固体物理习题答案

固体物理学作业
第一章 思考题
1、简述晶态、非晶态、单晶、多晶、准晶的特征和性质
答：
主要区别在微结构有序度。 固体中微观组成粒子(原子、离子、分子)在空间排列有序， 具有微米数量级以上的三维平移周期性，这种具有长程 有序态的固体称为晶态固体(晶体)，否则为非晶态。 晶体中微观组成粒子空间排列有序存在于整个固体中，称为 单晶体。多晶体由许多单晶体随机堆砌而成。
第四章 思考题
2、周期场是能带形成的必要条件吗？ 答：周期场是由布洛赫函数描述的能带结构的必要条件。 布洛赫定理推导出周期场中单电子状态的一般属性(主要是能带 结构，参见图4.2-1 一维能带结构的表示图式)，而晶格周期 势场是布洛赫定理的前提条件。 在晶体周期性结构(平移对称性)中，电子波函数 (k) 是布洛赫 函数，能量本征值和本征函数在 k 空间具有倒格矢反演和 周期性，电子波矢 k 是与平移对称性相联系的量子数 。 非晶态也具有相似的基本能带结构，即：导带、价带和禁带。 但非晶态的电子态与晶态比较有本质区别。非晶态不存在 周期性，因此 k 不再是具有类似特征的量子数。 非晶态能带中电子态分扩展态和局域态二类。扩展态的电子为 整个固体共有，可在整个固体内找到，在外场中运动类似 晶体中电子；局域态的电子基本局限在某一区域，状态波 函数只能在围绕某一不大的尺度内显著不为零，它们依靠 声子协助，进行跳跃式导电。
设晶面 (hkl)在底 面截线
b k
晶胞基矢：
a a i， b a j， c a k
原胞基矢：
a1
a 2
( j k )， a 2
a 2
( k i )， a 3
a 2
( i j)
b
C D
根据晶面指数是在基矢
截距倒数的关系 : a1 a 2 a 3 ， ， 。 h1 h 2 h 3
第一章 思考题
5、试画出体心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格点的 分布图。 (100) (110) (111)
体心立方
面心立方
第一章 思考题
6、怎样判断一个体系对称性的高低？讨论对称性有何物理意义。 答： 一个物理体系对称性用其具有的对称操作集合来描述。一个体 系具有的对称操作越多，其对称性就越高。在数学上，基 本操作的集合构成 “群”，每个基本操作称为群的一个元 素。由于晶格周期性限制，描述晶体宏观对称性的“点群” 只有32种。描述晶体微观对称性的“空间群”只有230种。 一个物理体系，如知道其几何对称性，就可在一定程度上确定 它的某些物理性质。例如，若原子结构具有中心反演对称 性，则原子无固定偶极矩；若一个体系具有轴对称性，偶 极矩必在对称轴上；若有对称面，偶极矩必在对称面上。 由此可见，不必讨论体系结构细节，仅从体系的对称性，就可 对其物理性质作出某些判断。对称理论已成为定性和半定 量研究物理问题的重要方法。
a 2 a 2
( i j) ( i j)
蜂窝二维格子 不是布拉菲格子 边心立方格子
a a1 底心立方格子
a 3 ak
第一章 习题
1.3 对于面心立方晶格，如果取晶胞的三边为基矢，某一族晶 面的密勒指数 为(hkl)，问，如果取原胞的三边为基矢，该 族晶面的晶面指数是多少？ 解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指数(hkl)，求该晶面指数 (h1h2h3)。
第一章 思考题
3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基 矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说 一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子 的倒格子也是复式格子吗？ 答：
引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题 非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里 叶变换。 布拉菲格子不可以对应于几个倒格子。基矢选择不唯一，但 定义的布拉菲格子是唯一确定的；同样，倒基矢选择不 唯一，但定义的倒格子是唯一确定的。因此，给定布拉 菲格子对应唯一确定的倒格子。 倒格子定义在布拉菲格子概念上，而非复式格子。表达晶体 结构周期性，以基元为格点的布拉菲格子是唯一的。
b k
求解
a3 a3 b a3 a3 a b a 0 CD BD 2 kh 3 h3 h kh h3
b
C D
代入 a a i ， b a j ， 和
a3 a
a 3 a 3 0,
a3 a a 2 b a 3 aj a
2
第一章 习题
1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说 明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含 几个格点？ 解： 由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点 阵。它的特征是每个格点周围的情况(包括周围的格点数 目和格点配置的几何方位等)完全相同。 基元由相邻的一个Na+和一 个Cl−构成，基元代表点 (如： Na+ 位置) 构成面心立方晶 格。 每个原胞中含一个格点。
d hkl a h k
2 2
， 有面心立方 l
2
d 111
a 3
， 体心立方
d 110
1 2 h3
a 2
因此，最大格点面密度
表达式，
dh h
2
1 2 h3
2 / G h h
面心立方
111
4 a3
a 3

