甘肃省嘉峪关一中2014届高三下学期适应性考试(二)数学(文)试题Word版含解析

嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（二）数学（文科）试题一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}421{，，＝A ,集合},,|{A b A a b a x xB ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4B ．5C ．6D ． 73．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是A ．2y x =B ．3y x =-C ．lg ||y x =-D ．2xy =4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)nn +++的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)nn ++的值C ．计算(123+++...)n +012(222++++ (1)2)n -+的值D ．计算[123+++…(1)]n +-012(222++++…2)n+的值6．已知双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2c，则双曲线C 的离心率为A ．2BCD7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足b c a c a b +++1，则角A 的范围是第5题图≥A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ8．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函 数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．B ．12-C ．12D9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)310．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 ABCD11．已知函数2()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是 A ．3(,3)2-B ． (0,4)-C ．(2,3)D ．1(1,)4-12．已知点P ，Q 为圆22:25C x y +=上的任意两点，且6PQ <，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．35B ．925C ．1625D ．25第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13．若21)cos()2cos(=-++x x ππ，则=x 2sin ．14．设1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则1PF PM +的最大值为 ． 15．已知函数2()sin 21x f x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3,)a ，a ∈R ，点P 满足OP OA λ=，λ∈R ，||||72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．≥≥三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得X 的频率分布直方图。

工资薪金个人所得税税率表如表所示。

表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分（3500元为个税起征点，不到3500元不缴税）。

工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”。

例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为5500-3500=2000元，应纳税额为200010%-105=95（元），在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为x 取该区间中点值的概率（ I ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；（ II ）设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额y （元），试求该市居民月可支配额不超过7000元的概率。

