固体物理习题解答(课堂PPT)
固体物理习题答案PPT课件
5 解： A2 b c,B 2 c a,C 2 a b
V c
V c
V c
V A (B C ) (2)3( b c )[ c ( a ) ( a b )] V c
A (B C )(A C )B (A B )C
6解：当 KCl 取 ZnS 结构时，晶体总相互作用
能为 utotN(zeRR q2)
已知：N=6.023*1023/mol, ρ=0.326埃，αZnS=1.6381,（见P103) 为NaCl结构时，Zλ=2.05*10-8erg, Z=6 当为ZnS 结构时，Z=4, Zλ=（4/6）*2.05*10-8erg
设ZnS 结构时，其晶格常数与NaCl结构相同， （为原子最近邻距离）
即 a=6.294埃（见P20，图20配位数为6，参见表10，表11， a=2*1.33+1.81=6.2埃），31/2a/4=2.72埃（为原子最近邻距
离）
u to 6 . 0 t 1 2 2 [ 3 0 6 4 2 2 . 0 1 5 8 e 0 0 2 . 3 . 7 2 2 1 . 6 6 2 . ( 3 7 4 . 8 1 8 2 1 8 0 1 0 e 1 5 0 0 ) 3 ] s 1 u . 8 K 5/ m 3 C
第二章 习题答案
3解:
（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方
向上：（1）acosθ1=nλ,(2) bcosθ2=mλ
(
a,b
为二个方向矢量）
所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板
//原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板
的交点。
（d）反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面 层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期 大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理学例题演示文稿
m
m
2
得到等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
第十二页，共33页。
等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
等价性？
一维单原子链：
2 sin( aq )
m
2
等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半 ，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模 式为 “N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.
dx
0
ex x3 (ex 1)2
dx
是常数，
=AT CV
SkB
v
2 p
kBT
2
D /T ex x3 dx 0 (ex 1)2
2
热容与温度平方成正比.
第二十四页，共33页。
习题3.2
提示：
g ( )
V
2
3
ds
q(q)
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
其中ds为该支格波的等频面，由于
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维情况
下为圆环，圆环周长为：
dl 2 q
qy
g() S
dl S 2 q
(2 )2 q(q) (2 )2 v
q qx
g()
S
2
v v
S
2
v2
E
S
2 v
2
m 0
e
2d
/kBT
1
E0
S kBT
固体物理课后习题答案
(
) )
)
1 3 a 4
a 2
(
(
)
2π ⎧ b a 2 × a3 1 = ⎪ Ω ⎪ 2π ⎪ a 3 × a1 ⎨b 2 = Ω ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = Ω a1 × a 2 ⎩
(
) ) )
(
(
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 =
i a a 2 × a3 = 2 a 2 j 0 a 2
(
k 0 a =i a 2 2 0
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
固体物理+胡安版+部分习题答案市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
ki j
SC (全偶）
(全奇）
第3页
(b) fcc
ki j
第4页
1.3 解：这一离子晶体属于氯化钠结构。
ki Na+ j Cl-
第5页
1.4
解
(a) 对面心立方晶格， 元胞基矢
a1
a2
a
(
j
k)
2
a
(i
k)
2
c
a3
a2 b
a1
a
a3
a 2
(i
j)
2a a1 a2 a3 2
2 2
a2
2h12 h22
2h1kx h2k y
a
2h12 h22
第24页
得到第一布里渊区边界方程，
h1 1, h2 0, kx
2
2
h1
0, h2
1,
ky
a
得到第二布里渊区边界方程，
h1 1, h2 1,
2kx
ky
3
a
h1
2, h2
0, kx
2
2
a
h1
0, h2
面心立方晶胞与元胞
cos a1, a2
a1 a2 a1 a2
1 600 2
cos a2 , a3
a2 a3 a2 a3
1 600 2
cos a1, a3
a1 a3 1 600
a1 a3
2
第6页
对体心立方晶格，
a1
a2
c
a3
b
a
体心立方晶胞与元胞
元胞基矢
a
b1
2
a
2
2
a
固体物理(黄昆)(课堂PPT)
面间距——同族晶面中，相邻两晶面的距离。
（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶 体。 ）
46
通常用密勒指数来标记不同的晶面。
确定密勒指数的步骤：
1）选任一结点为原点，作 a 1 、a 2 、a 3 的轴线。
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向26
hcp也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格 相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
27
二、基矢和原胞
a2 0 a1
28
1. 格矢: R l 2. 基矢：
任一格矢
R l l1 a 1 l2 a 2 l，3 a 3
37
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1
a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
38
bcc原胞示意图
39
fcc
晶胞：
a ai
基矢 b a j
c
ak
体积 V a3
原子个数 4
40
原胞：
基矢 体积
a1
a (i 2
j)
倒格子并非物理上的格子只是一种数学处理方法它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作55一倒格子的定义假设晶格的原胞基矢为体积为建立一个实的空间其基矢56从数学上讲倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
固体物理习题解答-完整版
ρ
π / 6 ≈ 0.52
