2017全国中考数学压轴题——解答题部分(三)

2017全国中考数学压轴题一一解答题部分(三)
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41. (河南省23)如图，直线y=—3X+ c与x轴交于点A(3, 0)，与y轴交于点B,抛物
(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式；
⑵M(m, 0)为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于
点P、N,
①点M在线段OA上运动，若以B, P, N为顶点的三角形与?APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M, P, N中恰有一点是其它两点所连线段的中点
(三点重合除外)，则称M , P, N三点为“共谐点” •请直接写出使得M , P, N三点成为“共谐点”的m的值.
42. (黑龙江大庆28)如图，直角？ABC中，/ A为直角，AB = 6, AC= 8 •点P, Q, R 分别在AB , BC, CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R 由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
(1) 求证：？APR, ?BPQ, ?CQR的面积相等；
⑵求?PQR面积的最小值；
(3)用t(秒)(0 w t w 2)表示运动时间，是否存在t，使/ PQR= 90。

，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
43. (黑龙江哈尔滨26)已知：AB是O O的弦，点C是AB的中点，连接OB、OC, OC
交AB于点D .
⑴如图1,求证：AD = BD;
(2) 如图2,过点B作O O的切线交0C的延长线于点M，点P是AC上一点，连接AP、BP,求证：/ APB-Z OMB = 90°
⑶如图3,在⑵的条件下，连接DP、MP，延长MP交O O于点Q,若MQ = 6DP , sin
Z ABO = 5,求MQ 的值•
44. (黑龙江哈尔滨27)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y= x2+ bx+ c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y = x- 3经过B、C两点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 过点C作直线CD丄y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个
动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE丄x轴于点E, PE交CD于点F,交BC
于点M，连接AC,过点M作MN丄AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
⑶在⑵的条件下，连接PC,过点B作BQ丄PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD 于点T,连接OQ交CD于点S,当ST= TD时，求线段MN的长.
45. (黑龙江龙东28)如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段
OA、OC的长度满足方程|x—15| + y- 13 = O(OA>OC)，直线y = kx+ b分别与x 轴、y轴交于M、N两点，将△ BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D
3
处，且tan Z CBD = 7
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(1) 求点B的坐标；
(2) 求直线BN的解析式；
(3) 将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB 的面积S关于运动的时间t(0 v t < 13)的函数关系式.
46. (黑龙江齐齐哈尔26)如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC, OA的长是关于x的一元二次方程x2—12x+ 32= 0的两个根，且0A>OC. 3 4
3 直接写出点D的坐标；
4 若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P,使以点E, C, P, F为顶
点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
47. (黑龙江绥化28)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分/ DEB, F为CE 的中点，连接AF, BF，过点E作EH II BC分别交AF, CD于G, H两点.
(1) 求证：DE = DC ；
(2) 求证：AF丄BF；
⑶当AF?GF = 28时，请直接写出CE的长.
3
48. (黑龙江绥化29)在平面直角坐标系中，直线 y = — 4X + 1交y 轴于点B ,交x 轴于点
1 ~ , 3
A ,抛物线y = — 2x 5 6 + bx + c 经过点
B ,与直线y = — 4+1交于点C(4, — 2).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图，横坐标为 m 的点M 在直线BC 上方的抛物线上，过点 M 作ME II y 轴交直线 BC 于点E ，以ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点D ，当点E 在x 轴上时，求△ DEM 的周长. ⑶将△ AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90°得到△ A 1O 1B 1，点A , O , B 的对应点分别是点 A 1, 01, B 1,若厶A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出 方，且CE = £
5 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
6 求证：直线DE 是厶ACD 外接圆的切线；
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⑶在直线AC 上方的抛物线上找一点 P ,使S ?ACP = ?S ?ACD ，求点P 的坐标；
⑷在坐标轴上找一点 M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ ACD 相似，直接写出点 M 的坐标
.
c
3
50. (湖北恩施24)如图12,已知抛物线y= ax2+ c过点(-2, 2) , (4, 5),过定点F(0, 2)的直线I: y= kx+ 2与抛物线交于A, B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为
C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、=)，并证明你的判断；
(3) P为y轴上一点，以B, C, F, P为顶点的四边形是菱形，设点P(0, m)，求自然数m的值；
(4) 若k= 1,在直线I下方的抛物线上是否存在点Q,使得？QBF的面积最大，若存在，求出点Q的坐标及？QBF的最大面积，若不存在，请说明理由.
51. (湖北黄冈24)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形, OA= 4,0C = 3.动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动•设点P、点Q的运动时间为t(s).
y j1
C P£r
7------ --- fc-
Q J X
⑴当t = 1s时，求经过点O, P, A三点的抛物线的解析式；
⑵当t = 2s时，求tan Z QPA的值；
⑶当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM = 2AM时，求t(s)的值；
⑷连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记？CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S, 求S与t 的函数关系式.
52. (湖北黄石24)在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为.2：1,我们不妨就把这样的矩形成为
“标准矩形” •在“标准矩形” ABCD中，P为DC边上一定点，且CP = BC,如下图所示.
(1)如图①，求证：BA = BP;
⑵如图②，点Q在DC上，且DQ= CP，若G为BC边上一动点，当△ AGQ的周长最小时，求C—的值；
⑶如图③，已知AD = 1,在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF , T 为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM = BN,请证明：△ MNT的面积S为定值，并求出这个定值.
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53. (湖北黄石25)如图，直线I: y
= kx+ b(k v 0)与函数y = ；
(x>0)的图象相交于A、C z\.两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y 轴的垂线，垂足分别为E、F;直线AE与CD相交于点P,连接DE•设A、C
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两点的坐标分别为(a, a), (c, C),其中a>c>0.
⑵如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；
⑶如图③，已知c= 1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM丄AM ?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
54. (湖北荆门24)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，/ C= 90° , OB = 25, OC= 20.若点M是边OC上的一个动点(与点O, C不重合)，过点M作MN // OB交BC 于点N.
(1)求点C的坐标；
⑵当？MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
(3) 在OB上是否存在点Q,使得?MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由.
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55. (湖北荆州25)如图在平面直角坐标系中，直线y = —4X+ 3与x轴、y轴分别交于A、
B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒•其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作O Q.
(1)求证：直线AB是O Q的切线；
⑵过点A左侧x轴上的任意一点C(m, 0)，作直线AB的垂线CM，垂足为M •若CM 与O Q 相切于点D，求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；
⑶在⑵的条件下，是否存在点C,直线AB、CM、y轴与O Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.
x
L O A
F — G
=90o, AC II OP 交OM 于C , D 为OB 的中点，DE 丄DC 交MN 于E .
(1)如图1，若点B 在OP 上，则①AC_OE(填”或“〉”)；②线段CA 、 CO 、CD 满足的等量关系式是 ___________________________ ;
⑵将图1中的等腰Rt △ ABO 绕O 点顺时针旋转 (0o< V 45。

