固体物理课后习题答案

a 2 +j a 0 − 2
a 2
a 2 +k a 0 2
0 a 2
=−
b 1=
a2 a2 a2 i+ j+ k 4 4 4
2π 2π a 2 ⎛ a 2 a2 a2 a 2 × a3 = 3 − i + j + ⎜ a Ω 2 ⎝ 4 4 4 4 2π 2π b 2= i − j + k ,b 3= i+ j−k a a
3 (i − j + k ) 2 3 (i + j − k ) 2
a3 = a + b − c =
a1 , a2 , a3 对应体心立方结构. a1 , a2 , a3 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, a1 = 3i ， a 2 = 3j ， a 3 = 1.5(i + j + k ) ,的晶体为体心立方结构.
即 l1k1 + l2 k2 + l3 k3 =
1 p
因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。要式成立，必须满足 p=1。而此时 h1 , h2 , h3 是互 质的。 1.5 证明：在立方晶系中，面指数为 ( h1k1l1 ) 和 ( h2 k2l3 ) 的两个晶面之间的夹角满足
cos θ =
A B
a1
C
a2
1 1 1 OA • OB sin ∠AOB + OC • OB sin ∠COB = OA • OC sin ∠AOC 2 2 2 a a a 代入 OA = n, OB = − n, OC = n, 和 ∠AOB = ∠COB = 60 , ∠AOC = 120 ，有 h k i 1a a 1a a 1a a ini(− ) sin 600 + i ni(− ) sin 600 = i ni( ) sin1200 2h k 2i k 2h i 1 1 1 得− − = ，两边同乘（hki）并移项得 hk ik hi
同理
j a − 2 a 2
k a − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 +j 2 a a − − 2 2
a 2 +k a 2
a 2 a 2
−
a 2 a 2
2π 2π a 2 2π a 2 × a3 = 3 j+k = j+k a Ω 2 a 2
(
)
(
)
(
)
b 2=
2π 2π i + k ,b 3= i+ j a a
4 4 6 ⋅ πR 3 6 ⋅ πR 3 3 3 = = α= 2 2 3 (2 R) 3a ⋅c 6 ⋅ (4 6 / 3) R 6 4 4
2π 6
（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 a = (8 / 3 ) R ，则金刚石的 致密度为：
4 4 8 ⋅ πR 3 8 ⋅ πR 3 3π 3 = = α = 33 3 3 16 a (8 / 3 ) R
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
2π ⎧ ⎪b1 = Ω a 2 × a 3 ⎪ 2π ⎪ a 3 × a1 ⎨b 2 = Ω ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = Ω a1 × a 2 ⎩
(
) ) )
(
(
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 =
(
)
1 3 a 2
i a a 2 × a3 = 2 a 2 a2 a2 = j+ k 2 2 b 1=
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
试求： （1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ （3） 该晶体的倒格子基矢； （4） 密勒指数为（121）晶面族的面间距； （5） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （6） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？ 解：参考徐至中 1-5，中南大学 1.17
π
6
； （2）体心立方
3π 2π ； （3）面心立方 8 6
（4）六角密积
2π 3π ； （5）金刚石 6 16
解： 设 N 为一个晶胞中的刚性原子数，R 表示刚性原子的球半径，V 表示晶胞体积，立方晶格的边长为 a， 则致密度为：
3
第一章 晶体的结构
4 N ⋅ π R3 3 α= V
则原胞的晶体学常数 a = 2 R ， （1） 在简立方的结晶学原胞中， 设原子半径为 R ， 则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：
(
) )
)
1 3 a 4
a 2
(
(
)
2π ⎧ b a 2 × a3 1 = ⎪ Ω ⎪ 2π ⎪ a 3 × a1 ⎨b 2 = Ω ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = Ω a1 × a 2 ⎩
(
) ) )
(
(
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 =
i a a 2 × a3 = 2 a 2 j 0 a 2
(
k 0 a =i a 2 2 0
a1 ⋅ n = h1d , a2 ⋅ nh2 d , a3 ⋅ n = h3d ,
假定 h1 , h2 , h3 不是互质的数，则有公约数 p，且 p>1；设 k1 , k2 , k3 为互质的三个数，满足
h1 h2 h3 = = =p k1 k2 k3
则有
a1 ⋅ n = k1 pd , a2 ⋅ nk2 pd , a3 ⋅ n = k3 pd ,
i = −( h + k )
得证 （2）由上可知，h，k，i 不是独立的， ( 001) , 133 , 110 , 323 , (100 ) , ( 010 ) , 213 . 中各 i 等于
( )( )( )
( )
i1 = −(h1 + k1 ) = −(0 + 0) = 0, i2 = 2 ， i3 = 0 ， i4 = 1 ， i5 = 1 i6 = 1 ， i7 = 3 即得
(h
2 1
பைடு நூலகம்
2 + k + l12 ) i( h22 + k22 + l2 ) 2 1 12
h1h2 + k1k2 + l1l2
12
解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数 a，则晶胞基矢为
a1 = ai, a2 = a j, a3 = ak ,
其倒格子基矢为
b1 =
2π 2π 2π i, b2 = i, b3 = i a a a 2π ( hi + k j + lk ) a
12 12
cos γ =
(h
2 1
+ k12 + l12 ) i( h22 + k22 + l22 )
h1h2 + k1k2 + l1l2
a 2 = 3j ， 1.6 有一晶格， 每一晶格上有一个原子， 基矢 （以 nm 为单位） 分别为 a1 = 3i ， a 3 = 1.5(i + j + k ) 。
( 001) → ( 0001) , (133) → (1323) , (110 ) → (1100 ) , ( 323) → ( 3213) (100 ) → (1010 ) , ( 010 ) → ( 0110 ) , ( 213) → ( 2133) .
