北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 知识点考点汇总
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
北师大版七年级数学下册第四章 三角形3 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
1. 已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边， 必须找这角的另一夹边
课堂练习
1. (济南·期中) 如图，AC 与 BD 相交于点 O，∠1 =∠2，
若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个
条件是 ( D )
D
C
A. AD = BC
B. ∠C =∠D
B
D
C
所以△ABD≌△ACD (SAS).
所以 BD = CD.
D
E
议一议
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角
，比如两条边分别为 2.5 cm；3.5 cm，长度为 2.5 cm 的
边所对的角为 40° 情况会怎样呢?
结论：两边分
别相等且其中一
组等边的对角相
40°
40°
等时，两个三角
形不一定全等.
典例精析
例1 下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的 是( C ) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
C. AO = BO .
D. AC = BD
1
A
2 B
2. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，
试说明：BD = CD.
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，
A
所以∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
因为 AB = AC，
∠BAD =∠CAD， AD = AD，
新知一览
三角形的内角和
认识三角形
三角形的三边关系
北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形 课件(共65张PPT)
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以 求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角 的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共 边是AC.
1 认识三角形
知识点二 三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直 直角三角形
线)的交
点位置 钝角三角形
交点在三角形内 交点在直角顶点处 交点在三角形外
三条中线交于三 角形内一点(这一 点称为三角形的 重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段 的位置
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内 一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全 在三角形内
三角形内一条,三角形外两条
北师大七年级下册数学第四章全等三角形的概念和性质(基础)
全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.【巩固练习】一、选择题1. （2016•长沙模拟） 如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（ ）A. AB ＝DEB. ∠A ＝∠DC. BC ＝CDD. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（ ）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（ ）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】因为△ABC ≌△DEC ，可得：AB=DE ，∠A=∠D ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，故选C ．2. 【答案】B ；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．故选C．5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝1826 6⨯=；6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD，故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．8. 【答案】120°；【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B，又∠A＝30°，∠B＝50°，所以∠ACB＝100°.又因为△ABC≌△DEF，所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE＝100°EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE证明：∵△ABE≌△ECD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE又∵AB⊥BC∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
七年级数学北师大版下册4.三角形的三边关系课件
(1)a＝________， b＝________， c＝________，
(2)a＝________， b＝________， c＝________，
(3)a＝________， b＝________， c＝________，
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，
你能得到什么结论? 再画一些三角形试一试.
14．已知：如图，四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交于 点 O. 试说明：AC＋BD＞12(AB＋BC＋CD＋DA)． 解：在△OAB 中，有 OA＋OB＞AB； 在△OAD 中，有__O__A_＋__O_D__＞__A_D_____； 在△ODC 中，有__O__D_＋__O__C_＞__C_D_____； 在△__O_B__C___中，有___O_B_＋__O__C_＞__B__C____，
2.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为4cm，则 它的周长是___1_0_c_m__或__1_1_c_m_； 3.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则 它的周长是____1_9_c_m___.
巩固新知
1 如图，在△ABC中，BC＝BA，点D在AB上，且 AC＝CD＝DB，则图中的等腰三角形有( C )
*11.(2020·毕节)已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7, 则此等
腰三角形的周长为( )
A．13
B．17
C．13 或 17 D．13 或 10
【点拨】分两种情况讨论：若底边长为 3，腰长为 7，则此等腰 三角形的周长为 3＋7＋7＝17； 若底边长为 7，腰长为 3，因为 3＋3＜7，不符合三角形的三边 关系，所以此等腰三角形不存在．
【中考·贺州】一个等腰三角形的两边长分别为4，8，
北师大版七年级数学下册4.3.2 探索三角形全等的条件
如图,∠A＝∠D,要使△ABC≌△DBC,还需要补充一个条件:
利用“角边角“判定两三角形全等：
所以△BEC≌△CDA(AAS).
解：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.
因为CF⊥AD，BE⊥AE，
所以∠CFD＝∠BED＝90°.
BED＝CFD，
)
在△BDE和△CDF中，因为
BDE＝CDF，
利用“角角边“判定两三角形全等：
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.
在△BAC和△EAD中，因为
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
所以CE＝AD＝5 cm,BE＝CD,
所以△BDE≌△CDF(AAS)．
利用“角边角“判定两三角形全等：
两角及其 夹边
分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”
或“ASA”).
几何语言:
在△ABC与△A'B'C'中,
∠＝∠',
＝'',所以△ABC≌ △A'B'C' (
∠＝∠',
ASA
).