3π / 8 ≈ 0.68 2π / 6 ≈ 0.74 2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
1/ 2
3a / 4
2a / 4
a/2
2a 3
c ⎛3⎞ 1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp）的轴比 = ⎜ ⎟ 2 ⎝8⎠
ε A ，对六角晶系，绕 x 轴
（即 a 轴）旋转 180 度和绕 z 轴（即 c 轴）旋转 120 度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Ax = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1/ 2 ⎜ Az = ⎜ − 3 / 2 ⎜ ⎜ 0 ⎝
3 / 2 0⎞ ⎟ −1/ 2 0⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠
6 a
3a / 2
6 a
2a
1.7
画体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上 解：
原子排列．
感谢大家对木虫和物理版的支持！
3
《固体物理》习题解答
体心立方
面心立方
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向 解 (111)面与(100)面的交线的 AB－AB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢 RB = −aj + ak （111） 与 （100） 面的交线的晶向 AB = − aj + ak —— 晶 向指数 ⎡011⎤
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a，写 出最近邻和次近邻原子间距 解 简立方 最近邻数 最近邻间距 次近邻数 次近邻间距 6 a 12 面心立方 12 体心立方 8
固体物理习题4 ppt课件
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
于是
E0 2V
k12 m12
k22 m22
k32 m32
求能量E ~ E dE 之间的状态数。
解： 因为
E k
2 2
k12 m12
k
2 2
m22
k32 m32
能量为E的等能面的方程式可写为
k12
k
2 2
k32
1
2m1E 2m2 E 2m3 E
2
2
2
z
z
L
z
z
则从(3)(4)两式可得行波解
Ae i2 kx xky ykzz
波矢各分量分别为
kx
nx L
,ky
ny L
,kz
nz L
(7)
nx , n y , nz 取正负整数，电子的能量仍然表示为
E
h2k 2 2m
h2 2m
(k
2 x
k
2 y
(5)
(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)
1
E0 N
E
0 F
Ef
固体物理学习题解答(完整版)
《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123o o o a n hda n kd a n id=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°由于a 3=–（a 1+ a 2）313()o o a n a a n =-+把（1）式的关系代入，即得()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（2（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：。
固体物理-第一章习题解答参考 ppt课件
绕对顶点联线转180度，共3条；
以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共24个对称操作
ppt课件
4
1.2 面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为 (hkl)，求在
原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。
晶胞基矢：a
ai ,
b
aj ,
c
ak
ab c
c
a1
a2
b
a3
a
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a
2
i ,b
2
j,
c
2
k
a
a
a
原胞基矢
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(i
k)
a1 a2 a3
a3
a 2
(i
熔点固定 --达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再
上升。
各向异性 -- 晶体的性质与方向有关 对称性 -- 晶体性质在某些特定方向上完全相同
非晶体 没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性
多晶体 各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解理性
准晶体
ppt课件
准晶体 粒子有序排列介于晶体和非 晶体之间。但没有平移对称 性、只具有5重旋转对称性。
单晶体 粒子在整个固体中严格周期性排 列，具有严格的平移对称性、具 有8种基本点对称操作性。
多晶体 粒子在微米尺度内有序排 列形成晶粒，晶粒随机堆积
固体物理习题及答案
固体物理第一章习题及参考答案1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。
把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。
初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。
W －S 也如图所示。
左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。
11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
倒空间 ↑→ji i (B)由倒格基失的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。
固体物理习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
固体物理答案第一章(课堂PPT)
（4） 对六角密积结构，任一个原子有12个最近临，若原子以
刚性球堆积，如图1.4所示，中心在1的原子与中心在2，3，
4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，
即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，
1a 2
2r2 3R2R
r 31R 0.73R
因此，对于体心立方，1r R0.73 若r/R<0.73，小球在体心处可以摇动，结构不稳定，因此 不 能以体心结构存在，只能取配位数较低的简单立方结构。
(2)简单立方 设小球(半径r)在中央，恰与上下左右前后6个大球(半径R)相切， 各大球之间也相切，从而形成稳定的简单立方结构。
O
4
3
O
c
h 5
5
6
8
7
图1.4 六角晶胞
8
a
7
图1.5 正四面体
因为四面体的高
h 2a2 2rc
3
32
晶胞体积
Vca2sin6 0 3ca2 2
一个晶胞内包含两个原子，所以