4 3 3a
， 体心立方
110
2 a3
a 2
a
2
2
第一章 习题
FCC b1 b2 b3
( 倒基矢 ) 2 a 2 a 2 a (i j k ) (i j k ) (-i j k )
要求同学通过矢量运算， 证明得出结论：
b2 b3
第四章 思考题
1、能带理论作了哪些近似和假定？得到哪些结果？ 答： 能带理论是近似理论。它作了绝热近似、平均场近似和周期势 场假定。 绝热近似视固体中原子核(离子实)静止不动，价电子在固定不变 的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核 (离子实)系统分开考虑。 平均场近似视固体中每个电子所处的势场都相同，使每个电子 所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。 通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。 通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单 电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。 周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。 通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格 周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。
a3
a
即： (
密勒指数
:
A k j i
a3 h3
aB
a h
C D B D 0，
a b c ， ， ，晶面指数 h k l
a3 h3

b k
) (
a3 h3

a h
)
a3 a3 h3
2

b a3 kh 3

a3 a h3 h

ba kh
0
第一章 习题
晶面在底 面截线
2
1
)
对于正交晶系，
即， d
2 2
cos( a , n ) cos( b , n ) cos( c , n ) 1
2 2

d

d
2 2
1,
1
d
2
(a h)
(b k )
(c l )
2 2 2 (a ) (b ) ( c ) h k l 2 c 2 2 c 2 2 2 (b ) ( ) (a ) ( ) (a ) (b ) k l h l h k
第四章 思考题
3、按自由电子近似，禁带产生的原因是什么？紧束缚近似呢？ 答： 按自由电子近似，零级近似波函数是平面波，它在晶体中传播 如同X射线。当波矢 k 不满足布拉格条件时，晶格的影响 很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当 k = n/a (处在 布里渊区边界)，波长 = 2/k = 2a/n 正好满足布拉格反射 条件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成驻波， 使电子分布密度发生变化。一部分主要分布在离子实之间， 受离子实吸引较弱，势能较高，一部分主要分布在离子实 周围，受离子实吸引较强，势能较低。由此出现能隙。 按紧束缚近似，原来孤立原子的每一能级，当原子相互接近组 成晶体时，由于原子间的相互作用就构成一个能带，若原 子间距离越小，原子波函数间交叠越多，相互作用越大， 能带宽度就越宽。
a3
a 2
a 2
( i j)
a
2
A
k j i
a3 h3
aB
a h
( i j)
k
2
2
( i j) a i
k， b a aj ai a k
2
得到
a3 a3 h3
2

b a3 kh 3

a3 a h3 h

ba kh

a
2
k
a
2
k
1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。 证明： 根据 BCC和 FCC 基矢表达式，
BCC ( 正基矢 ) a1 a2 a3 a 2 a 2 a 2 (i j k ) (i j k ) (-i j k )
FCC ( 正基矢 ) a1 a2 a3 a 2 a 2 a 2 ( i j) (k i )
单晶体，具有以下性质：(1)规则几何外形；(2) 各向异性物 理性质，(3)确定的熔点。
多晶体不具有规则的外形，物理性质不表现各向异性。 非晶体不具有确定的熔点。
第一章 思考题
2、晶体结构可分成布拉菲格子和复式格子吗？ 答： 可以。
以原子为结构参考点，可以把晶体分成布拉菲格子和复式格 子。