线性代数试题及复习资料
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
自考线性代数试题库及答案
自考线性代数试题库及答案一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，这三个向量是否线性相关？A. 是B. 不是答案：A3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，若|A| = 0，则A是：A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵答案：B二、填空题4. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，若B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]，则A至少包含____个非零行。
答案：三5. 对于任意的n阶方阵A，Tr(A)表示A的______。
答案：迹三、解答题6. 已知矩阵A = [2, -1; 1, 3]，求A的逆矩阵A^(-1)。
答案：首先计算A的行列式，|A| = (2 * 3) - (-1 * 1) = 7。
然后计算A的伴随矩阵，即adj(A) = [(3, 1); (-1, 2)]。
最后，A^(-1) = (1/|A|) * adj(A) = [(3/7), (1/7); (-1/7), (2/7)]。
7. 设向量空间V中的向量v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)。
证明v1, v2, v3线性无关。
答案：要证明v1, v2, v3线性无关，我们需要证明对于任意的实数a, b, c，只要a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0，那么a = b = c = 0。
设a * v1 + b * v2 + c * v3 = (a + b, b + c, a + c) = (0, 0, 0)，由此可得a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。
通过简单的代数运算，可以得出a = b = c = 0，因此v1, v2, v3线性无关。
《线性代数》复习要点及练习
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数复习资料
第一章一.选择题（1）设行列式D 1=22221111a cb a ac b a a c b a+++，D 2=222111c b a c b a cba ，则D 1= （ ） A ．0 B ．D 2C ．2D 2 D ．3D 2 （2）设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为 （ ） A .－15 B .－6 C.6 D.15（3）已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．－24 B ．－12 C ．－6 D ．12 二.填空题1.排列341265 的逆序数是__________；排列513264 的逆序数是（ ）。
2.四阶行列式中，项14432231a a a a 的符号是__________；项42342311a a a a 的符号是__________； 三.计算题 1.4321032131001011-，2.3315112043512131------，3.设 D=3142313150111253------,D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求+11A +12A +13A 14A 。
4.设 D=335111243152113------,D 的（i ，j ）元的代数余子式记作j i A ,，求331+A 232-A 233+A 34A 。
一.选择题1、设A 为n 阶方阵，则=*AA （ ）a 、1；b 、A ；c 、2A ；d 、nA 。
2、设n 阶方阵C B A,, 满足关系式：E ABC =，则必有（ ）a 、E ACB =；b 、E CBA =；c 、E BAC =；d 、E BCA =。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数复习题部分参考答案
线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数试题(试题与答案)
线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。
线代复习题
线代复习题
1. 矩阵的基本概念
- 定义矩阵及其元素
- 矩阵的阶数
- 矩阵的表示方法
2. 矩阵的运算
- 矩阵的加法和减法
- 矩阵的数乘
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
3. 特殊矩阵
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 斜对角矩阵
- 正交矩阵
4. 行列式
- 行列式的定义
- 行列式的计算方法
- 行列式的性质
5. 线性方程组
- 线性方程组的表示
- 高斯消元法
- 线性方程组的解的存在性
- 齐次线性方程组的解
6. 向量空间
- 向量空间的定义
- 基和维数
- 向量的线性组合
- 向量的线性相关性
7. 特征值和特征向量
- 特征值和特征向量的定义
- 特征值和特征向量的计算方法 - 特征多项式
8. 二次型
- 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
- 正定二次型
9. 线性变换
- 线性变换的定义
- 线性变换的矩阵表示
- 线性变换的性质
10. 矩阵分解
- 矩阵的对角化
- 矩阵的谱分解
- 矩阵的QR分解
11. 应用题
- 利用矩阵解决实际问题
- 矩阵在不同领域的应用案例分析
请根据以上复习题进行复习，确保掌握线性代数的基本概念和运算法则。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
线性代数复习题及参考答案
线性相关性
7、解矩阵方程
解：
四、综合应用题:(每题12分,共24分)
1、A为何值时下列方程组无解,有唯一解,有无穷解?
