，原来是准备作为黎曼曲面的参考书的，没想到被吸引过去了。

看泛函分析则最有意思，先看的是《巴拿赫空间引论》（因为后面有详细的习题解答），计划在一个暑假看完的，结果只看了两章。

后来看了一本初级的导论（应用的部分略过），虽然是给工科的，但前言中说也可以作为数学专业的入门书。

看完它之后，再看剩下的内容，除了像次加泛函这样过于专门的内容外，其他的都大体能看明白，接着又看了这个作者的另一本讲拓扑线性空间的入门书。

而在最后的日子里，则看了一点Rudin的《泛函分析》，结果又受到了挫折。

同样的挫折也发生在看周民强的《调和分析讲义》上，原来有答案的书也不是太容易读的，可能是之间跳过了Fourier分析。

后来就补上一本讲Fourier series 的，处理的方式比较现代，到第三章就介绍群代数了，不过看起来不是太困难。

后来到家里看的第一本就是Rudin的《实分析与复分析》，特别是实分析部分看得很有收获，还解决了几个比较困难的习题。

然后看了张恭庆的《泛函分析讲义》，主要是前六章的内容，没想到Hilbert空间中还有很多的算子理论，便顺水推舟的看了本讲Banach代数和算子理论的书。

如果再下去的话，恐怕是该看算子代数了。

不过后来总觉得多复分析比较神秘，恰好买了本Lars Hormander的《多复分析导引》，正在为其中的L^2理论苦恼，感觉和偏微分方程是有点像的，可惜我的理解还不是太深刻。

同时也觉得该看调和分析了，主要用Stein的书，尽管有的地方还看不大懂，但能看懂的部分就是一种享受。

再来谈代数，以前高等代数只是在一本大学数学里看了一章，非常想念Jordan标准型。

后来看北大的简明教程（只找到下册），算是有一个初步的印象。

所以，现在这方面仍然比较薄弱，不过好象也没什么太大影响，感觉高等代数似乎没什么后续的东西，矩阵论仿佛是给工科看的，还是抽象代数要有趣得多。

以前看过一本带“及其应用”的近世代数，所以这次选的是武大的（有点深度，也带答案，呵呵！），只可惜没讲模。

后来有幸找到一本专门的模论，是内部的翻译的讲义，看的很用心。

也就是从那本书开始，我发现只要有提示就可以顺利看完一本书了，好在很多书里的难题大多有提示。

接着，有幸找到vander Waerden《代数学I》的习题解答（也是内部讲义哦），因为当时手头借书名额有限（只能借7本书），就先藏在书架中间，等放假前再借回去看。

后来，看那本薄薄的《交换代数与同调代数》，前言里说是起点低、坡度大，对后者我是深有体会，看了五节就放弃了。

类似的遭遇还在于看一本《有限群导引》，序言里说抽象代数训练不够的人千万别看，硬着头皮看完了上册，下册是不敢再碰的了。

记得最后看的是一本GTM的往代数几何方向的交换代数（见下图），第一章居然介绍历史，很是不习惯，囫囵吞枣般看了十章，就离开学校了。

早知道就老老实实看McDonald的那本了，可那时觉得前面模讲得太多，不像是交换代数，呵呵！到家之后准备找本厚的代数书加强一下，正好看到Rotman的《抽象代数基础教程》，后来发现还有本叫《抽象代数》的要便宜一点，就买了后者（原以为是一样的呢）。

没想到买对了，前者只是本first course，后者就是那本Advanced Modern Algebra，弄懂了很多以前没弄懂的东西。

接着因为看完一本代数拓扑，自然想到去看同调代数，选了Charles A.weibel的《同调代数导论》，前面遇到了范畴的阻碍，后来买了本中文的《范畴论》算是平息了，可后面看到谱序列就彻底晕了。

同时因为后来讲李代数的同调，而李群论也老引用李代数的结论，就又找了Humphreys的小薄书《李代数与表示论导论》，可到后面就晕头转向了，好在是已经基本够用了。

此外，就是还想找本交换代数的书看看，可惜一直没有找到合适的。

接着回忆几何吧，高等几何和微分几何都用的那套蓝色的自学丛书，特别是微分几何，处理得太陈旧了，习题更是垃圾的计算，强烈建议有兴趣的朋友不要看那本！后来发现几本日本人写的小册子，习题都有提示解答，就看了本黎曼几何和配套的习题集，结果陷到了张量运算的迷宫里，到最后也没分清李导数和协变微分。

后来想重温一下微分几何，也是看了本日本人的精致的小书，感觉外微分标架很有意思。

同时，补充了一点doCarmo的内容，特别是很向往整体微分几何的部分，可惜后来有的东西没看明白（现在知道是从黎曼几何里下载的了）。

然后看的是《微分流形初步》，感觉比较详细，也可以说是有点罗嗦。

不过最后李群那章看得马虎了，因为快放假了，想换一本看看，反正李群是以后专门要看的，结果一直没腾出手来（我一般是三本书一起看的）。

最后的那本是AMS的书，也是一个日本人写的，被翻译成英文了，后几章没能真正理解，特别是讲丛的示性类那部分。

到家之后先看了两本黄色的《黎曼几何引论》，里面有不少地方都需要计算（发现自己越来越懒了），而后面的习题解答又太详细。

第一本还好，第二本就感觉费力了，对称空间要李群基础，总算腾出手来看李群了，却发现还有李代数的基础，等到李代数的书到手之后，原来激情已经没了：还是就事论事的李代数吧。

此外就是代数几何了，Hartshorne的名著到第二章之后带着答案都看不懂,这该算是我到家之后自学数学的最大挫折了。

受此影响，Griffiths的《代数几何原理》一直都没敢看，还是先找本讲椭圆曲线的入入门吧。

此外，发现AMS里有代数几何书还不错，可惜既买不到也买不起啊！回过头我们来看拓扑吧，最早对拓扑有感觉是看《多元函数》的第二章，还有H-S里的一大章，后来看北大的《基础拓扑学讲义》，也是因为后面有习题解答（提醒一下：千万别学我，这个习惯很不好！）。

后面的单纯同调论就没看明白多少，后来想看专门的代数拓扑，找了W.F.写的GTM教材，对低维处理的非常详细，也很强调群的作用和M-V列（国内的代数拓扑书好象几乎不介绍M-V列），可一样没介绍多少单纯同调。

同时，准备看两个日本人写的《拓扑空间论》，记得序言里说习题大都有提示，自学不会有太大困难，结果看到仿紧空间就不之所云了。

或许，其中缺了一环专门的点集拓扑，就找了本反例的习题集，看了点网和滤子之类东西，理解也不是在深入。

后来，又一直对微分拓扑有兴趣，在图书证注销之后，溜进图书馆看了Minlor的小书《从微分观点看拓扑》，觉得很有意思，可惜天太热，也没时间细读了。

到家之后买了两个日本人写的《拓扑空间论》继续钻研，可看了几段之后是头晕脑胀的，看来太深奥点集拓扑理论就只能是放弃了，还是看代数拓扑吧。

看完了Munkres的《代数拓扑基础》是一个很大的收获，发现原来还有这么有意思的同调理论，然后休息了大约半年，到现在开始看Robert M.Switzer的《代数拓扑》，好像是一本Advarced book哦！微分拓扑先看了张筑生的《微分拓扑新讲》，感觉不是太扎实，就又找了本GTM33,结果就不说了吧。