19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点． （1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线第19题图相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．21．已知函数22233,(0)()2()3,(0)x x ax a x f x e x a x ⎧++-<=⎨--+>⎩，a ∈R ． （1）若函数()y f x =在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若函数()y f x =的图象上存在两点关于原点对称，求a 的范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 23．选修4─4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．24．选修4─5：不等式证明选讲．已知函数()f x =（1）求()f x (4)f 的解集；（2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（二）数学（文科）答案1．【答案】A【解析】由(1i)2i z +=得，2i 2i(1i)2i+21i 1i (1i)(1i)2z -====+++-，则复数z 在复平 面内对应的点为(1,1)Z ，该点在第一象限，故选A ．2．【答案】C≥【解析】∵,,a A b B x a b ∈∈=+，所以2,3,4,5,6,8x =，∴B 中有6个元素，故 选C ．3．【答案】C【解析】四个函数中，是偶函数的有A C ，，又2y x =在(0,)+∞内单调递增，故选C ． 4．【答案】D【解析】在频率等高条形图中，a ab +与cc d+相差很大时，我们认为两个分类变量 有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类变量,x y 关系越强，故选D ．5．【答案】C【解析】初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，…，给定正整数n ，当k n =时， 最后一次进入循环体，则有：011222S =++++…12n n -++，1k n =+， 退出循环体，输出S =(123+++…)n +012(222++++…12)n -+，故选C ．6．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为2c ，即2cb =，又222bc a =-，代入得2243a c =，解得243e =，即e =D ． 7．【答案】A 【解析】由1b ca c a b+≥++得：()()()(b a b c a c a c a b +++≥++，化简得：222b c a b c +-≥，同除以2bc 得，222122b c a bc +-≥，即1c o s2A ≥(0)A π<<，所以03A π<≤，故选A ． 8．【答案】A【解析】函数()sin(2)f x x ϕ=+向左平移6π个单位得 sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，又其为奇函数，故则3k πϕπ+=，Z k ∈，解得=3k πϕπ-，又||2πϕ<，令0k =，得3πϕ=-，∴()sin(2)3f x x π=-，又∵[0,]2x π∈，∴ sin(2)[3x π-∈，即当0x =时，min ()f x =，故选A ． 9．【答案】C【解析】画出,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令221u x y =--，则12u y x +=-，先 画出直线y x =，再平移直线y x =，当经过点(2,1)A -，12(,)33B 时，代入u ，可知553u -≤<，∴||[0,5)z u =∈，故选C ．10．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r hh rπ=，则2h = S 侧=2r h π⋅4r π=S全242r r ππ=，故圆柱的侧面积与=，故选B ． 11．【答案】D【解析】由题，221122(,),(,)A x x B x x ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即1214x x =-.两条切线方程分别为22111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=-，联立得1212()[2()]0x x x x x --+=，∵12x x ≠，∴122x x x +=，代入1l ， 解得1214y x x ==-，故选D ． 12．【答案】B【解析】PQ 中点组成的区域为M 如图所示，那么在C 内部任取一点落在M 内 的概率为251692525πππ-=，故选B ．13．【答案】34-14．【答案】15 15．【答案】5【解析】∵()()f x f x +-=12222sin sin 221212112x x x x xx x +-++-=+=++++，且(0)1f =，∴(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f -+-+++=．16．【答案】24【解析】点A 的坐标为(3,)a ，则||3OA ≥，又OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，||||72OA OP =，则72||||OP OA =，设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴 上的投影长度为||cos OP θ=23216||||||OP OA OA =24≤，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．17．【解析】（1）1n =时，112a S ==， ………2分122n n S +=-，∴122n n S -=-(2)n ≥∴12n n n n a S S -=-=(2)n ≥，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =． ………6分 （2）21(1)log 2n nb n =+111(1)1n n n n ==-++ ………9分 1111223n T =-+-+…111n n +-+1111nn n =-=++． ………12分18．【解析】（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000,5000,7000,9000,11000，x 取这些值的概率依次为0.15,0.3,0.4,0.1,0.05，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0,1500,3500,5500,7500（元），按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元）， 15003%045⨯-=（元），350010%105245⨯-=（元）， 550020%555545⨯-=（元），750020%555945⨯-=（元）； ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为()68450.32450.45450.19450.0510 2.132510⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯（元）； （Ⅱ）这5组居民月可支配额y 取的值分别是12345,,,,y y y y y13000y =（元）；25000454955y =-=（元）；370002456755y =-=（元）；490005458455y =-=（元）；51100094510055y =-=（元）； 可看出7000y ≤的有123,,y y y ，()70000.150.30.40.85P y ≤=++=19．【解析】（1）取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分 ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N = 又DE Ì平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ………5分 ∴13CE EB =． ………6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A设122AB AA ==，又三角形11A MC 是等腰三角形，所以111AM AC ==.如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=………9分又直三棱柱111ABC A B C -体积为：1212V =⨯= ………11分故剩余的几何体棱台111BMN B AC -的体积为：2112V V V =-=∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：1257V V =． ………12分 20．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++ 126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 21.【解析】（1）当0x >时，()f x =22()3x e x a --+，()2()x f x e x a '=-+………2分∵()y f x =在1x =处取得极值 ∴(1)0f '=，即2(1)0e a -+=解得：1a e =-，经验证满足题意，∴1a e =-． ………5分 （2）()y f x =的图象上存在两点关于原点对称，即存在y =22()3x e x a --+图象上一点00(,)x y 0(0)x >，使得00(,)x y --在2233y x ax a =++-的图象上则有0200220002()333x y e x a y x ax a ⎧=--+⎨-=-+-⎩ 02220002()333x e x a x ax a --+=-+-+ ………8分 化简得：02x e a x =，即关于0x 的方程在(0,)+∞内有解 ………9分设2()x e h x x =(0)x >，则22(1)()x e x h x x-'= ∵0x >∴当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '< 即()h x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数∴()(1)2h x h e ≥=，且x →+∞时，()h x →+∞；0x →时，()h x →+∞即()h x 值域为[2,)e +∞ ………11分∴2a e ≥时，方程02x e a x =在(0,)+∞内有解∴2a e ≥时，()y f x =的图象上存在两点关于原点对称．………12分23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴曲线C '的普通方程为221x y +=． ………5分（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P所以有：00232x x y y=-⎧⎨=⎩ 又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得22(23)(2)1x y -+=∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=． ………10分 24.【解析】（1）()f x =|3||4|x x ==-++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥．………5分（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。