1.〈厦门〉已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝
∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
试说明：△ABC≌△DEF.
在探索三角形全等条件及其应用过程中,能够进行有条理地思考并进行简单地推理.
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AE＝BF,那么△AEC≌△BFD的理由是(
)
∠ACB＝∠F
B.
所以△BEC≌△CDA(AAS).
的判定方法看缺什么条件，再去说明什么条件，简言
北师大数学七年级下册第四章三角形及其性质(基础)
三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形．举一反三：【变式】判（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B ．5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段6. （2016春•江苏月考）在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ；【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1【巩固练习】一、选择题1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是()2．如图所示的图形中，三角形的个数共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．4．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )A．5m B．15m C．20m D．28m6．三角形的角平分线、中线和高都是()A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7．下列说法不正确的是()A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为() A．40°B．80°C．60°D．120°二、填空题10．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．13. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝12________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．14.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．15.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题16．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．17．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?18.（2016春•江苏月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．19.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD．3. 【答案】A.4. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．5. 【答案】D；【解析】由三角形三边关系定理可知．只有C选项中3+4＞5．故选C (2)画图分析，不难判断出选C．(3)因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故16-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．6.【答案】B；7.【答案】C；【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部．8.【答案】C；【解析】两个三角形等底同高，面积相等9．【答案】B；【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°二、填空题10.【答案】4.【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．11.【答案】5 cm或7 cm；12.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰的不同取值分类讨论．13．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥14．【答案】15cm2，30cm2；【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍．15.【答案】（1）30°，60°，90°；直角（2）钝角三、解答题16.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．17.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．18.【解析】解：∵AD⊥BC，∠BAD=40°，∴∠ABD=90°﹣40°=50°．∵BE是△ABC的内角平分线，∴∠ABF=∠ABD=25°，∴∠BFD=∠BAD+∠ABF=40°+25°=65°．19.【解析】解：如图。
()七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形认识讲义(无答案)(新版)北师大版
三角形的认识段【根底知识】从三角形的一个顶知识点1三角形的定义点向它的对边所在1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的高线的直线作垂线,顶点表示：三角形可用符号“△〞表示，如右图和垂足之间的线段三角形记作：△ABC b CAc a三角形中,连结一个B 顶点和它对边中点2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点三角形的中线的线段如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c 三角形一个内角的知识点2三角形的性质平分线与它的对边1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于三角形的角平分相交,这个角顶点与第三边。
线交点之间的线段3.4.三角形的内角关系：三角形内角和为1805.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角结论总结：三角形。
其中直角三角形的两个锐角互余知识点3三角形的中线、角平分线和高线三角形的重要线概念图形表示法AE是△ABC的AB上的高线.CE⊥AB∠AEC=∠BEC=90°.AD是△ABC的BC上的中线.BD=CD=?BC.AE是△ABC的∠ABC的平分线1∴∠1=∠2=2ABC-1-/12【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？如果取一根长度为13cm的木棒呢？聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.假设△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a.bc,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。
锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线〔有几中线条，是否相交，交高线点在那〕例4.判断满足以下条件的VABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；〔1〕A80o,B25o〔2〕A B30o,BC36oA11CB6〔3〕2例5.三角形ABC的一个内角度数为40o，且A B，求C的外角的度数。
2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件
本章知识梳理
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目 录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
完整word版,北师大版七年级数学下册 第四章知识点汇总(全)
第四章 三角形三角形三边关系三角形 三角形内角和定理角平分线三条重要线段 中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。
a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
北师大版 七年级数学下册第四章三角形 复习课件 (26PPT)
考点攻略
►考点一 三角形的有关概念
例 1 下列各组长度的线段为边，能构成三角形( D ) A．7 cm、5 cm、12 cm B．6 cm、8 cm、15 cm C．8 cm、4 cm、3 cm D．4 cm、5 cm、6 cm
[解析] 7＋5＝12；6＋8＝14＜15；4＋3＝7＜8；4＋5 ＝9＞6.
例 7 如图 3－4，山脚下有 A、B 两点，要测出 A，B 两 点的距离，在地上取一个可以直接到达 A、B 两点的点 O，连 接 AO 并延长到 D，使 AO＝DO，连接 BO 并延长到 C，使 BO＝CO，量得 CD＝12 米，那么山脚 A、B 两点的距离为 _____1_2_米___．
图 3－4
图YK－2－4
[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而 AB＝ED. 解： 根据题意，在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC＝90°， BC＝DC， ∠1＝∠2，
所以△ABC≌△EDC(ASA)． 所以 AB＝DE(全等三角形对应边相等)．
解：设腰长为 a，底边长为 b. 则由题意 2a＋b＝10.而 2a>b， ∴b＋b<10，∴b<5. ∵a、b 为整数， 讨论当 b＝4 时，则 a＝3. 当 b＝3 时，a＝3.5(舍)． 当 b＝2 时，a＝4. 当 b＝1 时，a＝4.5(舍)． 所以三边长为 3,3,4 或 4,4,2.