1.3 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为： （1）简单立方
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a j + k ⎪ 2π ⎪ i+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b 3 = a i + j ⎩
(
) )
(
(
)
1
由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
第一章 晶体的结构
我们知面心立方格子的基矢为
a ⎧ a j+k 1 = ⎪ 2 ⎪ a ⎪ ⎨a 2 = i + k 2 ⎪ a ⎪ ⎪a3 = 2 i + j ⎩
（ 3 ）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数
a = 2 2 R ，则面心立方的致密度为：
4 4 4 ⋅ πR 3 2 ⋅ πR 3 3 α = 33 = = a (2 2 R) 3 2π 6
（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的 晶体学常数 a = 2 R ， c = ( 2 6 / 3) a = (4 6 / 3) R ，则六角密积的致 密度为：
第一章 晶体的结构 第一章 晶体的结构
1.1 试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为：
a ⎧ a −i + j + k 1 = ⎪ 2 ⎪ a ⎪ ⎨a 2 = i − j + k 2 ⎪ a ⎪ ⎪a3 = 2 i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：
5
倒格子矢量为
K h′ = hb1 + kb 2 + lb3 =
第一章 晶体的结构
代表晶面族 ( hkl ) 的法线方向。 晶面族 ( h1k1l1 ) 的法线方向对应倒格矢 K 1 =
2π (h1 i + k1 j + l1 k ) a 2π 晶面族 ( h2 k2l3 ) 的法线方向对应倒格矢 K 2 = (h2 i + k2 j + l2 k ) a
4 4 1 ⋅ πR 3 1 ⋅ πR 3 π α = 33 = 3 3 = 6 (2 R) a
（ 2 ）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数
a = 4 R / 3 ，则体心立方的致密度为：
4 4 2 ⋅ πR 3 2 ⋅ πR 3 3π 3 α = 33 = = 3 8 a (4 R / 3 )
1.4 设某一晶面族的面间距为 d，三个基矢 a1 , a2 , a3 的末端
4
第一章 晶体的结构
分别落在离原点距离为 h1d , h2 d , h3 d , 的晶面上，试用反证法证明： h1 , h2 , h3 是互质的。 解：参考王矜奉 1.2.4 设该晶面的单位法向矢量为 n ，由已知条件可得
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
(
)
⎣
(
)⎦
晶胞体积 V = a • a × a = 3i • 3 j × 3k = 27 × 10
(
)
(
)
−27
m3
因为 Ω =
V ，知该晶体属于立方晶系； 2
参考王矜奉 1.2.6 我们可以构造新的矢量
a1 = c − a =
3 ( −i + j + k ) 2
6
第一章 晶体的结构
a2 = c − b =
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
r = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3
由于 l1 , l2 , l3 必定为整数而且
r ⋅ n = d = l1 a1 ⋅ n + l2 a2 ⋅ n + l3 a3 ⋅ n
得
d = l1k1 pd + l2 k2 pd + l3 k3 pd
证明：林鸿生 1.1.4 王矜奉 1.2.3 如 图 所 示 ， 某 一 晶 面 MN 与 六 角 形 平 面 基 矢
a1 , a2 , a3 轴上的截距
OA = a a a n, OB = − n, OC = n, h k i
a3
o
且 ∠AOB = ∠COB = 60 , ∠AOC = 120 有 AOB(面积) + COB(面积) = AOC (面积) 即
a2 a3 a1
（1）按基矢 a1 , a2 , a3 在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此 晶体中原子位置可以认为与格点重合。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。
−27 3 （2）原胞体积 Ω = a1 • a2 × a3 = 3i • ⎡3 j ×1.5 i + j + k ⎤ = 13.5 × 10 m