2 4 π a 3 ρ 3 2
2π
3 ca2
6
2
（5） 对金刚石结构，任一个原子有4个最近临，若原子以刚
性球堆积，如图1.6所示，中心在空间对角线四分之一处的O
z
G
L
D
F
C
z NG
IO
A x
E
H
y
B a/2
K
MO
y
A a/2
x
解：从图得知，
(1)各晶列指数分别为ED 111 、FD 110 、OF 011
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答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
1
1.2 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子
2
2
4
ABC面的密勒指数为 (131) 11
（2）AC晶列的指数
C
cr
uuur uuur uuur AC OC OA
B
r
A
b
[cr
1
(ar
r b
)]
(ar
r b
)
1
r a(i
r j
r 2k
)
ar
2
2
所以AC晶列的晶列指数为 [112]
12
第二章 习题
2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲 格子，并给出其倒格子的晶格常数。
设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度为
n 4r3
x 3 V
5
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则体心原子与处在8个
顶角位置处的原子球相切，因此，对
a
角线长度为 3a 4r r 3 a
4 晶胞体积为 V a3
晶胞内包含2个原子，所以有：
x
2 4(
3
3a )3 4
3
a3
8
6
(3) 面心立方
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面角处4
a
个原子球相切，因此，面对角线长度为
2
2
晶胞内包含6个原子，所以有：
6 4 (a)3
x 3 2
2
3 3 ca2 2
6
7
(5) 金刚石结构
任意一个原子球有4个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则空间对角线四分之一 处的原子与三个面上的面心原子球及顶 角处原子球相切，因此有
3a 8r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含8个原子，所以有：
8 4(
方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢
ar1'
r a3
av1
a 2
r (i
r j
r k)
ar2'
r a3
av2
a 2
r (i
r j
r k)
ar3'
av1
r a2
av3
a 2
r (i
r j
r k)
由此可推断为体心结构
9
1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13见课件
1.11 已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 av1 ，av2 和 av3 , 现测知 该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α、β和γ，试求 该晶面的面指数
c 1.633 as 0.615 nm
4
1.5 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立 方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体积 之比，试针对不同的结构求x 。
解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题 中的x
c 1.633 a
，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平面
之间是疏松堆积的。
3
1.4 金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆
积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶 格常数ac =0.423nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值， 试求其晶格常数。
解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为
2a 4r 晶胞体积为 V a3
晶胞内包含4个原子，所以有： 4
4
(
2a )3
(4) 六角密积
x 3 4 a3
2
6
任意一个原子球有12个最近邻，若原子
以刚性球堆积，则面心原子与面上其它
6个原子球相切，因此有 a 2r
由第1题知 c 8a 4 2 r
3
3
晶胞体积 V c (6 1 a2 sin 60o ) 3 3 ca2x3 a33a )3 8
3
16
简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为
3
2
2
3
6
8
6
6
16
8
1.6
基矢为
av1
r ai
av2
r aj
av3
a 2
r (i
r j
r k)
的晶体为何种结构？
方法1：先计算出原胞体积
V
r a1
r • (a2
r a3 )
1 a3 2
由原胞体积可推断为体心结构
Vc
ac 3 2
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
1 Vc
1 Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
,
s3
cos
)
其中 s1, s2, s3 是保证 h1, h2 , h3 为互质数的因子,称为互质因
子
10
1.14 如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：
（1）ABC面的密勒指数；
C
（2）AC晶列的指数。
cr
（1）
uuur
uuur
B
r
矢量 BA 与矢量 BC 的叉乘即是
b
A
uAuurBC面uu的ur 法u线uu矢r 量 BA OA OB
这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。
2
1.3
对于六角密堆积结构，试证明：
c a
(8)1/2 3
1.633
。
底面原子及与体心原子之间均紧密接触
则红线的长度为 y 3 a 3
y2
c 2
2
a2
c 2
2
2
3 3
a
a2
c a
8 1/ 2 3
1.633
a c/2 a
如果
解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为
a1 、a2 、a3 h1 h2 h3
晶面指数为
d
c os
a1
h1
d c os
a2
h2
d c os
a3
h3
h1
a1
cos d
h2
a2
cos d
h3
a3
cos d
a1 cos
d
a2 cos
d
a3 cos
d
(
s1
cos
,
s2
cos
(ar
r b)
1
r (b
cr )
1
(2ar
ar
r b
cr )
2
12a(2ri
r j
r k)
uuur uuur uuur BC OC OB
[cr
1
(ar
r b
)]
1
2r (b
cr )
1
r a(i
r k)
2
2
2
uuur uuur 1 r r r 1 r r a2 r r r
BA BC (2a b c) (a c) (i 3 j k)