►考点二 三角形的内角和定理
解：(1)在△ABC 中， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－44°－72° ＝64°； (2)因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAD＝12∠BAC＝12×64°＝32°. 在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C ＝180°－32°－72°＝76°.
北师大版 七年级数学下册 第四章 全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)
全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。
北师大版数学七年级下册4.用“边边边”判定三角形全等课件
E
解：在△ABF和△ECD中， 解： ∵BD=CF，∴BD+DF=CF+DF.
AB=CE， AF=ED，
在△ABF和△ECD中，
AB=CE，
BDF C
BF=CD，
AF=ED，
∴△ABF≌△ECD（SSS）.
BF=CD，
∴△ABF≌△ECD（SSS）.
课堂小结
三 角 形 全 等 的 判 定
分类探讨 SSS
当堂小练
如图，△ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ B ） A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对
拓展与延伸
已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与
OA平行的直线.
D
解：作图如图所示：
作法：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，
通过画图，你能得出什么样的结论？
新课讲授
知识点1 全等形的判定1
判定1：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边 边边”或者“SSS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'， AC=A'C'， BC=B'C'， ∴△ABC≌△A'B'C'.（SSS）
新课讲授
典例分析
分别交OA，OB于点 D，E；
（2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交OB 于点 F；
（3）以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，
与第2步中所画的弧相交于点 P ；
（4）过C，P 两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线.
布置作业
2023年北师大版七年级下册数学第四章三角形中考重难点(模型观念)四大常考全等模型
中考重难点(模型观念) 四大常考全等模型
模型解读
·数学
模型一 平移型 (1)特征：沿同一直线平移可得两三角形重合.模型展示如下：
已知： AE＝BF， CB∥DF， AC∥DE 结论：△ABC≌△EFD
(2)解题思路： 判断三角形全等的关键： ①加(减)共线部分，得某一对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等.
·数学 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上， ED⊥AB于点D，若BC＝ED，试说明：CE＝DB.
解：因为ED⊥AB，所以∠ADE＝∠ACB＝90°， 因为∠A＝∠A，ED＝BC，所以△AED≌△ABC(AAS). 所以AE＝AB，AC＝AD.所以CE＝DB.
·数学
模型三 旋转型 (1)特征： ①共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合； ②不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得到两三角形重合.
解：因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC 在△BAD和△CAE中，ቐ∠BAD＝∠CAE，
AD＝AE 所以△BAD≌△CAE(SAS).所以BD＝CE.
·数学 6.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D. (1)试说明：△ABE≌△DCF； (2)若AB＝CF，试说明：△CFD是等腰三角形.
三垂直型
·数学
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝BE＋EC＝AB＋CD
(2)三个直角(不在同一直线上)：
·数学
考虑：△ABE≌△BCD 结论：EC＝AB－CD
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝AB－CD
·数学 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是 ∠ACB内部的一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂 足分别为点D，E. (1)试说明：△BCE≌△CAD； (2)若BE＝5，DE＝7，BC＝13，则△ACD的周长是 30 .