，如图2,那么 ⑴中的结 论②是否成立？请说明理由；
⑶将图1中的等腰Rt A ABO 绕O 点顺时针旋转 (45o< < 90。

，请你在图3中画出图 形，并直接写出线段 CA 、CO 、CD 满足的等量关系式；
57. (湖北十堰25)抛物线y = x 2+ bx + c 与x 轴交于A(1, 0), B(m , 0)，与y 轴交于C .
(1) 若m = — 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴 _______ ;
(2) 如图1,在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交 x 轴于D ,在对称轴左侧的抛物线上有
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一点E ,使S A ACE = —S ^ACD ，求E 点的坐标；
⑶如图2，设F(— 1,— 4) ,FG 丄y 轴于G,在线段OG 上是否存在点 P,使/ OBP = Z FPG? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
0P 丄MN ，在等腰 Rt A ABO 中，/ BAO 56.(湖北十堰24)已知0为直线 MN 上一点,
E
y
58.
（湖北随州24）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的
边与菱形的边长相等.
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1
所示的图形，AF经过点C,连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点. 下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1:不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2:不证三角形全等，连接BD交AF于点H .
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）;
⑵如图2,在⑴的条件下，当/ ABE = 135。

时，延长AD、EF交于点N,求征的值;
⑶在⑵的条件下，若AB= k（k为大于V2的常数），直接用含k的代数式表示MF的值.
59. （湖北随州25）在平面直角坐标系中，我们定义直线y= ax —a为抛物线y= ax2+ bx + c（a、b、c为常数，a工0）的“梦想直线"；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”.
AM
已知抛物线y 一齐弩X+2.3与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左
(1) 填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_____________ ，点A的坐标为 ________ , 点B的坐标为_________ ；
(2) 如图，点M为线段CB上一动点，将？ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,若?AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3) 当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.
60. (湖北武汉23)已知四边形ABCD的一组对边AD, BC的延长线相交于点E.
⑴如图1,若/ ABC=Z ADC = 90°，求证ED • EA= EC • EB;
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(2)如图2,若/ ABC= 120°, cos/ ADC = 5, CD = 5 , AB = 12, ?CDE 的面积为6,求
四边形ABCD的面积；
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⑶如图3,另一组对边AB, DC的延长线相交于点F,若cos/ABC = cos/ADC =5 CD = 5, CF = ED = n,直接写出AD的长佣含n的式子表示).。