2求矩阵A的特征值与特征向量,并判断该矩阵能否对角化
解题过程如下，愿意抄的就抄抄，不愿意抄的就直接写上面的。
3、n元齐次方程组有非零解,则()
A:任意n个数都是方程组的解B:有有限个非零解C:有无限个非零解D:有唯一非零解
4、方程组Ax=b(b≠0)有唯一解的充要条件,下列说法错误的是()
计算题:(每题8分,共506分)
1、计算行列式
2、
3、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、向量组a=3a2=xa2=12a=|-1的秩为2
求,的值
5、已知AP=PA,且P=/12
线性代数复习题及参考答案
一、填空题:(每题2分,共10分)
1、AB都是n阶方阵,且42+4B=0,4≠0则A+B
2、9
3、
4.在A中,A的所有r(≤m,n)阶子式的个数为
5、设AB.C都是n阶矩阵且A=BC,则秩Amin{秩B,秩C
、选择题:(每题2分,共10分
1、下列说法正确的是B
2、下列矩阵是正定矩阵的是()
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
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（1） 扩充法
（2） 子式法
1
2
...
m
mn
(1,2
,...,m
) n m
最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组
的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就
是这个向量组的一个极大无关组。
（3）初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。
例 9、设向量组
（1） 1,...,t 线性无关， （2） AX = 0 的每一个解都可以由1,...,t 线性表示。 则1,...,t 叫做 AX = 0 的基础解系。 定理 1、设 Amn ，齐次线性方程组 AX = 0 ，若 r(A) = r n ，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个
2x − y + z = 0
例
7、已知线性方程组
−2x1x−1 +2
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
−2
，问当
为何值时，它有唯一
x1 + x2 − 2x3 = 2
解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
1,2,...,s 线性相关 1,2,...,s (s 2) 中至少存在一个向量能由其余 向量线性表示。
=s2,...,n 线性相关
1,2 , ...,n
= 0或 2
...
=0。
n
1
n 个 n 维向量1,2,...,n 线性无关
1,2 , ...,n
0或 2
...
0。
n
例 8、已知向量组1 = (t,2,1) ，2 = (2,t,0) ，3 = (1,−1,1) ，
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
线性代数 综合复习资料
《线性代数（经）》综合复习资料第一章 n 阶行列式一、判断题 1.1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ ）． （ ） 3、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。
4. 设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )二.填空题：2、设行列式1112132122233132333a a a a a a a a a =，则313233213122322333111213222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是 。
4、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。
5.设行列式30402222075322D =--，则41424344A A A A +++=____________.三.选择题1、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（ ） （A ）矩阵A 中元素都等于0；（B ）矩阵A 中必有两列元素对应成比例；（C ）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
2、一个n 级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值（ ）(A) 保持不变； (B ) 保持不为零； (C) 可变成任何值； ( D)保持相同的符号。
4. 已知4阶行列式D 的第三行元素分别是1，0，2，-3；第四行元素对应的代数余子式依次是5，10，t ，5，则t=( )(A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 65.下列说法错误的是（ ）（A ）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解； （B ）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解； （C ）一个行列式交换两列，行列式值不变；（D ）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
线性代数复习题带参考答案
线性代数复习题带参考答案线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<="" )6.设A 为n 阶方阵，r (A )B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（）A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =??200540093的三个特征值，则321λλλ=（） A.20 B.24 C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数总复习及典型例题
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解 的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章 线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解 有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
Er O O O m n
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（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列的逆序数是_______。
2. 若122211211=a aa a，则=16030322211211a aa a3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
c)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1 )(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B)(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+三、计算题（本题总计60分。
1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算n 阶行列式22221M =D 22222M 22322M ΛΛOΛΛΛ 21222-n M n2222M 。
2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆111211120A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组21231231231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x6.已知向量组()T32011=α、()T53112=α、()T13113-=α、()T94214=α、()T52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．7. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n rξξξ-L L 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n rξξξη-L L 线性无关。
（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分） 1~15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。
.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）1、 解：D),,4,3(2n i r r i Λ=-021M00022M 00122M ΛΛO ΛΛΛ3022-n M20022-n M------3分122r r - 00001M0022M -0122M - ΛΛO ΛΛΛ3022--n M 20022--n M -------6分)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n Λ ----------8分 （此题的方法不唯一，可以酌情给分。