北师大版七年级数学下册 第四章 证明(构造)全等三角形常用方法与技巧(含答案)
第四章证明（构造）全等三角形常用方法与技巧一、截长补短法1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：成立．理由如下：如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，所以∠CDF＝∠B＝90°.又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)．所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF＝∠BCD＝90°.因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.又因为CE＝CF，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.在△ABD 和△F BD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，所以△ABD ≌△FBD (ASA)．所以∠2＝∠DFB .又因为∠DFB ＝180°－∠AFC ，∠1＋∠C ＝180°－∠AFC ，所以∠DFB ＝∠1＋∠C .所以∠2＝∠1＋∠C .3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF.试说明：∠ADC ＝∠BDF.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.所以∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，所以△ACD ≌△CBG (ASA)．所以∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG .因为点D 为BC 的中点，所以CD ＝BD .所以BD ＝BG .所以∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.所以∠DBF ＝∠GBF .在△BDF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，所以△BDF ≌△BGF (SAS)．所以∠BDF ＝∠G .所以∠ADC ＝∠BDF .四、旋转法4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF 的度数．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.所以∠D ＝∠ABH ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，所以△ABH ≌△ADF (SAS)．所以AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .所以∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF .所以∠HAF ＝∠BAD ＝90°.因为BE ＋DF ＝EF ，所以BE ＋BH ＝EF ，即EH ＝EF .在△AEH 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，所以△AEH ≌△AEF (SSS)．所以∠EAH ＝∠EAF .所以∠EAF＝12∠HAF ＝45°.五、倍长中线法5. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点．若AB ＝5，AC ＝3，求AD 长度的取值范围．解：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.因为D 为BC 的中点，所以CD ＝BD.又因为AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，所以△ADC ≌△EDB(SAS)．所以AC ＝EB.因为AB －EB<AE<AB ＋EB ，又因为AB ＝5，AC ＝3，所以2<2AD<8. 所以1<AD<4.综合练习1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE ＝EC ，DE ＝EF ，则下列结论中：①∠ADE ＝∠EFC ；②∠ADE ＋∠ECF ＋∠FEC ＝180°；③∠B ＋∠BCF ＝180°；④S △ABC ＝S 四边形DBCF ，正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且DE ∥BC ，△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处．若∠B＝50°，则∠BDF ＝________．3．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，则阴影部分的面积是________．4．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线、高线，且∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠EAD ＝________．5．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝1(AB ＋AD )，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．6．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.(1)试说明：DE＝BD＋CE.(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．参考答案1.A2．80° 3．144．10° 点拨：由AD 平分∠BAC ，可得∠DAC ＝12∠BAC ＝12×(180°－50°－70°)＝30°.由AE ⊥BC ，可得∠EAC ＝90°－∠C ＝20°，所以∠EAD ＝30°－20°＝10°.5．65° 点拨：过C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAF ＝∠CAE .因为CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，所以∠AFC ＝∠AEC ＝90°.在△CAF 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF ＝∠CAE ，∠AFC ＝∠AEC ，AC ＝AC ，所以△CAF ≌△CAE (AAS )．所以FC ＝EC ，AF ＝AE .因为AE ＝12(AB ＋AD )， 所以AF ＝12(AE ＋EB ＋AD )， 即AF ＝BE ＋AD .所以DF ＝BE .在△FDC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ，DF ＝BE ，所以△FDC ≌△EBC (SAS )．所以∠FDC ＝∠EBC .又因为∠ADC ＝115°，所以∠FDC ＝180°－115°＝65°.所以∠B ＝65°.6．解：(1)因为BD ⊥l ，CE ⊥l ，所以∠ADB ＝∠AEC ＝90°.又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°.所以∠DBA＝∠CAE.因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，所以△ABD≌△CAE(AAS)．所以AD＝CE，BD＝AE.则AD＋AE＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE.(2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE.同(1)说明△ABD≌△CAE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE－AD＝DE，所以DE＝BD－CE.7．解：(1)α＋β＝180°理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，所以α＋β＝180°.(2)α＝β理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以α＝β.(3)α＝β.画图略．。
第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。
北师大版七年级数学下册知识点归纳
数学七年级下册第一章：整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法整幂的乘方积的乘方式幂运算同底数幂的除法的零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或― 1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是 1 或― 1 时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（ 2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
四、同底数幂的乘法1、 n 个相同因式（或因数） a 相乘，记作 a n，读作 a 的 n 次方（幂），其中 a 为底数， n 为指数， a n的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
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第四章三角形
1 认识三角形
2 图形的全等
3 探索三角形全等的条件
4 用尺规作三角形
5 利用三角形全等测距离
一．认识三角形
1．关于三角形的概念及其按角的分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
这里要注意两点：
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；
②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2．关于三角形三条边的关系
根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为a、b、c则：
①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a ＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；
②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
3．关于三角形的内角和
三角形三个内角的和为180°
①直角三角形的两个锐角互余；
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4．关于三角形的中线、高和中线
①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
二.全等三角形
图形全等：能够完全重合的图形称为全等图形。
全等图形的形状和大小都相同。
只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形
¤1．关于全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。
因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。
※2．全等三角形的对应边相等，对应角相等。
¤3．全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。
三．探三角形全等的条件
※1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
※2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
※3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
※4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”四．用尺规作三角形
1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。
五. 利用三角形全等测距离
(补充)探索直三角形全等的条件
※1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称为“斜边、直角边”或“HL”。
这只对直角三角形成立。
※2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：
①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。