）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11111111124121311211111111112A AB ------1分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222222602222464⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=420004242------5分（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-171111610239511311131122B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=161287113084--------8分3. 设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--. 因*A A ＝E E 21=A ，故411==-n A *A 3分**A A A211==-A 5分27164134342322)3(31-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=--****A A A A A 8分4、解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100111010011001001),(E A 1312r r rr ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110011010001001---3分23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------112100011010001001---6分故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-1120110011A -------8分 （利用*-=A AA11公式求得结果也正确。
）5、解；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111),(λλλλλb A 131231rr r r r r λ--↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3222111011011λλλλλλλλλ23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+---)1()1()1)(2(0011011222λλλλλλλλλλ---------3分（1）唯一解：3),()(==b A R A R 21-≠≠λλ且 ------5分（2）无穷多解：3),()(<=b A R A R 1=λ --------7分 （3）无解：),()(b A R A R ≠ 2-=λ --------9分 （利用其他方法求得结果也正确。
） 6、解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=522011113221111),(b A −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000003111052201--------3分 ⎩⎨⎧=--=++0022432431x x x x x x 基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01121ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10122ξ-----6分⎩⎨⎧-=--=++3522432431x x x x x x 令043==x x，得一特解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0035η---7分故原方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++101201120035212211k k k k ξξη，其中Rkk ∈21,---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。
）7、解：特征方程2110430(2)(1)12A E λλλλλλ---=--=--- 从而1232,1λλλ=== (4分)当12λ=时，由(2)0A E X -=得基础解系1(0,0,1)Tζ=，即对应于12λ=的全部特征向量为11k ζ1(0)k ≠ (7分)当231λλ==时，由()0A E X -=得基础解系2(1,2,1)Tζ=--，即对应于231λλ==的全部特征向量为22k ζ2(0)k ≠四、证明题（本题总计10 分）证： 由12,n rξξξ-L L 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则12,n rξξξ-L L 线性无关。
(3分)反证法：设12,,n rξξξη-L L 线性相关，则η可由12,n rξξξ-L L 线性表示，即：rr ξλξλη++=Λ11 (6分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故η必是0=AX 的解。
这与已知条件η为b AX =()0≠b 的一个解相矛盾。
(9分). 有上可知，12,,n r ξξξη-L L 线性无关。
(10分)(试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2分）1. 排列6573412的逆序数是 ．2.函数()f x =21112x x xx x---中3x 的系数是 ．3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1()A -= A/3 ．4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ． 5．设向量(1,2,1)Tα=--，β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22λ正交，则λ=．6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ． 7. 设1121021003A --⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，则_________A*=.8. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1*1()3A A --+= ．10．已知20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭相似于12B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=x ，=y ．二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ．(A) (5)nD - (B)-5D (C) 5D (D)1(5)n D --2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量(B) 矩阵A 有n 个特征值 (C) 矩阵A 的行列式0A ≠(D) 矩阵A 的特征方程没有重根 3．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ．(A)(,)R A b m < (B)()R A m <(C)()(,)R A R A b n==(D)()(,)R A R A b n =<4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )(A)．)()(A R B R ≤(B)．)()(A R B R <(C)．)()(A R B R =(D)．)()(A R B R ≥5. 向量组12,,,sαααL 线性相关且秩为r ，则 ．(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n 阶行列式: 22221M =D 22222M 22322M ΛΛO ΛΛΛ21222-n M n2222M .2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.3. 设n 阶方阵A 满足0422=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1(3)A E --.4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．已知二次型：323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设11b a =, 212b a a =+ , L , 12r rb a a a =+++L , 且向量组r a a a ,,,21Λ线性无关，证明向量组rb b b ,,,21Λ线性无关.(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）1. 172. -2 3．13A 4．()R A n <5．2λ=-6．-27．116A -或12110216003-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦8． 29、21n）（－10、2,0-==y x 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1、 解：D),,4,3(2n i r r i Λ=-021M00022M 00122M ΛΛO ΛΛΛ3022-n M20022-n M------4分122r r - 00001M0022M -0122M - ΛΛO ΛΛΛ3022--n M 20022--n M -------7分)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n Λ ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。